差分方程tk+1=φ(tk)解的收敛速度
计算收敛速度的公式
计算收敛速度的公式
收敛速度是指在迭代过程中，序列逐渐接近于极限值的速度。
在数值分析中，常用的收敛速度公式有以下几种：
1.收敛速度界定：对于一个收敛的数值序列{x_n}，如果存在常数
C>0和p>1，使得对于充分大的n，有：
x_n+1-L，≤C，x_n-L，^p
其中，L为极限值。
这个公式定义了一个序列收敛速度的上界。
2.收敛阶数：对于一个收敛的数值序列{x_n}，如果存在正整数k和常数C>0，使得对于充分大的n，有：
x_n+1-L，≤C，x_n-L，^k
其中，L为极限值。
这个公式定义了一个序列收敛速度的阶数。
3.阶数求解：对于收敛序列{x_n}，可以通过以下公式求解阶数k：
k = lim(n→∞) ， x_n+1 - L ，^1/n / ， x_n - L ，^1/(n-1)
其中，L为极限值。
4.收敛速度提升技巧：在实际计算中，可以通过一些技巧来提高收敛速度
a.使用牛顿法或割线法等高效的数值优化算法来加速收敛速度。
b. 利用收敛加速公式，如Steffensen加速公式、Aitken's Δ^2方法等。
c.利用加速收敛技术，如外推、内插等。
需要注意的是，以上公式和技巧是基于数值分析的基本原理推导得到的，实际应用中可能会有一些特殊情况和限制。
此外，具体应用场景和问题的特点也会对收敛速度的计算有所影响。
因此，在具体计算中需要根据问题的特点和实际情况选择合适的收敛速度公式和技巧。
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
《高阶差分方程式》课件
04
高阶差分方程式的应用实例
金融领域的应用实例
股票价格预测
高阶差分方程式可以用于描述股 票价格的动态变化，通过历史数 据来预测未来的股票价格走势。
风险评估
在金融领域，高阶差分方程式可 以用于评估投资组合的风险，通 过分析资产价格的变动规律来预 测未来的市场波动。
期货价格建模
在期货市场中，高阶差分方程式 可以用于建立期货价格模型，以 预测未来期货价格的变化趋势。
数值分析法求解高阶差分方程式
数值分析法是一种基于数值计算的方法，通过将高阶差分方程式转化为数值求解问题，利用数值计算的方法得到近似解。常 用的数值分析法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
数值分析法的优点是适用范围广，可以求解各种类型的高阶差分方程式。然而，数值分析法的精度和稳定性取决于所选择的 数值方法和计算步长，需要进行合理的选择和控制。
解释
高阶差分方程式在数学、物理、工程等领域有广泛应用，用于描述各种动态系统的行为。
高阶差分方程式的形式
线性形式
如果差分方程中不含有 (y) 的非线性项，则称为 线性差分方程。例如：(y_{n+1} - 2y_n + y_{n1} = 0)。
非线性形式
如果差分方程中含有 (y) 的非线性项，则称为非 线性差分方程。例如：(y_{n+1}^2 - y_n^2 = 0) 。
物理学中的应用
高阶差分方程式在物理学中的波动方程、热传导方程等领域有广泛应用，为解决实际问 题提供了有效工具。
工程学中的应用
在工程学中，高阶差分方程式被用于描述信号处理、图像处理等领域的问题，推动了相 关领域的科技进步。
高阶差分方程式未来的研究方向
01
高效算法研究
2.4_差分方程的相容性、收敛性和稳定性
（1）对流方程FTFS差分方程为：
u n j 1 u n j ru n j 1 u n j
其中 r
t x
。设在n时刻计算误差为
n j
，n+1时刻计算误差
为
n 1 j
，则计算误差传播方程为：
n j1r1 n jrn j1
(a)
可以采用直观的数值试验法来分析误差传播规律。
由此可以看出，这个计算误差必定会将差分方程精确解原来面
目完全淹没了，所求得差分方程数值解已经没有任何意义了，
因此，FTFS差分方程是不稳定的。
（2）对流方程FTBS差分格式的误差传播方程为：
n j 1 n j rn j n j 1 1 rn j r n j 1 (b)
截断误差R
n 趋近于0。如果 t , x
j
不是同时趋近于0或并不趋近于0，
而是趋近于某值，或结论并不是对每个点 x j , t都n 成立，则差分方
程就不满足相容性条件，差分方程也就不逼近于微分方程。
③
相容性条件不仅要求差分方程截断误差R
n j
趋近于0，而且要求差分方
程定解条件截断误差 r
enj
axt (enj
enj1)O(x,t)
1axt enj axt enj1O(x,t)
设a≥0， a t ≤1，则0≤ a ≤1t ，于是有：
x
x
en1 j
1a xtenj
a xt enj1
O(x,t)
在这一节中我们首先对差分方程有效性的一些基本概念（如相容 性、收敛性、稳定性）作简单介绍，为本章以后各节的分析讨论奠定 基础。
2.4.1 相容性（Consistency ）
第五讲——显式差分和隐式差分(5)
c(n)
T1n n T2 T3n n T4 T n 5n T 6
n1 n1 n1 n n n sTi (2 2 s ) T sT sT (2 2 s ) T sT 1 i i 1 i 1 i i 1
a=zeros(135,135); for i=1:135 a(i,i)=1; end; for i=1:7 a(15*i+1,15*i+2)=-0.25; a(15*i+1,15*i+16)=-0.25; a(15*i+1,15*i-14)=-0.25; end for i=1:7 a(15*i+15,15*i+14)=-0.25; a(15*i+15,15*i+30)=-0.25; a(15*i+15,15*i)=-0.25; End a(1,2)=-0.25; a(1,16)=-0.25; a(121,122)=-0.25;
b=a^(-1); c=zeros(135,1); for i=121:135 c(i,1)=25;end d=b*c; s=zeros(11,17); for i=2:16 s(11,i)=100; end for i=1:9 for j=1:15; s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1); end end
一般差分格式
Forward-Time Central-Space method Backward -Time Central -Space method
1/ 2
Crank-Nicolson 隐式差分格式
一种隐式差分格式的程序实现
1 求解区域：
2
3
中国矿业大学(徐州)808机械工程《测试技术》试卷及答案
，而
傅氏复指数级数中的各项系数
7．信号的有效值又称为均方根值，有效值的平方称为 的平均功率)。
均方值 ，它描述测试信号的强度(信号
8．确定性信号可分为周期信号和非周期信号两类，前者频谱特点是离散的，后者频谱特点是连续 的。 9.为了求取测试装置本身的动态特性，常用的实验方法是频率响应法和 阶跃响应法。 10.连续 信号 x(t ) 与 (t t0 ) 进行 卷积 其结 果是 ： x(t ) (t t0 ) 把原函数图像平移至 t0 位置处 。 二、 选择题（20 分，每题 2 分） 1．直流电桥同一桥臂增加应变片数时，电桥灵敏度将(C)。 A．增大 B．减少 C.不变 D.变化不定
1 T /2 2 T /2 2A 4A 1 2 A a0 x(t )dt tdt 2 t 2 T T / 2 T 0 T 2 T 2 0 2 T /2 4 T /2 2A 8A 1 an x(t ) cos n0 tdt t cos n0 tdt 2 (c os n 1) （2’） T T / 2 T 0 T T (n0 ) 2 4 A 2 2A [(1) n 1] (n ) 2 (n ) 0 n 1,3,5 n 2, 4, 6
2
电桥的平衡条件是：
R1 R2 jwL
1 L （2’） jwC C
4.有人在使用电阻应变片时，发现灵敏度不够，于是试图在工作电桥上增加电阻应变片数以提高灵 敏度。试问，在半桥上各串联一片的情况下，是否可以提高灵敏度？为什么？（5 分） 答：不能提高灵敏度。因为半桥双臂时，其输出电压为：
，改善非线性，进行 温度
温度变化给应变测量带来的误差，工作应变片与温度补偿应变片应接在
桥臂上。
差分方程的相容性收敛性和稳定性课件
相容性的判定方法
通过分析差分方程的形式和系数，可以判断其是否具有相容 性。
判断差分方程是否具有相容性的方法通常包括检查该方程是 否满足一定的数学性质，例如，是否具有一致的形式和系数 。此外，还可以通过求解该差分方程的初始值问题来验证其 相容性。
近似解。
有限元法的优势
有限元法能够处理复杂的几何形 状和边界条件，且能够处理非线 性问题，因此在工程领域应用广
泛。
06
差分方程的实际应用案例
在物理中的应用
1 2
量子力学
差分方程在量子力学中用于描述粒子在势能场中 的行为，例如在求解薛定谔方程时，差分法是一 种常用的数值解法。
热传导方程
在求解一维或二维的热传导方程时，可以使用差 分法将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
3
波动方程
在处理波动问题时，如声波、电磁波等，差分法 可以用来模拟波的传播和干涉现象。
在金融中的应用
股票价格模型
差分方程可以用于描述股 票价格的变动规律，例如 著名的几何布朗运动模型 就是一种差分方程。
期货价格模型
在期货定价理论中，差分 方程被用来描述未来价格 的变化趋势，为投资者提 供决策依据。
图形法
通过绘制差分方程的解的 图像，观察其随时间的演 化趋势。
比较法
通过比较差分方程与已知 稳定或不稳定方程的性质 ，判断其稳定性。
稳定性的应用
控制工程
稳定性是控制系统的重要性能指 标，决定了系统的动态行为。
差分格式的稳定性与收敛性
差分格式的稳定性与收敛性1 基本概念所谓稳定性问题是指在数值计算过程中产生的误差的积累和传播是否受到控制.在应用差分格式求近似解的过程中，由于我们是按节点逐次递推进行，所以误差的传播是不可避免的，如果差分格式能有效的控制误差的传播，使它对于计算结果不会产生严重的影响，或者说差分方程的解对于边值和右端具有某种连续相依的性质，就叫做差分格式的稳定性.差分格式的收敛性是指在步长h 足够小的情况下，由它所确定的差分解m u 能够以任意指定的精度逼近微分方程边值问题的精确解()m u x .下面给出收敛性的精确定义：设{}m u 是差分格式定义的差分解，如果当0h → 并且m u x →时，有()0m u u x -→，则称此格式是收敛的.2 差分方程的建立对于二阶边值问题'''()(),,(),(),Lu u q x u f x a x b u a u b αβ⎧≡-+=<<⎨==⎩ (1) 其中()q x 、[](),,()0.f x C a b q x ∈≥将区间[],a b 分成N 等份，记分点为,0,1,,,m x a mh m N =+=⋅⋅⋅ 这里步长b a h N-=.利用泰勒公式，得''1121[(()2()()]()m m m m m u x u x u x u x R h+--+=- (2) 其中 2(4)11(),(,)12m m m m m h R u x x ξξ-+=-∈(3) 把式(2)代入式(1)中的微分方程，有1121()[(()2()()]()()h m m m m m m L u x u x u x u x q x u x h+-≡--++ ()m m f x R =+ (4) 略去余项m R ，便得到(1)式中的微分方程在内部节点m x 的差分方程；再考虑到式(1)中的边界条件，就得到边值问题(1)的差分方程11201(2)()(),,,,h m m m m m m m N L u u u u q x u f x a x b h u u αβ+-⎧≡--++=<<⎪⎨⎪==⎩(5) 解线性代数方程组(5)，得()m u x 的近似值m u .01,,,N u u u ⋅⋅⋅称为边值问题(1)的差分解.从上面的推导过程可以看出，在节点m x 建立差分方程的关键是在该点用函数()u x 的二阶中心差商代替二阶导数，最后用差分算子h L 代替微分算子L 就产生差分方程(5).记 ()()()m m h m R u Lu x L u x =-，称()m R u 是用差分算子h L 代替微分算子L 所产生的截断误差.由式(2)，二阶中心差商代替二阶导数所产生的截断误差m R ，从式(4)和式(5)可以得出(())m h m m R L u x u =-，m R 称为差分方程（5）的截断误差.3 讨论差分方程组(5)的解的稳定性与收敛性引理3.1(极值原理) 设01,,,N u u u ⋅⋅⋅是一组不全相等的数，记01{,,,}N S u u u =⋅⋅⋅，11(),1,2,,1,h m m m m m m m L u a u b u c u m N -+=++=⋅⋅⋅- (6) 其中0,0,0,.m m m m m m b a c b a c ><<≥+(1) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≤=⋅⋅⋅-，则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值；(2) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≥=⋅⋅⋅-，则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中负的最小值.证 首先用反证法证明(1).假设在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值，记为M ,那么{}0max 0m m NM u ≤≤=>，由于S 中的数不全相等，一定存在某个(11)i i N ≤≤-,使得i u M =,并且1i u -与1i u +中至少有一个小于M .于是11()h i i i i i i i L u a u bu c u -+=++11i i i i i b M a u c u -+=++()0i i i b M a c M >++≥这与0h i L u ≤矛盾，从而（1）得证.同理可证明(2).现在运用极值原理论证差分方法的稳定性及收敛性.定理3.2 差分方程组(5)的解m u 满足{}111max ,()()max ,1,2,,1,2m m m m m N u x a b x f m N αβ≤≤-≤+--=⋅⋅⋅- (7) 证 把方程组 00,1,2,,1,,h m N L u m N u u αβ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩和 0,1,2,,1,0h m m N L u f m N u u ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩的解分别记为(1)m u 和(2)m u ，其中差分算子h L 由式(5)定义，则方程组(5)的解m u 为(1)(2)m m m u u u =+ (8)由极值原理可知 {}(1)max ,,1,2,,1m u m N αβ≤=⋅⋅⋅-. (9)接下来再估计(2)m u ，考虑差分方程11201(2),1,2,,1,0m m m N v v v M m N h u u +-⎧--+==⋅⋅⋅-⎪⎨⎪==⎩(10)其中 {}0max m m NM f ≤≤= 容易验证该微分方程是从边值问题'',()()0v M v a v b ⎧-=⎨==⎩ (11) 得到的，而在此边值问题的解是 ()()()2M v x x a b x =--. 因为()v x 是x 的二次函数，它的四阶导数为零，从式(2)、(3)看到()v x 在点m x 的二阶中心差商与''()m v x 相等，因此差分方程(10)的解等于边值问题(11)的解，即()()()02m m m m M v v x x a b x ==--≥. 另一方面，(2)(2)(2)(2)00()0,0,h m m h m h m m m m N N L v u L v L u q v M f v u v u ±=±=+±≥±=±=由极值原理可知 (2)0,m mv u ±≥ 即 (2)()(),1,2,, 1.2m m m m M u v x a b x m N ≤=--=⋅⋅⋅-(12) 综合式(8)、(9)、(12)就得到式(7).定理3.2表明差分方程(5)的解关于边值问题(1)的右端项和边值问题是稳定的，亦即当f 、α、β有一个小的改变时，所引起的差分解的改变也是小的.定理3.3 设()u x 是边值问题(1)的解，m u 是差分方程(5)的解，则22(4)()()max (),1,2,, 1.96m m a x b b a u x u h u x m N ≤≤--≤=⋅⋅⋅-(13) 证 记 ()m m m u x u ε=-，由式(3)、(4)、(5)可知0,1,2,,1,0,h m m N L R m N εεε==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩ 其中m R 由式(3)定义.从定理3.2得111()()max 2m m m m m N x a b x R ε≤≤-≤-- 22(4)()max ().96a xb b a h u x ≤≤-≤ 式(13)给出了差分方程(5)的解的误差估计，而且表明当0h →差分解收敛到原边值问题的解，收敛速度为2h .4 小结收敛性和稳定性是从不同角度讨论差分法的精确情况，稳定性主要是讨论初值的误差和计算中的舍入误差对计算结果的影响，收敛性则主要讨论推算公式引入的截断误差对计算结果的影响.使用既收敛有稳定的差分格式才有比较可靠的计算结果，这也是讨论收敛性和稳定性的重要意义.参考文献[1] 李瑞遐、何志东.微分方程数值方法,上海：华东理工大学出版社[2] 黄明游、冯果忱.数值分析（下册）北京：高等教育出版社，2008[3] 杨大地、王开荣.数值分析.北京：科学出版社，2006[4] 袁东锦.计算方法——数值分析.南京：南京师范大学出版社.2007[5] 李清扬等.数值分析(第4版).武汉：华中科技大学出版社.2006。
差分知识点总结
差分知识点总结一、差分的概念差分是一种数学运算方法，用来计算函数在两个相近的点之间的变化量。
差分的基本思想是利用两个相近点之间的函数值的差来近似表示函数在这一区间的变化率。
差分主要应用在数值计算、微分方程数值解法、离散化微分方程和差分方程等领域。
二、差分的方法1. 前向差分前向差分是指用函数在点x和x+h处的函数值之差来近似表示函数在点x处的导数。
前向差分的公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h2. 后向差分后向差分是指用函数在点x和x-h处的函数值之差来近似表示函数在点x处的导数。
后向差分的公式为：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h3. 中心差分中心差分是指用函数在点x+h和x-h处的函数值之差来近似表示函数在点x处的导数。
中心差分的公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / 2h4. 二阶中心差分二阶中心差分是指用函数在点x+h、x和x-h处的函数值之差来近似表示函数在点x处的二阶导数。
二阶中心差分的公式为：f''(x) ≈ (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^25. 前向差分法和后向差分法的优缺点前向差分法和后向差分法都是利用简单的迭代方式得到节点之间的差值。
前向差分法计算简单，但是会使误差更大；后向差分法计算较为繁琐，但是误差相对较小。
6. 应用差分方法广泛用于微分方程和差分方程的数值解法，离散化微分方程，数值积分等方面，其基本思想是用差分概念近似表示数学模型的微分和积分运算。
三、差分方法的误差分析1. 截断误差在差分近似计算中，由于只取有限个点的函数值，使得近似结果与真实结果之间存在一定的误差，这种误差称为截断误差。
2. 离散化误差差分方法中最主要的误差来源是离散化误差。
因为使用差分方法时，通常需要将连续的问题离散化为一个离散的问题，这个离散化的过程会使得结果与真实结果之间存在误差。
计算收敛速度的公式(二)
计算收敛速度的公式(二)创作者手册：计算收敛速度的公式1. 收敛速度的定义收敛速度是指数值计算方法在迭代过程中逐渐接近准确解的速度。
通常用收敛速度比较快慢的标准是迭代法所需的迭代步数或误差范围。
2. 经典的计算收敛速度的公式在计算收敛速度时，我们常用以下公式来衡量收敛的迅速程度：第一公式：收敛次数公式收敛次数公式计算的是迭代法所需的迭代次数。
一般来说，收敛次数越小，表示收敛越快。
第二公式：误差范围公式误差范围公式计算的是误差的大小。
如果误差范围越小，表示收敛越快。
3. 举例解释下面我们通过一个简单的例子来解释这两个公式的用法：假设我们想要计算方程x^2 = 5的解。
首先，我们可以使用牛顿迭代法来逼近方程的解。
牛顿迭代法的迭代公式如下：公式1：x_{n+1} = x_n -其中，x_n表示第n次迭代的近似解，f(x)表示方程的左边减去右边的函数值，f’(x)表示f(x)的导数。
我们可以使用上述迭代公式来计算方程x^2 - 5 = 0的解。
假设初始近似解x_0=2。
根据牛顿迭代法，我们可以得到以下迭代过程：迭代1： x_1 = x_0 - = 2 - ≈迭代2： x_2 = x_1 - = - ≈迭代3： x_3 = x_2 - = - ≈我们可以看到，在第三次迭代之后，近似解已经收敛到了约等于。
接下来，我们可以使用收敛次数公式和误差范围公式来计算收敛速度。
假设我们设定的收敛误差为。
根据收敛误差公式，我们可以计算出迭代次数为3。
根据收敛次数公式和迭代次数，我们可以得知，牛顿迭代法计算方程x^2 = 5的解的收敛速度为快速收敛。
总结通过以上例子我们可以看到，计算收敛速度的公式在评估数值计算方法的迭代效果时起到了重要的作用。
通过收敛次数公式和误差范围公式，我们可以客观地衡量迭代方法的收敛速度，从而选择最适合的方法来求解数值问题。
微分方程数值解第一章答案
微分方程数值解法 李荣华等编, 高教出版社
• 课堂授课+计算实验 • 考核方式: 平时作业+课堂+期末考试 • 任课教师 •
1
教学内容
• 第一章、常微分方程的数值解法 • 第二章、椭圆型方程的差分方法 • 第七章、椭圆型方程的有限元方法 • 第四章、抛物型方程的差分方法 • 第五章、双曲型方程的差分格式
x (a bx)t x ' ax bx2 x
Logistic方程
14
常微分方程举例3
问题1.3 并不是所有的方程可以用初等积分法求出其 解, 例如形式上很简单的里卡蒂(Riccati)方程
x' t2 x2
不能用初等函数表示通解. 寻求方程非解析函数的其它形式解, 显得非常必要。 而数值求解就是其重要的一个方法
问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会
无限制扩大；稳定性问题
32
数值求解微分方程过程示意
区域剖分
微分方程离散
微
初始和边界条件处理
分
解的存在性、唯一性
方
离散系统的 性态研究
解的收敛性和收敛速度
程
解的稳定性
递推计算或解线 性代数方程组
得到数值解
33
作业
18
举例2
• P55 习题1 利用Euler方法求数值解 初值问题u' 1 u, u(0) 1 2 步长h=0.1, 解区间[0,1]
• 绘制折线，与真解比较
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Matlab实现 u=null(1);h=0.1;u0=1; u(1)=u0+h*0.5*u0; for n=1:9
u(n+1)=u(n)+h*0.5*u(n); end t=0:0.1:1;un=[u0,u]； plot(t,un,'ro','Linewidth',2) ut=exp(0.5*t); hold on plot(t,ut,'Linewidth',2)
通信原理 贾立新第七章 作业答案
（ 即 对 应 理 想 低 通 ， 最 大 频 带 利 用 率 2 Baud / Hz ） 是
BMPSK min 2 B基 min
Rb 1 。如果基带滚降系数为 ，则： RB Ts log 2 M BMPSK 2 B基 (1 ) Rb 1 (1 ) RB Ts log 2 M
7－8
（1） 带通滤波器输出噪声平均功率为： n 3 10
2 12
(W )
r 1 2 4 非相干解调系统总的误码率为： Pe e 10 2
则输入信噪比： r 17
r
a2 2 12 5 ，因此： a 2 n r 2 3 10 17 1.01 10 (V ) 2 2 n
b
1 log 2 M 1(bit / ( s Hz )) 1
（2）
BMPSK
(1 ) Rb (1 1) 4800 3200 Hz log 2 M log 2 8
b
1 log 2 M 1.5(bit / ( s Hz )) 1
5
7－1
（1）由题意：
载波频率： f c
8 103 4000 Hz 2
码元速率： RB 2000
每个码元包含的载波周期个数为： n （2）OOK 波形：
f TB c 2 Tc RB
2PSK 波形：
2DPSK 波形：
（3）2ASK、2PSK、2DPSK 的第一零点带宽为： B
【注】此题中的 r 不够大，即
r 2 ，因此，用方法二计算的误差较大。 4
【注】当然用 MATLAB 软件中的函数 erfc(x)最方便。 （2） b
判决电平 ln 2 2 2 a P(1)
系统辨识—最小二乘法
最小二乘法参数辨识1 引言系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
现代控制理论中的一个分支。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类μ={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J=L(y，yM)(一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函)；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使用模型的目的是至关重要的。
它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。
通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。
这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。
用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。
用于系统设计的仿真，则强调设计参数能正确地符合它本身的物理意义。
③预测这是辨识的一个重要应用方面，其目的是用迄今为止系统的可测量的输入和输出去预测系统输出的未来的演变。
例如最常见的气象预报，洪水预报，其他如太阳黑子预报，市场价格的预测，河流污染物含量的预测等。
预测模型辨识的等价准则主要是使预测误差平方和最小。
计算收敛速度的公式
计算收敛速度的公式收敛速度是指在求解数值问题时，迭代序列逐渐接近或达到解的程度有多快。
收敛速度的快慢直接影响到算法的有效性和计算效率。
对于一般的迭代问题，我们可以使用以下公式来计算收敛速度。
对于迭代法$x_{k+1}=g(x_k)$，其中$g(x)$是一个单调递增函数并且当$x$趋于解时有$g(x)=x$。
那么收敛速度可以通过以下两个常见公式来计算。
1.等比级数估计法（又称作速度估计法）：假设序列的收敛速度是指数级的，即存在常数$c \geq 0$和$q \in (0, 1)$，使得$，x_{k+1} - x^*， \leq c， x_k - x^*，^q$。
其中$x^*$是迭代序列的极限值。
通过对上式取对数，我们可以得到$ \log_{10}，x_{k+1} - x^*， \leq q \log_{10}，x_k - x^*， + \log_{10} c $。
将该等式应用于多个递推式，我们可以得到$\log_{10}，x_{k+1} - x^*， \leq q^k \log_{10}，x_0 - x^*，+ \frac{\log_{10}c(1-q^k)}{1-q}$。
通过拟合序列的对数误差，可以估计出$q$的值，从而得到收敛速度。
2.牛顿法收敛速度公式：对于牛顿法$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$，其中$f(x)$是关于$x$的函数且$f'(x) \neq 0$，如果存在正数$k_0$和常数$C > 0$，使得对于所有$k \geq k_0$$，x_{k+1}-x^*，≤C，x_k-x^*，^2$其中$x^*$是迭代序列的极限值。
则称牛顿法的收敛速度为二阶收敛。
在实际的数值计算中，我们通常需要根据迭代方法的具体形式和问题的特点，来选择适合的收敛速度公式。
对于一些特殊问题，可能还需要进一步修改公式以适应问题的特点。
差分法收敛阶数值实验
差分法收敛阶数值实验摘要：一、引言1.差分法简介2.收敛阶数值实验的意义二、差分法收敛阶数值实验方法1.实验原理2.实验流程3.实验数据三、实验结果及分析1.收敛阶实验结果2.结果分析四、结论1.实验结论2.对差分法的改进与优化建议正文：一、引言差分法是一种求解微分方程的数值方法，广泛应用于科学和工程领域。
然而，差分法的收敛性分析一直是学者们关注的焦点。
为了更好地理解和掌握差分法的收敛性，我们进行了收敛阶数值实验。
二、差分法收敛阶数值实验方法1.实验原理差分法收敛阶数值实验是通过构造一系列数值实验，研究差分法的收敛性。
实验过程中，我们选取了一阶、二阶和三阶差分法，分别在不同的区间上进行求解，分析其收敛性。
2.实验流程实验流程主要包括以下几个步骤：（1）确定差分法类型及求解区间（2）设定初始条件和边界条件（3）采用数值方法求解差分方程（4）分析收敛阶及收敛速度3.实验数据实验数据包括不同差分法在不同区间上的收敛阶结果。
三、实验结果及分析1.收敛阶实验结果通过实验，我们得到了一阶、二阶和三阶差分法在不同区间上的收敛阶结果。
结果表明，差分法的收敛阶与差分法的阶数和区间长度有关。
2.结果分析分析实验结果，我们可以得出以下结论：（1）差分法的收敛阶与差分法的阶数成正比，阶数越高，收敛阶越高。
（2）差分法的收敛阶与区间长度成反比，区间长度越小，收敛阶越高。
四、结论通过本次收敛阶数值实验，我们对差分法的收敛性有了更深入的了解。
实验结果表明，差分法的收敛性受到差分法的阶数和区间长度的影响。
数值方法验证弦截法的收敛速度
数值方法验证弦截法的收敛速度摘要：本文在牛顿法的基础上进行改进,提出弦截法，并用数值方法验算弦截法的收敛速度为P=1.618。
关键词：牛顿法；弦截法；收敛速度0引言对于方程f（x）=0，如果f（x）是线性函数，则它的求根是容易的。
牛顿法实质是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f（x）=0逐步归结为某种线性方程来求解。
即为牛顿法求xk+1的计算公式。
牛顿法的收敛速度是很快的，但从该公式中可以看出，在求根过程中，每步除计算f（xk）外还要计算f’（xk），当函数f （xk）比较复杂时，计算f’（xk）往往比较困难，为此可以利用已求函数值f（xk）,f （xk-1）,…来回避导数值f’（xk）的计算，于是有建立在插值基础上的弦截法和抛物线法。
下面笔者就着重介绍弦截法及用数值方法验算弦截法的收敛速度P=1.618。
1弦截法设xk,xk-1是f（x）=0的近似根，我们利用f（xk）,f（xk-1）构造一次插值多项式pi（x），并用pi（x）=0 的根作为f（x）=0 的新的近似根xk-1。
由于（1）因此有（2）这样导出的迭代公式（2）可以看作牛顿公式中的导数f’（xk）用差商取代的结果。
这种迭代的几何意义是，曲线y=f（x）上横坐标为xk,xk-1的点分别为pk,pk-1，则弦线pk,pk-1的斜率等于差商值其方程是，所以，按（2）式求得的xk+1实际上是弦线pk,pk-1与x轴交点的横坐标，这种算法因此而成为弦截法。
2数值验证弦截法的收敛速度为P=1.618为进行验证我们先给出下定义：定义：设迭代过程xk+1=φ（xk）收敛于方程x=φ（x）的根x*，如果迭代误差ek=xk-x*当k→∞时成立下列渐进关系式且为常数，则称该迭代过程是p阶收敛的。
特别地，p=1时称线性收敛，p>1时称超线性收敛，p=2时称平方收敛。
而对于弦截法我们用以下公式验证：，而其中例：求f（x）=x3-3x-1=0在x0=2附近的根，根的准确值x*=1.87938524…，初始值为x0=2,x1=4。
实验八__差分方程
实验八差分方程[实验目的]1. 掌握差分的性质，多项式求和；2. 差分方程的解法；3. 用差分方程解代数方程；4. 用差分方程分析国民经济。
§1 基本理论1.差分2. 任意数列{x n },定义差分算子Δ如下：Δx n=x n+1-x n对新数列再应用差分算子，有Δ2xn=Δ(Δk x n).性质性质1 Δk(x n+y n)=Δk x n+Δk y n性质2 Δk(cx n)=cΔk x n性质3 Δk x n=∑(-1)jC j k X n+k-j性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1,存在η，有Δk xn=f(k)(η) 差分方程定义8。
1 方程关于数列的k阶差分方程：x n-a1x n-1-a2x n-2-……a B x n-k=b(n=k,k+1,……)其中a1,a2,------ak 为常数，ak≠0. 若b=0,则该方程是齐次方程关于λ的代数方程λk-a1λk-1-------a k-1λ-a k=0为对应的特征方程，根为特征值。
1．实验内容与练习2．1 差分例1Xn={n3可见，{n},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。
练习1 对{1}，{n},{n 2},{n 4},{n 5}, 分别求各阶差分数列。
练习2 {C 0n-1}{C 1n-1}{C 2n-1},{C 4n-1},分别求各阶差分数列. {Xn}的通项为n 的三次函数， Xn=a 3n 3+a 2n 2+a 1n+a 0 证明它为常数数列。
证明 由Xn=a 3n 3+a 2n 2+a 1n+a 0可直接计算 。
定理8。
1 若数列的通项是关于n 的k 次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定理8。
1 。
定理8。
2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n 的 k 次多项式，练习4 根据插分的性质证明定理8。
2 例2。
求∑i 3 例3 例4解 设Sn=∑i 3 表设Sn=a 4n4+a 3n 3+a 2n 2+a 1n+a 0, s 1=1,s 2=9,s 3=36,s 4=100,s 5=225,得a 0=0, a 1=0, a 2=1/4, a 3=1/2, a 4=1/4.所以，Sn=(1/4)n 4+(1/2)n 3+(1/4)n 2.练习 {Xn}的通项Xn 为n 的k 次多项式，证明∑x i 为n 的 k+1次多项式；求 ∑i 4.由练习 2 {C r n-1}可得。
中北大学化工原理课后答案
第一章 流体流动1-1在大气压强为98.7×103Pa 的地区，某真空精馏塔塔顶真空表的读数为13.3×103Pa ，试计算精馏塔塔顶内的绝对压强与表压强。
[绝对压强：8.54×103Pa ；表压强：-13.3×103Pa] 【解】由 绝对压强 = 大气压强–真空度 得到：精馏塔塔顶的绝对压强P 绝= 98.7×103Pa - 13.3×103Pa= 8.54×103Pa 精馏塔塔顶的表压强 P 表= -真空度= - 13.3×103Pa1-2某流化床反应器上装有两个U 型管压差计，指示液为水银，为防止水银蒸汽向空气中扩散，于右侧的U 型管与大气连通的玻璃管内灌入一段水，如本题附图所示。
测得R 1=400 mm, R 2=50 mm ，R 3=50 mm 。
试求A 、B 两处的表压强。
[A ：7.16×103Pa ；B ：6.05×103Pa]【解】设空气的密度为ρg ，其他数据如图所示a –a′处：P A + ρg gh 1= ρ水gR 3+ ρ水银gR 2由于空气的密度相对于水和水银来说很小可以忽略不记 即：P A =1.0 ×103×9.81×0.05 + 13.6×103×9.81×0.05 =7.16×103Pab-b′处：P B + ρg gh 3= P A + ρg gh 2 + ρ水银gR 1即：P B =13.6×103×9.81×0.4 + 7.16×103=6.05×103Pa1-3用一复式Ｕ形管压差计测定水流过管道上A 、B 两点的压差，压差计的指示液为水银，两段水银之间是水，今若测得h 1=1.2 m ，h 2=1.3 m ， R 1=0.9 m ，R 2=0.95 m ，试求管道中A 、B 两点间的压差ΔP AB 为多少mmHg ？（先推导关系式，再进行数字运算）[1716 mmHg]【解】 如附图所示，取水平面1-1'、2-2'和3-3'，则其均为等压面，即'11p p =，'22p p =，'33p p =根据静力学方程，有112p gh p O H A =+ρ '112p gR p Hg =+ρ因为'11p p =，故由上两式可得1212gR p gh p Hg O H A ρρ+=+即1122gR gh p p Hg O H A ρρ-+= (a)设2'与3之间的高度差为h ，再根据静力学方程，有322'p gh p O H =+ρ')(32222p gR R h g p Hg O H B =+-+ρρ32因为'33p p =，故由上两式可得2222)('22gR R h g p gh p Hg O H B O H ρρρ+-+=+ (b)其中 112R h h h +-= (c)将式(c)代入式(b)整理得2112)()('22gR R h g p p O H Hg O H B ρρρ-+-+= (d)因为'22p p =，故由式(a)和式(d)得21111)()(222gR R h g p gR gh p O H Hg O H B Hg O H A ρρρρρ-+-+=-+即 )()(212R R g p p p O H Hg B A AB+-=-=∆ρρ=(13600-1000)×9.81×(0.9+0.95)=228.7kPa 或1716mmHg1-4 测量气罐中的压强可用附图所示的微差压差计。
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（ ｔ ｅ ｔ ｓ ｐ ｒ ｍｅ ｔ Ｗｅ ａ ｇ Ｃ ｌ ｇ ， ｅｆ ｎ ６ ０ １ Ｍａ ｈ ｍａ ｉ ａ ｐ ｎ ， ｆ ｎ ｏｌ ｅ ｗ ｉ ｇ２ １ ６ ） ｃ Ｄｅ ｅ ａ
【 ｓｒｃ 】ｅ 妒ｓｔｆ ｅｃｎ ｉｏ ｆＫ ｎｏｏｉｈｌｍ ，ｕ ｏ ｖｒｅｃ ａｅ ｆｔｒｔ ｅｓｑ ｅｃ ｔｃｎｅｇｎ ｏｔｅｆ ｅ ｏｎ ・ ｆ Ａｂｔａ ｔＬ ｔ ａ ｓ ｔ ｏ ｄｔ ｎｏ ａｔｒｖｃ ｅ ｍａ ｏｒｃｎｅｇｎ ｅｒｔｓｏ ｅａｖ ｅｕ ｎｅ｛｝ ｖｒｉｇｔ ｈ ｘｄｐ ｉｔ ｏ ｉｙ ｈ ｉ ｆ ｉ ｉ ，ｏ ｉ ｔ
ｌ ¨ 上 式 右端 第 一 个 极 限 为 ； ｉ ｍ 因为
ｄｆ ｒｎｅｅ ｕｔ ｎｔｌ （ ｒ ｇｖｒ ｌ ｒｒｅｕｔ ｎＲ ｅ ｏｄＷ ｅｒｍ ｉ ｆ ｅｃ ｓｓ ｅ ｓ ｎａｐｉ ｔ ｎ ｉｅｅ ｃ ｑａｉ ＋ 妒ｔ ｅ ｉ ． ｃｅ ｅ ｓｌｏ ｈｍｂｌ ｔ ｏ ｒ ｅ ｎ ｅ ｉ ｎａ ｐ ｌ ａｉ ． ｏ ｋ ａ ｅ Ａ ａ ｒ ｈ ｅ ｎｅｒ ｖ ａ ｃ ｏ
于 ｔ的 四种 收 敛 速 度 ． 在 此 基 础 上 ， 一 步 推 广 了 文 中 Ｒ ｅｎｏｄ 并 进 ｈｉｂ ｌ． ｗ 定 理 的 结 论 ， 出了 一 个更 为 明显 的 结 果 。 给
取 常数 卢， ’ １ 一 定 存 在 正 整 数 Ｎ， 由 差 分 方 程 （ ） 生 ／ Ｉ则 ， 使 １产 ／ ， ０１ ，（ 中 ｃ 是 某 个 正 常 数 ） ＾＝ ，， Ｌ 其 ２ ， ． （） ９
【 关键词】 差分方程； ｎｏｏｉｈ引理 ； Ｋａｔｒｖｃ 不动点
ＴｈｅＣｏ ｖｅｇ ｎ ｅ Ｒａｅ ｏ ｏｕ ｉｎ ｏ ａ ｓｏ ｒ ｎ ｅＥｑ ａ ｉｎ ａ ｄ ｔ ｐｌ ａ ｏ ｎ ｒ ｅ ｃ ｔ ｆＳ ｌｔｏ ｆ ｒａＣｌｓ ｆＤｉ ｅ ｃ ｕ ｔｏ ｎ ＩｓＡｐ ｉ ｔ ｎ ｃ
不 动点 ｔ 上述 差 分 方 程 （ ） 生 的 序列 ㈨ 通 常 称 为 强 序 列 ． 多 元 非 的序 列 ） 足 ： ． ， １产 在 满
证 朽 明记
：ｉ ｌ 兰
Ｓ
，
，竽 ＝ ； 哂
２主 要 结 果 ．
定 理 １ 设 函数 ｐ：ｏｄ＇Ｒ 满 足 Ｋ ｎｏｏｉ ［， － ｔｓ － ￣ ａ ｔ ｖｃ ｒ ｈ引 理 的条 件 ，记 ｔ 。 为 妒 在【 ０ 的最 小 不 动 点 ， 】 上 又设 存 在 ａ ｌ使 ＞，
ｔ＿ ≤ｃ ０１ Ｌ 其 中 ｅ 是 某个 正 常 数 ） ｒｔ Ｍ 坷 ＾－ ，， （ ２ ２ 。
（） ７
证 明 由 式 （ ） ， 定 存 在 Ｏ， Ｏ ｔ ｔ ６知 一 当 ＜。 ≤ 时 ， ｔ 妒 ） 一 有 ・ ≤ｇ —
ｔｔ 由 ａｔ ｉ ＊） ｍ ｃ ㈨ ． ， 于 Ｂ ｎ ｈ空间 上的算子方程 ｘ Ｇ ， 当 Ｉ 。Ｉ ｔｔ 且有 ｌ （ （－ ， Ｋ ｎｏ ｖ ￣引理知 。 单 调增加收敛 于 ｔ 于是存 在正整数 ａｃ ＝ ｘ若 ｌ １＜ －ｏ ￣ 。 ｌ Ｇ， Ｎ， Ｏ 。ｔ ｋ ｌ ，。 ｃ ， 使 ≤ｔ Ｉ － ≤ ＝ ， Ｌ 取 ２ 由上 述 结 果 ， 数 学 归 纳 法 类 似 ２ 用 ０≤妒１ ． 到如下引理［ ｔ并得 ） ２ １ 。 可 ７式 Ｋ ｎｏ ｌ ａｔｍｖｃ ｈ引理 假 设 ：ｏｄ＇Ｒ 是 单 调 不 减 的 、 续 的 ． ｔ ［， － ｔｓ － ￣ 连 且 ｏ ≤ 定 理 Ｉ 以证 明 （ ） 成 立 。 定理 ３ 设 函 数 妒： ０ Ｒ 满 足 Ｋ ｎｏｏｉｈ引理 的条 件 ，记 ｔ 【 】 — ａｔｒｖ ｃ ・ 妒（ ） （ ） 。则 序 列 ｔｌ妒（ ＝ ，，。） 调 增 加 地 收 敛为 妒在 ［，１ 的最 小 不 动 点 ， 设 存 在 ａ ｌ使 ｔｓ上 ｏ０ 又 ＞， ｓ１ 的最 小 不 动 点 ｔ 上 ０ ． 。
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ＳＩＮ Ｅ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ ＹＮ Ｏ Ｍ ＴＯ ＣＥ Ｃ ＆Ｔ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ Ｆ Ｒ Ａ Ｉ Ｎ Ｉ
２０ 年 ０７
第 ３ 期 Ｏ
差分方程 ｔｌＯ ｋ ｇｔ解的收敛速度 ＋ （） ＝
李信 明
（ 潍坊学院数学系 山东
【 摘
［中 Ｐｈ ｉｂ ｌ １ ．ｅ ｏ １ ｎ ｄＷ 定 理 的 一 个更 为明 显 的 结 果 。
潍坊
２ １６ ） ６０１
要】 本文给 出在 妒满足 Ｋａｔｒｖｃ ｎｏｏｉｈ引理的条件 下， 差分方程 ｔ 妒 迭代序列（） ¨＝ ㈨ ｆ收敛于不动点 ｔ的四种收敛速度． ＾ 。 作为应 用， 出文 给
本 文 考 察 如 下差 分 方 程
ｋ１ （ ，＝ ，，，， ： ） ｌ ３Ｌ ｋ ２ （） １
Ｈ： （ ｔ ）
－
Ａ ０， ＜
（） ８
其 中 妒满 足 引理 的所 有 条 件 ． Ｋ ｎｏ ｉｈ引理 ， 列 ｛｝ 由 ａｔｍｖｃ 序 ｔ 收敛 于 ｔ 线性 方 程 组 迭 代解 法 理 论 中 。 的 收敛 速 度 就 是 多 元 非 线 性方 程 组迭 它 代 解 法 的 收敛 速度 （ 见 文 ， 文首 先 在 很 弱 的条 件 下 ， 出 ｛） 参 ） 本 给 ｔ 收敛 ｔ
【 ｙｗｏｄ］ｉｅｅｃ ｑ ａｉｎＫ ｎｏｏｉ ｍ ；ｘｄｐ ｉｔ Ｋｅ ｒ ｄｆ ｒｎｅｅｕｔ ；ａ ｔ ｖ ｈｌ ｍａｆ ｅ ｏｎ ｏ ｒ ｃ ｅ ｉ
１引 言 ．
Ｋ ｎｏ ｉｈ于 １４ ａｔ ｃ ｍｖ ９ ９年 引 进 了 强 函数 概 念 ， 实 方 程 ｔ￣ｔ ｑ 强 称 ＝ｖ） 做 （ｎ