松约束模型运输问题的一种解法
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3运输问题及其解法
i =1 j =1 n i =1
m
n
m
（3.1－4）
将后 n 个约束相加，得
∑∑ xij = ∑ b j ,
j =1 i =1 j =1 m n
m
n
（3.1－5）
因为，
（3.1-4）式与（3.1-5）式是相同的．由此可见，这 m + n 个约束 ∑ ai = ∑ b j ,所以，
i =1 j =1
不是独立的．我们可以证明：当所有的 ai , b j 都大于零时，任何 m + n − 1 个约束都是相互独立 的．即，系数矩阵 A 的秩 r ( A) = m + n − 1 ，事实上，
位(称为需求量)， 设 cij (i = 1, 2,L , m, j = 1, 2,L , n) 为由产地 Ai 运往销地 B j 的单位运费， xij 为从 Ai 调往 B j 的物资数量，试问如何调运，求能使总运费最小． 为了清楚起见，通常将上述数据列在一张表上，该表称为运输表(见表3.1-1)．
初看起来，最小元素法十分合理，但是，有时按某一最小单位运价优先安排物品调运时， 却可能导致不得不采用运费很高的其他供销点对，从而使整个运输费用增加．对每一个供应地 或销售地， 均可由它到各销售地或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和次小单位运价， 并称这两个单位运价之差为该供应地或销售地的罚数．若罚数的值不大，当不能按最小单位运 价安排运输时造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大，不按最小运价组织运输就会造 成很大损失，故应尽量按最小单位运价安排运输，元素差额法就是基于这种考虑提出来的． 现结合上例说明这种方法： 首先计算运输表中每一行和每一列的次小单位运价和最小单位运价之间的差值，并分别称 之为行罚数和列罚数；将算出的行罚数填入位于运输表右侧行罚数栏的左边第一列的相应格子 中，列罚数填人位于运输表下边列罚数栏的第一行的相应格子中． A1 行中的次小和最小单位运 价分别为8和6，故其行罚数为2， B1 列中次小单位运价和最小单位运价分别为9和8，故其列罚 数为1，如此进行，可计算出 A1 , A2 , A3 的行罚数分别为2，2和4， B1 , B2 , B3 , B4 列的列罚数分别 为1，3，3，2．在这些罚数中最大者为4(在表4.2 - 6中用小圆圈标出)，它位于 A3 行，由于在
m
n
m
（3.1－4）
将后 n 个约束相加，得
∑∑ xij = ∑ b j ,
j =1 i =1 j =1 m n
m
n
（3.1－5）
因为，
（3.1-4）式与（3.1-5）式是相同的．由此可见，这 m + n 个约束 ∑ ai = ∑ b j ,所以，
i =1 j =1
不是独立的．我们可以证明：当所有的 ai , b j 都大于零时，任何 m + n − 1 个约束都是相互独立 的．即，系数矩阵 A 的秩 r ( A) = m + n − 1 ，事实上，
位(称为需求量)， 设 cij (i = 1, 2,L , m, j = 1, 2,L , n) 为由产地 Ai 运往销地 B j 的单位运费， xij 为从 Ai 调往 B j 的物资数量，试问如何调运，求能使总运费最小． 为了清楚起见，通常将上述数据列在一张表上，该表称为运输表(见表3.1-1)．
初看起来，最小元素法十分合理，但是，有时按某一最小单位运价优先安排物品调运时， 却可能导致不得不采用运费很高的其他供销点对，从而使整个运输费用增加．对每一个供应地 或销售地， 均可由它到各销售地或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和次小单位运价， 并称这两个单位运价之差为该供应地或销售地的罚数．若罚数的值不大，当不能按最小单位运 价安排运输时造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大，不按最小运价组织运输就会造 成很大损失，故应尽量按最小单位运价安排运输，元素差额法就是基于这种考虑提出来的． 现结合上例说明这种方法： 首先计算运输表中每一行和每一列的次小单位运价和最小单位运价之间的差值，并分别称 之为行罚数和列罚数；将算出的行罚数填入位于运输表右侧行罚数栏的左边第一列的相应格子 中，列罚数填人位于运输表下边列罚数栏的第一行的相应格子中． A1 行中的次小和最小单位运 价分别为8和6，故其行罚数为2， B1 列中次小单位运价和最小单位运价分别为9和8，故其列罚 数为1，如此进行，可计算出 A1 , A2 , A3 的行罚数分别为2，2和4， B1 , B2 , B3 , B4 列的列罚数分别 为1，3，3，2．在这些罚数中最大者为4(在表4.2 - 6中用小圆圈标出)，它位于 A3 行，由于在
ch3运输问题.ppt
三.运输问题的解法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用 线性规划法中的单纯形法来解决。但是： 1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯 形表太大； 2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0， 会使问题更加复杂。 以上两个原因使得我们不得不利用运输 问题的特点设计出它的特殊解法——表 上作业法。
表上作业法
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含
有一个平衡关系式
ai bj ）
所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量
为m+n-1个。
3.m+n－1个变量组构成基变量的充要条件是它不
包含任何闭回路。一条回路中的顶点数一定是偶数。
【定理1】设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变 量数为m+n-1。
求检验数的方法有两种，闭回路法和位势法。
1．闭回路法求检验数 求某一非基变量的检验数的方法是：在基 本可行解矩阵中，以该非基变量为起点，以基变量为其它顶点， 找一条闭回路，由起点开始，分别在顶点上交替标上代数符号+、 -、+、-、…，以这些符号分别乘以相应的运价，其代数和就是 这个非基变量的检验数。
第三步：调整运量，即换基。选一个变量出基，对原运量进行 调整得到新的基可行解，转入第二步。
初始基础可行解—西北角法
1
2
3
4
6
7
5
3
1
14
14
左上角法(亦称西北角法)是优先从运价表的左上角的变量赋值，当行或列分
配完毕后，8再在表中余下4部分的左上角2赋值，依次类7推，直到右下角元素分
配个完变2毕量． 作当基出变现量同，8时以分保配 证完最一后1行的3和基一变列量时数，等仍于6然m+应n在－打1“×”的位2置7上选一
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
整数规划求解题技巧
整数规划求解题技巧整数规划（Integer Programming，IP）是线性规划（Linear Programming，LP）的扩展，它要求所有变量的取值必须是整数。
整数规划常用于求解实际问题中的最优决策，具有广泛的应用领域，如运输、生产、资源分配等。
下面我将介绍一些整数规划求解题的技巧。
1. 转化为纯整数规划：将实际问题转化为纯整数规划问题可以简化模型。
纯整数规划要求所有变量的取值都必须是整数，没有连续变量的限制。
通过建立合适的约束条件和目标函数，可以将问题转化为纯整数规划问题进行求解。
2. 松弛约束：对于某些约束条件，如果将其从等式形式变为不等式形式且松弛一些限制，可以增加问题的可行解空间。
这样可以使得模型具有更多的可行解，从而提高求解效率。
3. 分枝定界法：分枝定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法。
它将整数规划问题划分为多个子问题，通过不断划分和求解这些子问题，逐步逼近最优解。
分枝定界法通常包括两个步骤：分枝和定界。
分枝是指将问题分解为多个子问题，每个子问题都是原问题的一个可能解。
定界是指通过对子问题的求解，确定上界和下界，从而缩小搜索范围。
4. 启发式算法：启发式算法是一种常用的求解整数规划问题的方法，它通过启发式规则和策略来指导搜索过程。
启发式算法不保证找到最优解，但可以在较短时间内找到近似最优解。
常见的启发式算法包括贪心算法、模拟退火算法、遗传算法等。
5. 接近最优策略：在实际问题中，有时求解整数规划问题的时间复杂度非常高，甚至是NP-hard难题。
面对这种情况，可以采取接近最优的策略。
即对于一个相对较大的整数规划问题，先求解一个近似最优解，然后逐步优化，以此来降低问题的复杂度。
6. 问题分解：对于大规模的整数规划问题，可以将问题分解成多个较小的子问题。
通过对这些子问题的求解，可以逐步逼近整体问题的最优解。
问题分解可以提高求解效率，同时可以充分利用问题的结构特点。
7. 约束松弛法：约束松弛法是一种将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
运筹学3.运输问题
21
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
④③
7
1
A2 ③
9
2
①
84
7
4
10
5
A3
⑥
③
9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法（Vogel）
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1
②
11
3
⑤
10 7 0 0 0 0
A2
19
①
28
③
4 1111
A3
74
⑥
10 5
③
9 12 - -
bj
36
5
6 20
25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中，有几点需要注意： • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中，不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
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10
A1
④③
7
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2
①
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5
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⑥
③
9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法（Vogel）
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1
②
11
3
⑤
10 7 0 0 0 0
A2
19
①
28
③
4 1111
A3
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⑥
10 5
③
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36
5
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25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中，有几点需要注意： • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中，不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1
运输问题的数学模型详细讲解,有案例+多种方法
i 1 j 1 m n
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
2、流向图
流向图:
在交通图上表示物资流向的图被称为流向 图。在图中每个发点吨数全部运完，每个 收点所需吨数均已满足。
2、流向图
发点A到收点B的 运输量，用括号 括起。
2、流向图
关于流向图的一些规定 箭头必须表示物资运输的方向 流量写在箭头的旁边，加小括号。 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、 交叉点 任何一段弧上最多只能显示一条流向！即 同一段弧上的多条流向必须合并。 除端点外，任何点都可以流进和流出
2 4 6 4 B4
（2）
B5
4 2
8 B3
（8）
4
B2
（8） （1）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-10
第三步：补上丢掉的边，检查有无迂回。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈长= 4+4+5=13>21/2，有迂回，所 以流向图不是最优流向图。需要调整。
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下： 1.变量多（mn个），但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
2、流向图
流向图:
在交通图上表示物资流向的图被称为流向 图。在图中每个发点吨数全部运完，每个 收点所需吨数均已满足。
2、流向图
发点A到收点B的 运输量，用括号 括起。
2、流向图
关于流向图的一些规定 箭头必须表示物资运输的方向 流量写在箭头的旁边，加小括号。 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、 交叉点 任何一段弧上最多只能显示一条流向！即 同一段弧上的多条流向必须合并。 除端点外，任何点都可以流进和流出
2 4 6 4 B4
（2）
B5
4 2
8 B3
（8）
4
B2
（8） （1）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-10
第三步：补上丢掉的边，检查有无迂回。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈长= 4+4+5=13>21/2，有迂回，所 以流向图不是最优流向图。需要调整。
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下： 1.变量多（mn个），但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
运输问题及解法
Am+1 0 …… 0
a1
M
am
am 1 bj ai
四 应用举例
由于在变量个数相等的情况下，表上作业法的计算远比单纯 形法简单得多。所以在解决实际问题时，人们常常尽可能把 某些线性规划的问题化为运输问题的数学模型。下面介绍几 个典型的例子。
例3 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表3-29 所示。又如果生产出来的柴油机当季不交货的，每 台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。 要求在完成合同的情况下，作出使该厂全年生产(包 括储存、维护)费用最小的决策。
1
1
这两种情形都 a可 i 以 bj的 化形 为式来
求解
二.运输问题的模型产销平衡源自题模型M i n Z c ij x ij
j
x ij a i
(
p
)
x ij b j
i
x ij 0
将约束方程式展开可得
x11 L x1n
x21 L x2n
O
x11
x21 L
xm1 L xmn xm1
用线性规划法处理此问题。
设由产地i到销地j的运量为xij， 产销平衡表
模型为：
销地
min z= 3x11+11x12+3x13+10x14 产 地
B1 B2 B3 B4 产 量
+x21 +9x22 +2x23 +8x24
A1
7
+7x31 +4x32+10x33+5x34
A2
4
x11+x12+x13+x14=7 x21+x22+x23+x24=4 x31+x32+x33+x34=9 x11+x21+x31=3 x12+x22+x32=6 x13+x23+x33=5
一种约束条件右端含参数的线性规划问题及其在运输问题上的应用
。
数S (
火 ) 为 孟的 分 段 线 性 不 降 函 数
时 一 个 具 体 的 运 输 问 题 提 出 了分 段 函 数 S ( 孟 ) 的 求 法 ,
并 对 一 个 具 体 的 运 输 任 务 应 如 何 提 供 合 理 的 运 输 工 具 作 出 了 原 则 的规 定
(一 )
大家 知 道
,
空 车托 运 的 数学 模 型 为 希 奇 柯 西
0 1· 0
( 1一 1 )
J 、 !1
!1 1
且满 足
( 1一 2 )
( l一3 )
其中
a
,
、
b se R
’
,
孟e N 且 。
, ( 孟 《 艺 b`
i =
1
S
、
s
>
o
,
S
,
;
《 S
。
s 卜
一
5
1。 ,
S
。 。
二
M
( l一4 少
。
由此 可 见
,
问题 (
1一 1 )
—
n
( 1 一 4 ) 为 约 束 条 件 右 端 含 参数 孟的 ( L P ) 问 题
n
i
i 一
艺
1
n
e i a :
一
艺dsbs
一 1 0
j
。
一
0
n l
=
·
艺 艺s
·
jx
;
s一
( 艺e
1 l
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+
艺 d sb ` )
一
(
e
+
d
数S (
火 ) 为 孟的 分 段 线 性 不 降 函 数
时 一 个 具 体 的 运 输 问 题 提 出 了分 段 函 数 S ( 孟 ) 的 求 法 ,
并 对 一 个 具 体 的 运 输 任 务 应 如 何 提 供 合 理 的 运 输 工 具 作 出 了 原 则 的规 定
(一 )
大家 知 道
,
空 车托 运 的 数学 模 型 为 希 奇 柯 西
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二
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由此 可 见
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( 1 一 4 ) 为 约 束 条 件 右 端 含 参数 孟的 ( L P ) 问 题
n
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1 l
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i a ;
+
艺 d sb ` )
一
(
e
+
d
运输问题数学模型详细讲解,有案例 多种方法
【例2】求最优调运方案
5 7 4 2 4 B2 3 7 A1 6
B1
A3 3 6 4 B4
2 4
B5
8 B3 5 8 A2
4
图 4-9
解题步骤：
第一步：变有圈为无圈。 方法：“丢边破圈”。即丢掉一条边，破 去一个圈。 注意：丢边时，往往是丢掉圈中长度最大 的边。如图所示
第一步： “丢边破圈”
迂回运输的判断
6
6 （4） 4 4 4 2 2 图：5-5 （4） 图：5-6 4
显然：图5-5为迂回运输
（3）、正规（最优）流向图
正规（最优）流向图：一个最优的调运方 案，它的流向图必是无对流、无迂回的流 向图，称这种流向图为正规流向图。 物资调运的图上作业法就是寻找一个无对 流、无迂回的正规流向图。 步骤如下：
5 7
B1
A3 3 6 4 B4
2 4
B5
4 2
8 B3 5 8 A2
4
B2 3 7 A1 64源自 第二步：在无圈的交通图上作流向图。 原则：先外后内，先端点后中间点， 要求每个边都有流向。当某条边无流 向时，必须填上运输量为零的虚流向。
第二步：作流向图
5 7
B1
（4） （3）
A3 3
（5）
i 1 j 1
将约束方程式展开可得
x11 x1n x x 21 2n xm1 xmn x21 xm1 x11 x12 x22 xm 2 x1n x2 n xmn
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
B5
4 2
（2）
8 B3
（6）
4
B2 3
（8） （1）
5 7 4 2 4 B2 3 7 A1 6
B1
A3 3 6 4 B4
2 4
B5
8 B3 5 8 A2
4
图 4-9
解题步骤：
第一步：变有圈为无圈。 方法：“丢边破圈”。即丢掉一条边，破 去一个圈。 注意：丢边时，往往是丢掉圈中长度最大 的边。如图所示
第一步： “丢边破圈”
迂回运输的判断
6
6 （4） 4 4 4 2 2 图：5-5 （4） 图：5-6 4
显然：图5-5为迂回运输
（3）、正规（最优）流向图
正规（最优）流向图：一个最优的调运方 案，它的流向图必是无对流、无迂回的流 向图，称这种流向图为正规流向图。 物资调运的图上作业法就是寻找一个无对 流、无迂回的正规流向图。 步骤如下：
5 7
B1
A3 3 6 4 B4
2 4
B5
4 2
8 B3 5 8 A2
4
B2 3 7 A1 64源自 第二步：在无圈的交通图上作流向图。 原则：先外后内，先端点后中间点， 要求每个边都有流向。当某条边无流 向时，必须填上运输量为零的虚流向。
第二步：作流向图
5 7
B1
（4） （3）
A3 3
（5）
i 1 j 1
将约束方程式展开可得
x11 x1n x x 21 2n xm1 xmn x21 xm1 x11 x12 x22 xm 2 x1n x2 n xmn
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
B5
4 2
（2）
8 B3
（6）
4
B2 3
（8） （1）
第七章-运输问题
运产们费地单办得价到运新销 输的地量 综合表B1格：
B2
B3
产 量 (件)
A1
6
4 x11
6 x12
x13
200
A2 销 量 (件)
6
5 x21
5 x22
x23
300
150
150
200
500 500
•
min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23
s. t.
x11+ x12 + x13 = 200
法
销地
产地
B1
A1
3
A2
1
3
A3
7
销量
30
4 0，
x21
6 =x11200，
x22
=x013，x23
200 = 200。
A2
6
5 x21
5 x22
x23
300
销 量 (件)
150
150
200
500 500
•
§7.1 运输问题的模型
1.一般运输问题的线性规划模型
假设 A1，A2，… ，Am 表示某物资的 m 个产地； B1，B2，… ，Bn 表示某物资的 n 个销地；
•
例.喜庆食品公司有三个生产面包的分厂A1，A2，A3，
有§四个7.销2售运公司输B问1，题B的2，表B3上，B作4，业其法各分厂每日的产
量、各销售公司每日的销量以及各分厂到各销售公司的 单位运价如表所示，在表中产量与销量的单位为吨，运 价的单位为百元/吨。问该公司应如何调运产品在满足各 销点的需求量的前提下总运费最少？
运输问题数学建模
该系数矩阵中每列只有两个元素为1，其余的都为零。
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含有一个平衡关系 式 ） ai bj 所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量为m+n-1个。
二、 表上作业法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用线性规划 法中的单纯形法来解决。但是：
1. 运输问题所涉及的变量多，造成单纯形表太大；
例3.1
某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个
销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产 地运往各销地每件物品的运费如下表3-4所示
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产量 7 4 9 20（产销平 衡）
销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。 （2）
a b
i 1 i j 1
m
n
j
。即运输问题的总产量不等于总
销量，这样的运输问题的数学模型
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下， 要求得总运费最小的调运方案，数学模型为：
m in z cij x ij
教学要求：
1 ．掌握运输问题的数学模型、系数矩阵特殊形 式 2 ．掌握用西北角法、最小元素法求初始基可行 解 3 ．掌握回路、位势法求解过程和表上作业法求 解运输问题过程
一、 运输问题及其数学模型
问题的提出:
在经济建设中，经常碰到物资调拨中的运输问题。 例如 煤、钢材、粮食、木材等物资，在全国都有若干 生产基地，分别将这些物资调到各消费基地去，应如 何制定调运方案，使总的运输费用最少？
A2
运输问题—数学模型及其解法
闭合回路中标有“”的基变量同时有多个达到最小 变换后，有多个原基变量变为 0，选运费最大者为出变量，其
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
运输网络优化的算法与模型
运输网络优化算法与模型
汇报人：可编辑 2024-01-06
目录
• 运输网络优化概述 • 线性规划算法 • 非线性规划算法 • 启发式算法 • 元启发式算法 • 多目标优化算法
01
运输网络优化概述
定义与目标
定义
运输网络优化是指通过数学模型和算法，对运输网络进行优化，以实现运输成本降低、运输效率提高、运输过 程环保等目标。
运输网络优化问题通常涉及到如何选择最佳的 运输路径、分配运输量以及选择运输方式等， 以最小化运输成本或最大化运输效率。
线性规划算法可以用于解决这些问题，通过建 立相应的线性方程组来表示运输网络优化问题 ，并求解得到最优解。
在实际应用中，线性规划算法可以用于车辆路 径问题、货物配载问题、物流配送问题等。
缺点
非线性规划算法的求解过程通常比较复杂，需要大量的计算资源和时间；同时 ，对于大规模问题，非线性规划算法可能面临计算瓶颈和收敛困难等问题。
04
启发式算法
启发式算法简介
启发式算法是一种基于经验和 直观的求解方法，通过模拟或 借鉴人类的决策过程来寻找问 题的近似解。
它通常比精确算法更高效，适 用于大规模、复杂的问题。
03
动态规划
将问题分解为若干个子问题，通 过求解子问题的最优解来得到原 问题的最优解。
04
优化算法的应用场景
物流配送
优化车辆路径、货物配载、配送中心选址等 问题。
城市交通
优化航班计划、航线规划、机场调度等问题 。
航空运输
优化公交线路、出租车调度、交通信号灯控 制等问题。
铁路运输
优化列车运行计划、车站调度、货物配载等 问题。
目标
运输网络优化的目标是提高运输网络的效率、降低运输成本、减少运输过程中的环境污染、提高运输安全性等 。
汇报人：可编辑 2024-01-06
目录
• 运输网络优化概述 • 线性规划算法 • 非线性规划算法 • 启发式算法 • 元启发式算法 • 多目标优化算法
01
运输网络优化概述
定义与目标
定义
运输网络优化是指通过数学模型和算法，对运输网络进行优化，以实现运输成本降低、运输效率提高、运输过 程环保等目标。
运输网络优化问题通常涉及到如何选择最佳的 运输路径、分配运输量以及选择运输方式等， 以最小化运输成本或最大化运输效率。
线性规划算法可以用于解决这些问题，通过建 立相应的线性方程组来表示运输网络优化问题 ，并求解得到最优解。
在实际应用中，线性规划算法可以用于车辆路 径问题、货物配载问题、物流配送问题等。
缺点
非线性规划算法的求解过程通常比较复杂，需要大量的计算资源和时间；同时 ，对于大规模问题，非线性规划算法可能面临计算瓶颈和收敛困难等问题。
04
启发式算法
启发式算法简介
启发式算法是一种基于经验和 直观的求解方法，通过模拟或 借鉴人类的决策过程来寻找问 题的近似解。
它通常比精确算法更高效，适 用于大规模、复杂的问题。
03
动态规划
将问题分解为若干个子问题，通 过求解子问题的最优解来得到原 问题的最优解。
04
优化算法的应用场景
物流配送
优化车辆路径、货物配载、配送中心选址等 问题。
城市交通
优化航班计划、航线规划、机场调度等问题 。
航空运输
优化公交线路、出租车调度、交通信号灯控 制等问题。
铁路运输
优化列车运行计划、车站调度、货物配载等 问题。
目标
运输网络优化的目标是提高运输网络的效率、降低运输成本、减少运输过程中的环境污染、提高运输安全性等 。
033-034不平衡的运输问题-精品文档
m
x ij b j ( j 1 , 2 , , n )
i1
x ij 0
由于供不应求，则应设想一个虚拟产地 Am+1，并 让虚拟产地 Am+1 来供给销地 Bj 所需物资差额。 虚拟产地 Am+1 的产量为：
n
m
am1 bj ai
j1
i1
由于销地实际上不能从虚拟产地Am+1得到供应， 故其运价应该是高额的，令
例3：某公司经销某产品，该公司具有3个加工厂，每 日的产量分别为：A1（7t）,A2（4t）,A3（9t）.该公司 把这些产品分别运往4个销售点，各销售点的每日销 售量为： B1（3t）,B2（6t）, B3（5t）,B4（6t）. 现在假定：1、每个工厂生产的产品不一定直接发运 到销售地点，可以其中几个产地集中一起运；2、运 往各销售地点的产品可以先运给其中的一些销地，再 转运给其它销地；3、除了产、销地之外，中间还可 以设置几个转运站，作为在产地之间、销地之间或者 产销地之间进行转运。下表为单位运价表，问该公司 应该如何调运产品，在考虑直接与非直接运输的各种 可能方案下，以及满足各地需要量的前提下，使每天 的总运费达到最少？
1
2
E
0
3
-3
F
1
0
1
为了使配备的船只数最少，应做到周转的空 船数最少。因此建立相应的运输问题模型， 即产销平衡表与单位运价表.
建立运输问题模型为：
A
B
E
余船
C
2
3
5
2
D
14
13
17
2
F
7
8
3
1
3-1运输问题模型与性质
A 的秩小于m+n； ？
由 A 的第二至m+n行和前n列及 x21, x31,, xm1
对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
3.2 运输问题的求解方法
• 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1 • 基变量的个数远小于决策变量的个数 • 采用表上作业法，称为位势法和踏石法 • 运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
u1 u1
v1 v2
w11 w12
u1
u2
v1
v3 w13 w21
u2
v2
w22
u2
v3 w23
u1 , u2 , v1 , v2 , v3 不 限
25
位势法的原理
• 为满足互补松弛条件，原问题中xij被选为基变量，即xij0， 则要求对偶问题中ui+vj=wij，即该行的松弛变量为0
销地
运费
1 2n
产地
1
w11 w12 w1n
2
w21 w22 w2n
m
wm1 wm2 wmn
19
3.2.1 寻找初始可行解的方法
1、西北角法
– 从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 – xij 的分配公式
xij
min
(ai (b j
i j
行已分配的总量 列已分配的总量
) )
i 行尚余物资量 j 列待分物资量
分配表{xij}
20 11 3 6
5
5
II 5 9 10 2
10
18 7 (4) 1
x33 12 15
由 A 的第二至m+n行和前n列及 x21, x31,, xm1
对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
3.2 运输问题的求解方法
• 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1 • 基变量的个数远小于决策变量的个数 • 采用表上作业法，称为位势法和踏石法 • 运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
u1 u1
v1 v2
w11 w12
u1
u2
v1
v3 w13 w21
u2
v2
w22
u2
v3 w23
u1 , u2 , v1 , v2 , v3 不 限
25
位势法的原理
• 为满足互补松弛条件，原问题中xij被选为基变量，即xij0， 则要求对偶问题中ui+vj=wij，即该行的松弛变量为0
销地
运费
1 2n
产地
1
w11 w12 w1n
2
w21 w22 w2n
m
wm1 wm2 wmn
19
3.2.1 寻找初始可行解的方法
1、西北角法
– 从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 – xij 的分配公式
xij
min
(ai (b j
i j
行已分配的总量 列已分配的总量
) )
i 行尚余物资量 j 列待分物资量
分配表{xij}
20 11 3 6
5
5
II 5 9 10 2
10
18 7 (4) 1
x33 12 15
松弛变量模型
松弛变量模型松弛变量模型是一种操作研究中常用的数学建模方法，主要用于解决约束条件较为复杂的优化问题。
该模型允许将原始问题的约束条件转化为松弛条件，使得问题更易于求解。
下面将对松弛变量模型的基本原理、应用领域和解决步骤进行详细阐述。
首先，我们来介绍一下松弛变量模型的基本原理。
所谓松弛变量，即在原始问题的约束条件中引入的新变量，它代表了约束条件的松弛程度。
通过引入松弛变量，原始问题的约束条件可以被放松为较为宽松的形式，从而得到一个更简单的数学模型。
这个简化后的模型通常更容易求解，且能够得到原始问题的一个可行解。
松弛变量模型的应用领域非常广泛。
在生产和运输领域，松弛变量模型可以应用于生产调度、库存管理、分配问题等。
在工程和建筑领域，松弛变量模型可以应用于项目管理、资源分配等。
在金融和投资领域，松弛变量模型可以应用于资产配置、风险管理等。
在运筹学和决策科学领域，松弛变量模型可以应用于最优化、线性规划等问题的求解。
解决松弛变量模型的步骤如下：1. 定义问题：首先明确问题的目标，确定决策变量、约束条件和目标函数。
2. 引入松弛变量：根据约束条件的性质，将其转化为松弛条件。
例如，如果约束条件是“小于等于”关系，则引入一个非负松弛变量来表示约束条件的松弛程度。
3. 构建数学模型：将引入松弛变量后的约束条件和目标函数转化为数学表达式。
通常使用代数符号和线性方程组来表示。
4. 求解模型：使用数学规划方法求解构建的数学模型，例如线性规划、整数规划等。
这些方法可以通过计算机软件进行求解。
5. 解释和分析结果：得到最优解后，对结果进行解释和分析。
通过分析松弛变量的取值可以了解原始问题的约束条件的松弛程度，从而评估解的可行性和解决方案的有效性。
总的来说，松弛变量模型是一种有效的数学建模方法，可以帮助我们解决约束条件较为复杂的优化问题。
通过引入松弛变量，我们可以将原始问题的约束条件转化为松弛条件，从而得到一个更易于求解的简化模型。
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ｔ ｎｍｅｈ ｄ ｉ ｇｖ ｎ ｉ ｈｓｐ ｐ ｒｆｒｓｅ ｉｇ８１ｏ ｔ ｍ ｏｕ ｏ ｆｔ ｎ ｐ ｒ ｔ ｎ ｐｏ ｌｍｓｉ ｏｓ ｉ ｔｏ ｉｅ ｔｉ ａ ｅ ｅ ｋｎ ／ ｐｉ ｏ ｓ ｎ ｏ ｍｕ ｓｌｔ ｎ ｏ ａ ｓ ｔ ｉ ｒｂｅ ｎ ａｌｏｅ ｉ ｒ ｏ ａｏ
的。本文通过对紧约束模型最优解改进而得到了一种有效的求松约束模型运输问题最优解的方法。经 研究发现 ， 在用此方法求得的最优解的基础上， 不能再找到一个 比其运费更小的调运方案 ， 从而通 过这 种 方法 解决 了运输 问题 中 的“ 多反 而少 ” 现象 。
１ 算 法
１１ 建立数 学模 型 ．
ｃ ｎ ｔ ｉ ｔ ｄ ｌｗ ｔ ｎ ｍｅ ｔｒ ｉａ ｉｎ ｓ ｌ ｔ ｎ． ｏ ｓｒ ｎ ａ ｍｏ ｅ ｉ ｌ ｅ ｔ ｍ ｎ ｔ ｏｕｉ ｝ｏ ｉ ｅ ｏ ｏ
Ｋ ｗｏ ｄ ：ｏ ｓ ｏ ｓ ａｎ ｄｌ ｏ ｔ ｍ ｏｕ ｏ ｔ ｎｐ ｒ ｔ ｎｑ ａ ｔｙ ｔ ｎ ｐ ｒ ｔ ｎｃ ｓ ｒ ｓ ｌｏｅ ｃｎｔ ｉｔ ｒ ｍｏ ｅ；ｐｉ ｍｕ ｓｌｔ ｎ； ａ ｓ ｔ ｉ ｕ ｎｉ ；ｒ ｓ ｔｉ ｏｔ ｉ ｒ ｏ ａｏ ｔ ａ ｏ ａｏ
蜀 ≥Ｏ ｉ ， ， ＿ ， ， ＝１ … ｍ， ＝１ … 凡 『
其 中 是从 Ａ 到 的调运 量 。 ｆ
为 于 算 骤 讨 ，们 规 ： 聋 便 计 步 的 论我 先 定聋
１ ２ 计 算步 骤 ．
第１ ： 步 把模型 Ｌ Ｉ Ｐ 变为如下模型 Ｌ２ 并用文献［ ］ Ｐ， １中的方法求得该模型的最优解 。
条件 ， 即用不等式代替等式作为约束条件来建立数学模型。此松约束模 型的可行域包含 了紧约束模型 的可行域 ， 从而使松约束模型下最优调运方案的总运费不高于原模型的总运费 ， 总运量不小于原模型下 的总运量。由于文献［］ １中的方法对松约束条件求解 时需要加入新的收点和发点 ， 从而增大计算量。而 文献 ［］ ２并未给出具体 的算法 ， 因此 ， 寻找一种新的直接解决松约束模 型运输问题最优解的方法是必要
Ａ ｅｈｏ ｏ ｏ ｖｎ ｈ ｒ ｎ ｐ ｒａ ｉ ｎ ｐ ｏ ｌｍ ｍ ｔ ｄ ｆ ｒ ｓ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ ｔ ａ ｓ ｏ ｔ ｔｏ ｒ ｂ ｅ
ｉ ｏ ｓ ｏ ｓ ｒ ｉ ｔｍ ｏ ｅ ｎ ａ ｌｏ ｅｃ ｎ ｔａｎ ｄ ｌ
ＣＨＥ Ｚ ａ －ｈ ｕ， ＮＧ － ｏ ｇ Ｎ ｈ ｎ ｓ ｏ ＸＩ Ｙｕ ｈ ｎ
维普资讯
第 １期
陈 占寿 ， 玉红 ： 约束模 型运 输 问题 的 一种解 法 邢 松
５ ３
此 问题 的数学 模 型 Ｌ １ ： Ｐ为
ｍｉ ｎＺ ＝ ∑ ∑ ｃ ｉ 『
ｉ
＝
ｌ＝ ｌ ｊ
ｓ ． ≥ －聋 ￡
＝， ｍ １ …，
聋西≥ ＿ １ 凡 『， ＝ …，
维普资讯
第２卷 ６
第１ 期
青 海 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｉ ｏｒａ ｏ ｎ Ｑ Ｕ ｉ ｒｔ（ ａ ｒ Ｓｉ ｃ） ｎ ｅ ｉ Ｎ ｔ ｅ ｃ ｎｅ ｖ ｓｙ ｕ ｅ
ｖｏ ＿ ６ Ｎｏ． ｌ２ Ｉ Ｒ由 ． ０ ８ ２ｏ
Ａ ２
’ ● ●
Ｃｊ ２
Ｃ
…
Ｃｎ ２
≥ ａ ２
需求量分别至少为 ６，＝１…， ， Ａ 到 ｊ『 ， ｒ 从 ｆ ． ｇ 的单位物资运费为 ｃ （ 见表 １。 ）
Ａ
１
Ｃ 椒
…
Ｃ
≥ 口 ｍ
销量
≥
≥
…
≥
收稿 日期 ：０７— ７— ０ ２０ ０ ２
作者简介： 占寿（ ８・ ） 男， 陈 １ ２ ， 青海互助人 ， 师， 士。 ９ 讲 硕
运输问题的表上作业法ｕ是解决运输问题的有效方法 ， ｊ 但有 时会存在最优调运方案是最省运费的
调运方案 ， 可对有些运输问题 ， 以找到相对于用文献 ［］ 可 １中的方法求得的最优解来说 ， 运量更大而运费 更小的调运方案 ， 我们称之为“ 多反而少” 现象【 。为解决此问题 ， ２ ｊ 卢厚清等在文献 ［］ ２ 中提 出： 用松约束
２０ 年 ２月 ０８
松 约束模 型 运 输 问题 的 一 种解 法
陈 占寿 ， 玉红 邢
（ 青海师范大学 数学 与信息科学系 ， 青海 西宁 ８ ０８ １ ０） ０
摘要 ： 中以紧约束模型运输问题的最优解为基础 ， 文 给出了一种解具有一次终止性的求解松约
束模 型运 输 问题 最优 解 的计 算方 法 。 关键 词 ： 约束模 型 ； 松 最优 解 ； 量 ； 费 运 运 中图 分类号 ： ２１４ Ｏ ２ ． 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：０６—８９（０８０ —０５ —０ １０ ９６ ２０ ）１ ０２ ４
（ ｔ ｍ ｔｓ ｎ ｆｒａｏ ｃ ｎｅＤｐｒ ｅｔ ｆ ｍｓ￣ Ｎｎ ｎｖｒｔ，ｉｉ １０８ Ｃｉａ Ｍａ ｅ ａｃ ｄＩｏｍ ｔｎＳｉ ｃ ｅａｍ ｎ ｈ ｏｍｌ ｉ ｓｙＸｎ ｇ８００ ，ｈｎ） ｈ ｉ ａ ｎ ｉ ｅ ｔ ｏＱ Ｕ ｅｉ ｎ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｂ ｓ ｄ ｏ ｅ ｏ ｔ ｍ ｈｔ ｎ ｏ ａ ｓ ｏ ｔｔ ｎ ｐ ｏ ｌｍ ｎ ｅ ｃ ｎ ｔ ｉ ｔ ｏ ｅ ， ａｃ ｌ ． ｓｒ ｃ ： ａ ｅ ｎ ｔ ｐ ｉ ｈ ｍｕ ｓ ｉ ｆ ｒ ｎ ｐ ｒ ｉ ｒｂ ｅ ｉ ａ ｔ ｓ ｏ ｓ ａｎ ｄ ｌ ａ ｃ ｌ ａ ｏ ｏ ｔ ａｏ ｎ ｅ ｒ ｍ ｕ
表 １ 运 输模 型表
运 ＼ 销
＼
曰２
…
产 量
已知 ｍ 个生产地 Ａ， ＝１ …， 可 ｉ ， ｍ， 供应某种物资 ， 其供应量分别至少为 ａ， ｉ
＝１… ， 有 ｒ个 销地 ， ， ｍ， ｇ ＝１… ，ｇ其 ， ｒ ，
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