关于行列式的性质行列式展开课件
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线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数-行列式-PPT文档资料
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
线性代数PPT行列式
行列式的计算公式是n阶行列式的展开式， 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
行列式性质、行列式按行(列)展开
行列式和矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用，它们在某
03
些问题中可以相互转化。
行列式的代数余子式
代数余子式是行列式中一个元素所对应的二阶行列式去掉该元素所在的行 和列后所得到的余子矩阵的行列式。
代数余子式的计算方法是将该元素所在的行和列的元素都变为0，然后求 出新的行列式的值。
代数余子式在行列式的展开中起到关键作用，它是计算行列式值的必要步 骤。
行列式性质与行列式按行( 列)展开
目录
• 行列式性质 • 行列式按行(列)展开 • 行列式在数学中的重要性 • 行列式的计算技巧
01
行列式性质
行列式与矩阵的关系
01
行列式是矩阵的一种特殊形式，由n阶方阵的元素按照一定规则 构成的数。
02
行列式的值是一个标量，而矩阵是一个数值表，可以视为一个
特殊的矩阵。
计算代数余子式
将所有行（或列）的系数与其对应的代数余 子式相加，得到行列式的值。
相加得到结果
根据代数余子式的定义，计算行列式中某行 （或列）对应的代数余子式。
注意事项
在展开行列式时，需要注意代数余子式的符 号，以及避免计算错误。
展开的应用
简化计算
通过行列式按行（或列）展开，可以将一个复杂的行列式转化为 几个简单的二阶行列式，从而简化计算。
行列式的转置
01
02
03
行列式的转置是指将行 列式的行和列互换，得
到一个新的行列式。
行列式的转置具有一些 重要的性质，例如行列 式的转置等于其自身的
乘积。
行列式的转置在解决线 性方程组、向量空间等 数学问题中有着广泛的
应用。
02
行列式按行(列)展开
展开定理
《行列式按行展开》课件
对于任意n阶方阵A，其第i 行第j列的代数余子式Aij可 以表示为去掉第i行第j列后 的(n-1)阶子矩阵的行列式值 乘以(-1)^(i+j)。
行列式的性质还包括拉普拉 斯展开定理和克拉默法则等 。
拉普拉斯展开定理指出，一 个n阶行列式等于它的任意 一行的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和；克 拉默法则则指出，如果线性 方程组的系数行列式不为0 ，则方程组有唯一解，且解 可以通过系数行列式和常数 项的代数余子式计算得出。
应的代数余子式相乘，得到最终结果。
行列式按行展开的
04
运算技巧
代数余子式的计算
代数余子式定义
在行列式中，去掉某行和某列后所得到的$n-1$阶行列式，乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$和$j$分别是去 掉的行号和列号，得到的项称为代数余子式。
代数余子式的计算方法
根据代数余子式的定义，可以通过递归的方式计算代数余子式。具体来说，可以将$n$阶行列式拆分 成若干个$n-1$阶子行列式，然后分别计算这些子行列式的代数余子式，最后将它们相加得到原$n$ 阶行列式的代数余子式。
03
总结词
行列式的值可以通过对角线元素计算得出。
05
02
详细描述
行列式是n阶方阵A的行列式，记作det(A)或 |A|，是一个标量，由n!项组成，每一项都是 n个不同行元素的代数余子式。
04
详细描述
行列式的值是由其对应的n阶方阵唯 一确定的，与矩阵的表示方式无关。
06
详细描述
对于一个n阶方阵A，其行列式的值可以通过 对角线元素计算得出，即 det(A)=a11*a22*...*ann。
《行列式按行展开》 ppt课件
目录
线性代数行列式课件
行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的 方向和大小。通过行列式，我们可以计算出 向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确 定向量的方向和大小。此外，行列式还可以 用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示 了行列式与空间向量的关系。
END
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作 用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式 值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一 个重要的工具。该法则指出，如果一个线性 方程组中的系数行列式不为零，则该方程组 有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行 列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
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线性代数行列式课件
目 录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定 义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子 方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按 照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其 值是一个标量，表示n阶方阵的线性变 换对单位体积的改变量。
行列式的性 质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交 换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行 列式值的负一倍。
行列式按行展开 ppt课件
记作 M i j .
Aij 1ij Mij， 叫做元素 a 的ij 代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a 21 a 22 a 23 a 24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a21 a23 a24
M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
第i行
相同
第 j行
M
M
if i j,
an1 L ann
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a i A n j n 0 ,( i j ).
同理 a 1 i A 1 j a 2 i A 2 j a n A n i 0 , j( i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
MM
x3x1 L xnx1
x3(x3x1) L xn(xnx1)
M
M
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1) L xnn2(xnx1)
按第一列展开，并把每一列的共因子 (xi 提x1出) ，有
1 1L 1
Dn(x2x1)(x3x1)L(xnx1)
x2 M
x3 L M
xn M
n-1阶范德蒙德行列式
a11 a12 a1n
a i1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in
a n 1 a n 2 a nn a n 1 a n 2 a nn
a n1 a n 2 a nn
a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in i 1 ,2 , ,n
例7 求行列式
a
b
Aij 1ij Mij， 叫做元素 a 的ij 代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a 21 a 22 a 23 a 24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a21 a23 a24
M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
第i行
相同
第 j行
M
M
if i j,
an1 L ann
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a i A n j n 0 ,( i j ).
同理 a 1 i A 1 j a 2 i A 2 j a n A n i 0 , j( i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
MM
x3x1 L xnx1
x3(x3x1) L xn(xnx1)
M
M
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1) L xnn2(xnx1)
按第一列展开，并把每一列的共因子 (xi 提x1出) ，有
1 1L 1
Dn(x2x1)(x3x1)L(xnx1)
x2 M
x3 L M
xn M
n-1阶范德蒙德行列式
a11 a12 a1n
a i1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in
a n 1 a n 2 a nn a n 1 a n 2 a nn
a n1 a n 2 a nn
a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in i 1 ,2 , ,n
例7 求行列式
a
b
线性代数-行列式(完整版)ppt课件
设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
《行列式展开定理》课件
行列式展开定理
总结词
外代数中的行列式展开定理是行列式理论的一个重要推广，它涉及到更广泛的代数结构 ，包括向量空间、线性变换和矩阵等。
详细描述
在外代数中，行列式展开定理表述为在任意维度的向量空间中，任意线性变换的行列式 值等于其各个特征值的乘积。这个定理在向量空间和线性变换的研究中具有重要意义，
因为它提供了一种计算行列式值的方法，并且有助于理解线性变换的性质和行为。
多线性代数中的行列式展开定理
总结词
多线性代数中的行列式展开定理是针对 高阶矩阵和多线性映射的行列式值的计 算。
VS
详细描述
在多线性代数中，行列式展开定理表述为 对于一个给定的n阶矩阵A，其行列式值 可以通过对A的每个元素进行求和得到。 这个定理在研究高阶矩阵和多线性映射时 非常有用，因为它提供了一种计算高阶矩 阵行列式值的方法。
《行列式展开定理》ppt课 件
目录
• 行列式展开定理的概述 • 行列式展开定理的证明 • 行列式展开定理的应用 • 行列式展开定理的推广 • 行列式展开定理的习题与解析
01 行列式展开定理 的概述
定义与性质
定义
行列式展开定理是线性代数中的基本 定理之一，它描述了行列式与矩阵元 素之间的关系。
性质
计算多元函数的偏导数
行列式展开定理可以用于计算多元函数的偏导数，通过偏导数的定 义和行列式展开定理，可以方便地计算出偏导数值。
求解多元函数的极值
通过行列式展开定理，可以求解多元函数的极值，利用极值的必要 条件和行列式展开定理，可以找到函数的极值点。
计算高阶导数
利用行列式展开定理，可以方便地计算高阶导数，从而求解一些复 杂的高阶微分方程。
非交换代数中的行列式展开定理
第七周行列式的性质和按行展开优秀PTT
a 11 a 12 a 1 n
a i1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in
a n 1 a n 2 a nn
a n 1 a n 2 a nn
a n1 a n 2 a nn
a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in i 1 ,2 , ,n
1 6 4 2
0 1 2 0
1 5 2 2 0 2 1 6 01 13 0 1 2 0
1 5 2 2 0 r2 r4 1 2 0 1
01 13
0 2 1 6
1 5 2 2
r3 r2 0 1 2 0 2
1 5 2 2
00 33
r4 2r2 0 1 2 0
0 2 1 6
0 0 33
D a13
a1n
a12
a13
0
a23
a23 0
a2n a3n
a1n a2n a3n
转置
0 a12 a12 0 a13 a 23
a13 a23
0
0
a1n a2n a3n
0
a12
a13 a1n
各行提－1
a12 (1)n a13
0 a23
a23 a2n 0 a3n
例如
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132
a 31 a 32 a 33
a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 23,1
a 1a 1 2 a 3 2 3 a 2 a 3 32 a 1a 2 2 a 3 3 1 a 2 a 3 13 a 1a 3 2 a 3 1 2 a 2 a 3 21
第3节行列式按行列展开ppt课件
ni j1
x x x n1 n1
n1
1
2
n
(1)
证明： 用数学归纳法
1 (1) 当n=2时, D2 x1
1
x2
x2
x1
( xi
2i j1
x j ),
结论成立。
(2) 设n－1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。
1
x1 Dn x12
x n1
1
11
x2 xn
x22 xn2
x x n1
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11 a1n
ai1 ain
a j1N j1 a jn N jn
,
a j1 a jn
an1 ann
把 a jk 换成 aik (k 1,, n),可得
a11 a1n
ai1 ain
ai1N j1 ain N jn
anl Nnj
D, （当l 0，（当l
j） j）
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简
解 0 x 1 0 0
Dn 00 0
x 1
按第一列展开
an an1 an2
a2 a1 x
x 1 0 0
1 0 0 0
0x
00
x 1 0 0
x 00
an (1)n1
x 1
0 0 1
an1 an2
a2 a1 x
行列式展开定理.pptx
r2 r1 ( x1 ) 0 x2 x1 x3 x1 0 x22 x1 x2 x32 x1 x3
第18页/共48页
x2 x1 x22 x1 x2
x3 x1 x32 x1 x3
( x2
x1 )( x3
x1 )
1 x2
1 x3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
xn x1 xn( xn x1 )
x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
xnn2( xn x1 )
11
1
x2 x3
xn
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) x22 x32
xn2
x2n2 x3n2
xnn2
第22页/共48页
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 )Dn1
a11
ai 1,1 0
ai 1,1
an1
a1, j1 a1 j a1, j1
ai1, j1 0
ai1, j1
ai1, j aij ai1, j
ai1, j1 0
ai1, j1
an, j1 anj an, j1
a1n
ai 1,n 0
ai1,n
ann
第9页/共48页
0
0
aij
0
0
a11
a1, j1 a1 j a1, j1
n aik Ajk
D 0
i j i j
k 1
n aki Akj
D 0
i j i j
k 1
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代数余子式三种和形式比较
1. ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain D aij n 定理
二章行列式ppt课件
m 1 次相邻对换 a1al bb b1bm aa c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
2m 1次相邻对换 a1 albb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论1 推论2
偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次 对换改变排列的奇偶性。
任意一个n 级排列都可以经过一系列对换 变成自然排列，并且所作对换的次数与该 排列有相同的奇偶性.
a31 b3 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项, 这恰好就是2!,3!. (2)每项构成: 2阶和3阶行列式的每项分别是位于 不同行不同列的2个和3个元素的乘积. (3)各项符号: 2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶 行列式6项,3正3负.
n( n1)
1 2 a1na2,n1
上面的行列式中，未写出的元素都是0。
an1,2an1
证: 行列式的值为
1 a a 1 j1 2 j2 anjn
j1 jn
若乘积非零，j1j2…jn只能是排列n(n－1)…2 1，
它的逆序数为 (n 1) (n 2) 2 1 n 1 n
2
当a 时b ， 经对换后 a的逆序数增加1 , b的逆序数不变; 当a 时b ， 经对换后 a的逆序数不变， 的b 逆序数减少1.
因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a与 b.
a1al a b1bm bb c1cn
m 次相邻对换
行列式按行列展开综述课件
代数余子式在行列式中的应用
代数余子式在行列式中的 应用
通过代数余子式，可以将n阶行列式展开为n 个n-1阶行列式的和，从而简化计算过程。
代数余子式在矩阵运算中 的应用
在矩阵运算中，代数余子式也具有重要的作 用，如计算矩阵的逆、求矩阵的秩等都需要
用到代数余子式的性质。
PART 04
行列式按行列展开的应用
03
n阶行列式的展开
• a{n1} & a{n2} & \cdots & a_{nn} \
n阶行列式的展开
end{vmatrix}$
按照从左上角到右下角的顺序，依次展开每一行和每一列，可以得到n个二阶行列式的乘积之和，即 $a_{11}(a_{22}a_{33}cdots a_{nn}) + a_{12}(a_{23}a_{34}cdots a_{n1}) + cdots + a_{1n}(a_{21}a_{31}cdots a_{n2})$。
行列式的性 质
总结词
行列式具有一些重要的性质，包括交换律、结合律、分配律等。
详细描述
行列式具有交换律，即行列式的值与元素的排列顺序无关，即det(A)=det(A')； 行列式具有结合律，即对于任意常数c和矩阵A，有det(cA)=c^n*det(A)；行列 式具有分配律，即对于任意两个矩阵A和B，有det(A+B)=det(A)+det(B)。
三阶行列式可以通过按照主对角线、 副对角线以及平行于主对角线和副对 角线的线进行展开。
详细描述
对于三阶行列式，我们可以将其表示 为
三阶行列式的展开
a&b&c d&e&f g&h&i
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例2.1
1 1 2 3 1 3 3 7 9 5
D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6
4 4 10 10 2
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 解 D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6 4 4 10 10 2 1 1 2 3 1 0 0 1 0 2 r2 3r1 2 0 4 2 1 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
D0.
5、性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素
都乘以同一数 k ，等于用数 k乘此行列式.
a 11 a 12 a 1 n
a 11 a 12 a 1 n
ka i 1 ka i 2 ka in k a i 1 a i 2 a in
a n 1 a n 2 a nn
a n 1 a n 2 a nn
1 2 4
• 例如： D 2 2 1 14
3 4 2
对这个行列式进行转置
1 2 3 D T 2 2 4 1 2 ( 2 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) ( 3 ) 2 1
4 1 2 ( 3 ) 2 ( 4 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 1 4
式不变．
a11 a1i a1j a1n
例如
a21 a2i
k
Hale Waihona Puke a2j a2j an1 ani anj anj
a11
(a1i ka1j)
a1j
a1n
ci kcj a21
(a2i ka2j)
a2j
a2j
an1
(ani kanj)
anj
anj
二、应用举例
方法二：三角形法
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3 r5 2r3 0 0 1 1 2
0 0 0 1 0 4
0 0 0 4 6
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3
r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12.
0 0 0 1 0
0 0 0 0 6
a b bb b a bb 例2.2 计算n 阶行列式 D b b a b b b ba
即 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子
可以提到行列式符号的外面．
k ri
6、性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例， 则此行列式为零．
证明 a 11 a 12 a 1 n
a 11 a 12 a 1 n
a i 1 a i 2 a in
a i 1 a i 2 a in k 0.
1 1 2 3 1 2
0 0 1 0 2
r2 3r1 2 0 4 2 1 3 5 7 14 6
4 4 10 10 2
4 1 1 2 3 1 3
0 0 1 0 2
r22r1 0 2 0
4 1
3 5 7 14 6
4 4 10 10 2
1 1 2 3 1 0 0 1 0 2 r3 3r1 0 2 0 4 1 r44r1 0 2 1 5 3 0 0 2 2 2
an1 an2 (anian i) ann 则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i a1n a11 a1i a1n Da 21 a 2i a2n a 21 a 2i a2n
an1 ani ann an1 an i ann
8、性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以
同一数后加到另一列(行)对应的元素上去，行列
§1.4 行列式按行(列)展开
• 一、余子式与代数余子式 • 二、行列式按行(列)展开法则 • 三、关于代数余子式的重要性质 • 四、行列式的计算方法小结 • 五、思考与练习题
一、余子式与代数余子式
例如 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132 a 31 a 32 a 33 a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 23,1
14
3、性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
1 2 4
例 D 2 2 1 14
ri r j
r(row)表示行，
3 4 2
互换行列式的二、三行
c(column)表示列
1 2 4 D1 3 4 2 14
2 2 1
4、推论 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有DD,
ka i 1 ka i 2 ka in
a i 1 a i 2 a in
a n 1 a n 2 a nn
a n 1 a n 2 a nn
7、性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i) a1n
例如
D
a21
a22
(a2i a2i)
a2n
解: 将第 2,3, ,n都加到第一列得
a n 1b a n 1b D a n 1b
a n 1b
b bb a bb b ab b ba
技巧1：行和 相同，
全部加到某 一列
1 b bb
1 a b b 技巧2:相同元素很多，
a (n 1)b 1 b a b 化0（或者化为三角
1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r2 r4 0 2 0 4 1 0 0 1 0 2 0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
r3 r2
0 0
2 0
1 1
5 1
3 2
0 0 1 0 2
0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
r4 r3 0 2 1 5 0 0 1 1
3
2 2
0 0 0 1 0 0 0 2 2 2
关于行列式的性质 行列式展开
一、行列式的性质
1、记
a 11 a 12 a 1 n
a 11 a 21 a n 1
a D
21
a 22
a2n
DT
a 12
a 22
an2
a n 1 a n 2 a nn
a 1 n a 2 n a nn
行列式 DT 称为行列式 D的转置行列式.
2、性质1 行列式与它的转置行列式相等.
形）.
1 b ba
1 b b b
a(n1)b
ab
0 ab
a (n 1 ) b (a b )n 1 .
0 ab
三、小结
行列式的6个性质(行列式中行与列具有同 等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立).
计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用 性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行 列式的值．