高中数学 4.3.2空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
高中数学第4章圆的方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课件新人教A版必修2
设点 P(a，b，c)为空间直角坐标系中的点，则
对称轴(或中心或平面) 点 P 的对称点坐标
原点
(－a，－b，－c)
x轴
(a，－b，－c)
y轴
(－a，b，－c)
z轴
(－a，－b，c)
xOy 平面
(a，b，－c)
yOz 平面
(－a，b，c)
xOz 平面
(a，－b，c)
关于谁谁不变，其它变相反
3．空间两点间的距离公式
『规律方法』 确定点(x0，y0，z0)的位置的四种方法 方法一 确定点(x0，y0，z0)的位置，可以通过从原点出发先沿x轴移动|x0|个 单位长度，再沿y轴移动|y0|个单位长度，然后沿z轴移动|z0|个单位长度得到． 注意：沿坐标轴正向还是负向移动由x0，y0，z0的符号决定． 方法二 在x轴上找出点M1(x0,0,0)，过点M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴 上 找 出 点 M2(0 ， y0,0) ， 过 点 M2 作 与 y 轴 垂 直 的 平 面 β ； 最 后 在 z 轴 上 找 出 点 M3(0,0，z0)，过点M3作与z轴垂直的平面γ，于是平面α，β，γ交于一点，该点即 所求点(x0，y0，z0)．
平面上任意两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)之间的距离公式|AB|＝ x1－x22＋y1－y22， 那么空间中任意两点 A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样的呢？
1．空间直角坐标系
定义 画法
以空间中两两__垂__直____且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标 __原__点____，x轴、y轴、z轴叫做_坐__标__轴___.通过每两个坐标轴的平面叫做 _坐__标__平__面_，分别称为xOy平面、yOz平面、__z_O_x____平面
高中数学 4.3.2空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
当 x＝78时，|AB|有最小值 57＝ 735，
此时 A87，277，79，B1，272，67. 点评：解决该类问题的关键是根据点的坐标特征，利用方程的思想求
出未知量．
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栏 目 链 接
8
例 3 正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 与 平面 ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM＝BN＝a(0<a< 2)，求 a 为何值时，MN 的长最小．
4．3.2 空间两点间的距离公式
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1
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栏 目 链 接
2
掌握空间两点间的距离公式，灵活运用公式，初 步建立将空间问题向平面问题转化的思想意识．z
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3
栏
典例精析
目 链
接
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4
题型一 求空间两点间的距离
如图所示，在长方体 OABCO1A1B1C1 中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，
13，精∴选O
5
在 Rt△ODA 中，OD2＝y·OA，
36 ∴y＝123＝1183.
在 Rt△ODC 中，OD2＝x·OC，
36
栏
∴x＝133＝1123.∴D1123，1183，0.
目 链 接
∴|O1D|＝
11232＋11382＋4＝
1113424＝2 12386.
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7
题型二 空间两点距离公式的应用
例 2 已知 A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值
时 A，B 两点的坐标，并求此时的|AB|.
解析：由空间两点间的距离公式得|AB|＝
人教A版高中数学必修2《4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_10
4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。
人教A版高中数学必修二4.3.2 空间两点间的距离公式课件
1.点P(x , y , z) 在下列坐标平面
中的射影点为：
(1）在xoy平面射影点为 P1_____(x_,_y,_0_) _;
(2)在xoz平面射影点为 P2______(x_,0_,_z)_;
(3)在yoz平面射影点为 P3______(0_,_y,_z_) ;
z P2
P3
P(x,y,z)
O
方法一：过M点作xOy面的垂线，垂足为 P0点。点P0在坐标系xOy中的坐
标x、y依次是P点的横坐标、纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 P1在z轴
上的坐标z就是P点的竖坐标。
x
xＸ
z
z P1
1
•o
1
1
P点坐标为
•P
(x,y,z)
y Ｙ
y
•
P0
方法二：过M点分别做三个平面分别垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴 的交点分别为P、Q、R，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z) 就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值 叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。
y
P1 x
2.点P(x , y , z) 关于坐标平面的对称点：
（1）关于xoy平面对称的点P1为_（_x_，_y_，_-_z）___; （2）关于yoz平面对称的点P2为_（_-_x，__y，__z）___; （3）关于xoz平面对称的点P3为_（_x_，__-y_，__z）__;
z
P(x,y,z)
O
y
x
探究3：空间两点间的距离公式
平面直角坐标系
平面上两点间的距离公式是什么？
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
高中数学 第四章 圆与方程 4.34.3.2 空间两点间的距离
4.3.2 空间两点间的距离公式A级基础巩固一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P(3，1，5)关于平面yOz对称的点的坐标为( )A．(－3，1，5) B．(－3，－1，5)C．(3，－1，－5) D．(－3，1，－5)解析：由于点关于平面yOz对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为相反数，即对称点坐标是(－3，1，5)．答案：A2．点P(2，3，4)到y轴的距离是( )A.13 B．2 5C．5 D.29解析：点P在y轴的射影P′为(0，3，0)，所以|PP′|＝22＋42＝20＝2 5.答案：B3．若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.答案：D4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(02，3)C．(1，0，3) D．(1，2，0)解析：点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)．答案：D5．点A(1，2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )A．2 5 B．4C ．2 2D ．27解析：点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1，2，1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2，1)，故|BC |＝（1－1）2＋（2＋2）2＋（1－1）2＝4.答案：B二、填空题6．如图所示的坐标系中，单位正方体顶点A 的坐标是_________．解析：点A 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影分别是B 1、D 1、C ，故A 点坐标为(1，－1，－1)．答案：(1，－1，－1)7．在空间直角坐标系中，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1，2)，其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1，2)，中心M (0，1，2)所以C 1(－3，3，2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－（－3）]2＋（－1－3）2＋（2－2）2＝213， 所以正方体的棱长为2133＝2393. 答案：23938．给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点P 0(4，1，2)的距离为30，则P 点坐标为______________________________．解析：设点P 的坐标为(x ，0，0)，由题意，得|P 0P |＝30，即（x －4）2＋12＋22＝30. 所以x ＝9或x ＝－1.所以P 点坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．答案：(9，0，0)或(－1，0，0)三、解答题9．已知A (3，2，1)，B (1，0，4)，求：(1)线段AB 中点的坐标和A 与B 的距离；(2)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件，并指出方程表示什么图形．解：(1)M (x ，y ，z )是AB 的中点，则x ＝3＋12＝2， y ＝2＋02＝1，z ＝1＋42＝52， 所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，1，52. 两点间的距离|AB |＝（1－3）2＋（0－2）2＋（4－1）2＝17.(2)由P (x ，y ，z )到A 、B 两点的距离相等． 则（x －3）2＋（y －2）2＋（z －1）2＝（x －1）2＋（y －0）2＋（z －4）2，化简得4x ＋4y －6z ＋3＝0.即到A 、B 的距离相等的点的坐标(x ，y ，z )满足的条件是4x ＋4y －6z ＋3＝0.方程表示的图形是线段AB 的垂直平分面．10.如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，所以C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)， 由中点坐标公式可得，D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)，所以|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.B 级 能力提升1．在空间直角坐标系中的点P (a ，b ，c )，有下列叙述：①点P (a ，b ，c )关于横轴(x 轴)的对称点是P 1(a ，－b ，c )；②点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a ，－b ，－c )；③点P (a ，b ，c )关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(a ，－b ，c )；④点P (a ，b ，c )关于坐标原点的对称点为P 4(－a ，－b ，－c )．其中正确叙述的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：对于①，点P (a ，b ，c )关于横轴的对称点为P 1(a ，－b ，－c )，故①错；对于②，点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(－a ，b ，c )，故②错；对于③，点P (a ，b ，c )关于纵轴的对称点是P 3(－a ，b ，－c )，故③错；④正确．答案：C2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0，1，1)，C (0，1，0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0， 则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以 |EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：418 3．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、AB 、C 1B 1、CB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)在四边形ABB 1A 1内找一点P ，使△ABP 为正三角形．(2)能否在MN 上求得一点Q ，使△AQB 为以AB 为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)因为EF 是AB 的中垂线，在平面ABB 1A 1内只有EF 上的点与A ，B 两点的距离相等，A (2，0，0)，B (0，4，0)，设点P 坐标为(1，2，z )，由|PA |＝|AB |，得 （1－2）2＋（2－0）2＋（z －0）2＝20， 所以z 2＝15.因为z ∈[0，4]，所以z ＝15，故平面ABB 1A 1内的点P (1，2，15)使得△ABP 为正三角形．(2)设MN 上的点Q 坐标为(0，2，z )．因为△AQB 为直角三角形，所以|QF |＝12|AB |. 即（0－1）2＋（2－2）2＋（z －0）2＝1220，整理，得z 2＋1＝5，所以z 2＝4.因为z ∈[0，4]，所以z ＝2.故MN 上的点Q (0，2，2)使得△AQB 为直角三角形．。
高中数学人教A版必修二4.3.2 空间两点间的距离公式
例 2 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x 2 2 2 3 2 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2, PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
小结
• 空间两点间的距离公式：
• 点 P（x，y，z）与坐标原点O的距离公式：
问题解决
1、在空间直角坐标系中标出下列各点：
A(0,2,4) C(0,2,0)
B(1,0,5) D(1,3,4)
A B
D C
例 1 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
z
P1
P2
O
y
x
P1P2 MN x1 x2 2 y1 y2 2
思考9:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2
的距离如何计算？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考10:在上述图形背景下，点P1（x1，y1，z1）与P2 （x2，y2，z2）之间的距离是
它对任意两点P1、P2都成立吗？
z
O
P
y
x
【数学】4.3.2《空间两点间的距离公式》课件(新人教A版必修2).pptx
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4.3.2《空间两点间 的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式
• 教学重点和难点 • 重点：空间两点间的距离公式 • 难点：一般情况下，空间两点间
的距离公式的推导。
问题提出
1.在平面直角坐标系中两点间的距 离公式是什么？
2.在空间直角坐标系中，若已知两 个点的坐标，则这两点之间的距离 是惟一确定的，我们希望有一个求 两点间距离的计算公式，对此，我 们从理论上进行探究.
z），C（x，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
B
| OA |= x 2 + y 2
C
O
y
x
A
| OB |= y 2 + z 2 , | OC |= x 2 + z 2
思考3:在空间直角坐标系中，设点P （x，y，z）在xOy平面上的射影为M， 则点M的坐标是什么？|PM|,|OM|的 值分别是什么？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考5:在上述图形背景下，点P1（x1，y1， z1）与P2（x2，y2，z2）之间的距离是 它对| P1任P2意|= 两(点x1 P- 1、x2)P2 2+都(y成1 -立y吗2)2？+ (z1 - z2)2
理论迁移
例1在空间中，已知点A(1,0,-1)， B(4,3,-1)，求A、B两点之间的距离.
例2已知两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)， 点P在z轴上，若|PA|=|PB|，求点P 的坐标.
例3如图，点P、Q分别在棱长为1的 正方体的对角线AB和棱CD上运动， 求P、Q两点间的距离的最小值，并 指出此时P、Q两点的位置.
数学：432《空间两点间的距离公式》课件新人教A版必修2
通过中点坐标公式，可以方便地找到线段的中点，进而用于 计算线段的长度、确定平行线间的距离、进行向量加法运算 等。
中点坐标计算实例
总结词
通过具体的例子，演示如何使用中点坐标公式进行计算。
详细描述
例如，已知线段两端点A(1,2)和B(4,5)，使用中点坐标公式可以计算出中点M的 坐标为(2.5,3.5)。
CHAPTER 04
空间中线段的斜率与方向向量
斜率与方向向量的关系
斜率是描述线段在空间中倾斜程度的 数值，而方向向量则表示线段的方向 。
在三维空间中，线段的斜率与方向向 量之间的关系可以用数学公式表示， 为研究空间几何提供了重要的理论基 础。
斜率与方向向量的关系密切，斜率可 以通过方向向量计算得出，反之亦然 。
公式
如果点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)是空间中的两点，那么它们之 间的距离d可以通过以下公式计算 ：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2y1)^2 + (z2-z1)^2]。
公式推导过程
利用勾股定理推导
通过勾股定理，我们可以推导出空间两 点间的距离公式。设线段AB为两点间的 距离，过点A和B分别作垂直于线段AB的 两个平面，分别交线段AB于点C和D。利 用勾股定理，我们可以得到AC^2 + CD^2 = AD^2，其中AC和CD分别是点 A到平面BCD的距离和平面BCD到点D的 距离，AD是线段AB的长度。通过这个等 式，我们可以推导出空间两点间的距离 公式。
线段长度与时间的关系
在物理学中，物体的运动轨迹可以表示为线段，线段的长度与物体 运动的时间有关。
线段长度与速度的关系
在物理学中，物体的运动速度可以表示为线段长度与时间的比值， 即线段长度与速度有关。
高中数学 4.3.2空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
点P1（x1,y1,z1）P2（x2,y2,z2）
间的距离公式吗？
请小组合作完成学案上的研究
四人小组讨论完成以下任务
猜想公式 证明猜想 记录过程 交流分享
空间中点P1(X1,Y1,Z1),P2(X2,Y2,Z2)之间的距离
P1P2 x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2
P(x,y,z)与原点间的距离 OP x2 y2 z2
问题1
空间内一点P(x, y, z),如果OP 是定长r， 那么x2 y2 z2 r 2表示什么图形？
问题2.在z轴上求一点P，使点P到两定
点A(2,3,1)，B(5,1,0)距离相等.
变式1.空间一点P到两定点A(2,3,0)， B(5,1,0)距离相等，求其坐标满足的条件.
尝试推广——将其他平面坐标 中的公式推广到空间坐标中
我珍视类比胜于任何别的 东西,它是我最可信赖的老师, 它能揭示自然界的秘密,它应 该是最不容忽视的.
——开普勒(J·Kepler)
变式2.空间一点P到两定点A(2,3,1)， B(5,1,0)距离相等，求其坐标满足的条件.
课堂小结 |P1P2|=？
x1 x2
x1 x2 2
x1 x2 2 y1 y2 2
x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2
课后作业
回顾体会——空间坐标在解决 问题时与平面坐标的相似性
《空间中两点的距离公式》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.3.2课时)
或
z 2 z 3 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
所以存在一点C，满足条件.
为等边三角形，
课堂练习
1、在空间直角坐标系中，求点A、B的中点，并求出它们之间的距离：
(1) A(2,3,5) B(3,1,4)
(2)A(6,0,1) B(3,5,7)
2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等。
新知探究
ABC
，在平面Oyz上是否存在一点C，使
例4:已知 A( 3 ,3,3 2 ), B ( 3 ,1, 2 )
果存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3 3 3 1 3 2 2
2
2
异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b.
b
•
记作：a b
a
O
a'
新知探究
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
相交直线的垂直
垂直分为两种：
异面直线的垂直
c
c
b
a
垂直
b
a
新知探究
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
不一定
新知探究
例1 正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
(2)FO与BD所成的角？
高中数学(自主初探+核心归纳+案例展示)第四章 4.3.2 空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若D(0,0,0),A(4,0,0), B(4,2,0),A1(4,0,3),则对角线AC1的长为( )
A.9 B. 29 C.5 D.2 6
【解题(jiě tí)探究】1.已知两点的坐标如何求两点间的距离？ 2.怎样求空间一点到坐标轴的距离？ 3.对于空间图形中的两点,应如何求它们间的距离？
第二十四页，共38页。
【解析】假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.
由题意(tí yì)可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立,所
以只要再满足|MA|＝|AB|,就可以使△MAB为等边三角形.
因为|MA|＝ 32 y2 12＝ 10 y2 ,
|AB|＝2 5.
于是 10 y2＝解2得5y,＝
所以点P的 3,
第三十三页，共38页。
3.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则
该点到原点的距离是( )
A. 6
B. 3
C. 3
D. 6
【解2析(jiě xī)】选A.设2 该定点的3坐标为(x,y,z),则有x2＋y2＝
1,y2＋
z2＝1,z2＋x2＝1,三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝3.所以该点到原
所以|BD|=1,|CD|＝BCcos 30°＝ 3,
所以S△BCD＝1 ×|BD|·|CD|＝ 3 .
2
2
因为A( 3 ,)1,即,0点A到BC的距离( jùlí)为 3 ,
所以三棱2锥D2-ABC的体积为V＝1
2 3 3＝1.
答案：1
32 2 4
4
第三十一页，共38页。
1.点P(1,2,5)到平面xOy的距离是 ( )
高中数学 3.3.2两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
2．坐标法 (1)定义：通过建立平面直角坐标系，用___代__数_____方法解
决几何问题的方法称为坐标法． (2)步骤：①建立__坐__标__系____，用坐标表示有关的量：②进
行有关_代__数__运__算___；③把代数运算结果“__翻__译_____”成几何关
系．
●预习自测
1．已知点A(－3,0)，B(2,0)，则|AB|＝________. [答案] 5 2．已知点P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________. [答案] 3 2
[证明] 如图所示，E，F 分别是△ABC 的边 AB 和 AC 的中点．
以线段 BC 的中点为原点，直线 BC 为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系．
设 A(a，b)，C(c,0)，则 B(－c,0)． 则 AB 的中点 E 的坐标是(a－2 c，b2)，AC 的中点 F 的坐标 是(a＋2 c，b2)．
高效课堂
●互动探究
求平面上两点间距离
已 知 A(a,3) 和 B(3,3a ＋ 3) 的 距 离 为5，求a的值．
[探究] 利用两点间距离公式列方程解得a的值． [解析] ∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5， 即 5a2－3a－8＝0，∴a＝－1 或 a＝85.
规律总结：两点间的距离公式与两点的先后顺序无 关，也就是说公式既可以写成|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12，也 可以写成|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将有关 的几何问题转化为代数问题进行研究．
(2)若已知两定点，常以两点的中点(或一个定点)为原点， 两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；
(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直 角坐标系；
高中数学人教A版必修二4.3.2《空间两点间的距离公式》ppt课件
O A
x
M
N
Cy
B
例2：如图，以正方体的三条棱所在
直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体
的棱CD上。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
D
P
O x
a
Cy A
（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在 棱CD上 运 动 时 ， 探 究PQ 的 最 小 值 ； （2）当点Q为棱CD的中点，点P在对角 线AB上 运 动 时 ， 探 究PQ 的 最 小 值 ； （3）当点P在对角线AB上运动，点Q在 棱CD上 运 动 时 ， 探 究PQ 的 最 小 值 ； 由以上问题你得到什么结论？你能证明 你的结论吗?
探究4：在空间直角坐标系中，P1( x1，y1，z1 ) P2( x2，y2，z2 )间的距离是________。
学法小结
空间亮点的距离公式
典例精析
例1：如图，正方体OABC D' A' B' C'的
棱长为a， AN 2 CN ， BM 2 MC' ，求M
N的长
z
D’
C’
A’
B’
问题探究
探究1：在空间直角坐标系中标出A，B 两点，再求它们之间的距离： （1）A(2，3，5)，B(3，1，4)； （2）A(6，0，1)，B(3，5，7)；
探究2：在空间直角坐标系Oxyz中，任意 一点p( x，y，z)与原点间的距离是________。
探究3：如果OP 是定长r，那么x2 y2 z2 r 2表示什么图形？
[家庭作业]
《考向标》P101－P103
高中数学4.3.2 空间两点距离公式优秀课件
别为x轴、y轴和z轴，建立如下图的空间直角坐
标系.
因为|BC|＝1，|CM|＝a，点M在坐标平面xBz内，
且所在以正M方 2形2aA，B0C，D1的－对22角a线. 上，
因为点N在坐标平面xBy内，且在正方形ABEF的对角线上，|BN|＝a，
解后反思
解析答案
所以
N
22a，
22a，0.
(1)由空间两点间的距离公式，得
ABCO-A′B′C′D′,则 A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为( B )
(A) 2 a (C)a
(B) 2 a 2
(D) 1 a 2
解析:由题图易知 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a),
F(a, a ,0),E( a , a , a ).
2
222
|MN|＝
22a－
22a2＋0－
22a2＋1－
22a－02＝
a2－
2a＋1，
即 MN 的长度为 a2－ 2a＋1.
(2)由(1)，得|MN|＝ a2－ 2a＋1＝
a－
222＋12.
当 a＝ 22(满足 0＜a＜ 2)时，
即
MN
的长度最短，最短为
2 2.
a－
222＋21取得最小值，
解后反思
题型探究
设棱长为
1，则
A(1,0,0)，B1(1,1,1),P(
1 2
,
1 2
),1
由空间两点间的距离公式，得
|AP|＝ 1－122＋0－122＋0－12＝ 26，
|B1P|＝ 1－122＋1－122＋1－12＝ 22，
|AB1|＝ 1－12＋0－12＋0－12＝ 2.
数学】432《空间两点间的距离公式》课件新人教A版必修
向量的模长
在空间两点间的距离公式的推导 过程中，需要用到向量的模长。 向量的模长表示向量的大小，其 计算方法为向量的各个分量平方
和的平方根。
坐标系的应用
在空间两点间的距离公式的应用 中，需要使用三维坐标系来表示 点的位置。通过点的坐标，可以
方便地计算两点之间的距离。
03
公式推导的证明
径等。
数学问题求解
在数学问题中，空间两点间的距离 公式可以用于解决几何、代数、微 积分等领域的问题。
科学计算
在科学计算中，空间两点间的距离 公式可以用于计算物理量之间的距 离，如质点间的距离、分子间的距 离等。
公式理解
距离的概念
空间两点间的距离公式是用来计 算两点之间的最短路径，即两点 之间的直线距离。这个概念在几 何学中非常重要，是描述点与点
实际应用三
总结词
物理学中的运动学研究
详细描述
在物理学中，空间两点间的距离公式被广泛应用于运动学研究。例如，在计算物体在空间中的位移、 速度和加速度等方面，都需要使用该公式。通过结合时间变量，我们可以进一步研究物体的运动轨迹 和规律。
05
总结与回顾
本课重点回顾
空间两点间的距离公式
本课介绍了如何使用三维坐标系中的两个点来计算它们之 间的距离，这是通过使用毕达哥拉斯定理和欧几里得距离 公式来实现的。
问题中的应用。
学习目标
理解空间两点间的距离公式的基 本概念和计算方法。
掌握如何利用空间两点间的距离 公式解决实际问题，如计算两点 间的最短路径、求解点到直线的
距离等。
培养数学逻辑思维和空间想象能 力，提高分析和解决问题的能力
。
02
空间两点间的距离公式
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MN x 1x 22 y 1y 22
思考2:若直线P1P2垂直于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z
P2
O
P1
y
x
P1P2 z1z2
思考3:若直线P1P2平行于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z P1
O
xM
P2
y N
P 1 P 2 M N x 1 x 2 2 y 1 y 2 2
练1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，
B(2,3,4)，C(3,1,5)，求:
(2)BC边上中线AM的长。
解:
x y z
23
2 31
2 45
2
5 2 2
9 2
M
5 2
,2,
9 2
例 2设 P 在 x 轴 上 ， 它 到 P 1 (0 , 2 ,3 )的 距 离 为 到 点 P 2(0 ,1 , 1 )的 距 离 的 两 倍 ， 求 点 P 的 坐 标 .
zy
42或z
y 3
0 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
所以存在一点C，满足条件.
【总一总★成竹在胸】
一、空间两点间的距离公式：
d (x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2
二、空间中点坐标公式：
x
x1 x2 2
y
y1 y2 2
z
z1 z2 2
M2M3 M3M1, 原结论成立.
练1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (1)三角形三边的边长；
解: A B 1 2 2 5 3 2 2 4 2 3
B C 2 3 2 3 1 2 4 5 26 A C 1 3 2 5 1 2 2 5 229
思考4:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
P 1 P 2 x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 z 1 z 2 2
思考与探究2：如果P1(x1，y1，z1), P2(x2，y2，z3),|P1P2|如何计算？
方法一：射影法 方法二：向量法 z
y
y1 y2 2
z
z1 z2 2
例 1求 证 以 M 1(4 ,3 ,1 )、 M 2(7 ,1 ,2 )、 M 3(5 ,2 ,3 )
三 点 为 顶 点 的 三 角 形 是 一 个 等 腰 三 角 形 .
解 M1M22 (7 4 )2 (1 3 )2 (2 1 )2 1,4 M2M32 ( 5 7 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 3 2 ) 2 6 , M3M12 ( 4 5 ) 2 ( 3 2 ) 2 ( 1 3 ) 2 6 ,
P 1 P 2 (x2 x 1 ,y2y 1 ,z2 z1) P1
P2
即： 结论2
y
x
|P 1 P 2 |x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 z 1 z 2 2
二、空间中点坐标公式：
在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和
点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
Байду номын сангаас
x
x1 x2 2
解 因 为 P 在 x 轴 上 ， 设P点坐标为 (x,0,0),
PP1 x2 2232 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2, PP1 2PP2 , x2 11 2 x2 2
x1, 所求点为 (1 ,0 ,0 ),( 1 ,0 ,0 ).
练2:已知 A ( 3,3,32)B ,( 3,1, 2)，在平面 Oyz上是否存在一点C，使ABC为等边三角 形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。
类比
猜想
空 间 ： |P 1 P 2 |( x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 ( z 1 z 2 ) 2
知识探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），
P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影
分别为M、N.
P2
z
O P1 xM
y N
思考1:点M、N之间的距离如何？
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
ABACBC
3
3 2 312 3
2
2
2
302 3y2 3
2
2z
302 1y2
2
2z
练2:已知 A ( 3,3,32)B ,( 3,1, 2)，在平面 Oyz上是否存在一点C，使ABC为等边三角 形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。
y
①射影法 ②关系点法
x
长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？
d
c
a
b
d a2b2c2
在空间直角坐标系中点O(0，0，0)到 点P(x0，y0，z0)的距离，怎么求？
z
d O
y 0
x
P
z0
y
x0
d x02y02z02
两点间距离公式
平 面 ： |P 1 P 2|(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2
复习
1.空间直角坐标系中中点公式：
则P1P2中点A坐标，及向量 P1 P2 的坐标分别
为：A(x1x2,y1y2,z1z2)
222
P1(x1，y1，z1), p2(x2，y2，z3)
P 1 P 2 (x2 x 1 ,y2y 1 ,z2 z1)
z
2.对称点的求法
A
关于谁对称谁不变，其他的取相反数
3.空间点坐标的求法：