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分析力学PPT课件
则约束方程为：
x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2
f (x, y, z,t) x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2 0
（3）可解约束和不可解约束 a 可解约束：只从一侧限制系统运动的约束，
即单方向约束 如甲虫在气球内（或外）但可飞离球面 x2 y2 z2 R2 或 x2 y2 z2 R2
1、广义坐标定义 任何 f 个可以完全确定（刻化）系统（f 个
自由度）位置的变量 q1, q2 , q f 称为该系统的广
义坐标，其对时间的导数则称广义速度。 （1）对完整约束，广义坐标数目与自由度数
目相等; （2）广义坐标的选择不是唯一的，并且是任
意的，长度、角度、面积、能量、电量、电流， 电极化强度 P ，磁化强度 M 等都可以作广义坐标;
2、问题的提出：导出理论的思路 实际问题是每个质点受到的作用力中还包括由
于维持约束而出现的约束力（或约束反力），这些 力都是未知的，而且与体系的运动有关，这使问题 更为复杂。分析力学把这类力的存在当做处理难点 来建立力学理论。
还是从质点组出发，但用一个受有约束的质点 组可以概括广泛的力学研究对象——非自由体系。
反映约束条件的方程称其约束方程
2、约束力：为维持约束而加于系统的力称为约 束力（也称约束反力）
（1）约束力可以是物体间相互接触而产生的力 （如桌面对其上物体的支持力），也可以是物体内 各部分的相互作用力（刚体内各质点间的作用力） （2）约束力在动力学问题未解出之前一般是未知 的 （特 殊 情 况 为 已 知 如 桌 面 对 物 体 的 支 撑 力 为 mg ），约束的存在并没有因事先知道了部分运动 情况而使求解变得简单，常常反而使问题变得更复 杂了
（3）约束力的大小和方向与约束有关，还与 外力及运动状态有关，可按约束运动的需要自动 调节，是一种因运动，外力而变化的被动力
x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2
f (x, y, z,t) x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2 0
（3）可解约束和不可解约束 a 可解约束：只从一侧限制系统运动的约束，
即单方向约束 如甲虫在气球内（或外）但可飞离球面 x2 y2 z2 R2 或 x2 y2 z2 R2
1、广义坐标定义 任何 f 个可以完全确定（刻化）系统（f 个
自由度）位置的变量 q1, q2 , q f 称为该系统的广
义坐标，其对时间的导数则称广义速度。 （1）对完整约束，广义坐标数目与自由度数
目相等; （2）广义坐标的选择不是唯一的，并且是任
意的，长度、角度、面积、能量、电量、电流， 电极化强度 P ，磁化强度 M 等都可以作广义坐标;
2、问题的提出：导出理论的思路 实际问题是每个质点受到的作用力中还包括由
于维持约束而出现的约束力（或约束反力），这些 力都是未知的，而且与体系的运动有关，这使问题 更为复杂。分析力学把这类力的存在当做处理难点 来建立力学理论。
还是从质点组出发，但用一个受有约束的质点 组可以概括广泛的力学研究对象——非自由体系。
反映约束条件的方程称其约束方程
2、约束力：为维持约束而加于系统的力称为约 束力（也称约束反力）
（1）约束力可以是物体间相互接触而产生的力 （如桌面对其上物体的支持力），也可以是物体内 各部分的相互作用力（刚体内各质点间的作用力） （2）约束力在动力学问题未解出之前一般是未知 的 （特 殊 情 况 为 已 知 如 桌 面 对 物 体 的 支 撑 力 为 mg ），约束的存在并没有因事先知道了部分运动 情况而使求解变得简单，常常反而使问题变得更复 杂了
（3）约束力的大小和方向与约束有关，还与 外力及运动状态有关，可按约束运动的需要自动 调节，是一种因运动，外力而变化的被动力
分析力学ppt课件
例如：x y(可化为完整约束) x y(不完整约束)
完整系：只受几何约束的力学体系。(主要内容)
不完整系：约束中包括不完整约束的力学体系。
二、 广义 坐标
二、广义坐标
N 个质点，k 个约束
f ( x 1 ,y 1 ,z 1 ； x 2 ,y 2 ,z 2 ； ； x N ,y N ,z N ； t ) 0(1,2,,k)
广义坐标：相互独立的 s 个坐标 q1, q2, …，qn
不一定是长度，可以是角度等其他物理量。
例：质点(x,y,z) 限制在球壳 x2+y2+z2 = r2 上运动。
广义坐标： 和 x r si cn , o y r s si sn , iz n r cos
§5.
§5.2 虚功原理
2 虚 功 原
理
一、
实
位
一、实位移与虚位移
移 与 虚
位
移
1. 实位移：质点由于运动实际上所发生的位移，以 dr 表示
x x(t) y y(t) z z(t)
轨迹
dr
(在dt时间内)
y dr 轨迹 (在dt时间内) x
2. 虚位移：不是由于时间变化而引起，仅仅是根据质点 位置和约束条件而可能发生的位移。以 dr 表示
轨迹
dr
(没有约束)
y dr
轨迹
(平面约束)
x
dr
(线约束)
(只有两个可能方向)
3. 特点：
☆ 实位移具有唯一性，而虚位移则不唯一，甚至无限多； ☆ 在稳定约束的情况下，实位移是虚位移的一种情况； ☆ 在非稳定约束下，虚位移并不包含实位移。
二、 理 想 约 束
理论力学-分析力学及应用
流体的粘性、压缩性和传热性等特性对流体运动产生 影响。
流体动力学的应用实例
管道流动
通过分析流体在管道中的流动特性，可以优化管道设计，提高流 体输送效率。
流体机械
利用流体动力学原理设计各种流体机械，如泵、压缩机和涡轮机等。
航空航天领域
流体动力学在航空航天领域中有着广泛的应用，如飞机和火箭的设 计与优化。
07
非线性力学基础
非线性振动的分类与特点
分类
分为强非线性振动和弱非线性振动。
特点
具有复杂的动态行为，如混沌、分岔和自激振动等。
实例
弹簧振荡器在强烈非线性下的复杂振动模式。
非线性振动的求解方法
解析法
适用于简单非线性模型，如谐波平衡法、多尺度法和平均 法。
数值法
适用于复杂非线性模型，如有限元法、有限差分法和谱方 法。
描述物体的变形情况。
描述物体在力系作用下的 平衡状态。
平衡方程
几何方程
物理方程
弹性力学问题的求解方法
解析法
通过数学解析方法求解 弹性力学问题，得到精 确解。
有限元法
将物体离散化为有限个 小的单元，通过求解这 些单元的力学行为来近 似求解整个物体的力学 行为。
边界元法
将物体边界离散化为有 限个小的单元，通过求 解这些单元的边界力学 行为来近似求解整个物 体的力学行为。
（N）。力的方向可以通过箭头表示，箭头的长度代表力的大小。力的作用点对确定物体运动状态的改变十分重要，尤其是在分析扭矩或力矩时。等效力矩是保持力系对某点或某轴的 矩不变的与原力系等效的力系，其作用线到某固定点的距离的平方值与对应的原力系的作用线到某固定点的距离的平方值相等。
03
角动量定理与刚体动力学
流体动力学的应用实例
管道流动
通过分析流体在管道中的流动特性，可以优化管道设计，提高流 体输送效率。
流体机械
利用流体动力学原理设计各种流体机械，如泵、压缩机和涡轮机等。
航空航天领域
流体动力学在航空航天领域中有着广泛的应用，如飞机和火箭的设 计与优化。
07
非线性力学基础
非线性振动的分类与特点
分类
分为强非线性振动和弱非线性振动。
特点
具有复杂的动态行为，如混沌、分岔和自激振动等。
实例
弹簧振荡器在强烈非线性下的复杂振动模式。
非线性振动的求解方法
解析法
适用于简单非线性模型，如谐波平衡法、多尺度法和平均 法。
数值法
适用于复杂非线性模型，如有限元法、有限差分法和谱方 法。
描述物体的变形情况。
描述物体在力系作用下的 平衡状态。
平衡方程
几何方程
物理方程
弹性力学问题的求解方法
解析法
通过数学解析方法求解 弹性力学问题，得到精 确解。
有限元法
将物体离散化为有限个 小的单元，通过求解这 些单元的力学行为来近 似求解整个物体的力学 行为。
边界元法
将物体边界离散化为有 限个小的单元，通过求 解这些单元的边界力学 行为来近似求解整个物 体的力学行为。
（N）。力的方向可以通过箭头表示，箭头的长度代表力的大小。力的作用点对确定物体运动状态的改变十分重要，尤其是在分析扭矩或力矩时。等效力矩是保持力系对某点或某轴的 矩不变的与原力系等效的力系，其作用线到某固定点的距离的平方值与对应的原力系的作用线到某固定点的距离的平方值相等。
03
角动量定理与刚体动力学
分析力学基础PPT课件
f
k(r1 ,
r2
,
rn
)
0
k 1,2,,s
用q1、q2、…qN表示质点系广义坐标： N 3n s
对完整约束质点系，各质点坐标可表示为广义坐标的函数。
ri
ri
(q1
,
q2
,,
q
N
)
进行变分计算：
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
描述质点系在空间位置的独立参数，称广义坐标； 完整系统，广义坐标数目等于自由度数目。
×
若质点限定在半球面上运动，球半 径为R，是具有1个质点的空间质点 系，自由度数为3，有1个约束方程：
z l2 (x2 y2)
n 1, s 1
z
M
y 自由度数为： N 3n s 3 1 2
F1
y A
2
(F2
y B
2
F xA )
2
F1l2 sin 2 F2l2 sin 2 Fl2 cos2
0
×
F1l1 sin1 F2l1 sin1 Fl1 cos1 0 F1l2 sin2 F2l2 sin2 Fl2 cos2 0 ri q N来自q NN
ri
k 1 qk
qk
×
xi xi (q1, q2 ,, qN ) yi yi (q1, q2 ,, qN ) zi zi (q1, q2 ,, qN )
ri xii yi j zik
ri
xii yi
1
l1
第五章 分析力学ppt课件
或
不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和 不等式表示。
5.1
约束与广义坐标
第5章 分析力
③几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）
某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速
度没有限制, 这种约束称为几何约束 (geometrical constraint )。可 表示为
f r , r , r , , t 0 1 2 3
§5.0
引言
第5章 分析力
5 提出新的力学原理代替牛顿定律
牛顿力学 矢量力学 力学第一原理 拉格朗日方程 拉格朗日力学 （相当于“几何公理” ） 哈密顿力学 哈密顿原理
三者本质上相同，可以相互证明 利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格 郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世 界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨 论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
5.1
约束与广义坐标
分析力学教学ppt课件
精选ppt课件
37
5. 虚位移的几何意义
f (x, y, z) 0 ——约束方程
f (x x, y y, z z) 0
f (x x, y y, z z) f (x, y, z) f x f y f z 0
M
dre
在dt内，斜面位移为dre，物块的实 位移为dr 。根据合成运动理论，有
v0
drr
dr M'
dr = dre + drr = MM‘ dre = v0dt ---牵连位移 drr ---物块相对斜面的位移
dre
δr2
M
δr1
物块M的虚位移可以是沿斜面向下的 δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因为 δr1，δr2都是约束所容许的。
y
o
x
φl
A
ωr
l
o
B x
y
M
x2 y2 l2
x
2 A
y
2 A
r2
(xA xB )2 ( yA yB )2 l2
y 0 精选ppt课B 件
23
运动约束：当质点系运动时受到的某些运动 条件 的限制称为运动约束(非完整约束)。
• 即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制， 而且有速度或角速度方面的限制。
• 如：车轮在直线轨道上作纯滚动（轨道限制轮心作直线
运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。）
y
r
C Mφ
M
o xC
ω
C
轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为
vC
yC = r
或 yC = r
P
x
vC－rω=0
xC r 0
瞬心 精选ppt课件
第五章分析力学
代人(3)式得
2P cos
Q cos
Q cos
sin sin
0
是独立的
P Q ctgtg 1
2
四、广义力
1、广义力
主动力的虚功
W
Fi
ri
而其中ri
i
一般不是独立的。
下面将用广义坐标来描述主动力的虚功，来表示
虚功原理。
则：
ri
ri (q1,
q2
qs ,t)
(i 1,2,n)
第五章 分析力学
理论力学牛 分顿 析力矢学量力学
一、分析力学的产生和发展
1. 产生背景 十八、九世纪工业革命，手工业生产发展为机器生产，
在工程技术上，从大机器(连杆机构、轮系联动机构等)中 提出了许多迫切要求解决的实际问题，很多是属于质点系
(或刚体系)的约束运动问题。机构越复杂 设质点数为 n ， 约束越多设受k个约束，方程数目越多方程数为3n k，用牛顿
Q 0
α=1、2、……s
上式即为受理想完整约束的力学体系在广义坐标中 的平衡方程
3、广义力的物理意义
Q
n i 1
Fi
ri q
n i 1
Fix
xi q
Fiy
yi q
Fiz
zi q
是力学体系诸主动力在广义坐标轴qα上的投影之和。
举例：质点作直线运动
y
取x、y为一般坐标，r为广义坐标。
Fc Qj rC yC j
Q
由，W
n
Fi
ri
0，得
y
i1
Pi (xBi yB j ) Qj yC j
x
A
W Fi ri Px B QyC 0
2P cos
Q cos
Q cos
sin sin
0
是独立的
P Q ctgtg 1
2
四、广义力
1、广义力
主动力的虚功
W
Fi
ri
而其中ri
i
一般不是独立的。
下面将用广义坐标来描述主动力的虚功，来表示
虚功原理。
则：
ri
ri (q1,
q2
qs ,t)
(i 1,2,n)
第五章 分析力学
理论力学牛 分顿 析力矢学量力学
一、分析力学的产生和发展
1. 产生背景 十八、九世纪工业革命，手工业生产发展为机器生产，
在工程技术上，从大机器(连杆机构、轮系联动机构等)中 提出了许多迫切要求解决的实际问题，很多是属于质点系
(或刚体系)的约束运动问题。机构越复杂 设质点数为 n ， 约束越多设受k个约束，方程数目越多方程数为3n k，用牛顿
Q 0
α=1、2、……s
上式即为受理想完整约束的力学体系在广义坐标中 的平衡方程
3、广义力的物理意义
Q
n i 1
Fi
ri q
n i 1
Fix
xi q
Fiy
yi q
Fiz
zi q
是力学体系诸主动力在广义坐标轴qα上的投影之和。
举例：质点作直线运动
y
取x、y为一般坐标，r为广义坐标。
Fc Qj rC yC j
Q
由，W
n
Fi
ri
0，得
y
i1
Pi (xBi yB j ) Qj yC j
x
A
W Fi ri Px B QyC 0
分析力学总结 PPT
保守系统：
q
H p
p
H q
7. 变分法 (Variational method )
J t1 f (t, q, q)dt 取极值的条件 t0
d dt
f q
f q
0
8. 正则变换 (Canonical transformations )
(q, p,t) (Q, P,t)
p q
H
PQ
K
dF dt
空间均匀性 空间各向同性 时间均匀性
动量守恒 角动量守恒 能量守恒
二. 原理 方程 方法
1. 虚功原理 (Principle of virtual work)
受理想的、稳定的几何约束的系统平衡状态的充要条件为：
在此状态下，所有主动力在任意虚位移上做功之和等于零。
W
Fi
ri
0
Q 0
Q
V q
保守力
11. 拉格朗日函数 (The Lagrangian)
L T V L(q, q,t)
12. 哈密顿函数 (The Hamiltonian)
H pq L qq,p H(q, p,t)
H p q L 2T2 T1 (T2 T1 T0 V ) T2 T0 V 保守系统受稳定约束时变换方程不显含t，T1 T0 0,T T2
q q (Q0, P0, t)
p
p (Q0, P0, t)
F2 (q, P, t) S(q, P0, t)
H (q1, q2,, q f
S , q1
S , q2
,, S q f
,t)
S t
0
H不显含t时，可令
S(q, P0,t) W (q, P0 ) Et A
分析力学-总结
分析力学-总结
• 分析力学概述 • 牛顿运动定律与动量守恒 • 经典力学中的拉格朗日力学 • 相对论力学与量子力学 • 分析力学的应用领域 • 分析力学的未来发展与挑战
01
分析力学概述
定义与特点
定义
分析力学是经典力学的一个分支 ，主要研究质点和刚体的运动以 及它们之间的相互作用。
特点
分析力学以数学分析为工具，通 过建立数学模型来描述物理现象 ，具有高度的理论性和抽象性。
变。
表达式
L = r × p = constant，其中L为 角动量，r为位置矢量，p为动Байду номын сангаас。
应用领域
在旋转运动中广泛应用，如行星 运动、陀螺仪等。
03
经典力学中的拉格朗日力学
拉格朗日方程
拉格朗日方程是分析力学中的基本方程，它描述了系统的运动状态和变化规律。
拉格朗日方程基于拉格朗日函数L，该函数由系统的动能T和势能V组成，并定义了 系统在给定时间内的运动状态。
相对论与量子力学的进一步发展
相对论力学
相对论力学是经典力学在高速运动和强 引力场条件下的扩展。相对论力学的进 一步发展需要深入研究相对论效应对物 质运动和相互作用的影响，以及在宇宙 学、天体物理等领域的应用。
VS
量子力学
量子力学是描述微观世界物质运动规律的 学科。随着纳米科技、量子计算等领域的 快速发展，量子力学在材料科学、信息科 技等领域的应用越来越广泛。进一步发展 量子力学需要解决如何将量子力学的原理 应用于实际工程中的问题，以及如何实现 量子技术的商业化应用。
THANKS
感谢观看
通过分析力学，研究卫星在地球引力、太阳辐射压和其他力作用下 的运动轨迹，确保卫星能够稳定运行和有效通信。
• 分析力学概述 • 牛顿运动定律与动量守恒 • 经典力学中的拉格朗日力学 • 相对论力学与量子力学 • 分析力学的应用领域 • 分析力学的未来发展与挑战
01
分析力学概述
定义与特点
定义
分析力学是经典力学的一个分支 ，主要研究质点和刚体的运动以 及它们之间的相互作用。
特点
分析力学以数学分析为工具，通 过建立数学模型来描述物理现象 ，具有高度的理论性和抽象性。
变。
表达式
L = r × p = constant，其中L为 角动量，r为位置矢量，p为动Байду номын сангаас。
应用领域
在旋转运动中广泛应用，如行星 运动、陀螺仪等。
03
经典力学中的拉格朗日力学
拉格朗日方程
拉格朗日方程是分析力学中的基本方程，它描述了系统的运动状态和变化规律。
拉格朗日方程基于拉格朗日函数L，该函数由系统的动能T和势能V组成，并定义了 系统在给定时间内的运动状态。
相对论与量子力学的进一步发展
相对论力学
相对论力学是经典力学在高速运动和强 引力场条件下的扩展。相对论力学的进 一步发展需要深入研究相对论效应对物 质运动和相互作用的影响，以及在宇宙 学、天体物理等领域的应用。
VS
量子力学
量子力学是描述微观世界物质运动规律的 学科。随着纳米科技、量子计算等领域的 快速发展，量子力学在材料科学、信息科 技等领域的应用越来越广泛。进一步发展 量子力学需要解决如何将量子力学的原理 应用于实际工程中的问题，以及如何实现 量子技术的商业化应用。
THANKS
感谢观看
通过分析力学，研究卫星在地球引力、太阳辐射压和其他力作用下 的运动轨迹，确保卫星能够稳定运行和有效通信。
《分析力学总结》课件
总结
重要性
作为物理学的核心学科之一， 分析力学主要研究物体运动和 相互作用力，具有广泛应用价 值。
应用广泛性
分析力学不仅涉及到结构、机 械、工程和控制等多个领域， 而且可以帮助解决设计和优化 的问题。
发展和前景
分析力学的研究和应用将助力 世界各地的工程学家和科学家， 成就更析力学诞生于18世纪末19世纪初，随着科学技术的不断进步，分析力学得到了长足的 发展。
2 研究现状
分析力学在计算机科学等多学科领域的崛起，为分析力学理论的研究和工程实践的应用 奠定了坚实的基础。
3 未来发展趋势
随着人类对宇宙和微观世界的了解的不断深入，分析力学将在科学发现和工程实践中继 续发挥着至关重要的作用。
共轭动量和泊松括号是研究动力学系统和守恒定律
分析力学应用
1
刚体动力学
2
分析刚体运动和受外力之后的角动量变
化。
3
实际问题求解
4
用数学模型，计算和解决现实工程问题， 如桥梁结构分析和控制系统设计等。
刚体运动学
研究刚体的运动状态和运动轨迹。
建立分析模型
将分析力学理论，应用于现实情况下的 工程问题。
分析力学在工程中的应用
分析力学总结
分析力学是研究物体运动和相互作用力的学科。本PPT将全面介绍分析力学的 基本概念、理论基础、应用场景、发展历程和未来趋势。
什么是分析力学？
基本概念
分析力学是研究力学系统中，物体的动力学特 性和运动的规律性的科学。它广泛用于描述和 预测机械结构及控制系统的运动和状态。
特点和应用
分析力学有高度的数学抽象性和广泛的实际应 用价值，如在航空、汽车、机械制造、船舶和 建筑工程等领域中。
《力学内容总结》课件
添加 标题
摩擦阻力：摩擦阻力是由于流体与固体壁面之间的摩擦 而产生的。
添加 标题
添加 标题
压差阻力：压差阻力是由于流体流经物体表面时，在物 体前后产生压力差而产生的。
添加 标题
减小阻力与能量损失的方法：为了减小流体流动中的阻 力和能量损失，可以采取一些措施，如优化流体流动路 径、减小流体与固体壁面之间的摩擦、降低流体流速等。
塑性力学的基本假设： 材料在受力达到一定 极限后发生塑性变形， 且变形后材料内部结 构发生变化
塑性力学的基本方程： 屈服条件、流动法则、 应力应变关系等
塑性力学的基本分析方 法：有限元法、边界元 法等
塑性力学中的应力与应变关系
应力与应变的基本概念：应力是物体受到外力作用时内部产生的抵抗力，而应变则是物 体形状的改变程度。
THANK YOU
汇报人：PPT
汇报时间：20XX/XX/XX
YOUR LOGO
塑性力学中的屈服准则与流动法则
屈服准则：屈服准则描述了材料在某个方向上开始屈服的条件，即应力达到某个临界 值 。 常 用 的 屈 服 准 则 是 Tr e s c a 准 则 和 M o h r- C o u l o m b 准 则 。
流动法则：流动法则描述了材料在屈服后，塑性变形如何进行，即塑性应 变增量与应力增量之间的关系。常用的流动法则是Cauchy-Lagrange法 则。
• a. 匀质杆：长度远大于横截面尺寸的直杆，其受力情况与杆的长度无关。 • b. 匀质细杆：长度与横截面尺寸可相比拟的直杆，其受力情况与杆的长度有关。 • c. 刚体：由若干个点组成的几何体，其受力情况与整体形状有关。
弹性变形与塑性变形
弹性变形：物体在一定范围内恢复原状的能力，具有可逆性。
《受力分析方法总结》PPT
F0M FMN
FMN
F0M
D．OM 上的张力先增大后减小
mg mg
分
析
：
如
图 s
mg i n α
s
F0 M in
β
s
FMN ,α inγ
，
m
g
不
变
.
2
2
β 由 锐 角 增 大 到 钝 角 ，sinβ 先 增 大 后 减 小， 则 F0M先 增 大 后 减 小 .
γ 由 平 角 减 小 到 直 角s.inγ 一 直 增 大 ， 则FMN一 直 增 大 .
对点练习1．两个带电小球A、B(可视为质点)通过绝缘的不可伸长的
轻绳相连，若将轻绳的某点O固定在天花板上，平衡时
且两根悬线偏离竖直方向的
。如图甲所
示。若将轻绳跨接在竖直方向的光滑定滑轮(滑轮大小可不计)两端，调
节两球的位置能够重新平衡，如图乙所示，求：
(1)两个小球的质量之比。
(2)图乙状态，滑轮两端的绳长O′A、O′B之比。
原 长 L0
L
x
L
mg 2k
.
2.求 F， 整 体 法 ， 受力 如 图
F
2 m g t a n 3 00
23 3
mg,故 选 B.
mg N F 300 2mg
一、图解法 1.研 究 问 题 ： 三 个 力的 动 态 平 衡 问 题 ， 极 值问 题 . 2.研 究 对 象 ： 已 知 一力 ， 和 一 力 的 方 向 ， 求第 三 力 . 3.解 题 方 法 ： 把 三 力平 移 构 成 力 的 矢 量 三 角形 . 步 骤 ： （ 1） 已 知 力 不动 （ 2） 先 平 移 已 知 方 向力 ， 即 反 向 延 长 已 知 方向 力 . （ 3） 再 平 移 第 三 力 ，构 成 初 始 矢 量 三 角 形 . （ 4） 根 据 情 况 画 出 第三 力 ， 看 动 态 变 化 .
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0
8. 正则变换 (Canonical transformations )
(q, p,t) (Q, P,t)
p q
H
PQ
K
dF dt
Q
K P
P
K Q
p
F1(q,Q, t) q
P
F1(q,Q, t) Q
K
H
F1(q,Q, t) .精品课t件.
p
F2 (q, P, t) q
Q
F2 (q, P, t) P
在此状态下，所有主动力在任意虚位移上做功之和等于零。
W
Fi
ri
0
Q 0
Q
V q
0
保守力
.精品课件.
8
*2. 达朗贝尔原理(d’Alembert’s principle) Fi Ri mri 0
*3. 动力学虚功原理 (Principle of virtual work for
dynamics)
分析力学 总结
宋若龙
吉林大学.精品物课件理. 学院
1
一. 概念
1. 约束 (Constraints)
限制质点或质点系自由运动的条件
fi
(r1,
r2
,,
rn
,
t
)
0,
i 1,2,m
2. 自由度f (Freedom)
唯一地确定系统位置和形状（位形）所必需给 出的独立量的数目
3. 广义坐标q (Generalized coordinates)
*11. 由H-J方程建立定态薛定谔方程
h2 2 V E
2m
.精品课件.
13
三. 应用
1. 由虚功原理求系统平衡状态，判断平衡稳定性 2. 由拉格朗日方程求系统的运动微分方程 3. 由哈密顿正则方程求系统的运动微分方程 4. 由哈密顿原理求系统的运动微分方程 5. 由哈密顿-雅可比方法求系统的运动
K
H
F2 (q, P, t) t 11
9. 哈密顿-雅可比方法 (Hamilton-Jacobi method
(q, p, t) (Q0, P0, t)
q q (Q0, P0, t)
p
p (Q0, P0, t)
F2 (q, P, t) S(q, P0, t)
H (q1, q2,, q f
保守系统受稳定约束时变换方程不显含t，T1 T0 0,T T2
H T V
.精品课件.
5
13. 共轭变量 (conjugate variables)
f f (x, y,),
u
f x
称为x的共轭变量
14. 正则变量 (canonical variables)
(q, p)
15. 作用量 (The action)
任何一组明确表明系统位形的参数
.精品课件.
2
4. 广义动量 (Generalized momentums)
p
T q
L q
qf
5. 位形空间 (Configuration space)
由f个广义坐标q张成的抽象的f维空间
q1
6. 相空间 (Phase space) p1
由f个广义坐标q和f个广义动量p共同张成 的抽象的2f维空间
广义力
Q
F(Gi enqrierali.精z品e课d件Q. forcesqV)
保守力
4
11. 拉格朗日函数 (The Lagrangian)
L T V L(q, q,t)
12. 哈密顿函数 (The Hamiltonian)
H pq L qq,p H(q, p,t)
H p q L 2T2 T1 (T2 T1 T0 V ) T2 T0 V
q
H p
p
H q
S t1 L(q, q,t)dt 哈密顿作用量 t0
16. 作用波 (The action wave)
S S(q, .精, t品)课件.
6
17. 泊松括号 (Poisson brakets)
(q, p,t), (q, p,t)
[, ]
q p p q
qp
[q , H ] [ p , H ]
S , q1
S , q2
,, S q f
,t)
S t
0
H不显含t时，可令
S(q, P0,t) W (q, P0 ) Et A
H (q1, q2,, q f
,
W , W .精q品1 课件.q2
,,
W q f
)
E
12
*10. 刘维尔定理 (Liouville theorem ) 保守系统 d(q, p,t) 0 dt
( FiBiblioteka mri )ri0
4. 哈密顿原理 (Hamilton’s Principle)
S t1L(q, q,t)dt 0 t0
.精品课件.
9
5. 拉格朗日方程 (Lagrange’s equations)
d dt
T q
T q
Q
( 1,2,, f )
保守系统：
d dt
L q
L q
0
( 1,2,, f )
6. 哈密顿正则方程
(Hamiltonian canonical equations)
保守系统：
q
H p
p
H q .精品课 件.
10
7. 变分法 (Variational method )
J t1 f (t, q, q)dt 取极值的条件 t0
d dt
f q
f q
.精品课件.
3q1
7. 虚位移r (Virtual displacements)
力学系统符合约束条件的、无限小的、瞬时的、 （假想的）位置变更
8. 虚功 W (Virtual work)
作用在质点上的力在任意虚位移上做的功。
9.
理想约束 (Ideal
WC
cRoi nsrtirain0ts)
10.
.精品课件.
14
18. 对称性和守恒定律
(Symmetry and conservation)
空间均匀性 空间各向同性 时间均匀性
动量守恒 角动量守恒 能量守恒
.精品课件.
7
二. 原理 方程 方法
1. 虚功原理 (Principle of virtual work)
受理想的、稳定的几何约束的系统平衡状态的充要条件为：