七下数学平行线3
七年级下册数学平行线及其判定
七年级下册数学平行线及其判定数学是一门严谨的学科，它涵盖了许多重要的概念和定理。
在这篇文章中，我们将讨论平行线及其判定。
平行线是指在二维平面上没有交点的直线。
在几何学中，平行线的性质和判定方法是非常重要的，我们将通过详细的解释和例子来帮助同学们更深入地理解这一概念。
1.平行线的定义首先，让我们来看一下平行线的定义。
在几何学中，两条直线是平行线，当且仅当它们在同一平面上且永远不相交。
这意味着无论我们如何延长这两条直线，它们也永远不会相交。
通过这个定义，我们可以很容易地理解什么是平行线。
但是，实际中我们如何判断两条直线是否平行呢？接下来，我们将讨论几种常见的平行线判定方法。
2.平行线的判定2.1直线与直线的判定首先，让我们来看一下两条直线是否平行的判定方法。
根据几何学的知识，我们知道，如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行线。
这是因为斜率代表了直线的倾斜程度，如果两条直线的斜率相等，那么它们的倾斜程度也相等，这就意味着它们是平行的。
举个例子，假设我们有两条直线，分别是y=2x+3和y=2x-1。
我们可以很容易地计算出它们的斜率都是2，这意味着这两条直线是平行的。
2.2点与直线的判定除了两条直线的斜率相等之外，我们还可以利用点与直线之间的关系来判定两条直线是否平行。
具体来说，如果一条直线上的一点到另一条直线的距离为0，则这两条直线是平行的。
这是因为如果两条直线是平行的，那么它们的距离永远不会改变，所以一个点到另一条直线的距离也永远是不变的。
举个例子，假设我们有一条直线L：y=2x+3，还有一点A(1,5)，我们需要判断这个点到直线L的距离。
我们可以利用点到直线的距离公式来计算，如果计算出来的距离为0，那么这个点和直线是平行的。
2.3垂直线的判定有时候，我们也需要判断两条直线是否是垂直的。
其实，判断两条直线是否垂直与判断两条直线是否平行是类似的。
如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么这两条直线是垂直的。
2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习(教师版)
2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习（教师版）一、知识梳理知识点1：平行线的定义1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a ∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．知识点2：同位角、内错角和同旁内角两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。
图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线l的两旁，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是内错角。
图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。
图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点3：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点4：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。
几何语言：∵∠1＝∠2∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。
新人教版七年级数学下册平行线及判定
③过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线
平行。
(╳)
D 2、用符号“∥”表示图中平行四
C
边形的两组对边分别平行。
AB∥ CD，AD∥ BC。 A
B
巩固练习
下列说法正确的是（ D ）
A、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交， 垂直，平行三种。
B、在同一平面内，不垂直的两直线必平行。 C、在同一平面内，不平行的两直线必垂直。 D、在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直。
5.2 平行线及其判定 5.2.2 平行线的判定
平行线的画法
一放 二靠 三移 四画
从画图过程，三角板起到什么作用？
要判断直线a //b，你有办法了吗?
平行线的判定定理1: 两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么两直线 平行。简单地说： 同位角相等，两直线平行。 如图： ∵ ∠1=∠2（已知）
C
相交的两
Hale Waihona Puke 条直线。 abB
直线AB平行
AB D
CD 于直线CD
a b 直线a平行
于直线b
平面内的两条直线除平行 外还有什么位置关系？
同一平面内的两条不重 合的直线的位置关系只有两种：
相交或平行
课内练习
1、判断下列说法是否正确，并说明理由。
①不相交的两条直线是平行线。
(╳)
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线。(╳)
E
A
B
4
C
7
D
F
两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单地说:同旁内角互补,两直线平行.
判定两条直线平行的方法
文字叙述
符号语言
第3课时平行线及其性质七年级数学下册考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第3课时——平行线及其性质（答案卷）知识点一：平行线：1.平行线的定义：在同一平面内，的两条直线叫做平行线。
若直线a平行于直线b，则记作，读作。
注意：一定要在同一平面内。
且一定要时直线。
2.平行线的画法：过直线外一点画直线与已知直线平行的具体步骤：①将直角三角板的一条直角边与已知直线重合。
②将直尺与三角尺的另一直角边紧靠在一起。
③固定直尺不变，平移三角尺，使三角尺原来与已知直线重合的直角边与已知点重合。
④沿着三角尺该直角边画直线。
【类型一：确定平行线】1．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．无法确定2．在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【类型二：作图】4．如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？5．在下面的方格纸中经过点C 画与线段AB 互相平行的直线l 1，再经过点B 画一条与线段AB 垂直的直线l 2．知识点二：平行公理及其推论：1. 平行公理：经过直线外一点， 条直线与这条直线平行。
有且只有：存在且唯一。
2. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即若c b b a ∥，∥， 则a c 。
3. 垂直于同一直线的两直线平行：若c a b a ⊥⊥，，则b c 。
【类型一：对平行公理及其推论的判断理解】6．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法正确的是（ ）A ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cC ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ⊥c ，则a ∥cD ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c8．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．没有确定关系9．下列说法中，正确的个数为（）（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列说法不正确的是（）A．过马路的斑马线是平行线B．100米跑道的跑道线是平行线C．若a∥b，b∥d，则a⊥dD．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行知识点三：平行线的性质：1.两直线平行，同位角相等：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
七年级数学下册平行线的性质【十大题型】(举一反三)(人教版)
专题5.2 平行线的性质【十大题型】【人教版】【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】 (1)【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】 (5)【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】 (9)【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】 (11)【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】 (16)【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】 (21)【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】 (31)【题型8 平行线的性质（折叠问题）】 (36)【题型9 平行线的应用（转角问题）】 (41)【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】 (46)【知识点平行线的性质】【例1】（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且DG∥BC，∠1＝∠2．(1)求证：DB∥EF；(2)若EF∠AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADG＝40°【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；（2）先求出∠C，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．（1）证明：∠DG∥BC，∠∠1＝∠DBC．又∠∠1＝∠2，∠∠2＝∠DBC，∠DB∥EF．（2）∠EF∠AC，∠∠CEF＝90°．∠∠2＝∠1＝50°，∠∠C＝90°－50°＝40°．∠DG∥BC，∠∠ADG＝∠C＝40°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．【变式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心七年级期末）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．(1)求证：AB∥CD；(2)求∠C的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠C=30°【分析】（1）先证明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再证明∠CEA=∠EAB，从而可得答案；（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°代入进行计算即可.（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∠AE∥GF，∴∠EAB=∠FGB，∵∠CEA=∠FGB，∴∠CEA=∠EAB，∠AB∥CD；（2）解：由（1）得，AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°，∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°，∠∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°∴∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.【变式1-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，∠ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，且∠BDA+∠CEG=180°．(1)求证：AD∥EF；(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由．【答案】(1)见详解(2)∠F=∠H，说明见详解【分析】（1）根据∠BDA+∠CEG=180°，∠DEF+∠CEG=180°，可得∠BDA=∠DEF，根据同位角相等，两直线平行可判定AD∥EF；（2）根据∠EDH=∠C，可得DH∥AC，继而得到∠H=∠EGC，由对顶角∠AGF=∠EGC，可得∠H=∠AGF，由（1）AD∥EF可得∠DAG=∠AGF，∠BAD=∠F，再因为AD是∠BAC的角平分线，有∠DAG=∠BAD，即可证明∠F=∠H．（1）证明：∠∠BDA+∠CEG=180°，∠DEF+∠CEG=180°，∠∠BDA=∠DEF，∠AD∥EF．（2）解：∠F=∠H，理由如下：∠∠EDH=∠C，∠DH∥AC，∠∠H=∠EGC，∠∠AGF=∠EGC，∠∠H=∠AGF，∠AD∥EF，∠∠DAG=∠AGF，∠BAD=∠F，又∠AD是∠BAC的角平分线，∠∠DAG=∠BAD，∠∠F=∠H．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握并应用平行线的判定与性质是解答本题的关键．【变式1-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．(1)求证：EF∥AD；(2)求证：∠BAC+∠AGD=180°．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据垂直得出∠EFB=∠ADB=90°，根据平行线的判定得出EF∥AD；（2）根据平行线的性质得出∠1=∠BAD，由∠1=∠2得出∠2=∠BAD，根据平行线的判定得出DG∥BA，再根据平行线的性质即可得解．【详解】（1）证明：∠AD⊥BC，EF⊥BC，∠∠EFB=90°，∠ADB=90°（垂直的定义），∠∠EFB=∠ADB（等量代换），∠EF∥AD（同位角相等，两直线平行）；（2）证明：∠EF∥AD，∠∠1=∠BAD（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2（已知），∠∠2=∠BAD（等量代换），∠DG∥BA（内错角相等，两直线平行），∠∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．（请把下面证明过程补充完整）证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）∴AE∥FD（_____________）∴∠A=∠_____（______________）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）∠_____∥CD（__________________）∴∠B=∠C（____________）【答案】对顶角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；BFD；两直线平行，内错角相等；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【分析】先利用对顶角的性质证明∠2=∠3，再证明AE∥FD，可证明∠A=∠BFD，可得∠D=∠BFD，再证明AB∥CD，从而可得答案．【详解】证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行）∴∠A=∠BFD（两直线平行，内错角相等）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）∠AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用平行线的判定与性质进行证明是解本题的关键．【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）阅读并完成下面的证明过程：已知：如图，AB∥EF，∠1=∠2，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，求证：BE⊥CE．证明：∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD．∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠2=________=1∠BCD（角平分线定义）2又∠∠1=∠2，∠∠1=∠ECD（）∠EF∥CD（）又∠AB∥EF（已知）∠________________（）∠∠ABC+∠BCD=180°（）(∠ABC+∠BCD)=90°，∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF，∠∠ABE=∠BEF（）∠∠BEF+∠1=90°，∠∠BEC=90°，∠BE⊥CE（）【答案】∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB∥CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直定义．【分析】根据平行线的性质、平行线的判定以及垂直的定义进行分析即可解答．【详解】证明：∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD．∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠BCD（角平分线定义）∠2=∠ECD=12又∠∠1=∠2，∠∠1=∠ECD（等量代换）∠EF∥CD（内错角相等，两直线平行）又∠AB∥EF（已知）∠AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∠∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）(∠ABC+∠BCD)=90°，∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF，∠∠ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等）∠∠BEF+∠1=90°，∠∠BEC=90°，∠BE⊥CE（垂直定义）．故答案为：∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB∥CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直定义．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解答本题的关键．【变式2-2】（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）完成下面证明过程并写出推理根据：已知：如图所示，∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．证明：∠∠BAP与∠APD互补（已知），即∠BAP+∠APD=180°，∠____________∥_____________（_____________________），∠∠BAP=∠APC（_____________________）．又∠∠1=∠2，∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性质），即∠3=∠4，∠____________∥_____________（_____________________），∠∠E=∠F（_____________________）．【答案】AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；AE；FP；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【分析】根据平行线的判定与性质，结合图形完成填空即可求解．【详解】∠∠BAP与∠APD互补（已知），即∠BAP+∠APD=180°，∠AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∠∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等）．又∠∠1=∠2，∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性质），即∠3=∠4，∠AE∥FP（内错角相等，两直线平行），∠∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）故答案为：AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；AE；FP；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定进行证明，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式2-3】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）推理填空：完成下面的证明过程.如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求证：.DE∠BC证明：∠∠1+∠2=180°（）∠2=∠3（_______________________________）∠∠1+∠3=180°∠______∥______（_____________________________）∠∠B=______（________________________________）∠∠B=∠DEF（已知）∠∠DEF=_______ （_______________________）∠DE∠BC（）【答案】已知；对顶角相等；AB；EF；同旁内角互补，两直线平行；∠EFC；两直线平行，同位角相等；∠EFC；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】由于∠1＋∠2＝180°，∠2＝∠3，则∠1＋∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得到AB∥EF，则利用平行线的性质得∠B＝∠CFE，由于∠B＝∠DEF，所以∠DEF＝∠CFE，于是根据平行线的判定得到DE∥BC.【详解】证明：∠∠1＋∠2＝180°（已知）∠2＝∠3（对顶角相等）∠∠1＋∠3＝180°∠AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∠∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）∠∠B＝∠DEF（已知）∠∠DEF＝∠EFC（等量代换）∠DE∥BC（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．掌握平行线的判定与性质是解题的关键.【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】【例3】（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末）如图，含有30°角的直角三角板的两个顶点E、F放在一个长方形的对边上，点E为直角顶点，∠EFG=30°，延长EG交CD于点P，如果∠3=65°，那么∠2的度数是（）A．100°B．105°C．115°D．120°【答案】C【分析】根据直角三角形两锐角互余得到∠1=25°，根据平角的定义得到∠AEF=90°-∠1=65°，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∠∠D=90°，∠3=65°，∠∠1=25°，∠∠FEG=90°，∠∠AEF=90°-∠1=65°，∠AD∥BC，∠∠2=180°-∠AEF=115°，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余和平行线的性质，关键是得出∠AEF与∠2互补．【变式3-1】（2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答．【详解】解：∠纸条的两边平行，∠（1）∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）；（2）∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）；（4）∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）均正确；又∠直角三角板与纸条下线相交的角为90°，∠（3）∠2+∠4=90°，正确．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．【变式3-2】（2022·山东青岛·七年级期中）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC=30°，A，B两点分别落在直线m、n上，∠1=20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n （）A．∠2=20°B．∠2=30°C．∠2=45°D．∠2=50°【答案】D【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【详解】解：由平行线的判定可知，当∠2＝∠ABC＋∠1时，m∥n，即∠2＝∠ABC＋∠1＝30°＋20°＝50°，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式3-3】（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边DE∥BC，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（）A．95°B．115°C．105°D．125°【例4】（2022·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54′，则∠2的度数为（）A．103°6′B．104°6′C．103°54′D．104°54′【答案】C【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，∠直角三角板含一个45°的锐角，∠该三角板为等腰三角形，∠∠4=45°，∠∠1=58°54′，又∠在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，∠∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，∠∠3+∠5=180°，∠∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，∠a∥b，∠∠2=∠3，∠∠2=103°54′，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．【变式4-1】（2022·山西晋中·七年级期末）用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若∠1=50°，则∠2的度数为（）A．25°B．22.5°C．20°D．15°【答案】C【分析】如图，根据题意得到∠C=90°，AB∠DE，∠CDF=60°．先根据三角形内角和求出∠ABC=40°，再根据平行的性质求出∠CDE=40°，即可求出∠2=20°．【详解】解：如图，由题意得∠C=90°，AB∠DE，∠CDF=60°．∠∠C=90°，∠1=50°，∠∠ABC=180°-∠C-∠1=40°，∠AB∠DE，∠∠CDE=∠CBA=40°，∠∠CDF=60°∠∠2=∠CDF-∠CDE=20°．故选：C【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，熟知两个定理并理解题意得到已知条件是解题的关键．【变式4-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______．【答案】①②③④【分析】①由题意得∠G=∠MPN=∠MPG=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；②由题意得∠EFG=30°，利用邻补角即可求出∠EFN的度数；③过点F作FH⊥AB，可得FH∥CD，从而得到∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFN=105°，再利用平行线的性质即可求出∠BEF；④利用角的计算可求出∠AEG=45°，从而可判断．【详解】解：①∵∠G=∠MPN=∠MPG=90°，∴GE∥MP，故①正确；②∵∠EFG=30°，∴∠EFN=180°−30°=150°，故②正确；③过点F作EH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠HFN=∠MNP=45°，∴∠EFN=150°−45°=105°，∵FH∥AB，∴∠BEF=180°−105°=75°；故③正确；④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，∴∠AEG=180°−60°−75°=45°，∴∠AEG=∠PMN=45°，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．【变式4-3】（2022·山东淄博·期末）如图所示，将一直角三角板放在AB，CD两条平行线之间：(1)图甲中，容易求得∠1+∠2=90°，请直接写出图乙中∠1，∠2的数量关系；(2)请问图丙中∠1，∠2的数量关系是什么？并加以说明；(3)请直接写出图丁中∠1，∠2的数量关系．【答案】(1)∠1＋∠2＝270°(2)∠2－∠1＝90°；见解析(3)∠1＝∠2＋90°【分析】（1）过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD．根据两直线平行，同旁内角互补，即可得∠1，∠2的关系．（2）过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD．根据两直线平行，内错角相等，平角互补，即可得∠1，∠2的关系．（3）过点O作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD，据两直线平行，内错角相等，即可得∠1，∠2的关系．（1）如图，过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+∠3+∠2+∠4=180°+180°∠∠1+∠2=360°−90°=270°∠∠1+∠2=270°．（2）如图，过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠1=∠3，∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+180°−∠2=90°∠∠2−∠1=90°．（3）如图，过点O作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠MOC=∠2∠∠1=90°+∠MOC∠∠1=90°+∠2．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补；平角互补．【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】【例5】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）如图①，AB∥CD，M为平面内一点，若BM∠MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．(1)如图②，AB∥CD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；（2）解：当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；过M作MF∥AB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM；当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM．过M作MF∥AB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，关键是构建平行线，利用平行线的性质进行解答．解题时注意分类思想的运用．【变式5-1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．(1)如图1，求证：MN∥PQ；(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB 的度数．（直接写出答案）【答案】(1)见解析(2)∠CFB−∠BEG=90°，证明见解析(3)∠CFB=130°【分析】（1）过C作CE∥MN，根据平行线的判定和性质即可得到结论；（2）过B作BR∥AG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代换即可得到结论；（3）过E作ES∥MN，根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根据角平分线的定义得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根据四边形的内角和即可得到结论．（1）解：如图，过C作CE∥MN，∠∠1=∠MAC，∠∠2=∠ACB-∠1，∠∠2=∠ACB-∠MAC，∠∠ACB-∠MAC=∠CBP，∠∠2=∠CBP，∠CE∥PQ，∠MN∥PQ；（2）如图，过B作BR∥AG，∠AG∥CH，∠BR∥HF，∠∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，∠∠EBF=90°，∠∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，∠∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），∠∠CFB-∠BEG=90°；（3）如图，过E作ES∥MN，∠MN∥PQ，∠ES∥PQ，∠∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，∠BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，∠∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，∠∠CAE=∠AES，∠∠EBD=90°，∠∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，∠∠QBE=∠EBC，∠∠EBC=∠BES，(360°−∠ACB)，∠∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=12∠∠ACB=80°，∠∠AEB=140°，∠∠BEG=40°，∠∠CFB-∠BEG=90°，∠∠CFB=130°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，四边形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求证：AD∥NG；(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°(3)∠A=105°【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．（1）证明：∠∠1=∠2，∠1=∠GFC，∠∠2=∠CFG，∠CM∥DE，∠∠D=∠ACM，∠∠D=∠CMG，∠∠CMG=∠ACM，∠AD∥NG；（2）解：∠NBG−∠ANB+∠1=180°；理由如下：过B作BP∥AN交NG于P，∠∠ANB=∠NBP，∠AD∥NG，∠∠D=∠DHG，∠∠A+∠DHG=180°，∠∠A+∠D=180°，∠AN∥DH，又∠CM∠DH，∠BP∥CM，∠∠PBG+∠1=180°，∠∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB，∠∠NBG−∠ANB+∠1=180°；（3）解：∠∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，∠∠PBG=80°，∠∠NBG=130°，∠∠ANB=∠NBP=50°，∠∠ANB：∠BNG=2：1，∠∠BNP=25°，∠∠ANG=75°，∠∠A=105°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式5-3】（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．(1)若点F是线段AE上一点，且BF∠AE，求∠P的度数；(2)若点F 是直线AE 上一动点(点F 与点A 不重合)，请写出∠P 与∠AFB 之间的数量关系并证明． 【答案】(1)45°(2)当F 点在A 点上方时，∠BPE ＝12∠AFB ，当F 点在A 点下方时，∠BPE ＝90°﹣12∠AFB【分析】（1）过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，由平行线的性质得∠ABP +∠CEP ＝∠BPE ，∠ABF +∠CEF ＝∠BFE ，再由垂直定义和角平分线定义求得结果；（2）分三种情况：点F 在EA 的延长线上时，点F 在线段AE 上时，点F 在AE 的延长线上时，分别进行探究便可．（1）解：过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，∠AB ∥CD ，∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ，∠∠ABP ＝∠BPQ ，∠CEP ＝∠EPQ ，∠ABF ＝∠BFH ，∠CEF ＝∠EFH ，∠∠ABP +∠CEP ＝∠BPQ +∠EPQ ＝∠BPE ，∠ABF +∠CEF ＝∠BFH +∠EFH ＝∠BFE ，∠BF ∠AE ，∠∠ABF +∠CEF ＝∠BFE ＝90°，∠BP 平分∠ABF ，EP 平分∠AEC ，∠∠ABP +∠CEP ＝12（∠ABF +∠CEF ）＝45°， ∠∠BPE ＝45°；（2）①当点F 在EA 的延长线上时，∠BPE ＝12∠AFB ，理由如下：如备用图1，过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，∠AB ∥CD ，∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ，∠∠ABP ＝∠BPQ ，∠CEP ＝∠EPQ ，180°﹣∠ABF ＝∠BFH ，∠AEC ＝∠EFH ，∠∠CEP +∠ABP ＝∠EPQ +∠BPQ ＝∠BPE ，∠BFH ﹣∠EFH ＝180°﹣∠ABF ﹣∠AEC ＝∠AFB ， ∠BP 平分∠ABF ，EP 平分∠AEC ，∠∠CEP +∠ABP ＝12（∠AEC +∠ABF ）＝12（180°﹣∠AFB ）， ∠∠BPE ＝90°﹣12∠AFB ；综上，当E 点在A 点上方时，∠BPE ＝12∠AFB ，当E 点在A 点下方时，∠BPE ＝90°﹣12∠AFB ． 【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，以及角平分线的性质，在相交线问题中通常作平行线利用平行线的性质解答，将角度转化由此求出答案．解题中运用分类思想解答问题．【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】【例6】（2022·湖南·株洲二中七年级期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射后的光线为n ，则入射光线m 、反射光线n 与平面镜a 所夹的锐角∠1＝∠2．(1)如图2，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被b 反射出的光线n 与光线m 平行，且∠1＝50°，则∠2＝ °，∠3＝ °．(2)请你猜想：当射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a 、b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行时，两平面镜a 、b 间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．(3)如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．【答案】(1)100；90；(2)90°(3)2α+β=180°【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠4=50°，再利用平角的定义得∠5=80°，然后利用平行线的性质计算出∠2=100°，则∠6=40°，再利用三角形内角和定理计算∠3；（2）当∠3=90°时，根据三角形内角和定理得∠4+∠6=90°，则2∠4+2∠6=180°，利用平角的定义得到∠2+∠5=180°，然后根据平行线的判定得到m∥n；（3）由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，再根据∠2+∠3=180°-∠α，即可得出∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α．（1）解：如图：∠∠1=∠4=50°，∠∠5=180°-2×50°=80°，∠m∥n∠∠2+∠5=180°，∠∠2=100°，（180°-∠2）=40°，∠∠6=12∠∠3=180°-∠4-∠6=90°；故答案为：100，90；（2）当∠3=90°时，m∥n理由如下：∠∠3=90°，∠∠4+∠6=90°，∠2∠4+2∠6=180°，∠∠2+∠5=180°，∠m∥n；（3）解：如图3，由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，∠∠2+∠3=180°-∠α，∠∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α，∠α与β的数量关系为：2α+β=180°，故答案为：2α+β=180°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【变式6-1】（2022·河北保定·七年级阶段练习）如图，直线AB∠CD，点M，N分别在直线AB,CD 上，H为直线CD下方一点．(1)如图1，MH和NH相交于点H，求证：∠MHN=∠AMH−∠CNH．（温馨提示：可过点H 作AB的平行线）(2)延长HN至点G，∠BMH的平分线ME和∠GND的平分线NE相交于点E，HM与CD相交于点F．①如图2，若∠BME=50°,∠END=30°，求∠MHN的度数；②如图2，当点F在点N左侧时，若∠BME的度数为x°，∠END的度数为y°，且x+y的值是一个定值，请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出∠MHN的度数；若变化，请说明理由．③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出．．．．∠MHN的度数；若变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①20°；②不变，180°−2(x°+y°)；③不变，2(x°+y°)−180°【分析】（1）过点H作HQ∥AB．可得HQ∥CD，从而得到∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，即可求证；（2）①根据∠BME=50°,∠END=30°，可得∠BMH=100°，∠GND=60°，从而得到∠AMH=180°−∠BMH=80°，∠CNH=60°．再由∠MHN=∠AMH−∠CNH，即可求解；②根据题意可得∠AMH=180°−2x°，∠CNH=2y°，再由∠MHN=∠AMH−∠CNH，即可求解；③过点H作OH∠AB，根据平行线的性质，可证得∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH．从而得到∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°，即可求解．（1）证明：如图，过点H作HQ∥AB．∠HQ∥AB且AB∥CD，∠HQ∥CD，∠∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，∠∠MHN=∠MHQ−∠NHQ=∠AMH−∠CNH；（2）解：①ME平分∠BMH,∠BME=50°，∠∠BMH=100°，∠NE平分∠DNG，∠DNE=30°，∠∠GND=60°，∠∠AMH=180°−∠BMH=80°，∠CNH=60°．由（1）可知：∠MHN=∠AMH−∠CNH=80°−60°=20°．∠∠MHN=20°；②∠ME平分∠BMH，∠BME=x°，∠∠BMH=2x°，∠NE平分∠DNG，∠DNE=y°，∠∠GND=2y°，∠∠AMH=180°−2x°，∠CNH=2y°，∠∠MHN=180°−2x°−2y°=180°−2(x°+y°)．∠x+y为一个定值，∠∠MHN不会随x的变化而发生改变，度数为180°−2(x°+y°)；③不变，∠MHN的度数为2(x°+y°)−180°．理由如下：如图，过点H作OH∥AB，∠∠BMH=∠OHM，∠AB∥CD，∠OH∥CD，∠∠DNH=∠OHN，∠∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH．∠ME平分∠BMH,∠BME=x°，∠∠BMH=2x°∠NE平分∠DNG，∠DNE=y°，∠∠GND=2y°，∠∠DNH=180°−2y°，∠∠MHN=2x°−(180°−2y°)，∠∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°．∠x+y为一个定值，∠∠MHN不会随x的变化而改变．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质和判定，利用类比思想解答是解题的关键．【变式6-2】（2022·福建龙岩·七年级期末）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM∠BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．(1)求证：AE∠ED；(2)求证：DE平分∠ADC；(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．【答案】(1)见解析（1）证明：如图1，过点E作EG∥BM，则∠1=∠3，∠BM∥CN，∠EG∥CN，∠∠4=∠2，∠∠3+∠4=∠1+∠2=90°，∠∠AED=90°，∠AE∠ED．（2）证明：∠ AE平分∠BAD，∠∠BAD=2∠1，∠BM∥CN，∠∠BAD+∠CDA=180°，∠2∠1+∠CDA，（3）∠F为定值．证明：如图2，过点F作FH∥BM，设∠AFH=α，∠DFH=β，∠BM∥CN，∠FH∥CN，∠∠α+∠β=∠6+∠7，∠∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠∠α+∠β=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)=180°−45°=135°，∠∠F=∠α+∠β=135°，∠∠F为定值，∠F=135°，故答案为：∠F=135°．【点睛】本题主要考查垂线、角平分线的性质，解题的关键是掌握垂垂线的概念和角平分线与∠CFM互补(1)如图1，试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由．(2)如图2，∠BEF与∠EFD的平分线交于点P，EP的延长线与CD交于点G，H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH．(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求证：∠HPQ的大小是定值．【答案】(1)平行；理由见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行，即可判断直线AB与直线CD平行；（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF=90°，进而证明PF∥GH；（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数．（1）解：结论：AB∥CD；理由如下：∠∠MEB与∠CFM互补，∠MEB=∠AEF，∠∠AEF与∠CFM互补，∠AB∥CD．（2）∠EG平分∠BEF，∠∠PEF=1∠BEF，2又∠FP平分∠EFD，∠∠EFP=1∠EFD，2由（1）知AB∥CD，∠∠BEF+∠EFD=180°，∠∠PEF+∠EFP=90°，∠∠EPF=90°，【例7】（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）如图，已知AB//CD，若按图中规律继续划分下去，则∠1+∠2+⋯+∠n等于（）A．n•1800B．2n•1800C．(n−1)•1800D．(n−1)2•1800【答案】C【分析】根据第1个图形∠1+∠2=180°，第2个图形∠1+∠2+∠3=2×180°，第，3个图形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…，进而得出答案．【详解】（1）∠AB∠CD，∠∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EF，CD∠EF，∠∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∠∠1+∠2+∠3=360°；（3）过点E、F作EM、FN平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EM∠FN∠CD，∠∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°；∠∠1+∠2+3+∠4=540°；（4）中，根据上述规律，显然作（n-1）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出图中变化规律是解题关键．【变式7-1】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE//BF，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA；AC2，BC2分别平分∠BAC1和∠ABC1；AC3，BC3分别平分∠BAC2，∠ABC2…依次规律，得点C n，则∠C n的度数为（）A．90−902n B．180−902n−1C．902n−1D．1802nAB∠CD．试求：（1）图（1）中∠A＋∠C的度数，并说明理由．（2）图（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度数，并说明理由．（3）图（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度数，并简要说明理由．（4）按上述规律，∠A＋……＋∠C（共有n个角相加）的和为【答案】（1）180°，理由见解析；（2）360°，理由见解析；（3）540°，理由见解析；（4）180°（n-1）【分析】（1）据两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠C=180°；（2）沿P作一条平行A B、CD的平行线PM，由两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，故∠A+∠APC+∠C=360°；（3）根据第二题，同理可得∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；（4）由以上规律，有两个角时，和为180°；有三个角时和为360°；有四个角时和为540°…故可得有n个角时，和为180°（n-1）．【详解】解：（1）∠AB∠CD，∠∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点P作一条直线PM平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠PM，∠CD∠PM∠AB，∠∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，∠∠A+∠APC+∠C=360°；（3）分别过点E、F作EM、FN平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EM∠FN∠CD，∠∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°；∠∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；（4）由以上规律，有两个角时，和为180°；有三个角时和为360°；有四个角时和为540°…故可得有n个角时，和为180°（n-1）．【点睛】本题主要考查两直线平行，同旁内角互补的性质，并考查学生通过计算总结规律的能力，是一道好题．【变式7-3】（2022·浙江·七年级阶段练习）阅读并探究下列问题.（1）如图①，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2与∠1、∠3有何关系？请进行证明.（2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为.（3）如图③，将长方形纸片剪2016刀，其中AB∥CD，则共剪出个角.若将剪出的角（∠A、∠C除外）分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示，则被剪出的这些角的关系为.（4）如图④，直线AB∥CD，∠EF A=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°|2x+y−102|+√x+y−72=0由上述结论求∠GHM的度数.【答案】（1）∠1+∠3=∠2，证明见解析；（2）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；（3）2017，∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015．（4）48°．【分析】（1）过E点作EF∠AB，则EF∠CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠AEF=∠1，∠CEF=∠3，即有∠2=∠1+∠3；（2）分别过E、G、F分别作EM∠AB，GN∠AB，FP∠AB，根据两直线平行，内错角相等，同（1）一样易得到∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；（3）综合（1）（2）易得开口向左的角的度数的和等于开口向右的角的度数的和．（4）利用（3）的结论得到∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN，易计算出∠GHM．。
人教七年级数学下册-平行线的判定(附习题)
解：①可度量∠3 的度数，因为∠3 与∠2 是同旁内角，若∠3=90°，则∠3+∠2=180°. 根据“同旁内角互补，两直线平行”可得两条 直轨平行.
②也可度量∠4 的度数，因为∠4 与∠2 是 同位角，若∠4=90°，则∠4=∠2. 根据“同位 角相等，两直线平行”可得两条直轨平行.
③还可度量∠5 的度数，因为∠5 与∠2 是 内错角，若∠5=90°，则∠5=∠2. 根据“内错 角相等，两直线平行”可得两条直轨平行.
判定方法 1 同位角相等，两直线平行． 判定方法 2 内错角相等，两直线平行． 判定方法 3 同旁内角互补，两直线平行．
知识点2 同一平面内，同垂直于第三条直 线的两直线平行
例 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同 一条直线，那么两条直线平行吗？为什么？
已知条件：直线 b 与直 线 c 都垂直于直线 a .
∠1＝∠2＝∠3.
（1）若∠1＝∠2，则___a__∥___b__，理由是 _同__位__角__相__等__，__两__直__线__平__行____.
（2）若∠1＝∠3，则__a___∥___c__，理由是 _内__错__角__相__等__，__两__直__线__平__行____.
（3）直线 a，b，c 互相平行吗？为什么？ 解：平行，∵ b∥a ，c∥a ， ∴ b∥c ，∴ a∥b∥c .
如图，如果∠2 =∠3，那么 a 与 b 平行吗？
因为∠2 =∠3，∠3 =∠1， 所以∠1 =∠2， 所以 a∥b .
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
思考
如果两条直线被第三条直线所截，那么能否利 用同旁内角来判定两条直线平行呢？
2022-2023学年七年级数学下册《平行线的性质》精讲与精练高分突破含答案解析
5.3平行线的性质考点一：平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单地说:两直线平行，同位角相等.2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说:两直线平行，内错角相等.3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说:两直线平行，同旁内角互补.注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。
一个结论：平行线间的距离处处相等。
例如：应用于说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或以下底为底的两等面积的三角形。
（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。
）考点二、命题判断一件事情的语句叫命题。
命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。
例如：“明天可能下雨。
”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。
”这句语句_____命题。
(填“是”或“不是”)①命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。
假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。
②逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。
注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。
题型一：平行线的性质1．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，AF 是BAC ∠的平分线，DF AC ∥，若135∠=︒，则BAF ∠的度数为（ ）A ．17.5°B ．35°C ．55°D ．70°2．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）如图，直线a b P ，一块含60︒角的直角三角板如图放置，若113∠=︒，则2∠的度数为（ ）．A ．45︒B ．47︒C ．55︒D ．57︒3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB CD P ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分BEF ∠，交CD 于点G ，150∠=︒，则2∠等于（ ）A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．90︒题型二：根据平行线性质探究角的关系4．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）12∠=∠；（2）34∠=∠；（3）2490∠+∠=︒；（4）45180∠+∠=︒．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2023春·七年级单元测试）如图，平面内直线a b c ∥∥，点A ，B ，C 分别在直线a ，b ，c 上，BD 平分ABC ∠，并且满足αβ∠>∠，则α∠，∠β，γ∠关系正确的是（ ）A ．2αβγ∠=∠+∠B ．αβγ∠=∠+∠C ．22αβγ∠=∠-∠D ．2αβγ∠=∠+∠6．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）23∠∠=；（2）34∠∠=；（3）2+4=90∠∠︒；（4）5290∠-∠=︒，其中正确的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4题型三：根据平行线性质求角的大小7．（2022秋·重庆江北·七年级校考期末）如图，已知OP 平分AOB ∠，30AOB ∠=︒，PC OA ∥，则CPO ∠为（ ）A ．30︒B ．10︒C ．15︒D ．5︒8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线m n ∥，AC BC ⊥于点C ，125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．125︒B ．115︒C ．110︒D ．105︒9．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，12l l ∥，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A 、B 、C 在同一直线上，则1∠的度数为（ ）A ．80︒B ．85︒C ．75︒D ．70︒题型四：平行线性质在生活应用问题10．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与原来的方向恰好相反，那么两次拐弯的角度是（ ）A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°D ．第一次右拐50°，第二次右拐50°11．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，木条a 、b 、c 通过B 、E 两处螺丝固定在一起，且40ABM ∠=︒，77BEF ∠=︒，将木条a 、木条b 、木条c 看作是在同一平面内的三条直线AC 、DF 、MN ，若使直线AC 、直线DF 达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）A ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 顺时针旋转23B ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 逆时针旋转103C ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 逆时针旋转37D ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 顺时针旋转15812．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（ ）A ．1或6秒B ．8.5秒C ．1或8.5秒D ．2或6秒题型五：平行线之间的距离13．（2023春·七年级单元测试）在同一平面内，设a 、b 、c 是三条互相平行的直线，已知a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，则a 与c 的距离为（ ）A ．1cmB ．3cmC ．5cm 或3cmD ．1cm 或3cm14．（2023春·七年级课时练习）如图，12l l ∥，AB CD ∥，2CE l ⊥，2FG l ⊥．则下列结论正确的是（ ）．A ．A 与B 之间的距离就是线段ABB ．AB 与CD 之间的距离就是线段AC 的长度C ．1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度D ．1l 与2l 之间的距离就是线段CD 的长度15．（2020春·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，已知直线a // b // c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，若AB=2，AC=6，则平行线b 、c 之间的距离是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8题型六：与命题有关的问题16．（2023春·广东江门·七年级统考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）A ．直角的补角是直角B ．内错角相等，两直线平行C ．一条直线有且只有一条垂线D ．垂线段最短17．（2023春·七年级课时练习）关于原命题“如果a b =，那么22a b =”和它的逆命题“如果22a b =，那么a b =”，下列说法正确的是（ ）A ．原命题是真命题，逆命题是假命题B ．原命题、逆命题都是真命题C ．原命题是假命题，逆命题是真命题D ．原命题，逆命题都是假命题18．（2023春·全国·七年级专题练习）一栋公寓楼有5层，每层有一或两套公寓．楼内共有8套公寓．住户J 、K 、L 、M 、N 、O 、P 、Q 共8人住在不同公寓里．已知：（1）J 住在两套公寓的楼层．（2）K 住在P 的上一层．（3）二层只有一套公寓．（4）M 、N 住在同一层．（5）O 、Q 不同层．（6）Q 不住在一层或二层．（7）L 住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一次或第五层．（8）M 在第四层；那么，J 住在第（ ）层．A ．1B ．2C ．3D ．5题型七：平行线的判定和性质的综合问题19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级校考期末）如图，AB CD ∥，连接CA 并延长至点H ，CF 平分ACD ∠，CE CF ⊥，90GAH AFC ∠∠=+︒．(1)求证AG CE ∥；(2)若120GAF ∠=︒，求AFC ∠的度数．20．（2023春·七年级单元测试）如图，180ADE BCF ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，2ABC E ∠=∠．(1)求证：AD BC ∥；(2)求证：AB EF ∥；(3)若AF 平分BAD ∠，求证：90E F ∠+∠=︒．21．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 AM CN ∥，点B 在直线AM CN 、之间，88ABC ∠=︒．(1)如图1，请直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系：_________．(2)如图2，A ∠和C ∠满足怎样的数量关系？请说明理由．(3)如图3，AE 平分MAB ∠，CH 平分NCB ∠，AE 与CH 交于点G ，则AGH ∠的度数为_________．一：选择题22．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图，若a b ∥，211933'∠=︒，则1∠等于（ ）A ．6027'︒B ．6073'︒C ．11933'︒D ．11973'︒23．（2023春·七年级课时练习）如图，直线l 、n 分别截A ∠的两边，且l n ∥．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，正确的是（ ）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．46180∠+∠=︒D ．34180∠+∠=︒24．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB CD P ，BC 是ABD ∠的平分线，若3100∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．80︒25．（2023秋·吉林长春·七年级校联考期末）如图，AB CD P ，155FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则BEF ∠的大小为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒26．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知AB CD EF ∥∥，160∠=︒，320∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．105︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒27．（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）如图，1260∠=∠=︒，376∠=︒，则4∠的度数为（ ）A ．102︒B ．103︒C ．104︒D ．105︒28．（2022春·全国·七年级专题练习）如图，点E 在AB 的延长线上，下列条件中能够判定AB CD P 的条件有（ ）①180BAD ABC ∠+∠=︒；②12∠=∠；③3=4∠∠；④5E ADC ∠+∠=∠．A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④29．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知180AEF EFC ∠+∠=︒，M N ∠=∠，求证12∠=∠；30．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，已知12∠=∠，3=4∠∠，5A ∠=∠，试说明：BE CF ∥．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵3=4∠∠（已知）∴AE ∥______（______）∴5EDC ∠=∠（______）∵5A ∠=∠（已知）∴EDC ∠=______（等量代换）∴DC AB ∥（______）∴5180ABC ∠+∠=︒（______）即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠（已知）∴513180∠+∠+∠=︒（______）即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥（______）．一、单选题31．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线AB CD ∥，130GEF ∠=︒，135EFH ∠=︒，则12∠+∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．85︒32．（2023春·七年级单元测试）如图，直线EF 分别与直线AB CD 、相交于点G H 、，已知1250∠=∠=︒，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ，则GMD ∠的度数为（ ）A ．115︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒33．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB EF ∥，90BCD ∠︒＝，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）A ．360αβγ++︒＝B ．90αβγ++︒＝C ．αγβ+＝D ．180αβγ++︒＝ 34．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB CD EF ∥∥，则下列各式中正确的是（ ）A．①②④B．②③④C．①②③二、填空题37．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当的度数为________．38．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知AB CD ∥，点M ，N 分别在直线AB 、CD 上，90MEN ∠=︒，CNE ENF ∠=∠，则α∠与∠β的数量关系________．39．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，AB CD ABD ∠P ，和BDC ∠的角平分线交于点E ，延长BE 交CD 于点F ，232∠=︒，则3∠=_________．40．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线12l l ，被直线3l 所截，3l 分别交12l l ，于点A 和点B ，过点B 的直线4l 交1l 于点C ．若1130260350∠∠∠=︒=︒=︒，，，则4∠=_________．41．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）有一副直角三角板ABC 和DEC ，其中45B ∠=︒，60D ∠=︒，如图所示叠放，边CD 与边AB 交于点G ，过点G 作GH 平分AGC ∠，若GH BC ∥，则ECA ∠=______度．三、解答题42．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知点A 、D 在直线EF 上，12180∠+∠=︒，DB 平分ADC ∠，AD BC ∥．(1)求证： AB DC ∥；(2)若128DAB ∠=︒，求DBC ∠的度数．43．（2023春·七年级单元测试）如图，已知123180BDC ∠=∠∠+∠=︒，．(1)求证：AD CE ∥；(2)若DA 平分BDC ∠，DA FE ⊥于点A ，55FAB ∠=︒，求ABD ∠的度数．44．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线a b ⊥r r ，垂足为O ，ABC V 与直线a 、b 分别交于点E 、F ，且90C ∠=︒，EG FH ，分别平分MEC ∠和NFC ∠．(1)当PD 平分ODF ∠时，(2)当DP OB ∥时，求PDE ∠(3)当DP FD ⊥时，∠ADP 2(1)如图1，若BAP ∠，PAG ∠，ACE ∠的数量关系为___________．(2)如图2，在（1）的条件下，若5DBA ACE ∠=∠，30PAG ∠=︒，求证AB AC ⊥；(3)点B 、C 分别在点D 、E 的下方，若AB AC ⊥，PAG FAC ∠=∠，请在备用图中画出相应的图形，并求出DBA ∠的度数．1．B【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得1FAC ∠=∠，再根据角平分线的定义可得BAF FAC ∠=∠，从而可得结果．【详解】解：∵DF AC ∥，∴135FAC ∠=∠=︒，∵AF 是BAC ∠的平分线，∴35BAF FAC ∠=∠=︒，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．2．B【分析】由平行线的性质，已知113ABD ∠=∠=︒，再根据角的和差，平行公理推论，平行线的性质解得∠2度数，进而得出答案．【详解】过点B 作BD a ∥,∴2CBD ∠=∠，∵a b ∥,∴BD b ∥,又∵113∠=︒，∴113ABD ∠=∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴601347DBC ∠=︒-︒=︒，∴247∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差，对顶角的性质，等量代换等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点过一点作已知直线的平行线辅助线．3．C【分析】由AB CD P ，1=50∠︒，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得BEF ∠的度数，又由EG 平分BEF ∠，求得BEG ∠的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得2∠的度数．【详解】解：∥ AB CD ，1180BEF ∴∠+∠=︒，1=50∠︒ ，130BEF ∴∠=︒，EG 平分BEF ∠，1652BEG BEF ∴∠=∠=︒，265BEG ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．4．D【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，可判断（1），（2）,（4），由平角的定义可判断（3），逐一进行解答即可．【详解】解：∵纸条的两边互相平行，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180︒，故（1）（2）（4）正确；∵三角板是直角三角板，∴∠2+∠4=1809090︒-︒=︒，故（3）正确；综上所述，正确的个数是4． 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．5．A【分析】先根据平行线的性质可得1γα∠+∠=∠，2β∠=∠，从而可得ABC αβ∠=∠+∠，再根据角平分线的定义可得11212αβ∠=∠+∠，代入1γα∠+∠=∠即可得出答案．【详解】解：如图，a b c ∥∥，1γα∴∠+∠=∠①，2β∠=∠，12ABC γαβ∠∴∠+∠+∠=∠+∠=，BD Q 平分ABC ∠，1112212ABC αβ∠=∴∠=∠+∠，代入①得：1212αβγα∠+∠+∠=∠，2αβγ∴∠=∠+∠，【详解】解：AC BC ⊥Q 于点C ，90ACB ∴∠=︒，190ABC ∴∠+∠=︒，902565ABC ∴∠=︒-︒=︒，m n ∥，2180115ABC ∴∠=︒-∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．9．C【分析】如图，过点C 作CM 1l ∥，则12l l CM ∥∥，根据平行线的性质可得∠1＋∠ECM ＝180°，∠2＝∠ACM ，再根据三角板的特点求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CM 1l ∥，∵12l l ∥，∴12l l CM ∥∥，∴∠1＋∠ECM ＝180°，∠2＝∠ACM ，∵∠2＝180°−45°＝135°，∴∠ACM ＝135°，∴∠ECM ＝135°−30°＝105°，∴∠1＝180°−105°＝75°，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等”及作平行线是解题的关键．10．C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补判断即可．【详解】解：因为两次拐弯后，与原来的方向恰好相反，所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．11．C【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．【详解】解：A ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 顺时针旋转23°，∴∠ABE =40°+23°=63°≠∠DEM ，∴AC 与DF 不平行，故A 不符合题意；B ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 逆时针旋转103°，∴∠CBE =180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM ，∴AC 与DF 不平行，故B 不符合题意；C ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 逆时针旋转37°，∴∠DEM =77°-37°=40°=∠ABE ，∴AC //DF ，故C 符合题意；D ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 顺时针旋转158°，∴∠DEM =360°-77°-158°=125°≠∠CBE ，∴AC 与DF 不平行，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．12．C【分析】设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，②612t <≤和③1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设A 灯旋转的时间为t 秒，A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，0182t ∴<≤-，即016t <≤，由题意，分以下三种情况：①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP '' ，1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，解得1t =，符合题设；②如图，当612t <≤时，//AM BP ''，18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP '' ，2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，解得8.5t =符合题设；③如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，解得1916t =>，不符题设，舍去；综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．13．C【分析】分①直线b 在直线a 、c 的之间和②直线c 在直线a 、b 的之间两种情况，根据平行线间的距离求解即可得．【详解】解：①如图，当直线b 在直线a 、c 的中间时，a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，a ∴与c 的距离为()415cm +=；②如图，当直线c 在直线a 、b 的中间时，a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，a ∴与c 的距离为()413cm -=；综上，a 与c 的距离为5cm 或3cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线间的距离，正确分两种情况讨论是解题关键．14．C【分析】根据两点间的距离和平行线间的距离的性质逐项判断即可．【详解】解：A 、A 与B 之间的距离就是线段AB 的长度，不符合题意，故本项错误；B 、AB 与CD 之间的距离就是线段HI 的长度，不符合题意，故本项错误；C 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度，符合题意，故本项正确；D 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 或GF 的长度，不符合题意，故本项错误．故答案为：C ．【点睛】本题考查了两点间的距离和平行线间的距离的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质．15．B【分析】依据直线a ∥b ∥c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，即可得到AB 长为直线a 和b 之间的距离，BC 长为直线b 和c 之间的距离，AC 长为直线a 和c 之间的距离，再根据AB=2，AC=6，即可得出直线b 与直线c 之间的距离为4．【详解】解：∵直线a ∥b ∥c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，∴AB 长为直线a 和b 之间的距离，BC 长为直线b 和c 之间的距离，AC 长为直线a 和c 之间的距离，又∵AB=2，AC=6，∴BC=6-2=4，即直线b 与直线c 之间的距离为4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．16．C【分析】根据补角的定义，平行线的判定，垂线的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 直角的补角是直角，是真命题，故该选项不符合题意；B. 内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；C. 同一平面内过直线上的一点有且只有一条垂线，原命题是假命题，符合题意；D. 垂线段最短，是真命题，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握补角的定义，平行线的判定，垂线的性质是解题的关键．17．A【分析】根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案．【详解】解：如果a b =，那么22a b =，所以原命题是真命题；命题“如果a b =，那么22a b =”的逆命题是如果22a b =，那么a b =，不一定成立，是假命题；故原命题是真命题，逆命题是假命题故选：A ．【点睛】此题考查了互逆命题，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键．18．D【分析】首先根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选，就能确定答案．【详解】解：由（4）和（8）得出M 和N 住在第四层．由（2）得K 只能在2或3层，又由（7）得出L 在3层且只有一户，K 在二层只有一户，P 则在一层．又由（5）和（6）知道O 只能在一层，Q 在五层．这时只有五层还有一套公寓，所以J 只能住在五层．故选：D ．【点睛】用到的知识点是推理和论证，能根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选是解此题的关键．19．(1)见解析(2)30AFC ∠=︒【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义推出AFC ACF ∠=∠，得到90ACF GAH ∠∠=+︒，根据垂直的定义求出90ACF ECH ∠∠+=︒，由此得到GAH ECH ∠=∠，即可推出结论；（2）根据平行线的性质推出2HAF ACD ACF =∠∠=∠，由90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠，得到902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒，求出30ACF ∠=︒即可．【详解】（1）证明：∵AB CD ∥，∴AFC DCF ∠=∠，∵CF 平分ACD ∠，∴DCF ACF ∠=∠，∴AFC ACF ∠=∠，∵90GAH AFC ∠∠=+︒，∴90ACF GAH ∠∠=+︒，∵CE CF ⊥，∴90ECF ∠=︒，∴90ACF ECH ∠∠+=︒，∴GAH ECH ∠=∠，∴AG CE ∥；（2）∵AB CD ∥，∴2HAF ACD ACF =∠∠=∠，∵90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠，∴902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒，∴30ACF ∠=︒，∴30AFC ∠=︒．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，正确掌握平行线的判定和性质是解题的关键．20．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）求出ADF BCF Ð=Ð，根据平行线的判定得出即可；（2）根据角平分线的定义得出2ABC ABE ∠=∠，求出ABE E ∠=∠，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质得出180ADE BCF ∠+∠=︒，根据角平分线的定义得出12ABE ABC ∠=∠， 12BAF BAD ∠=∠，求出90ABE BAF ∠+∠=︒，根据三角形的内角和定理得出即可．【详解】（1）∵180ADE BCF ∠+∠=︒，180ADE ADF ∠+∠=︒，∴ADF BCF ∠=∠，∴AD BC ∥；（2）∵BE 平分ABC ∠，∴2ABC ABE ∠=∠，∵2ABC E ∠=∠，∴ABE E ∠=∠，∴AB EF ∥；（3）∵AD BC ∥，∴180DAB ABC ∠+∠=︒，∵BE 平分ABC ∠，AF 平分BAD ∠，∴12ABE ABC ∠=∠，12BAF BAD ∠=∠，∴90ABE BAF ∠+∠=︒，∴1809090AOB EOF Ð=°-°=°=Ð，∴18090E F EOF Ð+Ð=°-Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．21．(1)88A C ∠+∠=︒(2)92C A ∠-∠=︒，见解析(3)46︒【分析】（1）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（2）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【详解】（1）解：过点B 作BE AM ∥，如图，∴A ABE ∠=∠．∵BE AM ∥，AM CN ∥，∴BE AM CN ∥∥．∴C CBE ∠=∠．∵88ABC ∠=︒．∴88A C ABE CBE ABC ∠+∠=∠+∠=∠=︒．故答案为：88A C ∠+∠=︒；（2）解：A ∠和C ∠满足：92C A ∠-∠=︒．理由：过点B 作BE AM ∥，如图，∴A ABE ∠=∠．∵BE AM ∥，AM CN ∥，∴BE AM CN ∥∥．∴180C CBE ∠+∠=︒．∴180CBE C ∠=︒-∠．∵88ABC ∠=︒．∴88ABE CBE ∠+∠=︒．∴18088A C ∠+︒-∠=︒．∴92C A ∠-∠=︒；（3）解：设CH 与AB 交于点F ，如图，∵AE 平分MAB ∠，CH 平分NCB ∠，∥，∵a b24．B【分析】根据平行线的性质可求ABD ∠的度数，然后根据角平分线定义求解即可．【详解】解：AB CD P ，3100∠=︒，3100ABD ∴∠=∠=︒，BC 是ABD ∠的平分线，121502ABD ∴∠=∠=∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质求出ABD ∠的度数是解题的关键．25．D【分析】利用平行线的性质，角平分线的性质计算．【详解】解：155AB CD FGB ∠=︒ ∥，，180BEF EFD ∴∠+∠=︒，180********GFD FGB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，FG 平分EFD ∠，222550EFD GFD ∴∠=∠=⨯︒=︒，180********BEF EFD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．26．D【分析】由AB EF ∥，根据据两直线平行，内错角相等，可求出CDE ∠的度数，从而由3CEF AEF ∠=∠-∠可求得出CEF ∠的度数，再由CD EF ∥，根据两直线平行，同旁内角互补，求得2∠的度数即可．【详解】解：∵AB EF ∥，160∠=︒，∴160AEF ∠=∠=︒，∵320∠=︒，∴602040CEF ∠=︒-︒=︒，∵CD EF ∥，∴2180CEF ∠+∠=︒，∴218040140∠=︒-︒=︒．故选D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．27．C【分析】先根据对顶角相等可得5260∠=∠=︒，再根据平行线的判定可得a b P ，然后根据平行线的性质即可得．【详解】解：如图，260∠=︒ ，5260∴∠=∠=︒，160∠=︒ ，51∴∠=∠，a b ∴P ，4180180104376∠=︒-︒-︒=∴∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．28．B【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行三种判定方法进行判定即可．【详解】解：∵∠180BAD ABC ∠+∠=︒，∴BC AD ∥，故①不合题意；∵12∠=∠，∴AB CD P ，故②符合题意；∵3=4∠∠，∴BC AD ∥，故③不合题意；∵5E ADC ∠+∠=∠，5EDC ADC ∠+∠=∠，∴E EDC ∠=∠，∴AB CD P ，故④符合题意．故本题选：B ．【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握三种判定方法是解题关键．29．证明见解析【分析】先证明AB CD P ，再证明ME FN ∥，得到MEF EFN ∠=∠，利用等式的性质即可求解．【详解】证明：∵180AEF EFC ∠+∠=︒，∴AB CD P ，∴AEF DFE ∠=∠．∵M N ∠=∠，∴ME FN ∥，∴MEF EFN ∠=∠，∴AEF MEF EFD EFN ∠-∠=∠-∠，即12∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是牢记平行线的判定与性质．30．BC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；A ∠；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．【详解】解：∵3=4∠∠（已知）∴AE BC ∥（内错角相等，两直线平行）∴5EDC ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵5A ∠=∠（已知）∴EDC A ∠=∠（等量代换）∴DC AB ∥（同位角相等，两直线平行）∴5180ABC ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠（已知）∴513180∠+∠+∠=︒（等量代换）即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：BC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；A ∠；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键．31．D【分析】由130GEF ∠=︒，135EFH ∠=︒可得1324265︒∠+∠+∠+∠=，由AB CD P 得34180∠+∠=︒，进而可求出12∠+∠的度数．【详解】解：如下图所示，∵130GEF ∠=︒，∴13130︒∠+∠=，∵135EFH ∠=︒，∵AB EF ∥，∴AB CM DN EF ∥∥∥，∴BCM DCM CDN EDN αγ∠∠∠∠＝，＝，＝，∵CDN EDN CDN βγ∠+∠∠+＝＝①，90BCD CDN α∠+∠︒＝＝②，由①②得：90αβγ+-︒＝．即90αβγ++︒＝故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解题的关键．34．D【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即可得到结论．【详解】∵AB CD EF ∥∥，∴31BDC ∠=∠+∠，=1802BDC ∠︒-∠，∴311802∠=∠+︒-∠，∴231801∠+∠=︒+∠，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．35．C【分析】分别过E 、F 作GE AB ∥，FH CD ∥，再根据平行线的性质可以得到解答．【详解】解：分别过E 、F 作GE AB ∥，FH CD ∥，∵AB CD ∥，∴AB GE FH CD ∥∥∥，∴180ABE BEG ∠+∠=︒，180CDE DEG ∠+∠=︒，∴360ABE BEG CDE DEG ∠+∠+∠+∠=︒，即360ABE BED CDE ∠+∠+∠=︒，①正确；∴1β∠= EF CD ∥，CNE ENF ∠=∠()121802ENC α∴∠=∠=︒-∠∵1130350∠∠=︒=︒，，∴12l l ∥，∴45∠=∠，∵260350∠∠=︒=︒，，∴5180605070∠=︒-︒-︒=︒，在BCG V 中，180180904545BCG BGC B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，30DCE ∠=︒ ，90453015ECA ACB BCG DCE ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，关键是理解平行线性质，灵活运用角的和差关系计算．42．(1)见解析(2)26DBC ∠=︒【分析】（1）由已知条件得出180BAD CDA ∠+∠=︒，根据同旁内角互补两直线平行，即可得证；（2）根据已知条件得出18012852ADC ∠=︒-︒=︒，根据角平分线的定义得出1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，根据平行线的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵12180∠+∠=︒，1180,2180DAB ADC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∴AB DC ∥；（2）解：∵180BAD CDA ∠+∠=︒，128DAB ∠=︒，∴18012852ADC ∠=︒-︒=︒，∵DB 平分ADC ∠，∴1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴26DBC ADB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．43．(1)见解析(2)110︒【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB CD ∥，得到2ADC ∠=∠，等量代换得出3180ADC ∠+∠=︒，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由CE AE ⊥，AD CE ∥得出90CEF DAF ∠∠==︒，再根据平行线的性质即可求出235ADC ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义即可得解．【详解】（1）证明：∵1BDC ∠=∠，∴AB CD ∥，∴2ADC ∠=∠，∵23180∠+∠=︒，∴3180ADC ∠+∠=︒，∴AD CE ∥；（2）解：∵CE AE ⊥于E ，∴90CEF ∠=︒，由（1）知AD CE ∥，∴90CEF DAF ∠∠==︒，∴2ADC DAF FAB ∠=∠=∠-∠，∵55FAB ∠=︒，∴35ADC ∠=︒，∵DA 平分BDC ∠，1BDC ∠=∠，∴1270BDC ADC ∠=∠=∠=︒，∴18070110ABD ∠=︒-︒=︒．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．44．(1)180°(2)见解析【分析】（1）根据四边形的内角和解答即可；（2）根据四边形的内角和得出180OEC OFC ∠+∠=︒，由角平分线的定义得出()111809022CEG CFH MEC NFC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，过C 点作CD EG ∥，由平行线的性质与判定即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形OECF 中由90C ∠=︒，a b ⊥r r ，得180OEC OFC ∠+∠=︒，故答案为：180°；（2）证明：在四边形OECF 中∵90C ∠=︒，a b ⊥r r ，得180OEC OFC ∠+∠=︒，∵180MEC OEC ∠=︒-∠，180NFC OFC ∠=︒-∠，∴()()180180MEC NFC OEC OFC ∠+∠=︒-∠+︒-∠∵90ODE ∠=︒，∴1409050PDE ∠=︒-︒=︒．（3）如图，∵DP FD ⊥，（4）如图，当PD 在EDF ∠的外部时，∵45EDF ∠=︒，23PDF ∠=∠同理可得：2453 PDF∠=⨯∴PDE EDF PDF∠=∠-∠【点睛】本题考查的是垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的,BAP PAC∴∠=∠∠BAP PAC∴∠=∠=∠故答案为：BAP∠=（2）证明：如图2，DBA BAG ∴∠=∠AP 平分BAC∠BAP PAC ∴∠=∠DBA BAG ∴∠=∠5DBA ACE ∠=∠ 在图3中，∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵AP 平分BAC ∠，∴1452PAB PAC BAC ∠=∠=∠=︒，∵DM FG ∥，BAG DBA x∴∠=∠=45PAG PAB BAG x∴∠=∠+∠=︒+90BAC ∠=︒9090FAC BAG x∴∠=︒-∠=︒-PAG FAC∠=∠ 4590x x∴︒+=︒-解得：22.5x =︒，22.5DBA ∴∠=︒；在图4中，∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵AP 平分BAC ∠，∴1452P AB P AC BAC ∠=∠=∠=''︒，∵DM FG ∥，BAG DBA x∴∠=∠=45P AG BAG P AB x ∴∠=∠-='∠-'︒()180********PAG P AG x x∴∠=︒-∠=︒--︒=︒-'90CAG x∠=︒- ()1801809090FAC CAG x x∴∠=︒∠=︒-︒-=︒+PAG FAC∠=∠ 22590x x∴︒-=︒+解得：67.5x =︒，67.5DBA ∴∠=︒；综上所述，DBA ∠的度数为22.5︒或67.5︒．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义综合题；熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键．。
2022-2023学年七年级数学下册课件之平行线的性质 第三课时(人教版)
∴∠1 = ∠2 (两直线平行，同位角相等). ∴ ∠2= ∠1 = 90° (等量代换).
∴a⊥c (垂直的定义).
总结
证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推出结论的过 程．证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据 可以是已知条件，也可以是定义、公理，已学过的定理．在初学 证明时要把根据写在每一步推理后面的括号里，如本例中的“已 知”“等量代换”等．
1 在下面的括号内，填上推理的根据.
如图，∠A＋∠B=180°，求证∠C＋∠D=180°. 证明：∵∠A＋∠B=180°， ∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）. ∴ ∠C＋∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补） .
B
C
2 命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由； 如果不是，请举出反例.
①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对
顶角；③等角的余角相等；④对顶角相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5 能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假
命题的一个反例可以是( A )
A．a＝－2
B．a＝ 1
3
C．a＝1
D．a＝2
把“同旁内角互补”改写为“如果……那么……”的形式． 解： 如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 易错点：改写命题时，语句不通顺，命题补充不完整.
(2)命题改写的方法：先搞清命题的题设(已知事项)部 分和结论部分；再将其改写为“如果……那么……” 的形式：“如果”后面跟的是已知事项，“那么” 后面跟的是由已知事项推出的事项(即结论)．
1 指出下列命题的题设和结论：
(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°;
七年级数学下册教学课件《平行线的性质》
d
c
21 a
34
65 b
78
对应训练
1.如图，直线a∥b，c是截线，若∠1=60°，则∠2的度数为 __1_2_0_°_.
2.如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD 的平分线，若∠2=64°， 则∠3=__5_8_°__.
探究点2 两直线平行，内错角相等
你能结合图形，由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的
内错角之间的关系吗？
c
两条直线平行
21 a
34
同位角相等
转化
内错角相等
65 b
78
探究点2 两直线平行，内错角相等
你能结合图形，由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的
内错角之间的关系吗？
c
解：∵a∥b（已知）， ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）.
21 a
34
又∵∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠3=∠5（等量代换）.
拓展提升
我们生活中经常接触的小刀刀柄外形是一个直角梯形（下底 挖去一小半圆），刀片上、下是平行的．把处于闭合状态的 刀片打开，得到如图所示的图形． （1）若∠1=55°，求∠2的度数； （2）在刀片打开过程中，若∠2始终为钝角，试说明 ∠2=∠1+90°．
解:（1）如图，延长CB交AD于点E. 由题意可知∠BAG=90°，AG∥CE， ∴∠EAG=∠1+∠BAG=55°+90°=145°， ∠EAG=∠DEC. ∴∠DEC=145°. ∵刀片上、下是平行的，即AD∥CF， ∴∠2=∠DEC=145°. （2）由（1）可知 ∠DEC=∠DAG=∠1+∠BAG=∠1+90°， ∠2=∠DEC，∴∠2=∠1+90°.
21 a
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳相交线与平行线1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角(成正比)，邻补角(优势互补)，同位角，内错角，同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截：同位角f(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧)内错角z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)同旁内角u(在两条直线内部，坐落于第三条直线同侧)4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5、横向三要素：横向关系，横向记号，像距6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、垂线段最长。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、平行公理：经过直线外一点，存有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的认定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角成正比，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线平行。
11、推断：在同一平面内，如果两条直线都旋转轴同一条直线，那么这两条直线平行。
(一)正负数1.正数：大于0的数。
2.负数：小于0的数。
3.0即不是正数也不是负数。
4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
(二)有理数1.有理数：由整数和分数组成的数。
包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
(无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。
如：π)2.整数：正整数、0、正数整数，泛称整数。
3.分数：正分数、负分数。
(三)数轴1.数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。
北师大版七下数学2.3.2平行线的性质教案
北师大版七下数学2.3.2平行线的性质教案一. 教材分析《北师大版七下数学》2.3.2平行线的性质是学生在学习了直线、射线、线段以及平行线的基本概念之后的一个单元。
本节课主要引导学生探究平行线的性质，让学生通过观察、猜想、验证、归纳等过程，理解和掌握平行线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
教材中提供了丰富的素材，通过学生的自主探究和合作交流，使学生能够深刻理解并熟练运用平行线的性质。
二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经初步学习了直线、射线、线段等基本概念，对图形有了一定的认识。
但是，对于平行线的性质，他们可能还停留在直观的感受上，缺乏系统的理论支持。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过引导、启发、激励，让学生主动参与学习，提高他们的自主学习能力。
三. 教学目标1.理解平行线的性质，并能够熟练运用。
2.培养学生的观察能力、猜想能力、验证能力和归纳能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
4.培养学生的合作意识和团队精神。
四. 教学重难点1.重点：平行线的性质。
2.难点：平行线性质的证明和运用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.探究法：学生通过观察、猜想、验证、归纳等过程，自主探究平行线的性质。
3.合作交流法：学生分组进行讨论，分享学习心得，互相学习，共同进步。
六. 教学准备1.准备相关的图形素材，如直线、射线、线段、平行线等。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
3.准备课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、射线、线段等基本概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示直线、射线、线段和平行线的图形，让学生观察并猜想平行线的性质。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行小组讨论，分享各自的猜想，并尝试用已知知识验证平行线的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师挑选一些典型的题目让学生进行练习，巩固对平行线性质的理解和运用。
初一(七年级)下册数学相交线与平行线的知识点
七下数学“相交线与平行线”的知识点开学已经有几天了，新的第一章知识掌握的怎么样了呢？这一单元主要是概念和性质定理一定要理解清楚，可以在这篇文章梳理一下，一定能帮到你！一、相交线1.邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
2.垂线⑴定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
3.垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。
4.点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
应该结合图形进行记忆。
如图，PO⊥AB，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。
PO 是垂线段。
PO 是点P 到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念。
七年级下册数学平行线及其判定
七年级下册数学平行线及其判定平行线及其判定一、什么是平行线在数学中，平行线指的是两条线段在共线的情况下，两条线段的端点不重合，其余点在这两条线段上都存在。
它们在每一条垂直于这两条线段的直线上，都有两个相对对称的直线，这样它们才能称之为平行线。
二、平行线判定1、直角三角形平行线判定一个直角三角形有两条斜边，如果其中任意一条斜边与直角边平行，则另外一条斜边也必定与直角边平行，因此斜边两条线段相互也是平行的。
2、锐角三角形平行线判定对于锐角三角形，根据角平行定理，其中任意两条边所对的角是相等的，那么当两条边所在的直线交于相同的角点时，这两条边所在的线段就是平行线。
3、同长角相等平行线判定倘若一个四边形有两条对角线，其中任意两个角的长度和两个角的大小都相等，那么对角线所在的线段便是平行的。
4、直角三角形内连接平行线判定如果一个三角形是直角三角形，它的两个斜边上各准备了一条连接线，则两条连接线在垂直于直角边的水平线上，一定是平行的，因为斜边所在的两条线段也是平行线。
三、平行线的性质（1）平行线恒有相同距离，任何两个任意点（包括其端点）到平行线的投影都有相同的距离；（2）平行线内任何一条线段，到两个平行线的投影都有相同的距离；（3）平行线之间任何一点的投影到平行线的端点都有相同的距离；（4）在两个平行的线段上的一点，它到两条平行线的距离都是相等的。
四、结论平行线是数学中一个重要的概念，它在解决几何问题中有着重要的作用。
因为之前的分析，我们可以得出，平行线有其特殊的性质，其中比较重要的是恒有相同距离，可以给几何问题带来极大的方便，可以帮助我们准确地判断两条线段是否是平行线。
沪科版七年级下册数学课件 第10章 相交线、平行线与平移 第1课时 平行线的概念、基本性质及三线八角
B. ∠3
23
45
C. ∠4
D. ∠5
归纳总结 变式图形：下图中的∠1 与∠2 都是内错角关系.
1
1
12
2
2
2
1
图形特征：在形如字母“Z”的图形中有内错角.
三、同旁内角的概念
活动3 观察∠4 与∠5 的位置关系
① 在直线 EF 的同旁
② 在直线 AB、CD 之间
E1 2
B
同旁内角
A
34
4
65
5
C
第10章 相交线、平行线 与平移
10.2 平行线的判定
第1课时 平行线的概念、基本事实及三线八角
回顾与思考 问题 前面我们学过两条直线的什么位置关系？ 两条直线相交 (其中垂直是相交的特殊情形).
生活中两条直线除了相交以外，还有什么其他的 情形呢？下面我们一起来体会一下.
摩托车在公路上奔驰
国旗上的线条
解： 因为 a∥b，b∥c，所以 a∥c.
（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么
这两条直线互相平行 ）
因为 c∥d，所以 a∥d.
（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么
这两条直线互相平行 ）
生活中的数学：三线八角手势记忆法
同位角
内错角
同旁内角
平行线 的概念
平行线 及三线 八角
平行线 的性质
三线八角
合作与交流： (1) 经过点 C 能画出几条直线？ 无数条
(2) 与直线 AB 平行的直线有几条？ 无数条
·C
a
A· ·B
·D
b
(3) 经过点 C 能画出几条直线与直线 AB 平行？
1条 (4) 过点 D 画一条直线与直线 AB 平行，与 (3) 中所画
人教版七年级下册数学平行线的性质第3课时命题、定理、证明 同步练习
5.3 平行线的性质第3课时命题、定理、证明基础训练知识点1 命题的定义及结构1.下列语句是命题的是( )A.延长线段AB到CB.用量角器画∠AOB=90°C.同位角相等,两直线平行D.任何数的平方都不小于0吗?2.下列语句:①钝角大于90°;②两点之间,线段最短;③希望明天下雨;④作AD⊥BC;⑤同旁内角不互补,两直线不平行.其中是命题的是( )A.①②③B.①②⑤C.①②④⑤D.①②④3.下列语句中,不是命题的是( )A.如果a>b,那么b<aB.同位角相等C.垂线段最短D.反向延长射线OA4.命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( )A.平行B.两条直线C.同一条直线D.两条直线平行于同一条直线5.命题“如果a2=b2,那么a=b或a+b=0”的结论是( )A.a2=b2或a=bB.a2=b2C.a=b或a+b=0D.a2=b2或a+b=0知识点2 命题的分类6.已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.其中真命题是(填写所有真命题的序号).7.下列命题:①垂线段最短;②同位角相等;③如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;④内错角相等,两直线平行;⑤经过一点有且只有一条直线与这条直线平行;⑥如果|x|=2,那么x=2.其中真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.(2016·大庆)如图,从①∠1=∠2;②∠C=∠D;③∠A=∠F,三个条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论所组成的命题中,正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3知识点3 定理与证明(举反例)9.下列说法错误的是( )A.命题不一定是定理,定理一定是命题B.定理不可能是假命题C.真命题是定理D.如果真命题的正确性是经过推理证实的,这样得到的真命题就是定理10.下列命题可以作为定理的个数是( )①两直线平行,同旁内角互补;②相等的角是对顶角;③等角的余角相等;④对顶角相等.A.1个B.2个C.3个D.4个11.(2016·宁波)能说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是( )A.a=-2B.a=错误!未找到引用源。
人教版七年级数学下册相交线与平行线《平行线的性质(第3课时)》示范教学课件
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式．这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
新知
如果_________，那么____________．
把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式．
对顶角
相等
语句不通顺
问题
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
命题
题设
结论
（1）画线段 AB＝2 cm ；（2）分数一定是有理数；（3）两个锐角互余．
解：（3）是命题，改写为：如果两个角是锐角，那么这两个角互余，是假命题．
一般情况下，命题是能判断真假的陈述性语句，祈使句、疑问句等都不是命题．
命题
真命题与假命题的概念
命题的概念
命题的构成
新知
例1 将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题．
（1）内错角相等；（2）等边三角形的三个角都是 60°．
解：（1）改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．是假命题；（2）改写为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都是 60°．是真命题．
判断一个命题是否是真命题，首先找出此命题的题设和结论，然后看题设成立时结论是否一定成立，如果结论一定成立，此命题就是真命题，否则，就是假命题．
平行线的性质（第3课时）
人教版七年级数学下册
已知|a|＝|b|，判断下面哪个说法正确．
a＝b． a＝－b．a＝b 或 a＝－b．
√
×
×
请同学们读出下列语句，你能发现什么？
（1）如果两个角都是直角，那么这两个角相等；（2）对顶角相等；（3）同位角相等，两直线平行；（4）两直线平行，同旁内角互补．
判断一个命题是否是真命题，首先应当怎么做？
人教版七年级下5.3平行线的性质教学设计(3课时)
第1课时平行线的性质【教学过程】一、创设实验情境，引发学生学习兴趣，引入本节课要研究的内容．试验1：教师以窗格为例，已知窗户的横格是平行的，用三角尺进行检验，发现同位角相等．这个结论是否具有一般性呢？试验2：学生试验（发印制好的平行线纸单）． （1）要求学生任意画一条直线c 与直线a 、b 相交； （2）选一对同位角来度量，看看这对同位角是否相等． 学生归纳：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．二、主体探究，引导学生探索平行线的其他性质以及对命题有一个初步的认识． 活动1 问题讨论：我们知道两条平行线被第三条直线所截，不但形成有同位角，还有内错角、同旁内角．我们已经知道“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．那么请同学们想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角有什么关系？（分组讨论，每一小组推荐一位同学回答）．教师活动设计：引导学生讨论并回答．学生口答，教师板书，并要求学生学习推理的书写格式． 活动2总结平行线的性质．性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 活动3如何理解并记忆性质2、3，谈谈你的看法！ （1）性质2、3分别已知什么？得出什么？ （2）它与前面学习的平行线的判定有什么区别？ （3）性质2、3的应用格式． ∵a //b (已知)∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）． ∵ a //b (已知)∴∠2+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．三、拓展创新、应用提高，引导学生运用知识解决问题，培养学生思维的灵活性和深刻ab3 c124性活动4解决问题．问题1：如图是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=100°．请你求出另外两个角的度数．（梯形的两底是互相平行的）学生活动设计：学生思考后请学生回答，注意启发学生回答为什么，进一步细化为较为详细的推理，并书写出．〔解答〕因为ABCD是梯形．所以AD//BC．所以∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°．又∠A=115°，∠D=100°．所以∠B＝65°，∠C＝80°．问题2：如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行．第一次拐的角∠B等于142°，第二次拐的角∠C是多少度？为什么？学生活动设计：学生根据拐弯前后的两条路互相平行容易得到∠B和∠C相等，于是得到∠C＝142°问题3：如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4．(1)∠1、∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？(2)反射光线BC与EF也平行吗？BCA DB C学生活动设计：从图中可以看出：∠1与∠3是同位角，因为AB 与DE 是平行的，所以∠1=∠3．又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以可得出∠2=∠4．又因为∠2与∠4是同位角，所以BC ∥EF ．教师活动设计：这个问题是平行线的特征与直线平行的条件的综合应用．由两直线平行，得到角的关系用到的是平行线的特征；反过来，由角的关系得到两直线平行，用到的是直线平行的条件．同学们要弄清这两者的区别．〔解答〕略． 问题4：如图，若AB //CD ，你能确定∠B 、∠D 与∠BED 的大小关系吗？说说你的看法．学生活动设计：由于有平行线，所以要用平行的知识，而∠B 、∠D 与∠DEB 这三个角不是三类角中的任何一类，因此要考虑构造图形，若过点E 作EF //AB ，则由AB //CD 得到EF //CD ，于是图中出现三条平行线，同时出现了三类角，根据平行线的性质可以得到：∠B =∠BEF 、∠D =∠DEF ，因此∠B ＋∠D ＝∠BEF ＋∠DEF ＝∠DEB ．教师活动设计：在学生探索的过程中，特别是构造图形这个环节，适当引导，让学生养成“缺什么补什么”的意识，培养学生的逻辑推理能力．〔解答〕过点E 作EF //AB ． 所以∠B =∠BEF ． 因为AB //CD ． 所以EF //CD ． 所以∠D =∠DEF ．所以∠B ＋∠D ＝∠BEF ＋∠DEF ＝∠DEB ．即∠B ＋∠D ＝∠DEB ． 变式思考：如图，AB //CD ，探索∠B 、∠D 与∠BED 的大小关系（∠B ＋∠D ＋∠DEB ＝360°）．四、小结与作业．FBDCEAEDCB A小结：1．平行线的三个性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．2．平行线的性质与平行线的判定有什么区别？判定：已知角的关系得平行的关系．证平行，用判定．性质：已知平行的关系得角的关系．知平行，用性质．作业：习题5.3．第2课时平行线的性质与判定及其综合运用一、教学目标1．理解平行线的性质与平行线的判定是相反的问题，掌握平行线的性质．2．会用平行线的性质进行推理和计算．3．通过平行线性质定理的推导，培养学生观察分析和进行简单的逻辑推理的能力．4．通过学习平行线的性质与判定的联系与区别，让学生懂得事物是普遍联系又相互区别的辩证唯物主义思想．二、学法引导1．教师教法：采用尝试指导、引导发现法，充分发挥学生的主体作用，体现民主意识和开放意识．2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现，认真研究．三、重点·难点解决办法（一）重点平行线的性质公理及平行线性质定理的推导．（二）难点平行线性质与判定的区别及推导过程．（三）解决办法1．通过教师创设情境，学生积极思维，解决重点．2．通过学生自己推理及教师指导，解决难点．3．通过学生讨论，归纳小结．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、三角板、自制投影片．六、师生互动活动设计1．通过引例创设情境，引入课题．2．通过教师指导，学生积极思考，主动学习，练习巩固，完成新授．3．通过学生讨论，完成课堂小结．七、教学步骤（一）明确目标掌握和运用平行线的性质，进行推理和计算，进一步培养学生的逻辑推理能力．（二）整体感知以情境创设导入新课，以教师引导，学生讨论归纳新知，以变式练习巩固新知．（三）教学过程创设情境，复习导入师：上节课我们学习了平行线的判定，回忆所学内容看下面的问题（出示投影片1）．1．如图1，（1）∵（已知），∴（）．（2）∵（已知），∴（）．（3）∵（已知），∴（）．2．如图2，（1）已知，则与有什么关系？为什么？（2）已知，则与有什么关系？为什么？图2 图33．如图3，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角是，第二次拐的角是多少度？学生活动：学生口答第1、2题．师：第3题是一个实际问题，要给出的度数，就需要我们研究与判定相反的问题，即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质．板书课题：【教法说明】通过第1题，对上节所学判定定理进行复习，第2题为性质定理的推导做好铺垫，通过第3题的实际问题，引入新课，学生急于解决这个问题，需要学习新知识，从而激发学生学习新知识的积极性和主动性，同时让学生感知到数学知识来源于生活，又服务于生活．探究新知，讲授新课师：我们都知道平行线的画法，请同学们画出直线的平行线，结合画图过程思考画出的平行线，找一对同位角看它们的关系是怎样的？学生活动：学生在练习本上画图并思考．学生画图的同时教师在黑板上画出图形（见图4），当同学们思考时，教师有意识地重复演示过程．【教法说明】让同学们动手、动脑、观察思考，使学生养成自己发现问题得出规律的习惯．学生活动：学生能够在完成作图后，迅速地答出：这对同位角相等．提出问题：是不是每一对同位角都相等呢？请同学们任画一条直线，使它截平行线与，得同位角、，利用量角器量一下；与有什么关系？学生活动：学生按老师的要求画出图形，并进行度量，回答出不论怎样画截线，所得的同位角都相等．根据学生的回答，教师肯定结论．师：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等．我们把平行线的这个性质作为公理．［板书］两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．【教法说明】在教师提出问题的条件下，学生自己动手，实际操作，进行度量，在有了大量感性认识的基础上，动脑分析总结出结论，不仅充分发挥学生主体作用，而且培养了学生分析问题的能力．提出问题：请同学们观察图5的图形，两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？学生活动：学生观察分析思考，会很容易地答出内错角相等，同分内角互补．师：教师继续提问，你能论述为什么内错角相等，同旁内角互补吗？同学们可以讨论一下．学生活动：学生们思考，并相互讨论后，有的同学举手回答．【教法说明】在前面复习引入的第2题的基础上，通过学生的观察、分析、讨论，此时学生已能够进行推理，在这里教师不必包办代替，要充分调动学生的主动性和积极性，进而培养学生分析问题的能力，在学生有成就感的同时也激励了学生的学习兴趣．教师根据学生回答，给予肯定或指正的同时板书．［板书］∵（已知），∴（两条直线平行，同位角相等）．∵（对项角相等），∴（等量代换）．师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？学生活动：同学们积极举手回答问题．教师根据学生叙述，板书：［板书］两条平行经被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：西直线平行，内错角相等．师：下面清同学们自己推导同分内角是互补的，并归纳总结出平行线的第三条性质．请一名同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成．师生共同订正推导过程和第三条性质，形成正确板书．［板书］∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）．∵（邻补角定义），∴（等量代换）．即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成，两直线平行，同旁内角互补．师：我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些问题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即它们的符号语言分别为：∵（已知见图6），∴（两直线平行，同位角相等）．∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）．∵（已知），∴．（两直线平行，同旁内角互补）（板书在三条性质对应位置上．）尝试反馈，巩固练习师：我们知道了平行线的性质，看复习引入的第3题，谁能解决这个问题呢？学生活动：学生给出答案，并很快地说出理由．练习（出示投影片2）：如图7，已知平行线、被直线所截：图7（1）从，可以知道是多少度？为什么？（2）从，可以知道是多少度？为什么？（3）从，可以知道是多少度，为什么？【教法说明】练习目的是巩固平行线的三条性质．变式训练，培养能力完成练习（出示投影片3）．如图8是梯形有上底的一部分，已知量得，，梯形另外两个角各是多少度？图8学生活动：在教师不给任何提示的情况下，让学生思考，可以相互之间讨论并试着在练习本上写出解题过程．【教法说明】学生在小学阶段对于梯形的两底平行就已熟知，所以学生能够想到利用平行线的同旁内角互补来找和的大小．这里学生能够自己解题，教师避免包办代替，可以培养学生积极主动的学习意识，学会思考问题，分析问题．学生板演教师指正，在几何里我们每一步结论的得出都要有理有据，规范学生的解题思路和格式，培养学生严谨的学习态度，修改学生的板演过程，可形成下面的板书．［板书］解：∵（梯形定义），∴，（两直线平行，同旁内角互补）．∴．∴．变式练习（出示投影片4）1．如图9，已知直线经过点，，，．（1）等于多少度？为什么？（2）等于多少度？为什么？（3）、各等于多少度？2．如图10，、、、在一条直线上，．（1）时，、各等于多少度？为什么？（2）时，、各等于多少度？为什么？学生活动：学生独立完成，把理由写成推理格式．【教学说明】题目中的为什么，可以用语言叙述，为了培养学生的逻辑推理能力，最好用推理格式说明．另外第2题在求得一个角后，另一个角的解法不惟一．对学生中出现的不同解法给予肯定，若学生未想到用邻补角求解，教师应启发诱导学生，从而培养学生的解题能力．（四）总结、扩展（出示投影片1第1题和投影片5）完成并比较．如图11，（1）∵（已知），∴（）．（2）∵（已知），∴（）．（3）∵（已知），∴（）．学生活动：学生回答上述题目的同时，进行观察比较．师：它们有什么不同，同学们可以相互讨论一下．（出示投影6）学生活动：学生积极讨论，并能够说出前面是平行线的判定，后面是平行线的性质，由角的关系得到两条直线平行的结论是平行线的判定，反过来，由已知直线平行，得到角相等或互补的结论是平行线的性质．【教法说明】通过有形的具体实例，使学生在有充足的感性认识的基础上上升到理性认识，总结出平行线性质与判定的不同．巩固练习（出示投影片7）1．如图12，已知是上的一点，是上的一点，，，．（1）和平行吗？为什么？图12（2）是多少度？为什么？学生活动：学生思考、口答．【教法说明】这个题目是为了巩固学生对平行线性质与判定的联系与区别的掌握．知道什么条件时用判定，什么条件时用性质、真正理解、掌握并应用于解决问题．八、布置作业（一）必做题课本第99～100页A组第11、12题．（二）选做题课本第101页B组第2、3题．作业答案A组11．（1）两直线平行，内错角相等．（2）同位角相等，两直线平行．两直线平行，同旁内角互补．（3）两直线平行，同位角相等．对顶角相等．12．（1）∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）．（2）∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，同位角相等）．B组2．∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）．∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等），（同上）．又∵（已证），∴．∴．又∵（平角定义），∴．3．平行线的判定与平行线的性质，它们的题设和结论正好相反．5.3.2 命题、定理、证明一、教学目标1．了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据．2．了解综合法证明的格式和步骤．3．通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力．4．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．5．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法．二、学法引导1．教师教法：尝试指导，引导发现与讨论相结合．2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现．三、重点·难点及解决办法（－）重点证明的步骤和格式是本节重点．（二）难点理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证．（三）解决办法通过学生分组讨论，教师归纳得出证明的步骤和格式，再以练习加以巩固，解决重点、难点及疑点．四、课时安排l课时五、教具学具准备投影仪、三角板、自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过引例创设情境，点题，引入新课．2．通过情境教学，学生分组讨论，归纳总结及练习巩固等手段完成新授．3．通过提问的形式完成小结．七、教学步骤（－）明确目标使学生严密推理过程，掌握推理格式，提高推理能力。
七年级下数学知识点平行线
七年级下数学知识点平行线七年级下数学知识点：平行线
在中学数学中，平行线是一个十分重要的概念，不仅在初中数学中有所涉及，在高中数学中也有广泛的应用。
那么，究竟什么是平行线？如何判断两条线是否平行？下面让我们一起来学习。
一、平行线的定义
平行线是指在同一个平面内，方向相同且不相交的两条直线。
平行线的符号是“//”。
二、平行线的性质
1. 若直线AB // 直线CD，直线EF // 直线CD，则直线AB // 直线EF。
2. 若直线AB // 直线CD，则它们之间的夹角相等。
3. 若直线AB与直线CD平行，直线EF与直线CD相交，则∠AEF=∠BED。
4. 若直线AB与直线CD平行，直线EF与直线CD交于点O，则AO:OE=BO:OD。
5. 直线与平面相交，所成角的对顶边平行于平面的交线。
三、判断平行线的方法
1. 两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
2. 如果两条直线上的任意一对相对角是对应角、平行角、内错角或外错角，则这两条直线是平行的。
3. 在同一直线上，若有两点分别在另一直线同侧，且副角分别为180度，则这两条直线平行。
四、平行线的应用
1. 向量的平移、伸缩、旋转都涉及到平行线的性质。
2. 解解三角形题目时，通过平行线应用于副角及相交线段上，可以简化题目，提高解题效率。
以上就是有关平行线的知识点及其应用，初中数学中，平行线的考试题目常见且不可避免。
因此，我们要熟练掌握平行线的定义、性质和判断方法，以及它在各类数学题目中的应用。
只有这样，我们才能在数学竞赛中有不错的表现，也可以更好地应对中考、高考等重要考试。
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2017年03月17日1148955744的初中数学组卷一．解答题（共30小题）1．直线MN与直线PQ相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动．（1）如图1，若∠AOB=80°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，若∠AOB=80°，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM 的角平分线，AD、BC的延长线交于点F，点A、B在运动的过程中，∠F=；DE、CE又分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED 的大小也不发生变化，其大小为：∠CED=．（3）如图3，若∠AOB=90°，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=；（4）如图3，若∠AOB=90°，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠ABO的度数=．2．如图，已知AB∥CD，BC∥DE，若∠A=20°，∠C=120°，求∠AED的度数．3．如图，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠AEC，∠C之间具有怎样的关系并说明理由．（提示：先画出示意图，再说明理由）．4．已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．（1）求证：∠ABC=∠ADC；（2）求∠CDE的度数．5．已知：如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由．（1）∵DE∥AB，（已知）∴∠2=．（）（2）∵DE∥AB，（已知）∴∠3=．（）（3）∵DE∥AB（已知），∴∠1+ =180°．（）．6．如图，已知直线l1∥l2，且l3与l1，l2分别交于A，B两点，l4与l1，l2相交于C，D两点，点P在直线AB上．（1）【探究1】如图1，当点P在A，B两点间滑动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？并说明理由；（2）【应用】如图2，A点在B处北偏东32°方向，A点在C处的北偏西56°方向，应用探究1的结论求出∠BAC的度数．（3）【探究2】如果点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠ACP，∠BDP，∠CPD 之间的关系，并说明理由．7．一幅直角三角形叠放如图①所示，其中直角边AC与AE重合，斜边AB与AD 在AC的同侧，现将含45°角的三角板ADE固定不动，含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转角a（0°＜a＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．（1）求图①中∠BAD的度数；（2）请你在图②，③中各画一种符合要求的图形，并写出对应的a的度数和平行线段．8．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM 交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．9．（1）如图1，直线l1∥l2，直线EF与l1和l2分别相交于C、D两点，点P在线段CD上（不与C、D重合）运动，A、B分别是直线l1和l2上两个定点，连结A、P和B、P，直接写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系：；（2）如果点P在直线EF上（不考虑线段CD）运动，∠1，∠2，∠3之间的数量关系怎样？写出结论，并证明．10．如图，D，E，F，G，H，I是三角形ABC三边上的点，连结EI，EF∥BC，GH ∥AC，DI∥AB．（1）写出与∠IEC是同旁内角的角．（2）判断∠GHC与∠FEC是否相等，并说明理由．（3）若EI平分∠FEC，∠C=56°，∠B=50°，求∠EID的度数．11．（1）已知：如图1，AE∥CF，易知∠A P C=∠A+∠C，请补充完整证明过程：证明：过点P作MN∥AE∵MN∥AE（已作）∴∠APM=（），又∵AE∥CF，MN∥AE∴∠MPC=∠（）∴∠APM+∠CPM=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C（2）变式：如图2﹣4，AE∥CF，P1，P2是直线EF上的两点，猜想∠A，∠A P1 P2，∠P1 P2C，∠C 这四个角之间的关系，并直接写出以下三种情况下这四个角之间的关系．12．如图，已知AB∥CD，点P在直线AB与直线CD之间，∠C=70°，∠EBP=110°．（1）试判断AC与BP之间的位置关系，并说明理由；（2）若PN平分∠BPM，∠PNB=30°，求∠PMD的度数．13．如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E=140°，请求出∠BFD的度数．14．如图，DE⊥AB，垂足为D，EF∥AC，∠A=30°，（1）求∠DEF的度数；（2）连接BE，若BE同时平分∠ABC和∠DEF，问EF与BF垂直吗？为什么？15．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．（1）探究猜想：①∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC的关系并说明理由．（2）拓展应用，如图2，线段FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD 交于点F．图2中①②分别是被线段FE隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求说明理由）16．数学活动课上，同学们正在讨论一道习题：满足∠1+∠2=180°，根据，就可以验证这个结论；同学乙：度量∠3的度数，若满足∠3=∠1=90°，根据，就可以验证这个结论；同学丙：度量∠5的度数，若满足∠5=∠1=90°，根据，就可以验证这个结论；同学丁：度量∠4的度数，若∠4=90°，也能验证这个结论．请你说明同学丁的理由．17．已知A、B、C不在同一直线上，顺次连接AB、BC、CA．（Ⅰ）如图①，点D在线段BC上，DE∥AB交AC于点E，∠EDF=∠A．求证：DF∥AC．（Ⅱ）如图②，若点D在BC的延长线上，DE∥AB交AC的延长线于点E，DF∥AC交BA的延长线于点F．问∠EDF与∠BAC有怎样的关系，说明理由．18．如图，∠ABC=90°，∠BCD=120°，∠CDE=30°，试说明AB∥DE．19．将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．（1）若∠BCD=150°，求∠ACE的度数；（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．20．已知：如图，∠A+∠D=180°，∠1=3∠2，∠2=24°，点P是BC上的一点．（1）请写出图中∠1的一对同位角，一对内错角，一对同旁内角；（2）求∠EFC与∠E的度数；（3）若∠BFP=46°，请判断CE与PF是否平行？21．推理填空如图：∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F，求证：CE∥DF．请完成下面的解题过程．解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB （已知）∴∠DBC=∠，∠ECB=∠（角平分线的定义）又∵∠ABC=∠ACB （已知）∴∠=∠．又∵∠=∠（已知）∴∠F=∠∴CE∥DF．22．如图，∠1=∠FDC，∠2+∠3=180°，证明：AD∥EC．23．如图，已知∠1=∠2，∠BAC=20°，∠ACF=80°．（1）求∠2的度数；（2）FC与AD平行吗？为什么？（3）根据以上结论，你能确定∠ADB与∠FCB的大小关系吗？请说明理由．24．如图所示，光线从空气射入水中，再射出空气中，如果∠1=∠2，∠3=∠4，请你用所学的知识判断光线a，b是否平行，并说明理由．25．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：AB∥MN．26．已知：如图所示，∠ABC=∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，∠AED=∠EDC．求证：ED∥BF．证明：∵BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC（已知）∴∠EDC=∠ADC，∠FBA=∠ABC（角平分线定义）．又∵∠ADC=∠ABC（已知），∴∠=∠FBA（等量代换）．又∵∠AED=∠EDC（已知），∴∠=∠（等量代换），∴ED∥BF．27．学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图（1）～（4））．请你观察图（1）～（4），完成下面的填空题和选择题．第一次折叠后（如图（2）所示），得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是；将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（3）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是；再将正方形纸展开（如图（4）所示），可得第二次折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④28．如图，在5×7的网格中的每个小正方形的边长都为1单位，动点P、Q分别从点A、D同时出发向右平移，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到B时，两个点都停止运动．（1）请在网格图1中画出运动时间t为2秒时的线段PQ，并求出线段PQ的长度；（2）在动点P、Q运动的过程中，PQ=CQ会成立吗？若能，请求出相应的运动时间t，若不能，请说明理由．29．如图，将方格纸中的三角形ABC先向右平移2格得到三角形DEF，再将三角形DEF向上平移3格得到三角形GPH，（1）动手操作：按上面步骤作出经过两次平移后分别得到的三角形；（2）设AC与ED相交于点M，则图中与AC既平行又相等的线段有，图中与∠BAC相等的角有；（3）若∠BAC=43°，∠B=32°，求∠HAC和∠DMC的度数．30．如图：在正方形网格中有一个格点三角形ABC，（即△ABC的各顶点都在格点上），按要求进行下列作图：（1）画出△ABC中AB边上的高CD；（提醒：别忘了标注字母！）（2）画出将△ABC先向右平移5格，再向上平移3格后的△A′B′C′；（3）画一个锐角格点三角形MNP，使其面积等于△ABC的面积．2017年03月17日1148955744的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016春•江苏校级期中）直线MN与直线PQ相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动．（1）如图1，若∠AOB=80°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，若∠AOB=80°，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM 的角平分线，AD、BC的延长线交于点F，点A、B在运动的过程中，∠F=50°；DE、CE又分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED 的大小也不发生变化，其大小为：∠CED=65°．（3）如图3，若∠AOB=90°，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=90°；（4）如图3，若∠AOB=90°，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠ABO的度数=36°或45°．【解答】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ相交于O，∴∠AOB=80°，∴∠OAB+∠OBA=80°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，∴∠AEB=140°；（2）∠CED的大小不变．延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ相交于O，∴∠AOB=80°，∴∠OAB+∠OBA=80°，∴∠PAB+∠MBA=280°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=140°，∴∠F=40°，∴∠FDC+∠FCD=140°，∴∠CDA+∠DCB=220°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=115°，∴∠E=65°；故答案为：50°，65°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=（∠BOQ﹣∠BAO）=∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°；故答案为：90°；（4）在△AEF中，∵有一个角是另一个角的4倍，故有：②∠EAF=4∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍去）；③∠F=4∠E，∠E=18°，∠ABO=36°；④∠E=4∠F，∠E=72°，∠ABO=144°（舍去）．∴∠ABO为36°或45°．故答案为：36°或45°．2．（2016秋•宁江区期中）如图，已知AB∥CD，BC∥DE，若∠A=20°，∠C=120°，求∠AED的度数．【解答】解：延长DE交AB于F，∵AB∥CD，BC∥DE，∴∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，∴∠AFE=∠B=60°，∴∠AED=∠A+∠AFE=80°，3．（2016春•天津校级期中）如图，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠AEC，∠C之间具有怎样的关系并说明理由．（提示：先画出示意图，再说明理由）．【解答】解：如图所示，∠AEC=∠A+∠C．理由如下：如图，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠C=∠FEC；∵AB∥EF，∴∠A=∠AEF；∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠A+∠C．4．（2016春•广州校级期中）已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE 平分∠BAD．连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．（1）求证：∠ABC=∠ADC；（2）求∠CDE的度数．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCE，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCE，∴∠ABC=∠ADC，（2）设∠CDE=x，则∠ADC=2x，∵AB∥CD，∴∠BAD=180°﹣2x，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=∠BAD=90°﹣x，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠EAD=90°﹣x，∴∠BED+∠ADE=180°，∴90°﹣x+60°+3x=180°，∴x=15°，∴∠CDE=15°．5．（2016春•闸北区期中）已知：如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由．（1）∵DE∥AB，（已知）∴∠2=∠5．（两直线平行，内错角相等）（2）∵DE∥AB，（已知）∴∠3=∠B．（两直线平行，同位角相等）（3）∵DE∥AB（已知），∴∠1+ ∠2=180°．（两直线平行，同旁内角互补）．【解答】解：（1）∵DE∥AB，（已知）∴∠2=∠5．（两直线平行，内错角相等）（2）∵DE∥AB，（已知）∴∠3=∠B．（两直线平行，同位角相等）（3）∵DE∥AB（已知），∴∠1+∠2=180°．（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：（1）∠5；两直线平行，内错角相等；（2）∠B；两直线平行，同位角相等；（3）∠2；两直线平行，同旁内角互补．6．（2016春•云梦县期中）如图，已知直线l1∥l2，且l3与l1，l2分别交于A，B 两点，l4与l1，l2相交于C，D两点，点P在直线AB上．（1）【探究1】如图1，当点P在A，B两点间滑动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？并说明理由；（2）【应用】如图2，A点在B处北偏东32°方向，A点在C处的北偏西56°方向，应用探究1的结论求出∠BAC的度数．（3）【探究2】如果点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠ACP，∠BDP，∠CPD 之间的关系，并说明理由．【解答】解：（1）当点P在A、B两点间滑动时，∠2=∠1+∠3保持不变．理由如下：过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图1所示．∵PQ∥AC，∴∠1=∠CPQ，又∵PQ∥AC，BD∥AC，∴PQ∥BD，∴∠3=∠DPQ，∴∠1+∠3=∠CPQ+∠DPQ，即∠1+∠3=∠2．（2）分别在B点和A点处画方位图，如图2所示．由（1）知：∠2=∠1+∠3∴∠BAC=32°+56°=88°．（3）①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示．∵PQ∥AC，∴∠QPC=∠ACP．又∵PQ∥AC，BD∥AC，∴PQ∥BD，∴∠QPD=∠BDP．又∵∠CPD=∠QPD﹣∠QPC，∴∠CPD=∠BDP﹣∠ACP．②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示．同理可得：∠CPD=∠ACP﹣∠BDP．综上：∠CPD=|∠ACP﹣∠BDP|．7．（2016春•宁波校级期中）一幅直角三角形叠放如图①所示，其中直角边AC 与AE重合，斜边AB与AD在AC的同侧，现将含45°角的三角板ADE固定不动，含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转角a（0°＜a＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．（1）求图①中∠BAD的度数；（2）请你在图②，③中各画一种符合要求的图形，并写出对应的a的度数和平行线段．【解答】解：（1）∠BAD=∠DAE﹣∠BAC=45°﹣30°=15°；（2）如图②若BC∥AD，则α=90°﹣30°=60°，如图③，若AC∥DE，则α=∠CAD﹣∠BAC=（180°﹣45°）﹣30°=105°．8．（2016春•威海期中）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM=90°；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示：则PG∥CD，∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，∵∠1+∠2=∠P=90°，∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°，故答案为：∠PFD+∠AEM；（2）证明：如图②所示：∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHF=180°，∵∠P=90°，∴∠BHF+∠2=90°，∵∠2=∠AEM，∴∠BHF=∠PHE=90°﹣∠AEM，∴∠PFD+90°﹣∠AEM=180°，∴∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）如图③所示：∵∠P=90°，∴∠PHE=90°﹣∠FEB=90°﹣15°=75°，∵AB∥CD，∴∠PFC=∠PHE=75°，∵∠PFC=∠N+∠DON，∴∠N=75°﹣30°=45°．9．（2016春•乳山市期中）（1）如图1，直线l1∥l2，直线EF与l1和l2分别相交于C、D两点，点P在线段CD上（不与C、D重合）运动，A、B分别是直线l1和l2上两个定点，连结A、P和B、P，直接写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系：∠2=∠3+∠1；（2）如果点P在直线EF上（不考虑线段CD）运动，∠1，∠2，∠3之间的数量关系怎样？写出结论，并证明．【解答】解：（1）结论：∠2=∠3+∠1．理由：如图1中．延长BP交AC于H，∵BD∥AH，∴∠3=∠4，∵∠2=∠1+∠4，∴∠2=∠1+∠3，故答案为∠2=∠1+∠3．（2）若点P在射线DF上时，结论：∠1=∠2+∠3．理由：如图2中，设AF与BD交于点H．∵BD∥AC，∴∠AHB=∠1，∵∠AHB=∠2+∠3，∴∠1=∠2+∠3．若点P在射线CE上时，结论：∠PBD=∠BPA+∠PAC，理由：如图3中，设BE与CA交于点H．∵BD∥AC，∴∠PBD=∠PHC，∵∠PHC=∠PAC+∠BPA，∴∠PBD=∠BPA+∠PAC，10．（2016春•杭州期中）如图，D，E，F，G，H，I是三角形ABC三边上的点，连结EI，EF∥BC，GH∥AC，DI∥AB．（1）写出与∠IEC是同旁内角的角．（2）判断∠GHC与∠FEC是否相等，并说明理由．（3）若EI平分∠FEC，∠C=56°，∠B=50°，求∠EID的度数．【解答】解：（1）与∠IEC是同旁内角的角是：∠C、∠EDI、∠EIC、∠EID；（2）∠GHC=∠FEC，理由：∵EF∥BC，∴∠FEC+∠C=180°，∵GH∥AC，∴∠GHC+∠C=180°，∴∠GHC=∠FEC；（3）∵EF∥BC，∠C=56°，∴∠FEC+∠C=180°，∴∠FEC=180°﹣∠C=124°，∵EI平分∠FEC，∴∠FEI=∠FEC=62°，∴∠FEI=∠EIC=62°，∵DI∥AB，∠B=50°，∴∠DIC=∠B=50°，∴∠EID=∠EIC﹣∠DIC=12°．11．（2016春•保定期中）（1）已知：如图1，AE∥CF，易知∠A P C=∠A+∠C，请补充完整证明过程：证明：过点P作MN∥AE∵MN∥AE（已作）∴∠APM=∠A（两直线平行，内错角相等），又∵AE∥CF，MN∥AE∴∠MPC=∠∠C（两直线平行，内错角相等）∴∠APM+∠CPM=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C（2）变式：如图2﹣4，AE∥CF，P1，P2是直线EF上的两点，猜想∠A，∠A P1 P2，∠P1 P2C，∠C 这四个角之间的关系，并直接写出以下三种情况下这四个角之间的关系．【解答】（1）证明：过点P作MN∥AE，∵MN∥AE（已作），∴∠APM=∠A（两直线平行，内错角相等），又∵AE∥CF，MN∥AE，∴∠MPC=∠C（两直线平行，内错角相等），∴∠APM+∠CPM=∠A+∠C，即∠APC=∠A+∠C，故答案为：∠A，两直线平行两直线平行；C，两直线平行两直线平行；（2）∠AP1P2+∠P1P2C﹣∠A﹣∠C=180°，∠AP1P2+∠P1P2C+∠A﹣∠C=180°，∠AP1P2+∠P1P2C﹣∠A+∠C=180°．12．（2016春•故城县校级期中）如图，已知AB∥CD，点P在直线AB与直线CD 之间，∠C=70°，∠EBP=110°．（1）试判断AC与BP之间的位置关系，并说明理由；（2）若PN平分∠BPM，∠PNB=30°，求∠PMD的度数．【解答】解：（1）AC∥BP．∵AB∥CD，∠C=70°，∴∠CAB=110°，∵∠EBP=110°，∴AC∥BP（2）如图，过点P作PF∥AB，则∠NPF=∠PNB=30°，∠BPF=∠EBP=110°，∴∠BPN=110°﹣30°=80°，∵PN平分∠BPM，∴∠MPN=80°，∴∠FPM=80°﹣30°=50°，∵PF∥AB，AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠PMD=50°13．（2016春•东台市期中）如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E=140°，请求出∠BFD的度数．【解答】解：过点E作EG∥AB，如图所示．则可得∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；又∵∠BED=140°，∴∠ABE+∠CDE=220°．∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）÷2=110°，∵四边形的BFDE的内角和为360°，∴∠BFD=110°．14．（2016春•泰兴市期中）如图，DE⊥AB，垂足为D，EF∥AC，∠A=30°，（1）求∠DEF的度数；（2）连接BE，若BE同时平分∠ABC和∠DEF，问EF与BF垂直吗？为什么？【解答】解：（1）如图，∵DE⊥AB，∠A=30°，∴∠AOD=60°．∵∠COE=∠AOD=60°，EF∥AC，∴∠DEF+∠COE=180°，∴∠DEF=120°；（2）EF与BF垂直．理由如下：由（1）知，∠DEF=120°．∵BE平分∠DEF，∴∠BEF=∠BED=DEF=60°．又∵DE⊥AB，∴∠DBE=30°．∵AE平分∠ABC，∴∠EBF=30°，∴∠F=180°﹣∠EBF﹣BEF=90°，即EF与BF垂直．15．（2016春•吉安期中）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．（1）探究猜想：①∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC的关系并说明理由．（2）拓展应用，如图2，线段FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD 交于点F．图2中①②分别是被线段FE隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求说明理由）【解答】解：（1）①过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A=30°，∠D=40°，∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，∴∠AED=∠1+∠2=70°；②过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A=20°，∠D=60°，∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，∴∠AED=∠1+∠2=80°；③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．理由：过点E作EF∥CD，∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．（2）如图2，当点P在①区域时，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠CFE=180°，∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）﹣180°．∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，∴∠EPF=180°﹣（∠PEF+∠PFE）=180°﹣（∠PEB+∠PFC）+180°=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；当点P在区域②时，如图3所示，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠CFE=180°，∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，∴∠EPF=∠PEB+∠PFC．16．（2016春•江苏校级期中）数学活动课上，同学们正在讨论一道习题：满足∠1+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；同学乙：度量∠3的度数，若满足∠3=∠1=90°，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；同学丙：度量∠5的度数，若满足∠5=∠1=90°，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；同学丁：度量∠4的度数，若∠4=90°，也能验证这个结论．请你说明同学丁的理由．【解答】解：满足∠1+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；同学乙：度量∠3的度数，若满足∠3=∠1=90°，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；同学丙：度量∠5的度数，若满足∠5=∠1=90°，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；同学丁：∵∠4=∠2=90°，∠1=90°，∴∠1+∠2=180°，∴平行．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行．17．（2016春•津南区校级期中）已知A、B、C不在同一直线上，顺次连接AB、BC、CA．（Ⅰ）如图①，点D在线段BC上，DE∥AB交AC于点E，∠EDF=∠A．求证：DF∥AC．（Ⅱ）如图②，若点D在BC的延长线上，DE∥AB交AC的延长线于点E，DF∥AC交BA的延长线于点F．问∠EDF与∠BAC有怎样的关系，说明理由．【解答】解：（1）∵DE∥AB∴∠EDF=∠BFD又∵∠EDF=∠A∴∠A=∠BFD∴DF∥AC（2）∠EDF与∠BAC互补∵DE∥AB∴∠EDF与∠F互补∵DF∥AC∴∠F=∠BAC∴∠EDF与∠BAC互补18．（2016春•振兴区期中）如图，∠ABC=90°，∠BCD=120°，∠CDE=30°，试说明AB∥DE．【解答】解：∠DCE=180°﹣120°=60°，又∵∠CDE=30°，∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°．∴∠ABC+∠DEB=180°．∴AB∥DE．19．（2016春•胶州市期中）将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．（1）若∠BCD=150°，求∠ACE的度数；（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．【解答】解：（1）∵∠BCA=∠ECD=90°，∠BCD=150°，∴∠DCA=∠BCD﹣∠BCA=150°﹣90°=60°，∴∠ACE=∠ECD﹣∠DCA=90°﹣60°=30°；（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∠ACE=∠DCE﹣∠ACD=90°﹣∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=180°；（3）当∠BCD=120°或60°时，CD∥AB．如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，当∠B+∠BCD=180°时，CD∥AB，此时∠BCD=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°；如图③，根据内错角相等，两直线平行，当∠B=∠BCD=60°时，CD∥AB．20．（2016春•杭州校级期中）已知：如图，∠A+∠D=180°，∠1=3∠2，∠2=24°，点P是BC上的一点．（1）请写出图中∠1的一对同位角，一对内错角，一对同旁内角；（2）求∠EFC与∠E的度数；（3）若∠BFP=46°，请判断CE与PF是否平行？【解答】解：（1）同位角：∠1与∠DFE；内错角：∠1与∠BFC；同旁内角：∠1与∠DFB．（2）∵∠A+∠D=180°，∴AB∥CD，∴∠1=∠DFE．∵∠1=3∠2，∠2=24°，∴∠1=∠DFE=72°．∵∠DFE=∠E+∠2，∴∠E=48°．∵∠DFE=180°﹣∠EFC，∴∠EFC=108°．（3）不平行．∵∠E=48°，∠BFP=46°，∴∠E≠∠BFP，∴CE与PF不平行．21．（2016春•潮州校级期中）推理填空如图：∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F，求证：CE∥DF．请完成下面的解题过程．解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB （已知）∴∠DBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分线的定义）又∵∠ABC=∠ACB （已知）∴∠DBC=∠ECB．又∵∠DBF=∠F（已知）∴∠F=∠ECB∴CE∥DF同位角相等，两直线平行．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB （已知），∴∠DBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分线的定义）．又∵∠ABC=∠ACB （已知），∴∠DBC=∠ECB．又∵∠DBF=∠F（已知），∴∠F=∠ECB（等量代换），∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：ABC；ACB；DBC；ECB；DBF；F；ECB；同位角相等，两直线平行．22．（2016春•荔湾区校级期中）如图，∠1=∠FDC，∠2+∠3=180°，证明：AD ∥EC．【解答】证明：∵∠1=∠FDC，∴AB∥CD，∴∠2=∠ADC，∵∠2+∠3=180°，∴∠ADC+∠3=180°，∴AD∥CE．23．（2016春•高安市期中）如图，已知∠1=∠2，∠BAC=20°，∠ACF=80°．（1）求∠2的度数；（2）FC与AD平行吗？为什么？（3）根据以上结论，你能确定∠ADB与∠FCB的大小关系吗？请说明理由．【解答】解：（1）∵∠1=∠2，∠BAC=20°，∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠2=80°；（2）∵∠2=∠ACF=80°，∴FC∥AD；（3）∠ADB=∠FCB，理由为：证明：∵FC∥AD，∴∠ADB=∠FCB．24．（2016春•南和县期中）如图所示，光线从空气射入水中，再射出空气中，如果∠1=∠2，∠3=∠4，请你用所学的知识判断光线a，b是否平行，并说明理由．【解答】解：光线a，b平行理由：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，∴a∥b．25．（2016春•雅安校级期中）已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：AB∥MN．【解答】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，∴EF∥DM，∴∠2=∠CDM，∵∠1=∠2，∴∠1=∠CDM，∴MN∥CD，∴∠C=∠AMN，∵∠3=∠C，∴∠3=∠AMN，∴AB∥MN．26．（2016春•龙泉驿区期中）已知：如图所示，∠ABC=∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，∠AED=∠EDC．求证：ED∥BF．证明：∵BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC（已知）∴∠EDC=∠ADC，∠FBA=∠ABC（角平分线定义）．又∵∠ADC=∠ABC（已知），∴∠EDC=∠FBA（等量代换）．又∵∠AED=∠EDC（已知），∴∠FBA=∠AED（等量代换），∴ED∥BF同位角相等，两直线平行．【解答】证明：∵BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC（已知）∴∠EDC=∠ADC，∠FBA=∠ABC（角平分线定义）．又∵∠ADC=∠ABC（已知），∴∠EDC=∠FBA（等量代换）．又∵∠AED=∠EDC（已知），∴∠FBA=∠AED（等量代换），∴ED∥BF（同位角相等，两直线平行）．故答案是：；；EDC；FBA；AED；同位角相等，两直线平行．27．（2016春•吉安期中）学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图（1）～（4））．请你观察图（1）～（4），完成下面的填空题和选择题．第一次折叠后（如图（2）所示），得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直；将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（3）所示），得到的折痕CD 与第一次折痕之间的位置关系是垂直；再将正方形纸展开（如图（4）所示），可得第二次折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有C①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直；将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（3）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；∵AB⊥m，CD⊥m，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，①∵∠4=∠2，∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行）．②∵∠3=∠1，∴AB∥CD，（同位角相等，两直线平行）．故选：C．28．（2016春•长春校级期末）如图，在5×7的网格中的每个小正方形的边长都为1单位，动点P、Q分别从点A、D同时出发向右平移，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到B时，两个点都停止运动．（1）请在网格图1中画出运动时间t为2秒时的线段PQ，并求出线段PQ的长度；（2）在动点P、Q运动的过程中，PQ=CQ会成立吗？若能，请求出相应的运动时间t，若不能，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，PQ为所作；PQ的长为=；（2）能．设相应的运动时间t，则DQ=t，AP=2t，CQ=7﹣t，作QH⊥AB于H，如图2，PH=2t﹣t=t，PQ=，∵CQ=PA，∴=7﹣t，解得t=，即点P、Q运动秒时，PQ=CQ．29．（2016春•迁安市期末）如图，将方格纸中的三角形ABC先向右平移2格得到三角形DEF，再将三角形DEF向上平移3格得到三角形GPH，（1）动手操作：按上面步骤作出经过两次平移后分别得到的三角形；（2）设AC与ED相交于点M，则图中与AC既平行又相等的线段有DF，GH，图中与∠BAC相等的角有∠D，∠G，∠AMD，∠CME；（3）若∠BAC=43°，∠B=32°，求∠HAC和∠DMC的度数．【解答】解：（1）如图所示：（2）根据平移可得与AC既平行又相等的线段是DF，GH；根据平移可得与∠BAC相等的角是∠D，∠G，∵AC∥DF，∴∠D=∠AMD=∠CME；故答案为：DF，GH；∠D，∠G，∠AMD，∠CME．（3）由平移性质得：PH∥BC，AB∥ED，∵∠BAC=43°，∠B=32°，∴∠BCA=180°﹣（∠BAC+∠B）=180°﹣75°=105°，∵PH∥BC，∴∠BCA=∠HAC=105°，∵AB∥ED，∴∠B=∠MEC=32°，∴∠DMC=∠MEC+∠BCA=32°+105°=137°．30．（2016春•宜兴市期末）如图：在正方形网格中有一个格点三角形ABC，（即△ABC的各顶点都在格点上），按要求进行下列作图：（1）画出△ABC中AB边上的高CD；（提醒：别忘了标注字母！）（2）画出将△ABC先向右平移5格，再向上平移3格后的△A′B′C′；（3）画一个锐角格点三角形MNP，使其面积等于△ABC的面积．【解答】解：（1）如图所示：CD即为所求；（2）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（3）如图所示：△MNP即为所求．。