2019学年河北省高二上周考数学试卷【含答案及解析】
河北省2019-2020学年高二上学期期末数学试题
绝密★启用前 河北省2019-2020学年高二上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．命题“2x ∀>，240x -≥”的否定是（ ） A ．2x ∀≤，240x -< B ．2x ∀>，240x -< C ．02x ∃≤，0240x -< D ．02x ∃>，0240x -< 2．双曲线22143x y -=的渐近线方程是（ ） A ．34y x =? B ．43y x =± C ．2y x =± D ．3y x =± 3．()()13i i --在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x 轴上，且焦距为则m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5．将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（ ） A ．事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌” B ．事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌” C ．事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”……○…………装…※※请※※不※※要※……○…………装…6．若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离是5，则点P 到x 轴的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．记一个三位数的各位数字的和为M ,则从M 不超过5的三位奇数中任取一个,M 为偶数的概率为( ) A ．513 B ．512 C ．413 D ．13 8．已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x y a b -=(0a >,0b >)交于A ,B 两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为( )A ．43 B ．2 C D 9．已知点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，则“m =P 到直线l ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动,将竞赛成绩按照[)80, 90,[90,100),… ,[140,150]分成7组,得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图.下列说法正确的是( )①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为110; ②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3; ③若该商场有1000名职工,考试成绩在110分以下的被解雇,则解雇的职工有400人; ④若该商场有1000名职工,商场规定只有安全知识竞赛超过140分(包括140分)的人员才能成为安全科成员,则安全科成员有50人.A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④11．现有下列四条曲线：…………装…学校:___________姓名：…………装…①曲线22x y e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x =+；④曲线32y x x =--. 直线2y x =与其相切的共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 12．已知双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上.若12PF F ∆为钝角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．()9,+∞ B ．(()9,+∞U C ．(()9,+∞U D ．( 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．抛物线22y px =(0p >)的焦点坐标为1(,0)8,则p =__________. 14．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11A E xAA yAB zAD =++u u u v u u u v u u u v u u u v ，则x y z ++=______. 15．已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若()()0h a g a <,则a 的取值范围为__________. 16．已知在三棱锥P ABC -中，1PA AB BC ===，AC PB ==PC =，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是__________. 三、解答题………订…………○※线※※内※※答※※题※※………订…………○17．已知:p函数()()xf x a m=-在R上单调递减，:q关于x的方程22210x ax a-+-=的两根都大于1.（1）当5m=时，p是真命题，求a的取值范围；（2）若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围.18．为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均数；（2）在这12名学生中从测试成绩介于80~90之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率.19．某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交50元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足1升的,按0升计算(如剩余1.7升,记为剩余1升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为2升,则该桌的每位客人还应付50 1. 25010⨯-=元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的5组数据(),x y(其中x表示饮酒人数,y(升)表示饮酒量):()1,0.8,()2,1.5,()3,2. 5,(4,3.2),()5,4. 5.（1）求由这5组数据得到的y关于x的回归直线方程;（2）小王约了5位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了8升啤酒,这时,酒吧……订…………________考号：_________……订…………服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请1位或2位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议？ 参考数据:回归直线的方程是y bx a =+$$$,其中1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑$,a y bx =-$$. 20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC 的中点. （1）证明：BC ⊥平面1A AD . （2）若1A AD ∆是等边三角形，求二面角1D AA C --的正弦值. 21．已知函数()2ln x f x x =. （1）求()f x 的单调区间； （2）若函数()()g x f x a =-在123e ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求a 的取值范围. 22．已知椭圆2222:1x y W a b +=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u u v u u u u v ，且1167PF PQ ⋅=-u u u v u u u v . （1）求W 的方程； （2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △.参考答案1．D【解析】【分析】任意改存在，x 改为0x ，否定结论即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故其否定为：02x ∃>，0240x -<故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定.2．C【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，即可求解.【详解】由题意可得2a =，b =x 轴上，故其渐近线方程是y x =. 故选:C.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．D【解析】【分析】先对复数()()13i i --进行乘法运算,整理至z a bi =+的形式,即可得出复数在复平面内对应的象限.【详解】解：因为()()1324i i i --=-,所以()()13i i --在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算及复平面,考查运算求解能力.4．C【解析】【分析】由方程表示焦点在x 轴上的椭圆，可得2a 和2b ，再根据焦距计算出具体值，进行取舍.【详解】因为是焦点在x 轴上的椭圆，故22132,1a m b m =-=-，又2c =故()13212m m ---=，解得4m =.故选：C.【点睛】本题考查椭圆方程，涉及22,a b 的识别，属基础题.5．C【解析】对于A ，事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生，不是互斥事件；对于,B 事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生，不是互斥事件；对于D ，事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”能同时发生，不是互斥事件；但C 中的两个事件不可能发生，是互斥事件，故选C.6．C【解析】【分析】由抛物线定义，可知点到准线的距离，再进行适当变换即可求得.由题意可得4p =，因为点P 到准线2y =-的距离等于到焦点的距离5，故则点P 到x 轴的距离是523-=.故选：C .【点睛】本题考查抛物线的定义，属抛物线基础题.7．A【解析】【分析】根据题意写出满足条件的三位数,即可求得答案.【详解】Q 三位数的各位数字的和不超过5∴满足条件的三位数有:101,111,121,131,201,211,221,301,311,103,113,203,401,共13个,其中M 为偶数的三位数有101,121,211,301,103,故所求概率为513. 故选:A.【点睛】本题主要考查了古典概型问题的概率,解题关键是掌握概率求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8．D【解析】【分析】根据点()1,4P 是弦AB 的中点,AB 两点横坐标之和等于2,联立直线和双曲线的方程,求出b a的值,即可求得答案.设()()1122,,,A x y B x yQ 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩ Q A ,B 两点在直线l :20x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=- Q ,A B 两点在双曲线C 上 ∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+- 解得:2b a=∴c e a ===故选:D.【点睛】此题考查根据直线与双曲线的交点坐标关系求解离心率,解题关键是掌握双曲线直线交点问题的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9．B【解析】【分析】“点P 到直线l”解得：m =±.【详解】点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，考虑“点P 到直线l ” 设()[)2cos ,sin ,0,2P θθθπ∈，点P 到直线l 的距离d ϕϕ===点P 到直线l ()m θϕ++的最小值()m θϕ++符号恒正或恒负， ()m m m θϕ⎡++∈+⎣当0m +<时，m =-，当0m >时，m =综上所述：m =±所以“m =P 到直线l ”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围. 10．B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图,逐项判断,即可求得答案. 【详解】对于①,由频率分布直方图知众数估计值为:1101201152+=,故①错误; 对于②,设为x ,则0.0050100.0150100.020010(110)0.0300.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=解得113.3x ≈,故②正确;对于③,考试成绩在110分以下的有1000(0.0050.0150.02)10400⨯++⨯=人,故③正确; 对于④,安全知识考试超过140分(包括140分)的人员有10000.00251025⨯⨯=人,则安全科成员有25人,故④错误. 故选:B.本题考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】先求出直线2y x =的斜率为2k =,然后对曲线函数求导,代入2k =求切点,如果切点在2y x =,即直线与曲线相切,即可求得直线2y x =与四条曲线相切的共有几条.【详解】解：直线2y x =的斜率为2k =,①若()22xf x e =-,则由()2e 2xf x '==,得0x =,点()0,0在直线2y x =上,则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；②若()2sin f x x =,则由()2cos 2f x x '==,得()2x k k π=∈Z ,()20f k π=,则直线2y x =与曲线2sin y x =相切；③若()13f x x x =+,则由()2132f x x'=-=, 得1x =±,()1,4,()1,4--都不在直线2y x =上, 所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； ④若()32f x x x =--,则由()2312f x x '=-=, 得1x =±,其中()1,2--在直线2y x =上,所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切.故直线2y x =与其相切的共有3条. 故选：C 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理与数学运算的核心素养. 12．C【分析】根据双曲线的几何性质124PF PF -=，结合余弦定理分别讨论当12,,P F F 为钝角时12PF PF +的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点P 在双曲线C 上第一象限部分即可. 【详解】由题：双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，必有124PF PF -=，若12PF F ∆为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点P 在双曲线第一象限部分：当12F PF ∠为钝角时，在12PF F ∆中，设21,1,4PF P x x F x >==+，()1245PF F P x x ⋅=+>有1222122PF F F P F +<，()122121222PF F PF F F P F P -+⋅<，即1216236PF PF +⋅<，1210PF F P ⋅<， 所以12510P PF F <⋅<(12PF PF +==；当212PF F π∠=时，2PF 所在直线方程3x =，所以53,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，21513,22PF PF ==，129PF PF =+，根据图象可得要使212PF F π>∠，点P 向右上方移动，此时129PF PF >+，综上所述：12PF PF +的取值范围是(()9,+∞U . 故选：C 【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想. 13．14【解析】 【分析】根据抛物线定义,即可求得答案. 【详解】Q 22y px =(0p >),焦点坐标为1(,0)8∴128p =,解得:14p =. 故答案为:14. 【点睛】本题主要考查了根据抛物线焦点求抛物线方程,解题关键是掌握抛物线定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 14．0 【解析】 【分析】根据向量的运算法则11A A A AB BE E =++u u u r u u u r u u u r u u u r依次代换成11A xAA yAB zADE =++u u u r u u u r u u u r u u u r 形式，即可得出未知数的值. 【详解】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，所以11A A A AB BE E =++u u u r u u u r u u u r u u u r 112A A AB BD =++u u u r u u u r u u u r()112A A AB BA AD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r11122AA AB AD =-++u u u r u u u r u u u r由题：11A xAA yAB zADE =++u u u r u u u r u u u r u u u r 所以111,,22x y z =-== 即0x y z ++=. 故答案为：0 【点睛】此题考查空间向量的基本运算，根据线性运算关系依次表示出所求向量即可. 15．()()1,01,-⋃+∞ 【解析】 【分析】 令()()()h x F x g x =,根据当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<可得()0F x '<,因此函数()F x 在0x <时单调递减,又()F x 为奇函数,由于()10h -=,可得(1)(1)0F F -==,即可求得答案. 【详解】 ①令()()()h x F x g x =. Q 当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<,∴()()()()2()()0h x g x h F x g x x g x '=''-<∴函数()F x 在0x <时单调递减；()10h -=Q ,(1)(1)0F F ∴-==∴()0F a <的解集为()1,0-②Q 函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数∴()()()()()()h x h x F x F x g x g x --==-=--∴()F x 是R 上的奇函数,∴当0x >时,()0F a <的解集为(1,)+∞综上所述,不等式()()0h a g a <的解集为:()()1,01,-⋃+∞. 故答案为:()()1,01,-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,解题关键是掌握根据题意构造函数的方法和由导数判断函数单调性的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16【解析】 【分析】由勾股定理推导出,,AB BC PA AB PA AC ⊥⊥⊥,从而PA ⊥平面ABC .以A 为原点,在平面ABC 中,过A 作AC 的垂线为x 轴,AC 为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求出异面直线PC 与AB 所成角的余弦值,即可求得答案. 【详解】Q在三棱锥P ABC -中,1,PA AB BC ===AC PB ==PC =.222222222,,AB BC AC PA AB PB PA AC PC ∴+=+=+=,,AB BC PA AB PA AC ∴⊥⊥⊥AB AC A ⋂=Q ∴PA ⊥平面ABC以A 为原点,在平面ABC 中,过A 作AC 的垂线为x 轴,AC 为y 轴,AP 为z 轴, 建立空间直角坐标系如图:则(0,0,0),,22A B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,(0,0,1)C P .∴,1)22AB PC ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r设异面直线PC 与AB 所成角为θ,∴cos ||||AB PC AB PC θ⋅=⨯u u u r u u u ru u ur u u u r3==∴异面直线PC 与AB故答案为【点睛】本题主要考查了由向量法求异面直线夹角的余弦值,解题关键是掌握向量法求异面直线夹角的解法和向量数量积公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 17．（1）（5,6）；（2）2m ≥. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性，要使函数()()5xf x a =-在R 上单调递减，只需051a <-<，即可求出命题p 为真时参数范围；（2）先求出命题p 为真时a 的取值范围，求出方程22210x ax a -+-=的两根分别为1a -和1a +，由命题q 为真，得出2a >，根据命题,p q 的关系，即可求解. 【详解】（1）因为5m =，所以()()5xf x a =-因为p 是真命题，所以051a <-<，所以56a <<. 故a 的取值范围是（5,6）；(2)若p 是真命题，则01a m <-<，解得1m a m <<+. 关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根分别为1a -和1a +. 若q 是真命题，则11a ->，解得2a >.因为p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，所以2m ≥. 【点睛】本题考查命题为真以及命题间充分不必要条件，求参数的取值范围，属于基础题. 18．（1）86,80.5；（2）35. 【解析】 【分析】（1）找出茎叶图中出现次数最多的数为众数，根据平均数公式，即可求得平均数； （2）在被抽取的学生中，有2个“达标”学生，4个“未达标”学生，按达标和不达标两类编号，列出从6人中任取2人的所有情况，统计出满足条件的基本事件的个数，根据古典概型的概率公式，即可求解. 【详解】(1)这组数据的众数为86； 平均数为5164667885863872929880.512+++++⨯+⨯++=.(2)在被抽取的学生中，有2个“达标”学生，4个“未达标”学生， 将“达标”学生编号为A ，B ，“未达标”学生编号为a ，b ，c ，d ， 则从6人中任取2人,有以下情况：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),B d ， (),A B ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d .共15种.其中符合条件的为(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),B d ，(),A B ，共9种.故至少有1人“达标”的概率93155P ==. 【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，考查古典概型的概率，属于基础题. 19．（1）$0.910.23y x =-；（2）接受 【解析】 【分析】（1）计算出x ,y ,结合所给数据,计算出b$,进而求得$a ,即可求得答案; （2）小王和5位朋友共6人大约需要饮酒0.9160.23 5.23⨯-=升,若不再邀请人,则剩余酒量8 5. 23 2.77-=升,酒吧记为剩余2升,预计需要支付506120%360⨯⨯=元,结合已知,即可求得答案. 【详解】 （1）1234535x ++++==,0.8+1.5+2.5+3.2+4.5 2.55y ==,51522146.637.50.91554555i ii i i x y x yx xb==-===---∑∑$,$ 2.50.930.23ay bx =-=-⨯=-$, ∴回归直线方程为$0.910.23y x =-.（2）小王和5位朋友共6人大约需要饮酒0.9160.23 5.23⨯-=升, 若不再邀请人,则剩余酒量8 5. 23 2.77-=升,酒吧记为剩余2升, 预计需要支付506120%360⨯⨯=元;若再邀请1人,大约需饮酒0.9170.23 6.14⨯-=升,剩余酒量8 6.14 1.86-=升, 酒吧记为剩余1升,预计支付5071350⨯⨯=元;若再邀请2人,大约需饮酒0.9180.237. 05⨯-=升,剩余酒量87. 050.95-=升, 酒吧记为剩余0升,预计支付50890%360⨯⨯=元.∴应该接受建议,且再邀请1位朋友更划算.【点睛】本题主要考查了求回归直线方程,解题关键是掌握求回归直线方程的方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20．（1）证明见解析，（2）13【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一证明1BC A D ⊥和BC AD ⊥即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量求解二面角. 【详解】（1）证明：连接1A B .因为11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，11AA AA =，所以11A AB A AC ∆≅∆，所以11A B A C =. 因为D 为BC 的中点，所以1BC A D ⊥.因为D 为BC 的中点，且AB AC =，所以BC AD ⊥. 因为1A D AD D =I ，所以BC ⊥平面1A AD .（2）解：取AD 的中点O ，连接1A O ，因为1A AD ∆是等边三角形，所以1A O AD ⊥. 由（1）可知BC ⊥平面1A AD ，则BC ，AD ，1A O 两两垂直，故以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过O 作BC 的平行线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.因为底面ABC 是边长为4的等边三角形，所以AD =因为1A AD ∆是等边三角形，所以13A O =.所以)A ，()10,0,3A，()B，()2,0C -，则()1AA =u u u r，()2,0AC =--u u u r . 设平面1AA C 的法向量(),,n x y z =r ，则13020n AA z n AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令1z =，得)3,1n =-r . 易知平面1A AD 的一个法向量为()0,4,0BC =-u u u r ， 记二面角1D AA C --为θ，则cos n BC n BCθ⋅===r u u u r r u u u r故sin θ==【点睛】此题考查线面垂直的证明和建立空间直角坐标系利用向量求解二面角的大小.21．（1）()f x 的单调递减区间为()0,1，(，单调递增区间为)+∞（2）{}243322e e e ⎛⎤⋅ ⎥⎝⎦U 【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的定义域,然后对函数求导,令导等于0,得出x =判断导在区间内的正负,即可得出函数的单调性. （2）令()0g x =,得()f x a =.根据函数在123e ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点,得31233f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()422e f e =,且24332e e >,又2f e =,即可得a 的取值范围为.【详解】解：（1）()f x 的定义域为()()0,11,+∞U ,()()22ln 1ln x x f x x-'=,令()0f x ¢=,则x =在()(0,1U 上,()0f x ¢<；在)+∞上,()0f x ¢>.所以()f x 的单调递减区间为()0,1,(,单调递增区间为)+∞. （2）由()0g x =,得()f x a =. 因为31233f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()422e f e =,且24332e e >,又2f e =,所以a 的取值范围为{}243322e e e ⎛⎤⋅ ⎥⎝⎦U . 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性,利用导数和函数零点求参数,属于中档题.22．（1）2214x y +=；（2. 【解析】【分析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，由已知227PF F Q =u u u u r u u u u r ，求得Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得2234c a =；再由1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，求得222c b -=，结合222a b c =+，求出,a b 值，即可求得结论；（2）先讨论直线2l 斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线2l 的方程为(()0y k x k =≠，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出||MN ；再将直线1l 方程1=-y x k 与椭圆联立，求出2CD ，由26CD MN =求出k 的值，进而求出||CD ，再求出点2F 到直线CD 的距离，即可求解.【详解】（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =u u u u r u u u u r ，∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∵Q 在W 上， 将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22221x y a b+=，得2234c a =. 又∵1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，∴24a =，21b =，W 的方程为2214x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意；当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意.∴可设直线2l的方程为(()0y k x k =≠,联立(22,1,4y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()2222411240k x x k +++-=，则212241x x k -+=+，212212441k x x k -=+.()2241||41k MN k +==+.由221,1,4y x k x y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()222161||4k CD k +=+. 又∵26||||MN CD =，∴()()2222241161444k k k k ++=++，∴22k =，∴||CD =∵2F 到直线CD 的距离1d ==，∴2112F CD S =⨯⨯=△. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设直线方程时要注意特殊情况，要熟练掌握求相交弦长的方法，考查计算能力，属于较难题.。
2019-2020学年河北省高二年级上学期期末考试数学答案
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高二数学试题参考答案
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2019学年河北省高二上期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年河北省高二上期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 命题“存在使得”的否定是（）A. 不存在使得________B. 存在使得C. 对任意_________________________________D. 对任意3. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．______________________________ B．___________________________________ C．_________________________________ D．4. 设是等差数列. 下列结论中正确的是（）A．若，则___________________________________ B．若，则C．若，则___________________________________ D．若，则5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为（）A. _________________________________B._________________________________ C. D.6. 执行此程序框图，若输入的分别为1，2，3，则输出的（）A. ______________________________B._________________________________ C. ___________________________________ D.7. 若满足约束条件，则的最大值为（）A. _________________________________B._________________________________ C. D.8. 已知双曲线：的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A. ____________________________B. ______________________________C.___________________________________ D.9. 已知若 ,则的值为（）A. ____________________________B. ____________________________C.D.10. 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A. ____________________________B. ____________________________C.____________________ D.11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且 ,则此棱锥的体积为（）A. ________________________B. ____________________________C.___________________________________ D.12. 已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A．______________________________ B．______________________________ C．___________________________________ D．二、填空题13. 曲线在点处的切线平行于轴,则________________________ .14. 双曲线的离心率为 , 则等于________________________ .15. 一个几何体的三视图如图所示（其中侧视图的下部是一个半圆），则该几何体的表面积为________________________ .16. 已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是________________________ .三、解答题17. 设的内角的对边分别为，若，且，求及的面积.18. 设数列的前n项和为 .已知 .（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前n项和 .19. 某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（2）从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为，求事件“ ”概率．20. 已知函数在处取得极值.（1）确定的值；（2）若，讨论的单调性.21. 直三棱柱中，，分别是的中点，，为棱上的点．（1）证明：；（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．22. 已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且 ,求四边形面积的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
河北省部分重点中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
河北省部分重点中学19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=2+ii的虚部是()A. 2B. 2iC. −2D. −2i2.命题“∀x∈(0,1),x2−x<0”的否定是()A. ∃x0∉(0,1),x02−x0≥0B. ∃x0∈(0,1),x02−x0≥0C. ∀x0∉(0,1),x02−x0<0D. ∀x0∈(0,1),x02−x0≥03.下列说法正确的是()A. 任何事件的概率总是在(0,1]之间B. 频率是客观存在的，与试验次数无关C. 随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D. 概率是随机的，在试验前不能确定4.已知焦点在y轴上的椭圆方程为x210−m +y2m−1=1，若该椭圆的焦距为2√6，则m为()A. 172B. 8 C. 52D. 105.曲线y=x2−1在x=1处的切线方程为()A. 2x+y−2=0B. 2x−y−2=0C. x−y−1=0D. x+y−1=06.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是()A. 3B. 2C. 4D. 17.设某中学的高中女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为ŷ=0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是()A. y与x具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点(x,y)C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg8.已知直线l：x−y+2=0与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，点P(1,4)是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为()A. 43B. 2C. √52D. √59. 在一次数学竞赛中，高一⋅1班30名学生的成绩茎叶图如图所示：若将学生按成绩由低到高编为1−30号，再用系统抽样的方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[73,90]上的学生人数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6 10. 已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l ：x =4与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，点C 在直线l 上，则“轴”是“直线AC 过线段EF 中点”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 若函数f(x)=x 3+e x −ax 在区间[0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. [0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. (−∞,1] 12. 若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为14. 如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y +z =______．15. 已知F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，且PF 1=2PF 2，∠PF 1F 2=30°，则此椭圆的离心率为________．16. 已知函数f(x)=xlnx ，g(x)=−x 2+(a +12)x +2a ，若不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）≤x≤1，命题q：x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0，命题p是命题q的充分不必要17.设命题p：12条件，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=x3−3x(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[−3,2]上的最大值和最小值．19.某校随机抽取20名学生在一次知识竞赛中的成绩(均为整数)，并绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中x的值；(2)估计这次知识竞赛成绩的合格率(60分及以上为合格)；(3)从成绩在[40,60)的学生中任选2人，求此2人的成绩在同一分组区间的概率．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠BAD=90°，△PAD为等边三角形，AB=AD=DM=2CD=2，M是PB的中点．(Ⅰ)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(Ⅱ)求直线DM与平面PBC所成角的正弦值，21.已知函数f(x)=(x−2)e x+a(lnx−x+1)．(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)若函数f(x)的最小值为−e，求a的取值范围．22.已知椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)，过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)直线l：y=kx+1与椭圆E交于C、D两点，以线段CD为直径的圆过点M(−1,0)，求直线l的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵z=2+ii =(2+i)(−i)−i2=1−2i，∴复数z=2+ii的虚部是−2．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．2.答案：B解析：本题考查全称命题的否定，属于基础题.根据全称命题的否定规律直接给出结果即可．解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈(0,1),x2−x<0”的否定是∃x0∈(0,1),x02−x0≥0．故选B．3.答案：C解析：解：在A中，任何事件的概率总是在[0,1]之间，故A错误；在B中，频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故B错误；在C中，由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故C正确；在D中，概率是客观的，在试验前能确定，故D错误．故选：C．由概率和频率的有关概念能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查频率、概率等基础知识，是基础题．4.答案：A解析：解：焦点在y轴上的椭圆方程为x210−m +y2m−1=1，则m−1>10−m>0，解得，112<m<10，椭圆的焦距为2√6，即有√(m−1)−(10−m)=√6，解得，m=172，符合条件，成立．故选A．由条件可得，m−1>10−m>0，求出m的范围，再由椭圆的焦距为2√6，列出方程，解得m，检验即可．本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．5.答案：B解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．解：∵曲线y=x2−1，∴y′=2x，∴k=2，又当x=1时，y=0，∴切线方程为y=2(x−1)，即2x−y−2=0．故选B．6.答案：A解析：本题考查抛物线的定义及标准方程，属于基础题．由题意可得点P的横坐标为2，由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x=−1的距离，由此求得结果．解：由于抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．可知：抛物线y2=4x的准线为x=−1，由抛物线的定义，可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是2−(−1)=3，故选A ．7.答案：D解析：此题考查回归分析与线性回归方程的应用问题，根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.解：由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，A 正确；由线性回归方程必过样本中心点(x,y)，因此B 正确；由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1cm ，其体重约增加0.85kg ，C 正确；当某女生的身高为160cm 时，其体重估计值是50.29kg ，而不是具体值，因此D 错误．故选D ．8.答案：D解析：本题考查了双曲线的几何意义及性质，直线与双曲线的位置关系，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l 的斜率．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据AB 的中点P 的坐标，表示出斜率，从而得到关于a 、b 的关系式，再求离心率．解：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，∵点P(1,4)是弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=8，∵直线l ：x −y +2=0的斜率为1，∴y 1−y2x 1−x 2=1． ∵A ，B 两点在双曲线C 上，∴{ x 12a 2−y 12b 2=1x 22a 2−y 22b 2=1, ∴x 12−x 22a 2−y 12−y 22b 2=0， 则b 2a 2=y 12−y 22x 12−x 22=(y 1+y 2)(y 1−y 2)(x 1+x 2)(x 1−x 2)=82×1=4，即ba =2，故双曲线C的离心率为√1+(ba)2=√5．故选D．9.答案：A解析：解：根据茎叶图得，成绩在区间[73,90]上的数据有15个，所以，用系统抽样的方法从所有的30人中抽取6人，成绩在区间[73,90]上的学生人数为6×1530=3．故选：A．根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，求出所要抽取的人数．本题考查了系统抽样方法的应用问题，也考查了茎叶图的应用问题，是基础题目．10.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和椭圆的位置关系，题目较难．根据充分条件和必要条件的定义，结合直线和椭圆的位置关系进行判断即可．解：设直线AC与x轴的交点为点N，过点A作AD⊥l，点D是垂足．因为点F是椭圆的右焦点，直线l是右准线，BC//x轴，即BC⊥l，根据椭圆几何性质，得AFAD =BFBC=e(e是椭圆的离心率)．∵AD//FE//BC．∴ENAD =CNCA=BFAB，FNBC=AFAB，即EN=AD⋅BFAB =e⋅AD⋅BCAB=AF⋅BCAB=FN．∴N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N，即充分性成立，当直线AB斜率为0时，则BC与x轴重合，此时BC//x轴不成立，则“BC//x轴”是“直线AC过线段EF中点”的充分不必要条件，故选：A．11.答案：D解析：【分析】本题主要考查利用导数解决函数的单调性以及最值问题，属于基础题．由题意可得f′(x)≥0在区间[0,+∞)上恒成立，从而转化成a≤3x2+e x在[0,+∞)上恒成立问题，通过求3x2+e x在[0,+∞)上最小值，求得结果．【解答】解：f′(x)=3x2+e x−a，令f′(x)≥0，则a≤3x2+e x在x∈[0,+∞)上恒成立，所以a≤(3x2+e x)min，而函数g(x)=3x2+e x，x∈[0,+∞)为增函数，所以g(x)min=g(0)=1，所以a≤1.故选D．12.答案：B解析：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．解：由题意，双曲线E：x29−y216=1中，a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|−|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选B．13.答案：23解析：本题主要考查古典概型的概率．解：因为已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，共有A 33=6中排法， 又因为A 与B 在相邻两天值班的排法由2A 22=4种方法，所以A 与B 在相邻两天值班的概率为 46=23．故答案为23． 14.答案：56解析：本题考查了空间向量的加减运算以及空间向量基本定理，属于基础题．将OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，再把系数相加即可．解：∵OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴x =16,y =z =13．∴x +y +z =16+13+13=56．故答案为56．15.答案：√33解析：本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．由已知结合椭圆定义求得|PF 1|=43a ，|PF 2|=2a 3，又∠PF 1F 2=30°，在△F 1PF 2中，由余弦定理列式求得椭圆的离心率．解：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ，且|PF 1|=2|PF 2|，∴|PF 1|=43a ，|PF 2|=2a 3，又∵∠PF 1F 2=30°， ∴在△F 1PF 2中，由余弦定理可得：(2a 3)2=(4a 3)2+4c 2−2·4a 3·2c ·cos30° ∴整理得：a 2−2√3ac +3c 2=0，∴(a −√3c)2=0，∴a −√3c =0，解得：e =ca =√33． 故答案为√33． 16.答案：解析： 本题考查利用导数研究函数的极值，最值从而研究不等式的解，难度较大．解：由xlnx ≤−x 2+(a +12)x +2a 且x >0，可得a ≥xlnx+x 2−12x x+2， 设ℎ(x)=xlnx+x 2−12x x+2，则ℎ′(x)=x 2+2lnx+5x−22(x+2)2． 令，则ϕ′(x)=2x +2x +5>0，所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增．由于φ(2)<0，φ(3)>0，所以ョx 0∈(2,3)，φ(x 0)=0，所以(ℎ)x 在(0,x 0)单调递减；在(x 0,+∞)单调递增．要使不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数，即a ≥ℎ(x)的解集中恰有两个整数，必须解集中的两个整数为2和3．所以a <ℎ(1)，a ≥ℎ(2)，a ≥ℎ(3)，a <ℎ(4)，解得． 故答案为．17.答案：0≤a≤12．解析：对命题q，由x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0，得a≤x≤a+1，∵p是q的充分不必要条件∴{a≤1 21<a+1或{a<121≤a+1,∴0≤a≤12．18.答案：解：(1)根据题意，由于f(x)=x3−3x，∴f′(x)=3(x+1)(x−1)．f′(x)>0，得到x>1或x<−1，故可知f(x)的单调增区间是(−∞,−1)，(1,+∞)，f′(x)<0，得到−1<x<1，故可知f(x)的单调减区间是(−1,1)；(2)当x=−3时，f(x)在区间[−3,2]取到最小值为−18．当x=−1或2时，f(x)在区间[−3,2]取到最大值为2．解析：(1)求导函数，由导数的正负，可得f(x)的单调区间；(2)利用函数的最值在极值点及端点处取得，即可求得结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)根据频率和为1，得；(0.010+0.020+0.030+0.020+x+0.005)×10=1，解得x=0.015；(Ⅱ)60分以上的频率为(0.030+0.020+0.015+0.005)×10=0.70，∴估计这次知识竞赛成绩的合格率为70%；(Ⅲ)成绩在[40,50)内的人数为0.1×20=2人，记为A、B，成绩在[50,60)内的学生有0.20×20=4人，记为c、d、e、f，从这6人中任选2人，基本事件是：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种；这2人的成绩在同一分组区间的基本事件是AB、cd、ce、cf、de、df、ef，共7种；所以这2人的成绩在同一分组区间的概率为P=715．解析：(Ⅰ)根据频率和为1，列出方程，求出x的值；(Ⅱ)求出60分以上的频率即可；(Ⅲ)利用列举法求出对应事件数，计算概率即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．20.答案：证明：(Ⅰ)取PA的中点N，连结MN，DN，∵M，N分别是PB，PA的中点，∴MN//AB，且MN=12AB=1，∵DN=√3，DM=2，∴DN2+MN2=DM2，∴DN⊥MN，∴AB⊥DN，∵AB⊥AD，AD∩DN=D，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：(Ⅱ)如图，连结BD，CM，由(Ⅰ)知AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，在Rt△PAB中，PB=2√2，同理PC=√5，在梯形ABCD中，BC=√5，BD=2√2，∵PC=BC，M为PB的中点，∴CM⊥PB，由题意得S△PCB=12×PB×CM=12×2√2×√3=√6，S△BCD=12×CD×AD=1，设O为AD的中点，连结PO，由题意得PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD，设点D到平面PBC的距离为d，∵V P−BCD=V D−PCB，∴13×S△DCB×PO=13×S△PCB×d，解得d=√22．∵DM=2，∴直线DM与平面PBC所成角的正弦值sinθ=dDM =√24．解析：(Ⅰ)取PA的中点N，连结MN，DN，推导出MN//AB，从而DN⊥MN，AB⊥DN，AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．(Ⅱ)连结BD，CM，由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，推导出CM⊥PB，S△PCB=12×PB×CM=√6，S△BCD=12×CD×AD=1，设O为AD的中点，连结PO，由题意得PO⊥AD，推导出PO⊥平面ABCD，设点D到平面PBC的距离为d，由V P−BCD=V D−PCB，求出d=√22.由此能求出直线DM与平面PBC 所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=(x−1)e x+a(1x −1)=(x−1)(xe x−a)x(x>0)，令g(x)=xe x−a(x>0)，g′(x)=(x+1)e x>0，∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴g(x)>g(0)=−a．∴当a≤0或a=e时，f′(x)=0只有1个零点，当0<a<e或a>e时，f′(x)有两个零点．(2)当a≤0时，xe x−a>0，则f(x)在x=1处取得最小值f(1)=−e，当a>0时，y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，则必存在正数x0，使得x0e x0−a=0，若a>e，则x0>1，故函数f(x)在(0,1)和(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，不符合题意；若0<a<e时，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则，不符合题意．综上，a的取值范围是(−∞,0]．解析：(1)令f′(x)=0可得x=1或xe x−a=0，讨论a的范围得出方程xe x−a=0的根的情况，从而得出结论；(2)讨论a的范围，分别得出f(x)的最小值，从而得出结论．本题考查了函数单调性判断与最值计算，考查函数零点个数与单调性的关系，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由题意，直线AB的方程为：x−ay−a=0，∵过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32， ∴√a 2+1=√32， ∴a =√3，∴椭圆E 的方程为x 23+y 2=1．(Ⅱ)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，将直线l ：y =kx +1代入椭圆E ，消元可得(1+3k 2)x 2+6kx =0，∴x 1=0，x 2=−6k1+3k 2，∴y 1=1，y 2=1−3k 21+3k 2， ∵以线段CD 为直径的圆过点M(−1,0)，∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，∴−6k 1+3k 2+1+1−3k 21+3k 2=0, ∴k =13, ∴直线l 的方程为y =13x +1.．解析：(Ⅰ)求得直线AB 的方程为：x −ay −a =0，利用过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32，求得a 的值，即可得到椭圆E 的方程； (Ⅱ)将直线l ：y =kx +1代入椭圆E ，消元可得(1+3k 2)x 2+6kx =0，求得C ，D 的坐标，利用MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可求得直线l 的方程．。
河北省保定市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！2019—2020学年度第一学期期末调研考试高二数学试题注意事项:1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.2.答卷前,考生务必将自己的姓名､学号､学校､考试科目填写清楚.3.参考公式:最小二乘法求线性回归方程系数公式:()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑$1221ni ii ni i x y nx yx nx==-=-∑∑,a y bx =-$$,回归直线方程y bx a =+$$$.一､选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设命题p :0x ∀>,ln 1x x ≤-,则p ⌝为( ) A. 0x ∀>,ln 1x x >- B. 0x ∀≤,ln 1x x ≥- C. 00x ∃>00ln 1x x >- D. 00x ∃≤,00ln 1x x >-【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，写出p ⌝，从而得到答案. 【详解】因为命题p :0x ∀>，ln 1x x ≤-， 所以p ⌝00x ∃>，00ln 1x x >-，故选：C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题. 2.若复数z 满足201920201zi i i=++,则z =( ) A. i B. 2iC. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】对复数z 进行计算化简，得到答案. 【详解】201920201zi i i=++ ()()100910102018202022i iii ii=⋅+=⋅+1i =-+所以()()21112z i i i =+-+=-=故选：D.【点睛】本题考查复数的综合运算，属于简单题.3.已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A. 4 B. 2C. 1D. 8【答案】C 【解析】点A 到抛物线的准线：14x =-的距离为：014d x =+，利用抛物线的定义可得：001544x x +=， 求解关于实数0x 的方程可得：01x =. 本题选择C 选项.【此处有视频，请去附件查看】4.一正方体的棱长为2,且每个顶点都在球O 的表面上,则球O 的半径为( )B. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的棱长，求出其外接球的直径再得到其半径.【详解】因为正方体的棱长为2，且每个顶点都在球O 的表面上， 所以得到其外接球O 的直径为=所以球O 故选：A.【点睛】本题考查求正方体的外接球的半径，属于简单题.5.甲､乙两人去某公司面试,二人各自等可能地从A ､B 两个问题中选择1个回答,则他们都选择到A 题的概率为( ) A.12B.13C.23D.14【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出所有的情况，然后得到符合要求的情况，根据古典概型公式，得到答案. 【详解】由题意，甲、乙选择的问题，共有(),A A ，(),A B ，(),B A ，(),B B ，四种情况， 其中都选到A 题的情况只有1种，即(),A A ， 根据古典概型公式，得到概率为14P =. 故选：D.【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于简单题.6.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ,2F ,若双曲线上存在一点P ,使212PF F π∠=,且124PF PF =,则双曲线的离心率为( )【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合124PF PF =，得到1PF 和2PF ，然后根据勾股定理，得到,a c 的关系，从而得到双曲线的离心率.【详解】因为点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，且124PF PF =，所以122PF PF a -=， 所以183a PF =，223aPF =，因为212PF F π∠=，所以2222121PF F F PF +=即()22228233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22159c a =，所以离心率3e ==. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的定义，根据几何关系求双曲线的离心率，属于简单题. 7.设函数()()ln 0xf x ae x a =-≠在点1x =处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为( )A. 1B. 2C. aeD. 1ae -【答案】A 【解析】 【分析】求导得到()f x '，代入1x =，得到切线斜率，结合切点，得到切线方程， 从而得到其在y 轴上的截距.【详解】因为函数()()ln 0xf x ae x a =-≠，所以()1xf x ae x'=-， 代入1x =，得1k ae =-， 而()1f ae =，所以()f x 在1x =处的切线l 的方程为：()()11y ae ae x -=--，整理得()11y ae x =-+， 令0x =，得1y = 所以l 与y 轴的截距为1. 故选：A.【点睛】本题考查根据导数的几何意义求在一点的切线，属于简单题.8.已知p :指数函数()3xy a =-在R 上单调递减,q :1222m a m <<+,若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是( ) A. ()3,4B. 37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.37,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到命题p 中a 的范围，根据p 是q 的必要不充分条件，得到关于m 的不等式组，得到m 的范围.【详解】因为命题p :指数函数()3xy a =-在R 上单调递减，所以031a <-<，即34a <<， 命题q :1222m a m <<+， 因为p 是q 的必要不充分条件所以231242m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得3274m m ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩所以m 的范围为37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B.【点睛】本题考查根据指数函数的单调性求参数范围，根据必要不充分条件求参数的范围，属于简单题.9.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,对于以下三个命题:①直线1A B 与直线AC 所成角的大小为60︒; ②直线1A B 与平面1111D C B A 所成角大小为30°; ③直线1BC 与平面11A ACC 所成角大小为30°. 其中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成的角，线面角对三个命题进行判断，从而得到答案. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，11A D BC P 且11A D BC =， 所以11A D CB 为平行四边形， 所以11A B D C P所以直线1A B 与直线AC 所成角等于直线1D C 与直线AC 所成角， 即1D CA ∠，而11,,D C CA AD 是正方体的面对角线，所以相等， 所以1D AC ∆为等边三角形，故160D CA ∠=︒， 故①正确.在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，所以直线1A B 与平面1111D C B A 所成角为1145BA B ∠=︒， 故②错误.连接BD 交AC 于M ，则BD AC ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ， 所以1AA BD ⊥，1,AA AC ⊂平面11A ACC ，1AA AC A =I ，所以BD ⊥平面11A ACC ，所以1MC B ∠为直线1BC 与平面11A ACC 所成角， 在直角三角形1MC B 中，11122MB BD BC ==， 所以130MC B ∠=︒所以直线1BC 与平面11A ACC 所成角大小为30°. 故③正确. 故选：C.【点睛】本题考查求异面直线所成的角，求直线与平面所成的角，属于中档题. 10.已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的子区间()1,1m m -+上不单调,则实数m 的取值范围为( ) A. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭B. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】 【分析】对()f x 求导得到()f x '，然后利用导数得到()f x 的单调区间，根据()f x 在()1,1m m -+上不单调，从而得到关于m 的不等式，得到答案. 【详解】因为()29ln 3f x x x x =-+所以()923f x x x'=-+ 令()0f x '=，即9230x x-+=， 解得32x =或3x =-（舍） 所以30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 而()f x 在区间()1,1m m -+上不单调， 所以3112m m -<<+ 解得1522m <<， 因为()1,1m m -+是函数()f x 定义域内的子区间， 所以10m -≥，即m 1≥， 所以m 的范围为51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.11.若关于x 430kx k +-=有且只有两个不同的实数根,则实数k 的取值范围是( ) A. 55,126⎛⎫⎪⎝⎭ B. 23,34⎛⎤⎥⎝⎦C. 50,12⎛⎤⎥⎝⎦D.53,124纟çúçú棼【答案】D 【解析】 【分析】方程转化为()43k x =-+由且只有两个不同的实数根，看成y =与()43y k x =-+有且只有两个不同的交点，即过()4,3的直线与以()2,0为圆心，2为半径的半圆有且只有两个交点，从而得到斜率k 的范围.430kx k +-=有且只有两个不同的实数根，()43k x =-+有且只有两个不同的实数根，即y =与()43y k x =-+有且只有两个不同的交点，即过()4,3的直线与以()2,0为圆心，2为半径的半圆有且只有两个交点， 当直线与半圆相切时，圆心()2,0到直线430kx y k --+=的距离为22=，解得512k =， 当直线过()0,0时，斜率为34， 所以k 的取值范围为53,124纟çúçú棼. 故选：D.【点睛】本题考查根据直线与圆相切求斜率的值，函数与方程，属于中档题.12.已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左､右焦点分别为1F ,2F ,且两条曲线在第一象限的交点为P ,12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形,若18PF =,椭圆与双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则12e e ⋅的取值范围是( ) A. 1,9⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，1PF m =，2PF n =，()m n >，由条件可得8m =，2n c =，再由椭圆和双曲线的定义可得14a c =+，24a c =-，4c <，运用三角形三边关系，求得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围.【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，1PF m =，2PF n =，()m n >，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若18PF =，则8m =，2n c =，由椭圆的定义可得12m n a +=， 由双曲线的定义可得22m n a -=， 即有14a c =+，24a c =-，根据三角形三边关系可得2248c c c +=>，即2>c ， 所以24c <<，根据离心率公式可得212122122116161c c c e e a a c c ⋅=⋅==--，因为24c <<，所以21614c<<， 则有2111631c >-，所以12e e ⋅的取值范围为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率的求法，三角形的三边关系，属于中档题.二､填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把最简答案填在答题卡的横线上) 13.已知1x =是函数()2af x x x=+的极值点,则实数a 的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】对()f x 求导，得到()f x '，根据1x =是函数()f x 极值点，从而得到()10f '=，得到a 的值.【详解】函数()2af x x x=+， 所以()22af x x x'=-+， 因为1x =是()f x 的极值点， 所以()10f '=，即20a -+= 所以2a =. 故答案为：2.【点睛】本题考查根据函数的极值点求参数的值，属于简单题.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,则点B 到平面11A B CD 的距离为______.【解析】 【分析】连接1BC 交1B C 于M ，通过线面垂直的判定，得到BM ⊥平面11A B CD ，根据正方体的棱长，得到点B 到平面11A B CD 的距离.【详解】连接1BC 交1B C 于M ，因为正方体1111ABCD A B C D -，所以面11B C CB 为正方形， 所以11B C BC ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ⊥平面11B C CB ， 而1BC ⊂平面11B C CB ， 所以111A B BC ⊥111,B C A B ⊂平面11A B CD ，1111=B C A B B I所以1BC ⊥平面11A B CD ，所以BM 为点B 到平面11A B CD 的距离， 又因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 所以B 到平面11A B CD 的距离为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查线面垂直的判定，求点到平面的距离，属于简单题.15.已知椭圆C :2212x y +=,点P 是椭圆C 上的一个动点,满足21OP PF ⋅≥-u u u r u u u u r (O 为坐标原点,2F 为椭圆的右焦点),则点P 的横坐标的取值范围是______.【答案】2⎡⎣【解析】 【分析】设点P (),x y ，根据21OP PF ⋅≥-u u u r u u u u r，得到,x y 的关系，代入椭圆方程，得到关于x 的不等式，解得x 的范围，结合椭圆上点的横坐标范围，得到答案.【详解】椭圆C :2212x y +=，2F 为椭圆的右焦点，所以()21,0F设点P (),x y ，所以(),OP x y =uu u r，()21,PF x y =--u u u u r ，由21OP PF ⋅≥-u u u r u u u u r ，得221x x y --≥-又因(),P x y 在椭圆C :2212x y +=上，所以2212x y =-，所以22121x x x --+≥-，解得02x ≤≤，因为因(),P x y 在椭圆C :2212x y +=上，所以x ≤≤，所以点P 的横坐标的取值范围是⎡⎣.故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，椭圆上点的范围，属于中档题. 16.已知函数()sin 1f x x =-,()ln 2ag x x x =-,若对任意1x R ∈都存在()21,x e ∈使()()12f x g x <成立,则实数a 的取值范围是______.【答案】()2,e +∞ 【解析】 【分析】根据题意，得到()()max max f x g x <，从而转化为存在()1,x e ∈，使ln 02ax x ->，判断出0a >，从而分离出a ，利用导数得到ln xy x=在()1,x e ∈的范围，再得到关于a 的不等式，解得a 的范围.【详解】对任意1x R ∈都存在()21,x e ∈使()()12f x g x <成立， 所以得到()()max max f x g x <，而()sin 1f x x =-，所以()max 0f x =， 即存在()1,x e ∈，使ln 02ax x ->， 此时ln 0x >，0x >， 所以0a >， 因此将问题转化为 存在()1,x e ∈，使2ln x a x<成立， 设()ln xh x x =，则()max 2h x a<， ()21ln xh x x-'=， 当()1,x e ∈，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()()1h x h e e<=， 即21a e<，所以2a e >， 所以实数a 的取值范围是()2,e +∞. 故答案为：()2,e +∞.【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.三､解答题(解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.有人收集了七月份的日平均气温t (摄氏度)与某冷饮店日销售额y (百元)的有关数据,为分析其关系,该店做了五次统计,所得数据如下:由资料可知,y 与t 成线性相关关系.(1)求出y 关于t 的线性回归方程$$y bta =+$; (2)根据所求回归直线方程预测日平均气温为38摄氏度时该冷饮店的日销售情况. 【答案】（1）$1.232.4y t =-.（2）1320元. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据得到t 和y ，再计算出b $和$a ，从而得到线性回归方程；（2）代入38t =到回归方程，得到该冷饮店的日销售额. 【详解】解:(1)由表中数据得:33t =，7.2y =，∵()()5112iii tty y =--=∑，()52ii 1tt10=-=∑，所以 1.2b=$. ∴$7.2 1.23332.4ay bt =-=-⨯=-$， ∴$1.232.4y t =-.(2)将38t =代入回归方程，得$1.23832.413.2y =⨯-=， 故预测日平均气温为38摄氏度时该冷饮店的销售额为1320元.【点睛】本题考查求线性回归方程，根据线性回归方程进行估计，属于简单题. 18.已知圆C 的圆心在x 轴上,在y 轴上截得的弦长为6,且过点()1,4P . (1)求圆C 的方程;(2)过()1,2Q -做两条与圆C 相切的直线,切点分别为M ,N ,求直线MN 的方程.【答案】（1）()22425x y -+=.（2）5250x y -+=. 【解析】 【分析】（1）设圆心(),0C a ，根据几何关系得到a 的方程，从而得到圆心坐标，再求出PC ，得到半径，从而得到圆C 方程；（2）过Q 点的直线1x =-为圆C 的切线，得到点M 坐标，根据几何关系，得到MN 的斜率，从而得到直线MN 的方程. 【详解】解:(1)设圆心(),0C a ，因为圆心到y 轴的距离为a ，PC r =，圆在y 轴上截得弦长为6， 由几何关系得()()22223104a a +=-+-， 解得4a =，圆心()4,0C ，半径5PC ==，所以圆C 的方程为()22425x y -+=.(2)由已知得过Q 点的直线1x =-为圆C 的切线，易得切点()1,0M -， 因为()4,0C ，()1,2Q -，所以25QC k =-， 由几何关系知QC MN ⊥，即1QC MN k k ⋅=- 所以得52MN k =， 由点斜式得直线MN 方程为()5012y x -=+， 即5250x y -+=.【点睛】本题考查根据圆的弦长求圆的方程，过圆外一点求切线方程，属于简单题. 19.河北省高考改革后高中学生实施选课走班制,若某校学生选择物理学科的人数为800人,高二期中测试后,由学生的物理成绩,调研选课走班制学生的学习情况及效果,为此决定从这800人中抽取n 人,其频率分布情况如下:(1)计算表格中n ,a ,b 的值;(2)为了了解成绩在[)70,80,[)100,110分数段学生的情况,先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行面谈,求2人来自不同分数段的概率.【答案】（1）100n =,24a =,0.15b =.（2）815. 【解析】 【分析】（1）根据频率的定义，求出n ，再根据[)80,90分数段的频率得到a ，根据[)90,100分数段的频数得到b ；（2）根据[)70,80，[)100,110分数段学生的人数，利用分层抽样，得到所抽取的人数，列出从其中抽取2人的情况，根据古典概型的概率公式，得到答案. 【详解】解:(1)因为[)50,60分数段的频数为8，频率为0.08， 所以81000.08n ==， [)80,90分数段的频率为0.24所以1000.2424a =⨯=，[)90,100分数段的频数为15，所以150.15100b ==. (2)[)70,80，[)100,110分数段学生的分别为20人，10人， 用分层抽样的方法抽取6人，则[)70,80分数段抽取学生为4人，记为1A ，2A ，3A ，4A ；[)100,110分数段抽取学生为2人，记为1B ，2B .从这6人中随机抽取2人，所有可能的结果共有15种，它们是{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}34,A A ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}41,A B ，{}42,A B ，{}12,B B .又因为所抽取2人来自不同分数段的结果有8种，即{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}41,A B ，{}42,A B ， 故所求的概率为815. 【点睛】本题考查补全频率分布表，分层抽样的特点，古典概型求概率，属于简单题. 20.如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,4=AD ,2AB =,平面PAD ⊥平面ABCD ,PAD ∆为等腰直角三角形,且2PAD π∠=,O 为底面ABCD 的中心.(1)求异面直线PO 与AD 所成角的余弦值; (2)若E 为PD 中点,F 在棱PA 上,若FAPAλ=,[]0,1λ∈,且二面角O EF D --的正弦值5求实数λ的值. 【答案】（1）2121.（2）12λ=.【解析】 【分析】（1）根据面PAD ⊥面ABCD ，PA AD ⊥，得到PA ⊥面ABCD ，以A 为原点建立空间直角坐标系，得到PO uuu r ，AD u u u r的坐标，根据向量夹角公式，得到异面直线PO 与AD 所成角的余弦值；（2）设FAPAλ=，从而得到F 点坐标，结合（1）取平面PAD 的法向量m u r ，求出平面OEF 的法向量为n r，通过法向量表示出二面角O EF D --的余弦值，根据其正弦，列出关于λ的方程，求出λ的值. 【详解】（1）∵PAD ∆为等腰直角三角形， ∴PA AD ⊥，∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD I 面ABCD AD =，PA ⊂面PAD ∴PA ⊥面ABCD ，∵底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 三条线两两垂直.以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 知()0,0,0A ，()2,0,0B ，()1,2,0O ，()0,4,0D ，()0,0,4P ，()1,2,4PO =-u u u r ，()0,4,0AD =u u u r，cos ,PO AD PO AD PO AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21==， 所以异面直线PO 与AD 所成角的余弦值为21. （2）结合（1）知()0,2,2E ，AB ⊥面PAD ，取平面PAD 的法向量()1,0,0m =u r.∵FAPAλ=，[]0,1λ∈，4PA =， ∴4FA λ=，∴()0,0,4F λ，设平面OEF 的法向量为(),,n x y z =r， 又()1,0,2OE =-u u u r ，()1,2,4FO λ=-u u u r， 00OE n FO n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即20240x z x y z λ-+=⎧⎨+-=⎩， 令2x =，得()2,21,1n λ=-r，又因为二面角O EF D--，所以cos ,m n =u r r ，而()2cos ,4211m n m n m n λ⋅==⋅+-+u r r u r r u r r ， 即()22554211λ=+-+， 解得12λ=.【点睛】本题考查空间向量求异面直线所成的夹角，根据二面角求参数的值，属于中档题.21.已知函数()ln f x ax x =+,()11x g x e-=-.(1)讨论函数()y f x =的单调性;(2)若不等式()()f x g x a ≤+在[)1,x ∈+∞上恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+单调递增，无减区间； 0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）0a ≤【解析】【分析】（1）对()f x 求导得到()f x '，分0a ≥和0a <进行讨论，判断出()f x '的正负，从而得到()f x 的单调性；（2）设函数()1ln 1x e x ax F x a -=---+，分0a ≥和0a <进行讨论，根据()F x 的单调性和零点，得到答案.【详解】解:（1）函数()f x 定义域是()0,∞+，()11ax f x a x x +'=+=，当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+单调递增，无减区间；当0a <时，令()0f x '=，得到10ax +=，即1x a =-， 所以10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增，1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减，综上所述，0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+单调递增，无减区间；0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）由已知1ln 10x e x ax a ----+≥在1x ≥恒成立，令()1ln 1x e x ax F x a -=---+，1x ≥，可得()10F =，则()11x F x e a x -'=--，()1210x F x e x -''=+>所以()F x '在[)1,+∞递增，所以()()1F x F a ''≥=-，①当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在[)1,+∞递增，所以()()10F x F ≥=成立，符合题意.②当0a >时，()10F a '=-<，当()ln 11x a =++时，()11110F x a a x x'=+--=->， ∴()01,x ∃∈+∞，使()0F x '=，即()01,x x ∃∈时()0F x '<， ()F x 在()01,x 递减，()()10F x F <=，不符合题意.综上得0a ≤.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，根据导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.22.设1F ,2F 分别为椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点,已知椭圆C 上的点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点1F ,2F 的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点2F 作直线交椭圆C 于M ,N 两点,线段MN 的中点为P ,连结OP 并延长交椭圆于点()00,Q x y (O 为坐标原点),若2OF ,OQ ,MN 等比数列,求线段MN 的方程.【答案】（1）22143x y +=.（2）()12y x =±-. 【解析】【分析】（1）根据椭圆定义，代入点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到a 和b ，从而得到椭圆方程；（2）根据（1）得到21OF =，根据题意得到22OQ OF MN MN =⋅=，当直线MN 斜率不存在时，说明不成立，当直线MN 斜率存在，设为()()10y k x k =-≠，与椭圆联立得到12x x +，12x x ，再得到P 点坐标，求出OP 方程，得到2OQ ，利用弦长公式，得到MN ，从而得到关于k 的方程，解得k 值，得到MN 的方程.【详解】解:（1）因为椭圆C 上的点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点1F ，2F 的距离之和为4所以24a =，即2a =， 将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程得22231212b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得23b =， 故椭圆方程为22143x y +=.（2）因为222431c a b =-=-=，所以焦点1F ､2F 的坐标分别为()1,0-和()1,0，21OF =， 因为2OF ，OQ ，MN 成等比数列， 所以22OQ OF MN MN =⋅=.①当直线MN 斜率不存在时，则所求方程为1x =，3NM =，2OQ =. 显然不符合题意.②当直线MN 斜率存在，并设直线MN 方程为()()10y k x k =-≠， 代入22143x y +=得()22224384120k x k x k +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以21224234x x kk +=+，12122232234y y x x kk k ++-==-+，即P 点坐标为22243,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以可得直线OP 方程为:34y x k =-， 代入椭圆方程解得22021634k x k =+，202934y k =+， 故22291634O k k Q +=+，又因为()2212134k MN k +==+，代入22OQ OF MN MN =⋅=，得()22221219163434k k k k ++=++，解得2k =±，故直线MN 的方程为)12y x =±-.【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，属于中档题.。
高二数学周测试卷（含答案）
2019-2020学年度文科数学周测试卷本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分，考试时间120分钟。
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：分卷I一、选择题(共12小题,每小题5.0分，共60分)1.设集合M={xl(x+3)(x-2)<0},则MAN等于()A.(1.2)B.U.2JC.(2.3JD.[2.3]2.已知i为虚数单位，复数z=l+2i,z与5共辘，则zf等于()A.3B.V3C.V5D.53.(2O18・全国III)若sina=f则cos2a等于()A.5B.IC.~lD.4.为了得到函数y=3sin(2x+§,XGR的图象，只需把函数y=3sin(x+5.XER的图象上所有点的()A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的?倍，纵坐标不变C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D. 纵坐标缩短到原来的！倍，横坐标不变5. 设向量c=(2.0), h=(l,l).则下列结论中正确的是()A,lal=ISI B.a b=0 C.all b D.(a—b)b6.函数y=log a(x-l)+2(a>09Hl)的图象恒过点()A.(1.2)B.(2,2)C.(23)D.(4.4)7.圆"+尸=4截直线岳+y—2旧=0所得的弦长为()10.某中学有高中生3 500人，初中生1500人,为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为。
的样本，已知从高中生中抽取70人，则”为()A.100B. 150C.200D.25011.己知定义在R上的可导函数人x)的导函数为f(x),满足/VX/OO,且y(x+2)为偶函数，f(4)=l,则不等式f(x)<e的解集为()A.(一2,+cc)B. (O.+对C.(1,+oc)D.(4,+oo)12.己知直线/的参数方程为为参数.t£R)・极坐标系的极点是平而直角坐标系的原点。
2019学年河北衡水中学高二上二调考试理科数学试卷(解析版)
2019学年河北衡水中学高二上二调考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 若，则下列不等关系正确的是A ．B ．C ．D ．2. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的的比值A ．______________B ．______________C ．______________D ．3. 已知实数满足，则的最小值为A ．_________________________________B ．______________________________ C ． D ．4. 下列函数中，最小值为的是A ．B ．C ．D ．5. 将参加夏令营的名学生编号为：．采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的号码为．这名学生分住在三个营区，从到在第 I 营区，从到在第 II 营区，从496到600在第III 营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A ． 26,16,8________________________B ． 25,17,8____________________________C ． 25,16,9________________________D ． 24,17,96. 图1是某市2015年高考学生身高条形图统计图，从左到右的各小长方形表示学生人数，依次记为（如表示身高（单位：cm ）在内的人数），图2是统计图1中身高在一定范围内的学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm,不含180cm ）的学生人数，那么流程图中的判断框内应填写的条件是：A ．________________________B ．____________________________C ．_________________________________D ．7. 设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线对称，对于中的任意点与中的任意点，的最小值等于A ．________________________B ．________________________C ．____________________ D ．8. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A ． 4________________________B ． 5________________________C ． 6________________________D ． 79. 用辗转相除法求与的最大公约数时，需做的除法次数为A ． 3________________________B ． 4________________________C ． 5________________________D ． 610. 如图是将二进位制数化为十进位制的一个程序框图，判断框内应填入的条件是A ．________________________B ．________________________C ．________________________D ．11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是A ． 3015________________________B ． 3016________________________C ． 3017________________________D ． 301812. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是A ．________________________B ．C ．____________________________D ．二、填空题13. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如下图所示，直方图中的值为___________________________________ ．14. 已知，，，则有，当且仅当时等号成立，用此结论，可求函数最小值为______________________________ ．15. 已知正实数满足，则的最小值为___________________________________ ．16. 若，且当时，恒有，则以为坐标的点所形成的平面区域的面积等于．17. 已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的最小值为____________________________ ．18. 已知为正实数，且，则的最小值为______________________________ ．三、解答题19. （本小题满分12分）某学校1800名学生在一次一百米测试中，全部介于13秒与18秒之间，抽取其中的50个样本，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组，第三组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（ 1 ）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这在这次百米测试中成绩良好的人数；（ 2 ）请估计学校1800 名学生中，成绩属于第四组的人数；（ 3 ）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数与平均数；（ 4 ）请根据频率分布直方图，求样本数据的中位数．（保留两小数）20. （本小题满分12分）已知数列的各项均为正数，观察流程图，当时，；当时，，（ 1 ）写出时，的表达式（用等来表示）；（ 2 ）求的通项公式；（ 3 ）令，求．21. （本小题满分12分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售（单位：万元）与日产量的函数关系式为，已知每日的利润，且当时，．（ 1 ）求的值；（ 2 ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求此最大值．22. （本小题满分12分）已知数列和满足，若为等比数列，且，．（ 1 ）求与；（ 2 ）设（），记数列的前项和为，（ I ）求；（ II ）求正整数，使得对任意均有．23. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，（ 1 ）求证：数列是等比数列；（ 2 ）设数列的前项和为，，试比较与的大小．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
河北省2019-2020学年高二上学期期末数学试题
2019～2020学年第一学期高二期末考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A 版必修3第二、三章，选修2-1，修2-2第一章1.1～1.4，第三章.第Ⅰ卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“2x ∀>，240x -≥”的否定是（ ） A. 2x ∀≤，240x -< B. 2x ∀>，240x -< C. 02x ∃≤，0240x -<D. 02x ∃>，0240x -<2.双曲线22143x y -=的渐近线方程是（ ） A. 34y x =?B. 43y x =±C. 2y x =±D. 3y x =±3.()()13i i --在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x轴上，且焦距为，则m =（ ）A 2B. 3C. 4D. 55.将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（ ）A. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B. 事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌” C 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”.D. 事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”6.若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离是5，则点P 到x 轴的距离是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47.记一个三位数的各位数字的和为M ,则从M 不超过5的三位奇数中任取一个,M 为偶数的概率为( ) A.513B.512C.413D.138.已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)交于A ,B 两点,点()1,4P 是弦AB的中点,则双曲线C 的离心率为( )A.43B. 2C.D.9.已知点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，则“m =P 到直线l 的距离） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动,将竞赛成绩按照[)80, 90,[90,100),… ,[140,150]分成7组,得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图.下列说法正确的是( )①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为110; ②根据频率分布直方图估计该商场职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3;③若该商场有1000名职工,考试成绩在110分以下的被解雇,则解雇的职工有400人;④若该商场有1000名职工,商场规定只有安全知识竞赛超过140分(包括140分)的人员才能成为安全科成员,则安全科成员有50人. A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④11.现有下列四条曲线：①曲线22x y e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--. 直线2y x =与其相切的共有（ ） A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条12.已知双曲线C ：22145x y -=左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上.若12PF F ∆为钝角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A. ()9,+∞B. (()9,+∞UC. (()9,+∞UD. (第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13.抛物线22y px =(0p >)的焦点坐标为1(,0)8,则p =__________.14.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11A E xAA yAB zAD =++u u u v u u u v u u u v u u u v，则x y z ++=______.15.已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若()()0h a g a <,则a 的取值范围为__________. 16.已知在三棱锥P ABC -中，1PA AB BC ===，AC PB ==PC =则异面直线PC 与AB所成角的余弦值是__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:p 函数()()xf x a m =-在R 上单调递减，:q 关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于1. （1）当5m =时，p 是真命题，求a 的取值范围；（2）若p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，求m 的取值范围.的18.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均数；（2）在这12名学生中从测试成绩介于80~90之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率. 19.某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交50元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足1升的,按0升计算(如剩余1.7升,记为剩余1升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为2升,则该桌的每位客人还应付50 1. 25010⨯-=元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的5组数据(),x y (其中x 表示饮酒人数,y (升)表示饮酒量):()1,0.8,()2,1.5,()3,2. 5,(4,3.2),()5,4. 5.（1）求由这5组数据得到的y 关于x 的回归直线方程;（2）小王约了5位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了8升啤酒,这时,酒吧服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请1位或2位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议？参考数据:回归直线的方程是y bx a =+$$$,其中1122211()()()nni iiii i nni ii i x y nx y x x yy b x nxx x ====---==--∑∑∑∑$,a y bx =-$$.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC的的中点.（1）证明：BC ⊥平面1A AD .（2）若1A AD ∆是等边三角形，求二面角1D AA C --的正弦值.21.已知函数()2ln x f x x=. （1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x a =-在123e ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求a 的取值范围.22.已知椭圆2222:1x y W a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u u v u u u u v ，且1167PF PQ ⋅=-u u u v u u u v . （1）求W 的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △.。
2019学年河北省高二上学期期末理科数学卷【含答案及解析】
2019学年河北省高二上学期期末理科数学卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，则（________ ）A．________ B．________ C．________ D．2. 复数（________ ）A．_________ B．_________ C．_________ D．3. 抛物线的焦点到准线的距离为（________ ）A．2_________ B．4_________ C．_________ D．4. （________ ）A．-1_________ B．1_________ C．0_________ D．-85. 曲线在处的切线平行于直线，则点坐标为（________ ）A．B．C．或D．或6. 已知函数，若将函数的图像向左平移个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数（________ ）A．_________ B．_________ C．_________ D．7. 已知是不等式组表示的平面区域内的一点，，为坐标原点，则的最大值（________ ）A．2 ________ B．3 ________ C．5 ________ D．68. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（________ ）A．种 ________ B．种________ C．种 ________D．种9. 已知展开式中各项系数和为625，则展开式中含项的系数为（________ ）A．216________ B．224 ________ C．240 ________ D．25010. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（________ ）A． _________ B． ________ C．20 ________ D．4011. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率（________ ）A． ________ B． ________ C． ________D．12. 已知数列满足：，则（________ ）A． ________ B．________ C． ________ D．二、填空题13. 在正项等比数列中，前项和为，，则________．14. 设向量与的夹角为，且，则__________ ．15. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种（用数字作答）．16. 已知函数的导函数为，若使得成立的，则实数的取值范围为________．三、解答题17. 等差数列中，，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. 在中，已知角的对边分别为，且．（1）求的大小；（2）若，试判断的形状．19. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率；（2）估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段内的概率．20. 如图：四棱锥中，底面是平行四边形，，平面平面，，，分别为线段和的中点．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面和平面所成二面角的大小为60°？若存在，试确定的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知两点，直线相交于点，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点的轨迹方程；（2）记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为1，过点且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线于，求的面积的最大值（其中点为坐标原点）．22. 设为实数，函数，（1）当时，求在上的极大值；（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019学年河北省高二上学期期末理科数学卷【含答案及解析】
2019学年河北省高二上学期期末理科数学卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________一、选择题1. 已知集合.■- __________________________________ _ -..，则，「二( )A _______B •.一 - 一； ______________ C•肺 __________________D.2. 复数____ ( )1-?/—2 Hr ? —2 3 2 ~ J +A. _- __________ B . _ _________ C. ^^ __________ D.—3. 抛物线.i的焦点到准线的距离为A . 2 ________B . 4 ________C .右 ______4. | ：( ________ )A . -1 ________B . 1 __________ C. 0 ________ D . -85. 曲线：：汇-严在，.处的切线平行于直线：=》：-［，则，点坐标为( _________ )A. 'B . -C. 1或D. 「或.6. 已知函数.| ^ ■ ■，若将函数I .：■的图像向左平移匚个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数卩二（____________________ ）A . _________B .兰 ______________ C.巴_____________ D .匚卜 + 12 07. 已知P（芷们是不等式组表示的平面区域内的一点，,[ 堆0O为坐标原点，则的最大值（ _________________________ ）A. 2 _________ B . 3 _______ C . 5 __________ D . 68. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去, 且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（________________ ）A •「种_____________B •」种____________C . 一种________________■Ti ■rD.」种9. 已知] ——展开式中各项系数和为625,则展开式中含•项的系数为（ _______ ）A. 216 ________ B . 224 __________ C . 240 _________ D . 25010. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ _________________ ）rA . —___________ B. —___________ C. 20 __________ D. 4011. 已知双曲线的左、右焦点分别为 •…厂，过：的直h-线与双曲线］的右支相交于• J 两点，若丄卷，且『打 则双曲线的离心率总=（ _____________ ）A - J - - ■. -----------------B . NU ----------------------------C - J :- ------------------- D- \ :12・ 已知数列；;满足- ■■ •，则■..=（ ________ ）、填空题15. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序 只能出现在第一或最后一步，程序 和：在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________ 种（用数字作答）.16. 已知函数.— 的导函数为. ，若使得f （斗成立的 斗cl ，则实数肚 的取值范围为 __________________________________ •三、解答题17.等差数列；「中，（1）求：的通项公式;A•B •C •7 7■yi123\. _______ D .1__13.在正项等比数列；一」中，前二项和为::巴 ' ■■-，贝V二14.设向量；与：的夹角为口 丫 * 廿.-?■，且.■■： = :.■: j. ■■- ( .1..-(2)设' "18.在_ ：,；中，已知角 』目 打的对边分别为•口L ，且 ■ 1 2•气J rrm f'的大小；，试判断_ ,的形状.719.分成六组…__L I _汕 __________ . - I 后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：1 求证：•’ 平面宀^2 在线段上是否存在一点:，使得平面和平面(1)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60名学生，将其数学成绩（均为整数）GL0I1S0.D1 0_00«(2)设' "（1 ）求分数在… “）内的频率；（2）估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为L.m」；的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段 ______________ I内的概率.20. 如图：四棱锥>■中，底面，；,，是平行四边形,面二I 平面.：讥.；■：,：二'「和，7<?和，「：的中点.PGC所成二面角的，平■ 分别为线段大小为60°?若存在，试确定 .；的位置；若不存在，请说明理由.21. 已知两点,| I ■ I ■，直线川上匚二:阳相交于点：’，且这两条直线的斜率之积为—.4(1 )求点•「的轨迹方程；(2)记点r的轨迹为曲线：，曲线：上在第一象限的点,.的横坐标为1,过点，且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线：于，：，求"■：：':的面积的最大值(其中点「为坐标原点).22. 设.■为实数，函数；I ：- I ,(1 )当•.二时，求•在上的极大值；有两个极值点时,(2)设函数八.；•_ q小•「.)：「，当 - 总有■ . - 「，求实数..的值.参考答案及解析第1题【答案】E【解析】试酚析；5- {v|v>2}l = ,因此选B・第2题【答案】A【解析】试题分析；选氐1-方5 5 S第3题【答案】b【解析】试题分析；抛物线宀帚的焦点到准线的距离为戸,而2厂gap因此选c・斗 4 S第4题【答案】C【解析】试题分折；| tin vrft =(—eos \) =0.选GJ—> NHV第5题【答案】b I 【解析】试题分析：因対f 0) = 3*+E二斗=兀二±L j因此尸点坐标为Cl,0)或(-L7)、选巴第6题【答案】j【解析】试题井析：圏数y-fM的图像向左平移匚个单位后所得解析式：6V = sin(2Cv + —) + ^?) = sin(2x +—4所以.二十僻=二一丘把住E 2》二> 沪兰上+也丁、0 < < -T6 J 3 2 6,因此梓-；选区v第7题【答案】【解析】试题分析：可行域为一个三角形哉殴其内^ 其中览0® C（阳）DW）而0A 0P=^2y,因此直线"2$弋过点匚时取最大值乩选D.第8题【答案】【解析】C试题分折：由題意得：有个居民家去两名水暧工，其他两个居民家各去一名水暖工，因此分配的方案共有%那选二第9题【答案】【解析】试题分析：由题育得戈5M=625=54=>W = 4 ,因此席产匚：（2日_（丁孑=U（2）i3b二,由vr4-yF.l得心2』系数为C；⑵4呼=2応也•Jbr第10题【答案】A【解析】试题分析；该几何体为T四檯锥，高为苗底为一个直角梯形，上底下底为4高为£因此体积L1X4<J-X（1+4）X4=^ ,选山■F匸第11题【答案】【解析】试题分析：设阿卜旳W ,则\^0\ = \F2Q\\PF]-\PQ\-2a ,因此\f2nr-2a= 2a =^> = 2\flci ,从而（2^）2= （ijla）- 4- Q逅a - 2Z7）==>e'= 5 - 2迈n g 三2迈"选D-第12题【答案】【解析】试酚析；3 弓fl —gX 知i$ =9沖 f种）+（%$-%】尸L丸气p" ■气"⑷*列"+L +3l+ -=—+ 33-（c_ 亠4〉#（込一勺）屮（色亠吗）斗角<3? 4+3]+ —=-+273^ a- >+91 S1 =-3 c245所臥0 = 2+27玄从而^>a-35 =—,8 58而= @20｝厂白2000〉* （白2000 一“200° ~*~L + （知一吗）4 91^2009 + 32®0+ L n, A（1-尹川）f列】5厲-243 -3跖因此G■仆=;J015----- ,选氏8'）^3_ 3:^―■ + _二—8十竽）卡角第13题【答案】=9” ----- -- + 仇= ----- +----- >---- ，l-3e - S g £第14题【答案】3116【解析】试题井析！由题青得：①= 6= 竺竺二6导</+可：丸=>?訂〔员舍)j第14题【答案】10【解析】凉鉛析：二业也之简山宀竺竺―巫.2 |CL2)p|(3J)| 10第15题【答案】【解析】试题分析：先排程獰d有两种方込再将占和C捆在一起后扌也有鲨£种方法，因此共有2堆4；二光种方■法.第16题【答案】【解析】试题分析！因为/V）二丄，所I次丄二箔佃£+伽1皮>.血◎ =-^--由£工0<：£兰1> -令-1 1 A 1 , 十存Q <0'从而F= —-血兀在（31）上单调11减，因此ma>-^=. yc?e（0.彳）,因此实数口的取值范围対匕斗〉第17题【答案】【解析】试题分析：求等差数列通项公式』一股利用待定系数法』即列出关于苜顶及公差的两个浊立条件 fa. + ct/ = 4 1、组成方程组“ .廿 …、解得，码=14二+・再代入通项公式即可，陌 =上0 + BG ) 2试题解折：報 ⑴ 设等差数列依｝的公差为沖,则碍二丐+6・1M <耐q 二片号十亍尹L 十(二—第18题【答案】所臥利用裂顶相涌法求和,艮 7 ? 17 ? ?亍尹寸尹L 览-而戸 2n « +1 总、4胡=44] +18fV = 2(q 4⑵'F叫 1) 卄所以｛迅｝的適项公式为禹⑵& = 2*如1) 2?»+1(1) ZB-- , (2)等边三角形.【解析】试题分朴⑴ 切化弦去分母得=2^A^C=\^2c^Ac^C ,再扌雕两甬和余弦公式及诱导公式得®左-£ ,最后根据三毎形內角范围得心斗⑵ 先根据问量数量积得| j| jyr i j jijf «j JBAc^C - at CQ&B - —ac -—；即b~ =ac r再根据余弦定理得2 2b'= a' —2arcas5 =a2 -fr2—ac? £7" + r' = lac、亂曲=疋j Elltt \ABC是等边二甬形・KlSBffi：解：⑴2MI U^C-1+2«$4^C7A2cc</i+'Q=l，二e曲工：7二Z£= -・3.uhi aw 1 沪. …、BA BC -(ic cos B = —crc —，- ■ £)' = ac , ■ b" - ci~ ~c~ ~Ioccos B = c" ~ae，2 2jr'• <T~ -^-c2= 2ac、：WK又"/ =—…"-A4百匚是等边三角形.第19题【答案】<1) 03 ,⑵ 121 , (3) ?.【解析】试题分析；＜1＞频率分布直方團中各小长方形面积为概率，其和为b因此分数在［120.130）內的频^1-（0.140.15+0.15 4-0 254-0.05） = 1-0 7 = 03 （2）利用组中值求平均分；7 = 95x0 1 + 105x0 15 + 115x0 15十125x0 3十135x0.25十】45x0 05 = 121（3）先按分层抽样确定［110,120）分数段与［120,130）分数段的人数各为2人和4人'从中任取2人共有15种基本事件，其中2人皆在分数段［120.130）内包含6种基本事件，因此至多如人在分数段［120.130 ）包含15弋书种基本9 3事件,从而所求概率为計扌试题解析：解：（1）分数在［120」30 ）内的频率为1-（0 1+0 15 + 0.15 + 0.25+0 05） = 1-0 7 = 0 3 .（2）估计平均分为x = 95xQ 1+105x0 15 + 115x0 15+125x0 3 + 135x0,25+145x0.05 = 121 •（3）由题意，［110.120）分数段的人数为60*0.】5 = 9 （人）在［120.130）分数段的人数为60x03 = 18 （人〉•T用分层抽样的方法在分数段为［110.130）的学生中抽取一个容量为6的样本…•・需在［110.120）分数段内抽取2人'并分别记为"刃;在［120.130）分数段內抽取4人，并分别记为c.bcd ；设''从样本中任取2人，至多有1人在分数段［120.130）内”为事件〃,则基本事件共有皈』｝,0g｝,L ｛加/｝,机"丄｛”&｝,｛"｝丄｛"｝,共15个・则事件川包含的基本事件有5，"｝.｛加.刃｝,彻丄｝.｛加《｝・｛加,召.｛774｝,0.0｝,｛恥｝.｛仏”｝.共9个、'15第20 题【答案】(1〉i羊见解析，(2) B点.【解析】试题分析：⑴证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明.而线线平行 ,通常从平面几何中寻找，本题需取阳中点为/¥ ,利用FCER是平行四边形得到ECI HF ,(2)研究二面角，一般利用空间直角坐标系，通过空间向量数量积进行研究：先建立直角坐标系,即先证明线线垂直，这可利用题中面面垂直条件，通过面面垂直•性质定理转化为线面垂直C丄平面P.Q ,从而得,再利用方程组求出各面的法向邑最后根据向童数童积求出法冋量夹角，歹灶对应方程即可•试题解析：解⑴ 取丹中点为H ,连结CE、HE FH；因为旅E分别为必、PD的中点，所^HEJLID.HE^4-w'因为曲CD是平行四边形，且F为线段BC的中点，所^FCJJAD. FC = -.W ,2所SHEHFUHEuFC四边形FCEH是平行四边形，所臥ECHHF , 又因为平面PAF.HFU平面北妒,所以CE"平面PAF ,⑵因为四边形肋CD为平行四边形且＜4CB = 90。
2019学年河北省高二上第四次月考数学试卷【含答案及解析】
2019学年河北省高二上第四次月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，集合，则 = （）A ． ___________________________________B ．C ． ___________________________________D ．2. 已知命题：，，则是（）A ．B ．C ．________D ．3. 从三元、光明、蒙牛三种品牌的牛奶包装袋中抽取一个样本进行质量检测，采取分层抽样的方法进行抽取，已知三元、光明、蒙牛三种品牌牛奶的总体数（袋数）是1000 ， 2000 ， 3000，若抽取的样本中，光明品牌的样本数是10，则样本中三元品牌和蒙牛品牌的样本之和是（）A ．________________________B ．___________C ．___________________ D ．4. 已知向量，则的值为（）A ．______________B ．C ．______________D ．5. 的内角的对边分别为，则“ ”是“ ”的（）A ．充分不必要条件 ____________________B ．必要不充分条件C ．充要条件 ___________________________________D ．既不充分也不必要条件6. 一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A ．____________________B ．C ．________D ．7. 等比数列中，，则数列的前8项和等于（）A ． 6________________________B ． 5________________________C ． 3____________________D ． 48. 若执行下边的程序框图，输出的值为4，则判断框中应填入的条件是（）A ．_________B ． ________C ．_________D ．9. 动点满足，点为，为坐标原点，，则的最大值是（）A ．______________B ． ________C ．________________D ．10. 设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为（）A ．______________B ．______________C ．___________D ．11. 已知是双曲线的左右两个焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ． ___________B ． ___________C ．D ．12. 已知函数，其中，存在，使得成立，则实数的值为（）A ．________________________B ．______________C ．___________________ D ． 1二、填空题13. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则______________ ．14. 由直线，曲线以及轴围成的图形的面积为___________ ．15. 在平面几何中：的内角平分线分所成线段的比为．把这个结论类比到空间：在三棱锥中，面平分二面角，且与相交于，则得到类比的结论是______________________________ ．16. 以下命题正确的是：______________________________ ．①把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象；②四边形为长方形，为中点，在长方形内随机取一点，取得的点到的距离大于1的概率为；③等差数列前项和为，则三点，，共线；④已知是定义在上的函数的导函数，且满足，则不等式的解集为．三、解答题17. 已知等差数列的前项和为，且．（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）记，的前项和为，求．18. 在锐角中,角的对边分别为 ,且．（ 1 ）求角的大小；（ 2 ）求函数的值域．19. 某校高二某班的一次数学测试成绩（满分为分）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（ 1 ）求分数在的频率及全班人数；（ 2 ）求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（ 3 ）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率．20. 在等腰梯形中，，，，是的中点，将梯形绕旋转90°，得到梯形（如图）．（ 1 ）求证：；（ 2 ）求二面角的余弦值．21. 已知圆，点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于．（ 1 ）求动点的轨迹的方程；（ 2 ）设直线与（ 1 ）中轨迹相交于两点，直线的斜率分别为．△ 的面积为，以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列，求的取值范围．22. 已知函数．（ 1 ）求函数的极大值；（ 2 ）设定义在上的函数的最大值为，最小值为，且，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019学年河北省高二上学期期中考试文科数学试卷【含答案及解析】
2019学年河北省高二上学期期中考试文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列命题是真命题的有（）① “ 等边三角形的三个内角均为60°” 的逆命题；② “ 全等三角形的面积相等” 的否命题．③ “ 若 k ＞ 0 ，则方程 x 2 ＋ 2x － k ＝ 0 有实根” 的逆否命题；A ． 0 个_________B ． 1 个____________________C ． 2 个 ______________D ． 3 个2. 命题函数的单调增区间是，命题函数的值域为，下列命题是真命题的为（）A ．______________B ．________C ．________D ．3. 将“ ” 改写成全称命题，下列说法正确的是（）A ．都有 ________B ．都有C ．都有D ．都有4. 上图是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（________ ）A ．________B ． ________C ．________D ．5. 如某校高中三年级的 300 名学生已经编号为 0 ， 1 ，……， 299 ，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为 60 的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第 59 段所抽到的编号为 293 ，则第 1 段抽到的编号为（）________________________A ． 2____________________________B ． 3____________________C ． 4____________________________D ． 56. 甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字 1 ， 2 ， 3 ，4 ，5 ，6 ），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为 x 、 y ，则满足复数 x ＋ yi 的实部大于虚部的概率是（）A ．________B ．______________C ．______________D ．7. 在区间上随机取一个实数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为（_________ ）A ．___________________________________B ．_________________________________ C ．________________________ D ．8. 椭圆的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（）A ． 2________B ．___________C ． 4______________D ．9. 已知分别是双曲线的左、右两个焦点．若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（）A ．________B ．______________C ．____________________ D ．10. 已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为， P 到直线的距离为，则的最小值为（）A ．______________B ．______________C ．___________ D ．11. 过点 C （ 4 ， 0 ）的直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两点．则直线 AB 的斜率 k 的取值范围是（________ ）A ．|k| ≥ 1______________B ． |k|> ______________C ．k ≤______________ D ． |k|<112. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则A ．______________B ．____________________C ．___________D ．_________二、填空题13. 已知条件p : x ≤ 1 ，条件 q ： <1 ，则 p 是 q 的_________________________________ 条件．14. 已知函数 f （ x ）＝ 2 ax 2 － bx ＋ 1 ，若 a 是从区间 [0 ， 2] 上任取的一个数， b 是从区间 [0 ， 2] 上任取的一个数，则此函数在 [1 ，＋∞ ）递增的概率为 ________ ．15. 直线与曲线的公共点的个数是 ___________ ．16. 若直线与曲线恰有一个公共点，则实数 k 的取值范围是______________ ．三、解答题17. 设命题 p ： ; 命题 q : ，若是的必要不充分条件，（ 1 ） p 是 q 的什么条件？______________（ 2 ）求实数 a 的取值范围．18. 酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“ 酒后驾车” 和“ 醉酒驾车” ，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量（简称血酒含量，单位是毫克/100 毫升），当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了 200 辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）．依据上述材料回答下列问题：（ 1 ）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；（ 2 ）从酒后违法驾车的司机中，抽取 2 人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的 2 人中含有醉酒驾车的概率．（酒后驾车的人用大写字母如表示，醉酒驾车的人用小写字母如表示）19. 某校从高二年级学生中随机抽取 60 名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，… ，后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ ）求分数在内的频率；（Ⅱ ）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分；（Ⅲ ）用分层抽样的方法在 80 分以上（含 80 分）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取 2 人，求其中恰有 1 人的分数．不低于90 分的概率．20. 设椭圆的左、右焦点分别、，点是椭圆短轴的一个端点，且焦距为 6 ，的周长为 16 ．（Ⅰ ）求椭圆的方程；（Ⅱ ）求过点且斜率为的直线被椭圆所截的线段的中点坐标．21. 已知圆，定点 N （ 1 ， 0 ），是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为曲线。
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2019学年河北省高二上周考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 由，得到
用的是（）
A ．归纳推理 _________
B ．演绎推理 _________
C ．类比推理
_________ D ．特殊推理
2. 在，、分别为、的中点，则有，这个问
题的大前提为（）
A ．三角形的中位线平行于第三边___________
B ．三角形的中位线等于第三边的一半
C ．为中位线
D ．
3. 用反证法证明命题“ 是无理数”时，假设正确的是（）
A ．假设是有理数
B ．假设是有理数
C ．假设或是有理数 ______________________________
D ．假设
是有理数
4. 用数学归纳法证明：时，由
到左边需要添加的项是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5. 已知，，猜想的表达式为（）
A ． ______________
B ． ______________
C ．
______________ D ．
6. 已知且，则不能等于
（）
A ． ___________________________________
B ．
C ．
D ．
7. 对“ 是不全相等的正数”，给出下列判断：
① ；② 与及中至少有一个成立；
③ 不能同时成立，其中判断正确的个数为（）
A ． 0个 ______________
B ． 1个 ______________
C ． 2个
______________ D ． 3个
8. 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形
状完全相
同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有（）
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱住；⑤两个正四棱椎．
A ． 4个 ______________
B ． 3个 ______________
C ． 2个______________
D ． 1个
9. 数列满足，则等于（）
A ． ______________
B ． -1 ______________
C ． 2 ______________
D ． 3
10. 定义在R上的函数满足，且在上为
增函数．已知且，则的值（） A ．恒小于0 B ．恒大于0
C ．可能等于0 ___________________________________
D ．可正也可负
二、填空题
11. 从中，可得到一般规律为________ ．
12. ，经计算得，，
，，，推测当时，有________ ．
三、选择题
13. 如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n个图有个“树枝”，则与之间的关系是________ ．
四、填空题
14. 在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比为
，把这个结论类比到空间：三棱锥中（如图所示），面
平分二面角且与相交于，则得到的类比的结论是________ ．
五、解答题
15. 把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立；（1）如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
（2）如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
16. 能否为同一等差数列中的三项？说明理由．
17. 设为实数，求证：．
18. 设为一个三角形的三边，，且，试证：
．
19. 数列满足，前n项和．
（1）写出；
（2）猜出的表达式，并用数学归纳法证明．
20. 设，是否存在关于自然数n的函数，使等式
对于的一切自然数都成立？并证明你的结论．
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】。