第八章 拉普拉斯变换

kt
例2 求单位脉冲函数 δ ( t ) 的拉氏变换
解 [δ (t ) ] = ∫ 0
+∞
δ (t ) e s t dt = 1
δ (t ) 1
例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
解： [sin kt] =
∫
+∞
0
sin kt e dt
st
1 +∞ j kt j kt st = ∫ (e e ) e d t 2j 0 +∞ j +∞ ( s j k )t ( s + j k )t = dt ∫ e dt ∫0 e 0 2 j 1 1 k = = s2 + k 2 2 s jk s + jk k s [sin kt ] = 2 同理可得 [cos kt] = 2 2 2 s +k s +k
F(s) = ∫
+∞ 0 st
f (t)e dt
在半平面Re(s)>c上一定存在，且是解析的.
Mect f (t) M O t
注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在； 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.
二.常用函数的拉普拉斯变换 常用函数的拉普拉斯变换
1 u (t ) s 1 e sk
F ( s)
或
est0 F(s) = f (t t0 )
的拉氏变换,等于它的 注: 表明时间函数延迟 t0 的拉氏变换 等于它的 象函数乘以指数因子
e
st
例1. 求函数
解 因为 所以
0 u (t b) = 1
t<b t >b
(b > 0)
的拉氏变换
[ u (t ) ] = F ( s ) =
kt
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)>Re(k)
2.拉氏变换的存在定理
若函数f (t)满足:
(1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续; (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指 数函数, 即存在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ 则 f (t)的拉氏变换
[ f (at )] = 1 F s a a
1
s F ( a ) = af (at )
二. 延迟与位移性质 1.延迟性质 1.延迟性质
若 [ f (t )] = F ( s), 当t<0,时f(t)=0, t0 为非负实常数, 则
[ f (t t0 )] = e
1
s t0
n
例4. 求函数 [t sin kt ]
解 因为 [sin k t ] =
k s2 + k 2
d k 2ks 所以, [t sin kt ] = 2 2 = 2 2 2 ds s + k ( s + k )
d s s2 k 2 同理, [t cos kt ] = ds s 2 + k 2 = 2 2 2 (s + k )
(
n为正整数 为正整数).
解 因为
k [sin k t ] = 2 2 s +k n! t = n +1 s
n
所以
e
at
k sin kt = ( s + a)2 + k 2
n! e a t t n = ( s + a) n +1
三.微分性质 1.原象函数的微分性质 原象函数的微分性质 若 [ f (t )] = F ( s), 则 [ f ′(t ) ] = sF ( s ) f (0) 一般地有 f ( n ) (t ) = s n F ( s) s n 1 f (0) s n 2 f ′(0) LL f ( n 1) (0) 其中 f ( k ) (0)应理解为lim f ( k ) (t ) +
∫
T
0
f (t )e s t dt
表明一个函数积分后再取拉氏变换, 注: 表明一个函数积分后再取拉氏变换,等于这 个函数的拉氏变换除以参数S. 个函数的拉氏变换除以参数S.
（2）象函数的积分性质 ）
+∞ f (t ) ] = ∫ F ( s )ds 若 [ f (t ) ] = F ( s ), 则 [ s t
一般地
+∞ +∞ +∞ f (t ) [ n ] = ∫ s ds ∫ s ds LL∫ s F ( s)ds t 14444 244444 4 3 n 次
利用数学归纳法得: 利用数学归纳法得
f ( n ) (t ) = s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f ′(0) LL f ( n 1) (0)
例3.求解微分方程 求解微分方程
y ′′(t ) + ω 2 y (t ) = 0, y (0) = 0, y ′(0) = ω.
其中 则
+∞
∞
(t )u (t )e βt e jωt dt
f (t )e
+∞ ( β + jω ) t
=∫
+∞
0
dt = ∫
+∞
0
f (t )e dt
st
s = β + jω , f (t ) = (t )u (t ) F ( s) = ∫
0
f (t )e dt
st
-----拉普拉斯变换 拉普拉斯变换
顺便可得 ∫ 0
+∞
∞ sin t 1 dt = ∫ ds = arctan s 0 1 + s2 t
=
π
2
五. 周期函数的象函数
内以T 周期的函数, 设f(t)是[0,+∞]内以T为周期的函数,且f(t)在 是 内以 在 一个周期内逐段光滑, 一个周期内逐段光滑,则
1 [ f (t ) ] = 1 e s T
1
[α F1 (s) + β F2 (s)] = α f1 (t ) + β f 2 (t )
表明:函数线性组合的拉氏变换 等于各函数 表明 函数线性组合的拉氏变换,等于各函数 函数线性组合的拉氏变换 拉氏变换的线性组合. 拉氏变换的线性组合
*2. 相似性质 若 F ( s) = [ f (t )] a > 0 则
第八章
拉普拉斯变换
引
言
1.傅氏变换存在条件是什么? 1.傅氏变换存在条件是什么? 傅氏变换存在条件是什么 1)满足狄氏条件 满足狄氏条件; 1)满足狄氏条件; 2)绝对可积 绝对可积; 2)绝对可积; 3)在整个数轴有定义 在整个数轴有定义. 3)在整个数轴有定义. 2.存在的矛盾 存在的矛盾: 2.存在的矛盾: 1)许多函数不满足绝对可积 如正弦函数); 许多函数不满足绝对可积( 1)许多函数不满足绝对可积(如正弦函数); 2)许多 许多f(t)在 时无意义或不需考虑 时无意义或不需考虑. 2)许多 在t<0时无意义或不需考虑.
例5. 求
解
t sin t ∫ 0 t dt
1 因为 [sin t ] = 2 s +1
+∞ s
+∞ sin t 1 ]= ∫ ds = arctan s [ 2 s t s +1
=
π
2
arctan s
π
所以 ∫ 0
t
sin t 2 dt = t
arctan s s
∞ 0
解: 令 Y ( s ) = [ y (t )] 对方程两边取拉氏变换,并利用性质有 对方程两边取拉氏变换 并利用性质有 s 2Y ( s ) sy (0) y ′(0) + ω 2Y ( s ) = 0, 代入初值得 Y (s) = 查表知: 查表知
y (t ) =
ω , 2 2 s +ω
1[Y ( s)] = sin ωt.
四. 积分性质
1.原象函数的积分性质 原 若 [ f (t ) ] = F ( s ), 则 [ ∫0 一般地
1 [ ∫ 0 dt ∫ 0 dt LL∫ 0 f (t )dt ] = n F ( s) 1444 24444 4 3 s
t t t n 次
t
F (s) f (t )dt ] = s
解：根据拉氏变换的定义, 有
[ f (t)] = ∫ e e dt = ∫ e(sk )t dt
kt st 0 0 +∞ +∞
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
∫
+∞
0
e
( sk )t
1 (sk )t +∞ 1 dt = e = 0 s k s k
1 所以 [e ] = (Re( s ) > k ). sk
1 s
1 sb [u (t b) ] = e s
2. 位移性质 若 [ f (t )] = F ( s),则 注: 一个函数乘以 数作位移a. 数作位移
at
eat f (t) = F(s a)
e 的拉氏变换等于其象函
例2.
e a t sin kt , e a t t n 求
1 u (t ) s
1 γ (t ) = tu(t ) 2 s k sin kt 2 2 s +k
5. cos kt 6. 7.
s 2 2 s +k 1 kt e sk n! n n +1 s
§8.2
拉氏变换的性质
一.线性与相似性质
1. 线性性质 设 [ f1 (t )] = F1 ( s) , [ f 2 (t )] = F2 ( s) α , β 为常数则 [α f1 (t ) + β f 2 (t ) ] = α F1 ( s ) + β F2 ( s )