3. 概率密度函数估计(3学时)
模式识别课程讲义(李君宝)3. 概率密度函数估计-3学时
这个例子所作的推断就体现了极大拟然法的基本思想。
【2 EM算法的理论依据】
• 极大拟然法的定义 观测变量X，针对n个观测样本为( x1,x2,…,xn）,它们之间 满足独立同分布 ，参数变量为模型的一系列参数
x - xi hn
【 Parzen窗法】
• 上述过程是一个内插过程，样本xi距离x越近， 对概率密度估计的贡献越大，越远贡献越小。
• 只要满足如下条件，就可以作为窗函数：
u 0
udu 1
【 Parzen窗法】
窗函数
【 Parzen窗法】 • hn称为窗的宽度
【 Parzen窗法】
中，缺失数据(隐含变量) Y未知，完整log似然函数对Y求 期望。 • 定义
其中
ln
p( xk
|)
1 2
ln(22 )
1 22
( xk
1 )2
ln
p( xk
|)
1
2
( xk
1
N
22 k1
1 )
(xk 1)2 2ˆ22
N
k 1
1
ˆ2
( xk
ˆ1 )
0
N k 1
1
ˆ2
N k 1
(xk ˆ1)2 ˆ22
0
ˆ
1 N
N
xk
k 1
ˆ 2
1 N
N
( xk
在GMM中，若 X i来自第k个成分，则 Yi k • 完整数据：包含观测到的随机变量 X 和未观测到的随机变
概率密度估计
概率密度估计
1 概率密度估计
概率密度估计（Probability Density Estimation，简称PDE）也称为密度函数估计，旨在描述一个随机变量X的概率密度函数，从而
帮助准确定量分析研究变量X的特征。
通常，概率密度估计的过程可以分解为两个步骤。
第一步是从样
本中提取该变量的直方图，然后以某种函数形式拟合该直方图，得到
其对应的概率密度函数。
其中，最常用的函数形式为高斯分布（Gaussian Distribution）的普通分布、泊松分布（Poisson Distribution）、多元正态分布（Multivariate Normal Distribution）、双截止分布（Binomial Distribution）、逻辑正态
分布（Log-normal Distribution）等。
第二步就是根据拟合出概率密度函数形状，运用其特点和参数，
得到该变量的最佳估计，便于对样本进行更有效率的分析。
比如，在
高斯分布模型下，样本拟合出的方差可以帮助我们判断数据的稳定性。
概率密度估计被广泛应用于贝叶斯统计分析、学习理论、社会科
学研究等，是发现重要模式并探寻变量分布的重要工具。
总之，概率密度估计是一项核心重要的数据分析技术，其解释力、拟合能力和模型大小的理论基础为研究者们收集总结数据，比较复杂
的变量特征提供了可靠信息。
03概率密度函数的估计
参数估计
• 在一般的监督模式识别中，估计各个类别的先验概率 并不会遇到太大的困难，但估计类条件概率密度确实 是。
– 样本数目太少 – 特征向量维数太高时问题更严重
• 如果我们依照常识可以知道类条件概率密度的参数形 式，并能确定参数的个数，则问题的难度就会大大降 低。
– 例如，我们可以假定p(x| ωi)是均值和方差分别为μi和 i 的正态 分布。这样，估计概率密度函数的问题就变成了估计参数μi和 i 的问题。
最大似然估计 vs 贝叶斯估计
• 另外一个因素是我们对先验知识，比如对p(x|θ) 的参数形式的确信程度
– 最大似然解必须具有我们假定的参数形式，但贝叶 斯方法却不然。一般来说，贝叶斯方法更多地利用 了问题的相关信息，如果这些信息是可靠的，那么 贝叶斯方法会给出更好的结果。 – 最大似然方法可以看成贝叶斯方法的特殊情形，即 先验知识是均匀分布的 – 贝叶斯方法可以更多地显示估计的精度与方差之间 的平衡随训练样本数量的变化（这一点对于机器学 习理论非常重要）
k 1
• 因此，最大似然估计的解的必要条件是
l 0. (*)
最大似然解
• 方程(*)的解可能是一个全局最大值，也 可能是局部极大极小值，还可能是l(θ)的 一个拐点。此外，还要检查最大值是否 会出现在参数空间的边界上。 • 方程(*)的解只是一个估计值，只有在样 本数趋于无限多的时候它才会接近真实 值
– 估计条件概率密度p(x| ωi) – 直接估计后验概率P(ωi | x)
3.2最大似然估计
• 最大似然估计具有很好的性质
– 样本数目增加时总是具有很好的收敛性
• • • • 渐近无偏的 渐近一致性 渐近高效的（可以达到Carm-Rao下界） 极限分布是高斯分布（中心极限定理）
[数学]第3章 概率密度函数估计 - 西安电子科技大学
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N
N
如果噪声是零均值的, 即对所有的i, E(vi)=0, 可得 sˆ 为s 的一个无偏估计; 反之, sˆ 为有偏估计。
第3章 概率密度函数估计
定义3.2 若对所有的θ lim b(ˆ) 0
N
(3-3)
则称ˆ =g(x1, x2, …, xN)是θ的一个渐进无偏估计。
【例 3.2】 考虑平稳过程的自相关函数R(l)=E［x(t)x(t+l)］ 的两个估计
第3章 概率密度函数估计
2. Cramer-Rao下界(估计的方差性质)
除了偏差以外, 一个估计的基本特性还体现在方差上。
一般地, 要得到精确的方差是比较困难的, 人们希望得到方
差可能达到的下界。 下面的定理3.1表明, 无偏估计的方差
存在一个下界, 常称为Cramer-Rao下界。
定理3.1 令x=(x1, x2, …, xN)为样本向量, p(x|θ)为x的联
第3章 概率密度函数估计
(2) 非参数估计就是在概率密度函数的形式未知的条 件下, 直接利用样本来推断概率密度函数。 常用的非参数 估计方法有Parzen窗法和kN－近邻法。
第3章 概率密度函数估计
3.2 参数估计的基本概念与评价准则
3.2.1
1. 设观测样本为x1, x2, …, xN, 统计量g(x1, x2, …, xN)是x1, x2, …, xN的(可测)函数, 与任何未知参数无关。 统计量的概率 分布称为抽样分布。 2. 参数空间 未知参数θ的全部可容许值组成的集合称为参数空间, 记 为Θ。
E
(ˆ
第3章 概率密度函数估计
3. 点估计、 点估计是确定待定参数的单个估计值, 即要构造一个统计
量 ˆg(x1,x2, ,xN) 作为参数θ的估计。 在统计学中, 称
概率密度函数的估计与应用
概率密度函数的估计与应用概率密度函数（probability density function，简称PDF）是概率论和数理统计中常用的概念，广泛应用于可变量的分布描述、数据拟合以及随机变量的概率计算中。
在实际应用中，我们经常用到概率密度函数的估计，以求得随机变量的分布特征和统计学参数，从而为数据分析和建模提供有力支撑。
一、概率密度函数的基本概念及分布函数概率密度函数是描述随机变量取值的概率分布的一种数学模型。
简单来说，概率密度函数是一个连续函数，其在某个点的导数表示该点处的概率密度，对于某个区间上的积分则表示该区间内的概率和。
当随机变量服从某一分布时，我们可以通过该分布的概率密度函数来描述其分布特征。
分布函数是概率密度函数的一个相关概念，其所描述的是随机变量取值在某一范围内的累积概率。
与概率密度函数不同的是，分布函数是一个非降的右连续函数，其在某一点的最左极限为该点处的概率。
二、概率密度函数的估计方法根据大数定律和中心极限定理，我们可以利用样本数据来对总体的概率密度函数进行估计。
这里介绍两种常用的概率密度函数估计方法，分别是核密度估计和最大似然估计。
1. 核密度估计核密度估计将样本数据和一个给定的核函数结合起来，通过计算核函数在每个观测值处的值和分布范围，得到在该点处的概率密度函数估计值。
核密度估计的优点在于其所得到的概率密度函数是一个连续函数，并且无需对数据做出具体的分布假设。
2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是选择某个分布参数（如均值、方差、形状参数等），使得样本数据在该分布下的概率最大。
对于正态分布、指数分布等常见分布，最大似然估计具有较好的稳健性和准确性。
三、概率密度函数的应用概率密度函数的应用十分广泛，下面将简单介绍几个常见的应用场景。
1. 数据拟合在数据分析和建模中，常常需要使用概率密度函数来对数据进行拟合。
通过使用不同的概率密度函数，可以描述不同类型的随机变量，如正态分布、指数分布、泊松分布等。
概率密度函数的估计非参数估计
概率密度函数的估计非参数估计概率密度函数（Probability Density Function, PDF）的估计是统计学中一项重要的任务，用于描述随机变量的概率分布。
这是一种非参数估计方法，即不对概率分布函数做任何假设，而是通过对样本数据进行分析来估计其分布。
这种非参数估计方法的优点之一是其灵活性，可以应用于各种类型的数据分布。
而参数估计方法则需要对分布函数做出假设，如果假设不合理，估计结果可能会产生偏差。
非参数估计方法通常涉及以下步骤：1.数据收集：从样本数据中获取一组观测值。
2.直方图估计：直方图是一种用于表示数据分布的图形，可以将数据集划分为若干个区间，并计算每个区间内的观测值数量。
通过对直方图进行归一化，可以获得概率密度函数的估计。
3.核密度估计：核密度估计是一种将每个观测值都视为一个概率密度函数的方法。
在估计过程中，为每个观测值放置一个核函数，并对所有核函数求和得到概率密度函数的估计。
4.非参数回归：非参数回归是一种使用滑动窗口来减小噪声的方法。
在非参数回归中，通过在每个数据点周围放置一个窗口，并计算窗口内数据点的平均值或加权平均值来估计概率密度函数。
以上方法都可以用来估计概率密度函数，具体选择哪种方法取决于数据的特点和假设。
非参数估计方法有以下优点：1.适用广泛：非参数估计方法不需要对概率分布函数做出任何假设，因此可以适用于各种类型的数据分布。
2.灵活性：非参数估计方法可以避免对数据分布做出错误的假设，因此对于未知的数据分布可以获得较好的估计。
3.鲁棒性：非参数估计方法对噪声和异常值相对较为鲁棒，不会对这些因素产生过大的影响。
然而，非参数估计方法也存在一些缺点：1.计算复杂度高：非参数估计方法通常需要大量的计算来获得准确的估计结果。
2.模型选择困难：由于非参数估计方法没有对概率分布做出假设，因此对于模型的选择可能比较困难。
在实际应用中，非参数估计方法常常结合参数估计方法使用。
参数估计方法可以提供一些假设的分布函数，而非参数估计方法可以通过对残差分布进行检验来判断假设是否合理。
概率密度函数估计
期望风险：
R Ed
(ˆ, ) p(x, )ddx
(ˆ, ) p( | x) p(x)ddx
Ed
R(ˆ | x) p(x)dx Ed 其中，x Ed ，
条件风险： R(ˆ | x) (ˆ, ) p( | x)d
xEd
X
k
T
1 X k
代入上式得
N
1 X k 0
k 1
1
N
X k 0
k 1
所以
1( N X k N ) 0
k 1
1 N
N
Xk
k 1
这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术
平均。
如果必要条件有多解则需从中求似然函数最大者若不满足条件则无一般性方法用其它方法求最大以均匀分布32最大似然估计maximumlikelihoodestimation正态分布下的最大似然估计示例以单变量正态分布为例样本集似然函数32最大似然估计maximumlikelihoodestimation对数似然函数最大似然估计量满足方程32最大似然估计maximumlikelihoodestimation得方程组未知估计服从正态分布所以在正态分布时待估参数为代入上式得所以这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术平均
非参数方法 (nonparametric methods)
不假定数学模型，直接用已知类别的学习样本的先验知识直 接估计数学模型。
二．监督学习与无监督学习 监督学习：在已知类别样本指导下的学习和训练，
参数估计和非参数估计都属于监督学习。
无监督学习：不知道样本类别，只知道样本的某些 信息去估计，如：聚类分析。
数学]第3章 概率密函数估计 西安电子科技大学
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参数估计和非参数估计。
第3章 概率密度函数估计
(1) 参数估计就是在已知概率密度函数的形式, 但其中的某 些参数是未知的情况下, 利用样本集对概率密度函数的某些参 数进行估计。 例如, 若p(x|ωi)是均值为μi, 协方差矩阵为Σi的正 态分布, 那么只需要估计μi和Σi。 参数估计的方法很多, 大致可 以分为确定性参数估计方法与随机参数估计方法。 确定性参数 估计方法把参数看做确定而未知的, 典型方法为最大似然估计。 随机参数估计方法把未知参数当做具有某种分布的随机变量, 典型方法为贝叶斯估计。
)R(l)
第3章 概率密度函数估计
显然, Rˆ1 (l) 是R(l)的无偏估计; Rˆ 2 (l) 是R(l)的有偏估计, 但 Rˆ 2 (l) 是R(l)的渐进无偏估计, 即
lim
N
E
Rˆ2
(l)
R(l)
虽然 Rˆ1 (l) 是R(l)的无偏估计, 而 Rˆ 2 (l) 是R(l)的有偏估 计(但渐进无偏), 但是, 估计 Rˆ1 (l) 中分母与l有关, 因此, 一般 使用 Rˆ 2 (l) , 而不用 Rˆ1 (l) 。
第3章 概率密度函数估计
2. Cramer-Rao下界(估计的方差性质)
除了偏差以外, 一个估计的基本特性还体现在方差上。
一般地, 要得到精确的方差是比较困难的, 人们希望得到方
差可能达到的下界。 下面的定理3.1表明, 无偏估计的方差
存在一个下界, 常称为Cramer-Rao下界。
l)
第3章 概率密度函数估计
Rˆ2 (l)
1 N
N l t 1
模式识别之概率密度函数估计.
似然函数为
l (θ) p(x1 , ..., x N | θ) p(x1 | θ)... p(x N | θ) p(x k | θ)
k 1 N
含义：从总体中抽取 x1,…xN 这样 N 个样本的
概率（可能性）
参数估计的基本概念:
1 统计量 2 参数空间 3 点估计、估计量（估计子）、估计值 4 区间估计
1 统计量
目的：样本中包含着总体的信息，希望有一种数 学手段将样本集中的有关信息抽取出来 统计量：针对不同要求构造出的关于样本的某种
函数，这种函数在统计学中称为统计量
2 参数空间
在参数估计中，已知总体概率密度函数的
如果H(θ) 满足一定数学性质（连续可微），可以
直接应用高等数学的知识来求最大点，即求梯 度（偏导数），令其等于零，解线性或者非线
③类条件概率密度 p(x |ωi ) 的函数形式是确定的，
但是其中的某些参数是未知的
④第 i 类的样本不包含有关 θj (i≠j)的信息。不同 类别的参数在函数上相互独立，每一类样本可 以独立进行处理
在满足四个假设条件下，可以将 c 类概率密度估
计问题转化为 c 个独立的密度估计问题，分别单 独进行处理
为 θ 的估计量（估计子）
估计值：对于属于类别 ωi 的样本观察值， 代入统计量 d(x1,…,xN) 得到第 i 类的的 具体数值，这个数值在统计学中称为 θ 的
估计值
估计量的性能评估
估计量是随机变量，不同的样本有不同的
估计值
无偏估计量：估计量的期望等于真实参数
ˆ θ E{θ}
渐近无偏估计量：当样本数目趋于无 穷时，估计量的期望等于真实参数值
概率密度函数的估计参数估计
概率密度函数的估计参数估计概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是概率统计学中一个非常重要的概念，用于描述连续随机变量的概率分布情况。
参数估计是统计学中一个关键的问题，它指的是通过样本数据来估计总体分布的参数。
本文将对概率密度函数的参数估计方法进行详细介绍。
一、参数估计的目标参数估计的目标是找到一组最合适的参数值，使得概率密度函数能够较好地拟合样本数据分布。
一般来说，参数估计可以分为两种类型：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据直接估计出概率密度函数的参数值，而区间估计则是对参数进行区间估计，给出一个参数取值的范围。
二、点估计的方法1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是寻找一组参数值，使得样本观测值出现的概率最大。
对于给定的样本数据，若假设一个概率分布模型，并通过极大化似然函数来求解参数值，就得到了最大似然估计。
2. 矩估计（Moment Estimation）矩估计是通过样本矩直接估计总体矩的方法。
对于连续型分布而言，可以通过样本矩来估计分布的矩，从而得到参数的估计值。
3. 最大后验概率估计（Maximum A Posteriori Estimation，简称MAP）最大后验概率估计是贝叶斯估计的一种特殊情况，其基本思想是在最大化后验概率与似然函数的乘积，从而得到参数的估计值。
相对于最大似然估计，最大后验概率估计将先验分布考虑在内，可以有效地克服样本容量小引起的估计不准的问题。
三、区间估计的方法1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是通过样本数据计算出一个参数的区间估计范围，其置信水平表征了参数估计值位于置信区间内的可能性大小。
常用的置信区间估计方法有：正态分布置信区间估计、大样本置信区间估计、Bootstrap置信区间估计等。
模式识别课件-概率密度函数的估计
估计方法
结果多数情况下与最大似然估计相同
区别：
最大似然估计把待估计的参数当作未知但固定的
量
贝叶斯估计把待估计的参数也看为随机变量
贝叶斯估计和贝叶斯学习
Bayesian Learning
把贝叶斯估计的原理用于直接从数据对概率
密度函数进行迭代估计
值范围，这个区间叫置信区间，这类问题称
为区间估计。
概率密度估计的评估
如何评估概率密度估计的好坏？
单次抽样得到的估计值与真实值的偏差？
基于平均和方差进行评估较为公平！
常用标准：
无偏性
有效性
一致性
概率密度估计的评估
, , … , )的数学期
无偏性：的估计量(
望是
渐进无偏：N趋于无穷时估计具有无偏性
有效性：一种估计比另一种的方差小，此种
估计更有效
对于任意正数ε，有
− > ε =
lim
→∞
则是的一致估计
最大似然估计
基本假设
Maximum Likelihood Estimation.
参数是确定（非随机）的而未知的量。
贝叶斯估计量
为给定x条件下估计量的期望损失，
ȁ
称为条件风险
定义：如果的估计量使得条件风险最小，
则称是的贝叶斯估计量
贝叶斯估计和贝叶斯学习
损失函数
决策分类时我们需要事先定义决策风险表即
损失表
估计连续随机变量时我们需要定义损失函数
损失函数有许多种，最常见的损失函数为平
概率密度函数估计.
为了便于分析，还可以定义对数似然函数 H ( ) ln l ( )。
3.2
最大似然估计(Maximum
Likelihood Estimation)
求解： 若似然函数满足连续、可微的条件，则最大似然估计量就是方程
i
P(Xi/θi)
利用上式求出 的估值 ，即为 ＝
i
上图有5个解,只有一个解最大即.
3.2
最大似然估计(Maximum
Likelihood Estimation)
正态分布下的最大似然估计示例 以单变量正态分布为例
[1， , 2 ]T
p( x | ) 1
1，
2 2
1 x 2 exp 2 2
样本集
X x1 , x2 ,, x N
l ( x ) p ( X | ) p ( xk | )
k 1 N
似然函数
3.2
最大似然估计(Maximum
dl( ) / d 0 或 dH ( ) / d 0
的解（必要条件）。 若未知参数不止一个，即 [1 , 2 ,, s ]T ，记梯度算子
, , , s 1 2
T
则最大似然估计量的必要条件由S个方程组成：
似然函数（likelihood function）
l ( ) p( X | ) p( x1 , x2 ,, x N | ) p( xi | )
i 1 N
—— 在参数 下观测到样本集 X 的概率（联合分布）密度
第三章 概率密度函数的参数估计
均值的后验概率
均值的后验概率仍满足正态分布，其中：
1 n n = ∑ xi n i =1
2 nσ 0 σ2 n = 2 + 2 0 2 n 2 nσ 0 + σ nσ 0 + σ
σ σ σ = nσ + σ 2
2 n 2 0 2 0 2
均值分布的变化
类条件概率密度的计算
p ( x D) = ∫ p ( x ) p ( D) d
模型在时刻t处于状态wj的概率完全由t-1时刻 的状态wi决定，而且与时刻t无关，即：
P w(t ) W
(
T
) = P ( w ( t ) w ( t 1))
P w ( t ) = ω j w ( t 1) = ωi = aij
(
)
Markov模型的初始状态概率 模型的初始状态概率
模型初始于状态wi的概率用 π i 表示。 完整的一阶Markov模型可以用参数 θ = ( π, A ) 表示，其中：
3.0 引言
贝叶斯分类器中最主要的问题是类条件概 率密度函数的估计。 问题可以表示为：已有c个类别的训练样 本集合D1，D2，…，Dc，求取每个类别的 类条件概率密度 p ( x ωi ) 。
概率密度函数的估计方法
参数估计方法：预先假设每一个类别的概 率密度函数的形式已知，而具体的参数未 知；
最大似然估计(MLE, Maximum Likelihood Estimation)； 贝叶斯估计(Bayesian Estimation)。
p ( x θ ) = ∑ ai pi ( x θi ),
i =1 M
∑a
i =1
M
i
=1
最常用的是高斯混合模型(GMM，Gauss Mixture Model)：
概率密度函数的估计参数估计
贝叶斯估计
贝叶斯估计
^ ^ 如果θ的估计值θ使得条件风险R(θ|x)最小， ^ 则称θ是关于θ的贝叶斯估计量
条件风险 : ˆ | X ) ( ˆ, ) p( | X )d R(
贝叶斯估计
平方误差损失函数时的估计算法
^)=(θ- θ ^)2 损失函数: λ (θ, θ 定理: 如果损失函数为二次函数，即λ (^ θ, ^是在给定x θ)=(θ- ^ θ)2，则θ的贝叶斯估计量θ 时θ的条件期望，即
基于最小错误率的贝叶斯决策 基于最小风险的贝叶斯决策 在限定一类错误率条件下使另一类错误率为 最小的两类别决策 最小最大决策
贝叶斯估计
贝叶斯估计的基本思想
基于最小风险的贝叶斯决策
希望决策方法使得风险最小化 希望θ的估计数值θ尽可能的准确
参数估计
^
^准确程度的函数 需要构造一个衡量θ
参数估计的基本概念
两种主要的点估计方法
最大似然估计 贝叶斯估计
最大似然估计
最大似然估计的特点
通常，训练样本数目增加时具有很好的收敛 性质 一般，比其它方法简单，例如比贝叶斯方法 简单
最大似然估计
问题假定：
①待估参数θ是确定的未知量 1 2 3 M ②按类别把样本分成C类X ,X ,X ,… X , 其中第i类的样本共N个,Xi = (X1,X2,… XN)T , 并且是独立从总体中抽取的 i ③ X 中的样本不包含θj(i≠j)的信息，所以可 以对每一类样本独立进行处理。 根据以上假定，我们下边就可以只利用第 i类学习样本 来估计第 i类的概率密度，其它类的概率密度由其它类 ④ 第i类的条件概率的函数形式已知
机器学习与模式识别-第3章_概率密度函数的估计
设计贝叶斯分类器
第一步, 利用样本集估计
p( x i )
和 P(i )
ˆ ( ) ˆ ( x i ) 和 P 分别记为 p i
第二步, 将估计量代入贝叶斯决策规则中 是否能达到理论结果?
N
时
ˆ ( x i ) 收敛于 p( x i ) p
ˆ ( ) P i
收敛于
2 ˆ ˆ ( , ) ( )
定理: 如果损失函数为二次函数,即
2 ˆ ˆ ( ) ( )
则
ˆ 为在给定x时 的贝叶斯估计量
的条件期望，即
ˆ E[ x] p( x)d
参数估计问题: 设有一个样本集
,要求我们找出估计量 ˆ 用来估计 所属总体分布的某个真实参数 使带来的
3.2 参数估计的基本概念
(1)统计量: 样本中包含着总体的信息,针对不同要求构 造出样本的某种函数,这种函数在统计学中称统计量.
(2) 参数空间: 假设总体概率密度函数形式已知,未知分 布中的参数 的全部可容许值组成的集合称为参数空间,记为 (3) 点估计、估计量、估计值：点估计问题就是要构造 ˆ 一个统计量 d ( x1 , x2 ,...xN ) 作为参数 的估计
n T 1 1 1 P( X k | ) log[ 2 | |] X k X k 2 2
所以在正态分布时
代入上式得
X
1 k 1
N
k
0
0
X
1 k 1
N
k
所以
( X
1 k 1
结论：①μ 的估计即为学习样本的算术平均 ②估计的协方差矩阵是矩阵 X k 术平均（nⅹn阵列， nⅹn个值）
第3章概率密度函数的估计new
1 2 N 1 2 N
ˆ 将 d ( x1 , x2 , , xN )称为 的最大似然估计量。 最大似然估计量：令( )为样本集D的似然函数， ˆ D {x , x , , x }，如果 d ( D) d ( x , x , , x )
[1 , 2 , ,S ]T
用 表示梯度算子:
(3-6)
求解似然函数最大值就需要对的每一维分别求导， ,..., (3-7) S 1 对似然函数求导并令梯度等于零： l ( ) 0 H( )为对数似然函数： H( ) ln[( )] lnp(D| ) lnp(x1 ,x2 , ,xN |1 , 2 , ,S ) (3-8)
13
第3章 概率密度函数估计
3.2 参数估计的基本概念
（3）点估计、估计量和估计值： 点估计问题是要构造一个统计量d ( x1 ,..., xN )作为参数的 ˆ 估计, 在统计学中称 为 的估计量。如果x ( i ) , , x (i )是属于
1 N
类别i的几个样本观察值，代入统计量d 就得到对于第i类 ˆ 的 的具体数值，这个数值在统计学中称为 的估计值. （4）区间估计： 除点估计外，还有另一类估计，它要求用区间(d1 , d 2 )作为
k 1
N
从： H ( ) 0
(3 -11)
的S 个方程能够获得 的最大似然估计量的必要条件。 ˆ ˆ 如果式(3 -11)的解 能够使得似然函数值最大，则 就是 的最大似然估计。
29
3.2.1 最大似然估计
需要注意的是： 1，有时式(3 -11)无唯一解。如图3.1中有5个解。虽然这 5个都是解，但有的解可能是真正的全局最大值点， 也可能是局部极值点，或者还可能是函数的拐点。 2，此外，我们必须注意检查所得到的解是否位于函数 H ( )定义域的边界上。如果所有的极值解都已经求得了 ，我们就能确定其中必有一个是全局的最大值。然后 检查确定真正的全局最优点。
模式识别课程教学大纲-模式识别原理与技术
课程中文名称：模式识别原理与技术（课程代码：系统生成，不必填写）课程英文名称：The Principle and Technology of Pattern Recognition学分：2 总学时：32开课学院：信息科学与技术学院层次：学术硕士研究生主要面向学科（类别）：控制科学与工程学科/领域（与培养方案保持一致）预备知识：概率论与数理统计，最优化理论，数据结构课程学习目的与要求：通过本课程的学习，使学生掌握模式识别的基本概念、基本原理、基本分析方法和算法，具有初步设计、实现模式识别中比较简单的分类器算法的能力，从而为学生进一步从事该方向的学习与研究工作打下基础。
要求重点掌握统计模式识别方法中的特征提取和分类决策。
掌握特征提取和选择的准则和算法，掌握监督学习的原理以及分类器的设计方法。
基本掌握非监督模式识别方法。
掌握模式识别的应用和系统设计。
课程主要内容：一、绪论（2学时）1 模式和模式识别的概念2 模式识别系统3 关于模式识别的一些基本问题二、贝叶斯决策理论（6学时）1 引言2几种常用的决策规则2.1 基于最小错误率的贝叶斯决策2.2基于最小风险的贝叶斯决策2.3在限定一类错误率条件下使另一类错误率为最小的两类别决策2.4判别函数、决策面与分类器设计3正态分布时的统计决策3.1正态分布概率密度函数的定义与性质3.2正态分布概率模型下的最小错误率贝叶斯决策3分类器的错误率分析4 小结三、概率密度函数的估计（4学时）1. 什么是概率总体的估计？2 正态分布的监督参数估计2.1 极大似然估计2.2 贝叶斯估计2.3 贝叶斯学习2.4 极大似然估计、Bayes估计和Bayes学习之间的关系*3 非参数估计3.1概率密度函数估计的基本方法3.2 密度函数估计的收敛性4 小结四、线性判别函数（6学时）1 引言2 线性分类器2.1 线性判别函数的基本概念2.2 广义线性判别函数2.3 线性分类器设计步骤2.4 Fisher线性判别函数2.5 感知准则函数2.6 多类问题3 非线性判别函数3.1 非线性判别函数与分段线性判别函数3.2 基于距离的分段线性判别函数3.3 错误修正算法3.4 局部训练法4 近邻法4.1 最近邻法决策规划4.2 近邻法错误率分析4.3 改进的近邻法5 支持向量机5.1 线性可分条件下的支持向量机最优分界面5.2 线性不可分条件下的广义最优线性分界面5.3 特征映射法、解决非线性判别分类问题5 小结五、描述量选择及特征的组合优化（8学时）1 基本概念2 类别可分离性判据3 按距离度量的特征提取方法3.1基于距离的可分性判据3.2 按欧氏距离度量的特征提取方法4 按概率距离判据的特征提取方法4.1 基于概率分布的可分性判据4.2 按概率距离判据提取特征5 基于熵函数的可分性判据5.1 基于熵函数的可分性判据5.2 相对熵的概念及应用举例6 基于KarhunenKarhunenLoeveLoeve变换的特征提取6.1 KarhunenKarhunen--LoeveLoeve变换6.2 KarhunenKarhunen--LoeveLoeve变换的性质6.3 使用KK--LL变换进行特征提取7 特征提取方法小结8 特征选择六、* 非监督学习法（4学时）1 引言2 单峰子类的分离方法2.1 投影法2.2 基于对称集性质的单峰子集分离法3 聚类方法3.1 动态聚类方法3.2 分级聚类方法4 非监督学习方法中的一些问题5小节课程考核要求：1.小论文+开卷考试2.成绩评定规则，如综合成绩=期末考试成绩*70%+小论文成绩*30%主要参考书：1.张学工，《模式识别（第三版）》，清华大学出版社，2010an Sonka 等著，Image Processing, Analysis and Machine Visio n 人民邮电出版社，20023.期刊：模式识别与人工智能、中国图象图形学报等撰写人：郝矿荣2014 年12月10 日学院盖章：教授委员会主任签字：年月日。
第3章 概率密度函数的估计
3.2 参数估计—最大似然估计（监督）
前提条件： （1） 是确定而未知的；
（2）样本所属类别已知，且是从各类总体中独立抽取的；
（3） p( x | i ) 形式已知（如正态），但参数 未知 （如 , 2 ）
（4）i类样本不影响j类信息。 （类间独立，可分别研究C类问题）
3.2 参数估计—最大似然估计（监督）
两步法设计分类器
（1）估计 P(i )和p( x | i )
（2）利用第2章方法设计分类器
本章研究问题
（1）如何利用样本估计 p( x | i )和 P(i ) （2）估计量的性质 （3）利用样本集估计错误率的方法
^
^
3.1 引言—由样本集估计p( x | )
i
参数估计
监督、非监督（最大似然估计、贝叶斯估计）
1与2 至少有一个为无穷大，无意义！
此时可令样本中最小与最大值为估计值。
^ 1 xmin ^ 2 xmax
(1 x 2 )
3.3 正态分布参数的最大似然估计（监督）
2 1 1 x p( x | ) exp 1/ 2 (2 ) 2
第3章 概率密度函数的估计
参数估计的基本概念 正态分布的监督参数估计（最大似然估计） 总体分布的非参数估计（Parzen窗法，K近邻法） 分类器错误率的估计
3.1 引言
P(i )和p( x | i ) 未知， 需要利用样本集来估计。
P(i ) 较好估计，重点估计 p( x | i )
^
1 x xi h i 1 V
1 N
1 (u )du N 1 N i 1
3概率密度函数的估计
用贝叶斯估计方法求μ的估计量
ˆBEp(|K)d
第三章 概率密度密度的估计
26
一元正态分布例解(II)
贝叶斯 估计
计算μ的后验分布：
p( | K) p(K | )p()
p(K)
N
p(xk | )p() ~ N(N,N2 )
第三章 概率密度密度的估计
5
基于样本的Bayes分类器
训练 样本集
P(i |x)
p(x|i)P(i) p(x|j)P(j)
j
样本分布的 统计特征：
概率
密度函数
引言
决策规则： 判别函数 决策面方程
最一般情况下适用的“最优”分类器：错误 率最小，对分类器设计在理论上有指导意义。
获取统计分布及其参数很困难，实际问题中 并不一定具备获取准确统计分布的条件。
未知参数θ 视为随机变量，先验分布为 p(θ )，而 在已知样本集K出现的条件下的后验概率为p(θ |K)
最大后验概率估计-Maximum a posteriori (MAP)
ˆM A P a rg m a x p ( | K )
argm ax p ( K | ) p ( )
协方差矩阵的无偏估计是：
总体均值向量和 协方差矩阵
ˆN1 1kN 1(xkμ ˆ)(xkμ ˆ)T
μ E (x ) (1 , 2 ,..., n )T , i E (x i) E (x μ )(x μ )T (i2 j)n * n , i2 j E (x ii)(x jj)
[E( | x) ˆ]2 p( | x)d
定理 3.1: 如果定义损失函数为误差平方函数，则有：
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kn n
【 Parzen窗法和K-近邻法】
【 Parzen窗法】 • 定义窗函数
1, u j 1 2 u 其它 0,
x - xi 1, hn 0, x j xij hn 2 其它
Vn h
d n
j 1,
k n p x V
• 相当于用R区域内的平均性质来作为一点x的估 计，是一种数据的平滑。
• 当n固定时，V的大小对估计的效果影响很大，过 大则平滑过多，不够精确；过小则可能导致在此 区域内无样本点，k=0。
• 此方法的有效性取决于样本数量的多少，以及区 域体积选择的合适。
• 构造一系列包含x的区域R1, R2, …，对应n=1,2,… ，则对p(x)有一系列的估计：
参数估计的分类
【引言】
参数估计的基本概念
参数估计
【参数估计】
最大似然估计
贝叶斯估计
贝叶斯学习
【最大似然估计】
基本假设
【最大似然估计】
基本概念
【最大似然估计】
基本原理
【最大似然估计】
估计量
估计值
【最大似然估计】
一元参数
【最大似然估计】
多元参数
【最大似然估计】
例子（梯度法不适合）：
1 p( x | ) 2 1 0 ,1 x 2 其它
1
1
1 ( x ) 2 k 1 ln p( xk | ) 2 N 1 ( xk 1 ) 2 ˆ 2 2 k 1 2 2
1 ˆ N
2
N 1 ˆ)0 ( xk 1 ˆ k 1 2 N N ˆ 2 1 ( xk 1 ) 0 ˆ ˆ2 k 1 k 1 2 2
,d
【 Parzen窗法】 • 超立方体中的样本数：
x - xi kn i 1 hn
n
• 概率密度估计：
1 n 1 x - xi pn x n i1 Vn hn
【 Parzen窗法】
• 上述过程是一个内插过程，样本xi距离x越近， 对概率密度估计的贡献越大，越远贡献越小。 • 只要满足如下条件，就可以作为窗函数：
R
E
d
ˆ, ) p( | x) p( x)d dx (
ˆ, ) p( | x)d dx d p( x) (
E E
ˆ | x) p( x)dx d R(
ˆ | x) ( ˆ, ) p( | x)d R(
【举例】
假设
ˆ, ) ( ˆ)2 (
不成功！
1 x ' x x '' 2
2 x '',1 x '
1 x ',2 x ''
【贝叶斯估计】
采用最小风险贝叶斯决策
R(i | x) E (i , j ) ( i , j ) P( j | x), i 1, 2,..., a
ˆ | x) [ E ( | x)]2 p( | x)d [ E( | x) ˆ]2 p( | x)d R(
ˆ E | x p( | x)d 结论：
【贝叶斯估计】
【贝叶斯学习】
【三种方法总结】
【三种方法总结】
i 1 ni 1 x - x j pn x i ni j 1 Vn h
4. 采用Bayes判别准则进行分类。
本章结束
2
ˆ] p( | x) d 2 [ E ( | x)][ E ( | x)
ˆ] p( | x)d [ E ( | x) ˆ] [ E ( | x )][ E ( | x )
[ E ( | x)]p( | x)d [ E ( | x) ˆ][ E( | x) E( | x)] 0
ˆ | x ( ˆ, ) p( | x)d ( ˆ)2 p( | x)d R
ˆ) 2 p( | x)d R ˆ | x E ( | x) E ( | x) ˆ p( | x)d ( ˆ]2 p( | x) d [ E ( | x)]2 p( | x) d [ E ( | x)
x
k 1
N
k
多元正态分布：
1 ˆ N
x
k 1
N
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 N ˆ ( xk ˆ )2 N k 1
1 N ˆ ˆ )( xk ˆ )T ( xk N k 1
【贝叶斯估计】
【贝叶斯估计】
非参数估计
【基本思想】
【基本思想】
• 令R是包含样本点x的一个区域，其体积为V， 设有n个训练样本，其中有k个落在区域R中，则 可对概率密度作出一个估计：
j 1 c
【贝叶斯估计】
R
E
d
ˆ, ) p( x, )d dx (
p( x | ) p( ) p ( x)
p( | x)
p( x | ) p( )
p( x | ) p( )d
p( , x) p( | x) p( x) p( x | ) p( )
kn n pn x Vn
• 当满足下列条件时，pn(x)收敛于p (x)：
limVn 0
n
lim kn n kn lim 0 n n
【 Parzen窗法和K-近邻法】
• Parzen窗法：区域体积V是样本数n的函数，如：
1 Vn n
• K-近邻法：落在区域内的样本数k是总样本数n的 函数，如：
正态分布的参数估计
【最大似然估计】
单元正态分布： p( x | )
1 (2 )
N
1 2
1 x 2 exp[ ( ) ] 2
[1 ,2 ] [ , 2 ]
最大似然估计方程： H ( ) ln p( xk | ) 0
k 1
2 其中 ln p( xk | ) 2 ln(22 ) 2 ( xk 1 ) 2
u 0
u d u 1
【 Parzen窗法】
窗函数
【 Parzen窗法】 • hn称为窗的宽度
【 Parzen窗法】
【 Parzen窗法】
1. 保存每个类别所有的训练样本； 2. 选择窗函数的形式，根据训练样本数n选择窗函 数的h宽度； 3. 识别时，利用每个类别的训练样本计算待识别 样本x的类条件概率密度：
1 N p( x1 , x2 ,..., xN | 1 , 2 ) l ( ) 2 1 0
H( ) Nln 2 1
H( ) 1 N 1 2 1
, 1 x 2 其它
H( ) 1 N 2 2 1
第3章 概率密度函数估计
主讲人：李君宝
哈尔滨工业大学
引言
参数估计 正态分布的参数估计 非参数估计
本章小结
引言
【引言】
贝叶斯决策公式
P i x P x i P i P x
【引言】
算法基本步骤
【引言】
存在的问题：
【引言】
问题的解决
【引言】