中考数学几何专题复习
专题三 几何专题
【题型一】考察概念基础知识点型
例1如图1，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线是DE ，则△BEC
的周长为 。
例 2 如图2，菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 是AB 、AD 的中点，若2EF =，菱
形边长是______．
D
E
B
C
A
图1 图2 图3
例 3 （切线）已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC
＝ ．
【题型二】折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。 例4（09绍兴）D E ，分别为AC ，BC 边的中点，沿DE 折叠，若48CDE ∠=°，则
APD ∠等于 。
例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠， 使点A 与点C
重合，折叠后在其一面着色（图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ．
112 C ． 4 D ．52
E
D
B
C A P
图4 图5 图
6
【题型三】涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度，求弧长，扇形面积及圆锥体积，侧面积，三角函数计算等。
例6如图3，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，
PA ＝2cm ，PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ）
A
B
C
D E
G
F
F
D C B A
E
F
G A.
2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 22
32cm π
- 图3 【题型四】证明题型：
第二轮复习之几何（一）——三角形全等
【判定方法1：SAS 】
例1 （2011广州）如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且 AE=AF 。 求证：△ACE ≌△ACF
例2 （2010长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；
（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．
【判定方法2：AAS （ASA ）】
例3 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于 E ，BF DE ∥，交 AG 于F ，求证：AF BF EF =+．
例4 （2011浙江台州）如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ， CH=CD 连接EH ，分别交AD ，BC 于点F,G 。求证：△AEF ≌△CHG.
E
B D A C
F A
F
D
E B
C A
D F E
B C
【判定方法3：HL （专用于直角三角形）】
例5 （ 2011重庆江津）在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC
上, 且AE=CF.
(1)求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF; (2)若∠CAE=30o,求∠ACF 度数.
对应练习
1. （2011湖北宜昌）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的
延长线相交于点F.
(1)证明：∠DFA = ∠FAB； (2)证明: △ABE≌△FCE.
2.（2011贵阳）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，CDE ?是等边三角形，连接EB 、
EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证:BCE ADE ???；(5分) （2）求AFB ∠的度数.(5分)
3．（2010广东肇庆）如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与
AB 相交于F ．
A
B C
E
F
B
(1)求证：△CEB≌△ADC；
(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长．
第二轮复习之几何（二）——三角形相似
Ⅰ.三角形相似的判定
例1（2010珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC
(2)若AB＝4,AD＝3
3,AE＝3,求AF的长.
例2（2011襄阳）如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD 并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE， PE交边BC于点F．连接BE、DF。
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当AP
AB
的值等于多少时．△PFD∽△BFP？并说明理由．
2.相似与圆结合，注意求证线段乘积，一般是转化证它所在的三角形相似。
将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似例3（2010?日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC
F
E
D
C
B
A
与D．
求证：（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC2=2AB?CE．
3.相似与三角函数结合，
①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化，然后求线段的长度
②求某个角的三角函数值，一般会先将这个角用等角转化，间接求三角函数值
例4 （2011四川南充市）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为
⊿BFE,点F落在AD上.(1)求证：⊿ABE∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=
3
1
,求tan∠EBC的值.
一、选择题
1、如图1，将非等腰ABC
△的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①BDF
△是等腰三角形；②DFE CFE
∠=∠；
③DE是ABC
△的中位线，成立的有（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
图1 图2
2.如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）
A．45° B．55° C．60° D．75°
3. （2011四川凉山州）如图3，在ABC
△中，13
AB AC
==，10
BC=，点D为BC 的中点，DE DE AB
⊥，垂足为点E，则DE等于（）
A．
10
13
B．
15
13
C．
60
13
D．
75
13
A
O
B
C
X
Y
1
A
M
E
D
C
B
A
图3 图4 图5
4. （2011四川南充市）如图4，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直
线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC=
CD
BC
;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
5. （2011山东济宁）如图5，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点，
且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则
FG
AF
= ． 6.（2009深圳）如图6，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，
∠ADC = 120°，四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为（ ） A. 3
2
B.3
C. 23
D. 43
图6
图7
7.如图7，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点1A 处。已知
3=OA ，1=AB ，则点1A 的坐标是（ ）。
A 、（
23，23） B 、（23，3） C 、（23，23） D 、（2
1，23） 三、解答题
1如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE.
求证：DF ＝DC ．
G
F
E C
B
A
D
2．如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，
点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）P A =PQ
．
3. （2011山东日照）如图9，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠
CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ．
（1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证： ME=BD ．
4. （2011山东日照）如图5AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．求证：（1）∠AOC =2∠ACD ；
（2）AC 2＝AB ·AD ．
5．(2011遵义) 把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合
（E 、F 两点均在BD 上），折痕分别为BH 、DG 。 （1）求证：△BHE ≌△DGF ；
（2）若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，求线段FG 的长。
6．（2011四川内江）如图8，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将
A
C B D
P
Q
A
B C
D
E F
一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合， 连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．
第二轮复习之几何（三）——四边形
例1 （2011广东）如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD、等 边△ABE。已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足为F ，连结DF 。 （1）试说明AC=EF ；
（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形。
例2 （2010安徽省中中考）如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC
⑴求证：四边形BCEF 是菱形
⑵若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDE
例3 （2010·潼南中考）如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一 点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF 的长.
A
B
C
D
E
A
C
B
D
E
F G 1
42
3
例 4 （2009崇左中考）如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD BC ∥，AB DC =，
2AD =， 4BC =延长BC 到E ，使CE AD =． （1）证明：BAD DCE △≌△；
（2）如果AC BD ⊥，求等腰梯形ABCD 的高DF
的值．
【对应练习】
1.（2011海南) 如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且AP=BQ ．
（1）求证：△BDQ ≌△ADP ；
（2）已知AD=3，AP=2，求cos ∠BPQ 的值(结果保留根号)．
2、（2009年新疆）如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．
（2）四边形ABCD 是平行四边形．
3．(2011肇庆) 如罔7，在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ，
（1）求证：△BEC ≌△DEC ：
（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．
A
B
D
E
F
C
D A B
E
C F
4. （2011河南）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，延长CB 到点E ，使BE =AD ，连接DE 交AB 于点M .
（1）求证：△AMD ≌△BM E ；
（2）若N 是CD 的中点，且M N=5，BE =2，求BC 的长.
第二轮复习之几何（四）——圆
Ⅰ、证线段相等
例1：（2010年金华）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是
的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF =BF ；（2）若CD =6， AC =8，则⊙O 的半径为 ___ ，CE 的长是 ___ ．
2、证角度相等
例2（2010株洲市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为圆周上一点，30ABC ∠=?，过点B 的切线与CO 的延长线交于点D ．:求证：（1）CAB BOD ∠=∠；（2）ABC ?≌
ODB ?．
3、证切线
点拨：证明切线的方法——连半径，证垂直。根据：过半径的外端且垂直于半径的直线是
A
C
B
D
E
F O
D
C
B
O
A
圆的切线
例3如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径， AE ⊥CD 于点E ，DA 平分∠BDE 。 （1）求证：AE 是⊙O 的切线。
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm ，求BD 的长。
例4 （2011?曲靖）如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，OC⊥AB，∠ADC=30°． （1）求∠BOC 的度数；
（2）求证：四边形AOBC 是菱形．
对应练习
1．〔2011?浙江省义乌〕如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E . ⊙O 的
切线BF 与弦AD 的
延长线相交于点F ，且AD =3，cos ∠BCD= .
（1）求证：CD ∥BF ；
（2）求⊙O 的半径； （3）求弦CD 的长.
2.（2008年深圳市）如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，
且AB ＝AD ＝AO ．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线．
（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，
D
O B
C A
E
例7图
4
3
F
A D
E O C
B
F
E B
且△BEF 的面积为8，cos∠BFA＝3
2
，求△ACF 的面积．
1. （2011山东东营）一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是（ ）
A ．75
B ．60
C ．65
D ．55
图1 图2
2．如图2，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是
AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．43
B ．33
C ．23
D ．3
3. （2011贵州贵阳）如图3，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，点P 是BC 边上的
动点，则AP 长不可能是
图3 图4
（A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）7 4. 如图4，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）
A ．
247
B ．
7
3
C ．
724
D ．
13
5.如图5，ABC △是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP △绕点A 逆时针旋转后，能与ACP '△重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ）
6
8 C
E
A
B
D
F
A
D
O E B
C
A ．32
B ．23
C ．42
D ．33
6. （2011浙江台州）图6，已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80o ，则∠EGC 的度数为
图5 图6
7．如图，已知：在平行四边形ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的平分线交AD?
于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF=______cm ．
8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点
E 、
F ，连接CE ，则CE 的长________.
9.（2010，安徽芜湖）如图，BD 是⊙O 的直径，OA ⊥OB,M 是劣弧AB ⌒上一点，过点M 作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于点N 。
（1）求证：PM=PN ； （2）若BD=4,PA=
3
2
AO,过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点，求BC 的长．
C
B
A
O
P
D 10．（2010·湛江）(12分)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC 于点D，且PD与⊙O相切．
(1)求证：AB＝AC；(2)若BC＝6，AB＝4，求CD的值．
11．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．
12．（2010山东日照）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：∠BAE=∠FEC；
（2）证明：△AGE≌△ECF；
（3）求△AEF的面积．
13．(09梅州)如图，矩形ABCD中，53
AB AD
==
，．点E是CD上的动点，以AE为直径的O
⊙与AB交于点F，过点F作FG BE
⊥于点G．
（1）当E是CD的中点时：
①tan EAB
∠的值为______________；②证明：FG是O
⊙的切线；
（2）试探究：BE 能否与O ⊙相切?若能，求出此时DE 的长；若不能，请说明理由．
几何之——解直角三角形
1（2010年湖北黄冈市）在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝4
5
，则tanB ＝（ ） A ．
43 B ．34 C ．35 D ．45
2、在?ABC 中，若｜sinA-
2
2 |+(23
-cosB)2=0, ∠A.∠B 都是锐角，则∠C 的度数是
（ ）
A. 750
B. 900
C.1050
D.1200
3、（2011?温州）如下左图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA 的值是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
4、（2011?苏州）如上右图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2， BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
5、如，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且5
3
cos =
α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）
316 （C ）320 （D ）5
16
6、（2010?牡丹江）在锐角△ABC 中，∠BAC=60°，BD 、CE 为高，F
D
E
O C
B G F A
A
B
C
D
E
为BC 的中点，连接DE 、DF 、EF ，则结论：①DF=EF ；②AD ：AB=AE ：AC ；③△DEF 是等边三角形；④BE+CD=BC ；⑤当∠ABC=45°时，BE=DE 中，一定正确的有
（ ） A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
7.
084sin 45(3)4-?+-π+-=
8.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这 个破面的坡度为 .
9.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是
1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．
直角三角形常见模型
1 张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，试求旗杆AB 的高度。
2．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方
向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离。
3（2010漠河）某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上。前
进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图），在以航标C 为圆心，120m 为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
A
B
C
D α
A
1l
3l
2l 4l
3 1.73
≈
A D
B E
图6 i=1:3
C
4: (2009年·东莞市)（本题满分7分）如图6，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，（图中3
:1
i是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．（结果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）