2018版高考数学复习第十一章概率11.2古典概型教师用书文北师大版
(浙江专用)高考数学大一轮复习 第十一章 概率、随机变量及其分布 11.2 古典概型教师用书-人教版
（某某专用）2018版高考数学大一轮复习 第十一章 概率、随机变量及其分布 11.2 古典概型教师用书1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.4．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( × )(4)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( √ )(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ )(6)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，且集合A 中的元素个数为n ，所有的基本事件构成集合I ，且集合I 中元素个数为m ，则事件A 的概率为n m.( √ )1．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12B.13 C.14D.16 答案 B解析 基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2， 所以所求概率P ＝26＝13，故选B.2．(2016·)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15B.25 C.825D.925 答案 B解析 从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为410＝25.3．(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120 答案 C解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有C 35＝10(个)不同的结果，其中勾股数只有一组，故所求概率为P ＝110.4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________． 答案 35解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35.题型一基本事件与古典概型的判断例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件．解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．下列试验中，古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件， 所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型； ③符合古典概型的特点，是古典概型． 题型二 古典概型的求法例2 (1)(2015·某某)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521 B.1021 C.1121D ．1 (2)(2015·某某)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 发生的概率为________． 答案 (1)B (2)56 (3)112解析 (1)从袋中任取2个球共有C 215＝105(种)取法，其中恰好1个白球，1个红球共有C 110C 15＝50(种)取法，所以所取的球恰好1个白球，1个红球的概率为50105＝1021.(2)基本事件共有C 24＝6(种)， 设取出两只球颜色不同为事件A ，A 包含的基本事件有C 12C 12＋C 11C 11＝5(种)．故P (A )＝56.(3)五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为A 55＝120，满足事件A “排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身)只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有C 15C 12＝10(种)可能，所以事件A 出现的概率为10120＝112. 引申探究1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A ，则A 包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种， 所以P (A )＝46＝23.2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率． 解 基本事件数为C 14C 14＝16， 颜色相同的事件数为C 12C 11＋C 12C 12＝6， 所求概率为616＝38.思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．(1)(2016·全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C解析 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，((红紫)，(黄白))，((黄白)，(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C. (2)一个盒子里装有三X 卡片，分别标记有数字1,2,3，这三X 卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1X ，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c . ①求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； ②求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． 解 ①由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种． 所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.②设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.五审细节更完善典例 (14分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4) ↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式求解P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 ↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第一个球的编号，n 是第2个球的编号)n <m ＋2的情况较多，计算复杂↓(将复杂问题转化为简单问题) 计算n ≥m ＋2的概率 ↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)↓P 1＝316↓(注意细节，P 1＝1316是n ≥m ＋2的概率需转化为其对立事件的概率)n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规X 解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有{1,2}，{1,3}，共2个． 因此所求事件的概率P ＝26＝13.[5分](2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[8分] 又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316.[12分]故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.[14分]1．(2016·全国丙卷)小敏打开计算机时，忘记了开某某码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130答案 C解析第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为115，故选C.2．(2016·威海模拟)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12答案 A解析由题意知，向量m共有C14C13＝12(个)，由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，则满足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求概率P＝212＝16.3．(2015·某某)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1答案 B解析从5件产品中任取2件共有取法C25＝10(种)，恰有一件次品的取法有C12C13＝6(种)，所以恰有一件次品的概率为610＝0.6.4．(2016·某某模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( ) A.12 B.58 C.1116 D.34 答案 C解析 由已知f ′(x )＝3x 2＋a >0，所以f (x )在R 上递增，若f (x )在[1,2]上有零点，则需⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1＋a －b ≤0，f2＝8＋2a －b ≥0，经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16种， 故所求概率为1116.5．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为( ) A.521 B.27 C.13 D.821 答案 D解析 从编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球中随机取出4个，有C 410＝210(种)不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的．设事件A 为“取出球的编号互不相同”，则事件A 包含了C 15·C 12·C 12·C 12·C 12＝80(个)基本事件，所以P (A )＝80210＝821.故选D. 6．如图，三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11a 12a 13a 21a 22a 23a31a 32a33A.37B.47C.114D.1314 答案 D解析从九个数中任取三个数的不同取法共有C39＝84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C13·C12·C11＝6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝13 14 .7．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15答案 D解析如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为315＝15.8．若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.答案0.3解析因为A、B为互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.9．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.答案7解析1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6，1＋6＝7，2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8，…，依次列出m的可能取值，知7出现次数最多．10．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案1 2解析从10件产品中取4件，共有C410种取法，取到1件次品的取法为C13C37种，由古典概型概率计算公式得P ＝C 13C 37C 410＝3×35210＝12.11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求事件“|a |≤|b |”发生的概率．解 (1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．因为a ⊥b ，所以m －3n ＝0，即m ＝3n ，有(3,1)，(6,2)，共2种， 所以事件a ⊥b 发生的概率为236＝118. (2)由|a |≤|b |，得m 2＋n 2≤10，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为636＝16.*12.(2015·某某)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P 1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客P 1坐到了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P 5坐到5号座位的概率． 解 (1)余下两种坐法如下表所示：(2)若乘客P 1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，则所有可能的坐法可用下表表示：于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4，所以P (A )＝48＝12.13．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的． (1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率．解 (1)设袋中原有n 个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C 2n ，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C 27.由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P ＝C 2n C 27＝17，则n (n －1)＝6，解得n ＝3(舍去n ＝－2)，即袋中原有3个白球．(2)设事件A 为“取球2次即终止”．取球2次即终止，即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，P (A )＝C 14×C 13C 17×C 16＝4×37×6＝27.(3)设事件B 为“甲取到白球”，“第i 次取到白球”为事件A i ，i ＝1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．所以P (B )＝P (A 1∪A 3∪A 5)＝P (A 1)＋P (A 3)＋P (A 5)＝37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×37×6×5×4×3＝37＋635＋135＝2235.。
2018届北师大版高三数学一轮复习课件：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5讲 精品
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典 概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反
面”，这三个结果是等可能事件.( )
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与 不小于0的可能性相同.( )
第5讲
古典概型
最新考纲
1.理解古典概型及其概率计算公式； 2. 会计算一
些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知识梳理 1.基本事件的特点
互斥 的. (1)任何两个基本事件是______
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件 ________的和. 2.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称
考点二 复杂的古典概型的概率
【例2】 (2015· 四川卷改编)某市A，B两所中学的学生组队参 加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了 3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于 集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、
女生中随机抽取3人组成代表队.
(2)点(x，y)在圆 x2＋y2＝15 的内部记为事件 C，则 C 表示“点 (x，y)在圆 x2＋y2＝15 上或圆的外部”. 又事件 C 包含基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2， 8 2 2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共有 8 个.∴P(C)＝36＝9，从而 P( C ) 2 7 ＝1－P(C)＝1－9＝9. 7 ∴点(x，y)在圆 x ＋y ＝15 上或圆外部的概率为9.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
高三数学第一轮复习第十一章概率教师用书
§11.2互斥事件有一个发生的概率【知识概要】1．互斥事件：若事件A 与B 不可能同时发生，则事件A 与B 为互斥事件。
AB φ=2．对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。
事件A 的对立事件记作A ，A A φ=，A A U =（U 为全集）；3．互斥事件与对立事件的区别与联系，两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件； 4．互斥事件的加法公式：()()()P A B P A P B +=+；()()1P A P A +=；()1()P A P A =-； 【基础训练】1．从装有2个红球和2个白球的的口袋内任了两个球，那么下列事件中互斥的个数是（C ） ①至少有1个红球，都是白球；②至少有一个白球，至少有一个红球； ③恰有1个白球，恰有两个白球；④至少有一个白球；都是红球； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成和棋的概率是0.5，则甲胜的概率为（A ） A ．0.3 B ．0.8 C ．0.5 D ．0.43．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是574．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将锁打开的概率为1745【典型例题】例1．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率（1）摸出2个或3个白球；（2）至少摸出一个黑球；解（1）22315353448837C C C C P C C =+=（2）45481114C P C =-= 例2．袋中有9个编号分别为1，2，…，9的小球，从中随机地取出2个，求至少有一个球的编号为奇数的概率。
解：记“从9个球中任取2个，其中恰有一个编号是奇数”为事件A ，“恰有两个球的编号是奇数”为事件B ，则1154295()9C C P A C ==，25295()18C P B C ==则555()()()9186P A B P A P B +=+=+=例3．有4位同学，每人买一X 彩票，求至少有两位同学彩票的末位数字相同的概率。
【数学】2018版高考数学大一轮复习第十一章概率113几何概型教师用书文北师大版
【关键字】数学2018版高考数学大一轮复习第十一章概率 11.3 几何概型教师用书文北师大版1．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．2．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ×)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.( ×)1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A. B. C. D．1答案 B解析坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为. 2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤≤1”发生的概率为( ) A. B. C. D.答案 A解析由－1≤≤1，得≤x＋≤2，∴0≤x≤.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝＝.3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．4．(2017·济南月考)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是( )A. B. C. D.答案 C解析屋子的体积为5×4×3＝60(立方米)，捕蝇器能捕捉到的空间体积为×π×13×3＝(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是＝.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.题型一与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A. B. C. D.(2)(2017·太原联考)在区间[－，]上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为________．答案(1)B (2)解析(1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.(2)当－≤x≤时，由0≤cos x≤，得－≤x≤－或≤x≤，根据几何概型概率公式得所求概率为.(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝，∠B ＝60°， 所以BD ＝＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12. 思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________．答案 (1)B (2)16解析 (1)如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn ，∴π＝4mn，故选C.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2016·武汉模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.(1)(2016·昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( ) A.413 B.513 C.825 D.925(2)(2016·江西吉安一中第二次质检)已知P 是△ABC 所在平面内一点，4PB →＋5PC →＋3PA →＝0，现将一粒红豆随机地撒在△ABC 内，则红豆落在△PBC 内的概率是________． 答案 (1)D (2)14解析 (1)作出平面区域D ，可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域．当点在△AEF 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2. ∴P ＝S △AEF S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925.(2)如图，令PD →＝4PB →， PE →＝5PC →，PF →＝3PA →，连接DE ，EF ，FD . ∵4PB →＋5PC →＋3PA →＝0， ∴PD →＋PE →＋PF →＝0， 即P 是△DEF 的重心，此时，△PDE ，△PEF ，△PDF 的面积相等， 则△PDE 的面积是△PBC 的面积的20倍， △PEF 的面积是△PAC 的面积的15倍， △PDF 的面积是△PAB 的面积的12倍，故△ABC 的面积是△PBC 的面积的4倍，将一粒红豆随机撒在△ABC 内，则红豆落在△PBC 内的概率是14.题型三 与体积有关的几何概型例4 (1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18 B.16 C.127 D.38(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14 答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．(2016·哈尔滨模拟)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．答案 23解析 如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V3，只需△APC 的面积大于△ABC 的面积的13.假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V3”，则事件M 发生的区域是线段P ′B . 从而P (M )＝P ′B AB ＝23.12．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78 错解展示解析 (1)因为∠C ＝90°，∠CAM ＝30°， 所以所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)B现场纠错解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a＝33. (2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.答案 (1)33(2)C 纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积．1．(2016·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( ) A ．16.32 B ．15.32 C ．8.68 D ．7.68 答案 A解析 设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300， 故S ＝16.32.2．(2016·南平模拟)设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案 C解析 方程有实数根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)， 故所求概率为P ＝5－25－0＝35，故选C.3．(2016·四川宜宾筠连中学第三次月考)如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( ) A.43 B.83 C.23 D.13 答案 B解析 正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 正方形. 又∵S 正方形＝4，∴S 阴影＝83，故选B.4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π答案 A解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.6.欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________． 答案49π解析 依题意，所求概率为P ＝12π·322＝49π. 7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆区域如图所示．设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π. 10．(2016·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________． 答案 1－π24解析 由题意作图，如图，则点P 应落在深色阴影部分，S △＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝1－π24. 11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个， 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21， 故满足a ·b <0的概率为2125. 12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图像的对称轴为直线x ＝2b a， 要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b a≤1，即2b ≤a . 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分．所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)， 故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13. 13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y －x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝24－12×12＋24－22×12242＝506.5576＝1 0131 152.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
高考数学一轮复习统考 第11章 概率 第2讲 古典概型学案(含解析)北师大版-北师大版高三全册数学学
第2讲 古典概型基础知识整合1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是□01互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成□02基本事件的和． 2．古典概型 (1)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． 有限性—试验中所有可能出现的基本事件□03只有有限个 |等可能性—每个基本事件出现的可能性□04相等 (2)古典概型的概率公式P (A )＝□05A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的概率模型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( ) A.12 B.14 C.34 D ．0答案 A解析 列举出所有基本事件，找出“恰有1次出现正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，而恰有1次出现正面包括(正，反)，(反，正)，2个，故其概率为24＝12.2．为美化环境，从红，黄，白，紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56答案 C解析 从红，黄，白，紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红，黄)，(红，白)，(红，紫)，(黄，白)，(黄，紫)，(白，紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P ＝46＝23.故选C.3．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15 答案 C解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P ＝410＝25.故选C. 4．(2019·金华模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )A.35B.25C.13D.23答案 D解析 从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数共有15种情况，取出的两个数是连续自然数的有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23.5．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．答案310解析 把男生编号为男1，男2，女生编号为女1，女2，女3，则从5名学生中任选2名学生有：男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，共10种情况，其中选中2名女生有3种情况，则恰好选中2名女生的概率为310.6．甲、乙两人玩猜数字的游戏，先由甲任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3,4}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．答案 58解析 两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，有16种情况，其中满足|a －b |≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10种，故他们“心有灵犀”的概率为1016＝58.核心考向突破考向一 简单的古典概型 考向一 简单的古典概型例1 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解 (1)将标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ，E .从五张卡片中任取两张的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)将标号为0的绿色卡片记为F .从六张卡片中任取两张的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.1．求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是不是等可能事件，设出所求事件A ；(2)分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； (3)利用公式P (A )＝mn，求出事件A 的概率． 2．基本事件个数的确定方法 方法 适用条件列表法 此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求[即时训练] 1.一个盒子里装有三张卡片，分别标有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解 (1)由题意，得(a ，b ，c )所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种． 所以P (A )＝327＝19.因此“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B －包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89.因此“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.精准设计考向，多角度探究突破 考向二 较复杂的古典概型角度1 古典概型与平面向量的交汇例2 (1)(2019·宁波模拟)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是( )A.512 B.12 C.712 D.56答案 C 解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝m －n|a ||b |. ∵θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴m ≥n .(m ，n )一共有6×6＝36(种)不同组合． 满足m ≥n 的有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(种)． 所以所求的概率P ＝2136＝712.(2)(2019·宿迁模拟)已知k ∈Z ，A B →＝(k,1)，A C →＝(2,4)，若|A B →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________．答案 37解析 因为|A B →|＝k 2＋1≤4，所以－15≤k ≤15， 因为k ∈Z ，所以k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC ，由A B →·A C →＝0，得2k＋4＝0，所以k ＝－2，因为B C →＝A C →－A B →＝(2－k,3)，由A B →·B C →＝0，得k (2－k )＋3＝0，所以k ＝－1或3，由A C →·B C →＝0，得2(2－k )＋12＝0，所以k ＝8(舍去)，故使△ABC 为直角三角形的k 值为－2，－1或3，所以所求概率P ＝37.角度2 古典概型与平面几何、解析几何的交汇例3 (1)(2019·山东省实验中学模拟)已知直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：ax －by ＋1＝0，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则直线l 1与l 2的交点位于第一象限的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 A解析 l 2的斜率小于l 1的斜率时，直线l 1与l 2的交点位于第一象限，此时共有六种情况：a ＝1，b ∈{3,4,5,6}；a ＝2，b ∈{5,6}．因此所求概率为66×6＝16.故选A. (2)(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．答案712解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有C 16C 16＝36个，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b2≤2，a 2≤b 2的数组(a ，b )有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，因此所求的概率等于2136＝712.角度3 古典概型与函数的交汇例4 (1)(2020·亳州质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18 答案 C解析 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有4×4＝16个元素，其中使直线OA 的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14.故选C.(2)已知M ＝{1,2,3,4}，若a ∈M ，b ∈M ，则函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋x －3在R 上为增函数的概率是( )A.916B.716C.14答案 A解析 记事件A 为“函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋x －3在R 上为增函数”．因为f (x )＝ax 3＋bx2＋x －3，所以f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋1.当函数f (x )在R 上为增函数时，f ′(x )≥0在R 上恒成立．又a >0，所以Δ＝(2b )2－4×3a ＝4b 2－12a ≤0在R 上恒成立，即a ≥b 23.当b ＝1时，有a ≥13，故a 可取1,2,3,4，共4个数；当b ＝2时，有a ≥43，故a 可取2,3,4，共3个数；当b ＝3时，有a ≥3，故a 可取3,4，共2个数； 当b ＝4时，有a ≥163，故a 无可取值．综上，事件A 包含的基本事件有4＋3＋2＝9种． 又a ，b ∈{1,2,3,4}，所以所有的基本事件共有16种． 故所求事件A 的概率为P (A )＝916.故选A.较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[即时训练] 3.设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A.18B.14C.13D.12答案 A解析 有序数对(m ，n )的所有可能结果有4×4＝16(个)．由a ⊥(a －b )，得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2，由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.4．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )A.14B.38C.12D.58 答案 B解析 若直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则b a>1，基本事件总数为4×4＝16，满足条件的(a ，b )的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故所求概率为38.5．(2019·河南郑州模拟)已知一组抛物线y ＝12ax 2＋bx ＋1，其中a 为2,4中任取的一个数，b 为1,3,5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线相互平行的概率是________．答案215解析 抛物线共有6条，任取两条共C 26＝15种情况．∵y ′＝ax ＋b ，∴在与直线x ＝1交点处的切线斜率为a ＋b ，而a 为2,4中任取的一个数，b 为1,3,5中任取的一个数，保证a ＋b 相等的抛物线有2对，∴在与直线x ＝1交点处的切线相互平行的概率为215.考向三 古典概型与统计的交汇问题例5 (2019·长春模拟)某教师为了了解高三所教两个班级的一模数学成绩情况，将两个班的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图．(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；(2)若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率； (3)从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人，求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率．解 (1)由所给的茎叶图，知甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，出现次数最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5，众数是103；乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，出现次数最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为92和101.(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为2050＝25；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为1848＝38.(3)从5人中抽取3人的不同情况共有C 35种，其中至多有1人的数学成绩在140分以上的情况有C 12C 23＋C 33种，故至多有1人的数学成绩在140分以上的概率P ＝C 12C 23＋C 33C 35＝710.求解古典概型与统计交汇问题的思路(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息．(2)进行统计与古典概型概率的正确计算．[即时训练] 5.(2019·广州五校联考)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．解 (1)设第1组[20,30)的频率为f 1，则由题意，得f 1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05.,被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10＝0.25.所以估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25. (2)∵第1组[20,30)的人数为0.05×120＝6.∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名．记第1组中的3名男性群众分别为A ，B ，C,3名女性群众分别为x ，y ，z ，从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含(A ，B )，(A ，C )，(A ，x )，(A ，y )，(A ，z )，(B ，C )，(B ，x )，(B ，y )，(B ，z )，(C ，x )，(C ，y )，(C ，z )，(x ，y )，(x ，z )，(y ，z )，共15个基本事件．至少有一名女性群众包含(A ，x )，(A ，y )，(A ，z )，(B ，x )，(B ，y )，(B ，z )，(C ，x )，(C ，y )，(C ，z )，(x ，y )，(x ，z )，(y ，z )，共12个基本事件．∴从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率P ＝1215＝45.盒中有三张分别标有号码3,4,5的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为奇数的概率为________．答案 89 解析 解法一：两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，其中至少有一个是奇数有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共8种，因此所求概率为89. 解法二：所求事件的对立事件为“两次抽取的卡片号码都为偶数”，只有(4,4)这1种取法，而两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，因此所求事件的概率为1－19＝89. 答题启示“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现．在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度．在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件A 与事件B 互为对立事件，在求P (A )或P (B )时，利用公式P (A )＝1－P (B )先求容易的一个，再求另一个．对点训练1.某单位要在4名员工(含甲、乙2人)中随机选2名到某地出差，则甲、乙2人中，至少有1人被选中的概率是( )A.56B.23C.13D.12答案 A解析 解法一：设四人分别为甲、乙、丙、丁，则随机选2名的情况为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，其中甲、乙2人中，至少有1人被选中的情况为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁，共5种，所以所求概率为56. 解法二：设四人分别为甲、乙、丙、丁，则随机选2名的情况为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，其中甲、乙2人都没被选中的情况为丙丁，共1种，所以所求概率为1－16＝56. 2.(2019·烟台模拟)口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意取出1个球，则2次取出的球颜色不同的概率是( )A.29B.13C.23D.89 答案 C解析 解法一：由题意，得基本事件有(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，红)，(白，白)，(白，黑)，(黑，红)，(黑，白)，(黑，黑)，共9个，2次取出的球颜色不同包含的基本事件有6个，所以2次取出的球颜色不同的概率P ＝69＝23，故选C. 解法二：由题意，得基本事件有(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，红)，(白，白)，(白，黑)，(黑，红)，(黑，白)，(黑，黑)，共9个，其中2次取出的球颜色相同的基本事件有3个，所以2次取出的球颜色不同的概率为1－39＝23.。
2018版高考数学大一轮复习第十一章概率11.1随机事件的概率教师用书文北师大版.
保费 0.85 a
a
1.25 a 1.5 a 1.75 a 2a
频率
0.30
0.25 0.15 0.15
0.10 0.05
调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85 a×0.30 ＋ a×0.25 ＋ 1.25 a×0.15 ＋ 1.5 a×0.15 ＋
1．从 {1,2,3,4,5} 中随机选取一个数 a，从 {1,2,3} 中随机选取一个数 b，则 b>a 的概率是 ( ) 4321
A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
答案 D 31
解析 基本事件的个数为 5×3＝ 15，其中满足 b>a 的有 3 种，所以 b>a 的概率为 15＝ 5. 2． ( 教材改编 ) 将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中“正面向上恰有 5 次”是 ( )
P( A) 的估计值；
(2) 记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160%”，求 P( B)
的估计值；
(3) 求续保人本年度的平均保费的估计值．
解 (1) 事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知，一年内出险次数小于 2 60＋ 50
的频率为 200 ＝ 0.55 ，故 P( A) 的估计值为 0.55. (2) 事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4. 由所给数据知，一年内出险次数大
(2015 ·北京 ) 某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁
四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买
2018版高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型教师用书 文 新人教版
2018版高考数学大一轮复习第十一章概率 11.3 几何概型教师用书文新人教版1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.14 答案 A解析 由－1≤121log ()2x +≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34. 3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．4．(2017·济南月考)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另。
高考数学总复习 第11章计数原理与概率教师备课平台课件 北师大版
于是 S 正＝9×9＝81，S 阴＝9×9－7×7＝32. 故所求概率 P(A)＝SS阴 正＝3821.
(2)小圆板与正方形的顶点相交是在中心 P 到正方形 的顶点的距离不超过小圆板的半径 1 时，如图(2)所示阴 影部分，图中阴影部分表示事件 B：“小圆板压在塑料板 顶点上”．于是 S 正＝9×9＝81，S 阴＝π·12＝π.
P(N)＝1－P(－N )＝1－16＝56.
四、求有关几何概型的概率问题 二、求有关几何概型的概率问题(文) 几何概型同古典概型一样，也是最具有代表性的概率 模型之一，在高考中占有重要的地位．用几何概型计算事 件的概率时，关键是要构造出随机事件对应的几何图形， 利用图形的几何度量(长度，面积或体积)来求随机事件的 概率．
依据题意得nCxC＝2x2n＝3513
，解得xn＝＝610 ，
所以该小组中男生有 4 人，女生有 6 人．
(2)男生和女生都有，即男生至少 1 人，女生至少 1 人，而从该小组选出 3 人，全是男生的选法有 C34，全是 女生的选法有 C36，所以男、女生都有的概率是 P＝1－ C34C＋310C36＝45.
[解析] 五个人的全排列有 A55种，其中甲在排头的有 A44种，乙在排尾的有 A44种，但在分别计算时重复了甲在 排头且乙在排尾的排列共有 A33种，因此符合条件的排列 有 A55－2A44＋A33＝78 种．
3．捆绑法与插空法 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素 捆绑在一起，看作一个“大元素”，再与其他元素进行排 列，注意“大元素”内部也要排列，对于某些元素需要间 隔的排列问题，可先排列无限制条件的元素，再在间隔或 两端插入不相邻的元素，注意分清楚“谁插谁”．
[答案] A
[例 6] 一排 6 把椅子上坐 3 人，每 2 人之间至少有 一把空椅子，求共有多少种不同的坐法？
高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.2 古典概型学案 文 北师大版
§11.2 古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中一个结果； (2)每一个试验结果出现的可能性相同．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.4．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．( × )(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( √ )(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ )(6)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，且集合A 中的元素个数为n ，所有的基本事件构成集合I ，且集合I 中元素个数为m ，则事件A 的概率为n m.( √ ) 题组二 教材改编2．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.23答案 D解析 抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种． ∴所求概率为46＝23.3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( ) A.25 B.415 C.35 D.23答案 A解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P ＝615＝25. 4．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________． 答案 56解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P ＝1－66×6＝56.题组三 易错自纠5．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D.56答案 C解析 设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为b ，则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.6．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4<0成立的事件发生的概率为________． 答案 14解析 由题意知(a ，b )的所有可能结果有4×4＝16(种)，其中满足a －2b ＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4种结果．故所求事件的概率P ＝416＝14.题型一 基本事件与古典概型的判断1．下列试验中，古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； ②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合； ③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率； ④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型；③符合古典概型的特点，是古典概型．2．(2018·沈阳模拟)有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件．解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．3．袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型． 题型二 古典概型的求法典例 (1)(2017·全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110 B.15 C.310 D.25答案 D解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25.(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________． 答案 56解析 设取出的2个球颜色不同为事件A ，基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A 包含5种，故P (A )＝56.(3)(2017·北京西城区期末)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取2个点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0，就去打球，若X ＝0，就去唱歌，若X <0，就去下棋，则小波不去唱歌的概率是________．答案1115解析 根据题意可知，X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种；数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种；数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种，故所有可能的情况共有1＋6＋4＋4＝15(种)，其中X ≠0的情况有1＋6＋4＝11(种)，故根据古典概型的概率计算公式知小波不去唱歌的概率P＝1115. 引申探究1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A ，则A 包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种， 所以P (A )＝46＝23.2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率． 解 基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种， 其中颜色相同的有6种， 故所求概率P ＝616＝38.思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．跟踪训练 (2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． 解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事件的概率为P ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个． 包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个， 则所求事件的概率为P ＝29.题型三 古典概型与统计的综合应用典例 (2017·郑州模拟)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染．一环保人士记录了某地2016年某月10天的AQI 的茎叶图如图所示．(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有30天计算) (2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为410＝25，估计该月空气质量优良的频率为25，从而估计该月空气质量优良的天数为30×25＝12.(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4； 为中度污染的共1天，记为b ；为重度污染的共1天，记为c .从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，a 4)，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共15个．其中空气质量等级恰好不同的结果有(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共9个．所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为915＝35.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．跟踪训练从某学校2016届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9，由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：(2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在[190,195)的男生有两名，设为A，B.若x，y∈[180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y∈[190,195)，只有AB 1种情况；若x，y分别在[180,185)，[190,195)内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15，事件|x－y|≤5包含的基本事件的个数为6＋1＝7，故所求概率为715.六审细节更完善典例 (12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取两个球的所有结果列举出来↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式求解P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 ↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第1个球的编号，n 是第2个球的编号)n <m ＋2的情况较多，计算复杂↓(将复杂问题转化为简单问题) 计算n ≥m ＋2的概率 ↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)↓P 1＝316↓注意细节，P 1＝316是n ≥m ＋2的概率，需转化为其,对立事件的概率n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规范解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有{1,2}，{1,3}，共2个． 因此所求事件的概率P ＝26＝13.[4分](2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[6分] 又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个， 所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率P 1＝316.[10分]故满足条件n <m ＋2的事件的概率为 1－P 1＝1－316＝1316.[12分]1．(2016·全国Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C解析 将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)、(红白))，((红紫)、(黄白))，((黄白)、(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P ＝46＝23. 2．(2016·全国Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130 答案 C解析 第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为115，故选C.3．(2017·山东)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.518 B.49 C.59 D.79 答案 C解析 ∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，∴P (第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝518，P (第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝518，∴P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59.故选C.4．(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925答案 B解析 从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为410＝25.5．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( )A.12B.13C.34D.25答案 B解析 点P (m ，n )的情况为(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.6．设m ，n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的概率为( ) A.1136 B.736 C.711 D.710答案 C解析 先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求事件的概率P＝711. 7．(2016·四川)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________． 答案 16解析 从2,3,8,9中任取2个不同的数字，记为(a ，b )，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，其中符合log a b 为整数的有log 39和log 28两种情况， ∴P ＝212＝16.8．(2017·成都月考)如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．答案 0.3解析 依题意，记题中被污损的数字为x ，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x ＋5)≤0，x ≥7，即此时x 的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P ＝310＝0.3.9．在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________．答案310解析 基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为3，故所求概率P ＝310.10．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是________． 答案 13解析 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种， 所以P (A )＝26＝13.11．设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求事件“|a |≤|b |”发生的概率．解 (1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的情况共36种．因为a ⊥b ，所以m －3n ＝0，即m ＝3n ，有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件“a ⊥b ”发生的概率为236＝118.(2)由|a |≤|b |，得m 2＋n 2≤10，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为636＝16.所以事件“|a |≤|b |”发生的概率为16.12．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的同学有30人， 故至少参加上述一个社团的同学共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}， {A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}， {A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}， 共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个． 因此，A 1被选中且B 1未被选中的概率P ＝215.13．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.答案7解析1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6，1＋6＝7,2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8，…，依次列出m的可能取值，知7出现次数最多．14.(2016·山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C. 则事件B包含的基本事件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝616＝38.事件C包含的基本事件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． 所以P (C )＝516.因为38＞516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．15．设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为________． 答案1116解析 由已知f ′(x )＝3x 2＋a >0，所以f (x )在R 是增加的，若f (x )在[1,2]上有零点，则需⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a －b ≤0，f (2)＝8＋2a －b ≥0，经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16对， 故所求概率为1116.16．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)设(i ，j )表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．解 (1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．甲胜的概率为P 1＝512，乙胜的概率为P 2＝712.因为512<712，所以此游戏不公平．。
高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型教师用书 文 新人教版(2021年最新整理)
人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第十一章概率11.3 几何概型教师用书文新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学大一轮复习第十一章概率11.3 几何概型教师用书文新人教版的全部内容。
新人教版1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A)＝错误!.3．几何概型试验的两个基本特点（1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法（1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．（2）用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n（A）＝错误!作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1）在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √）（2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等．（√）(3）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（√）（4）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（√）(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．（×）（6）从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是P＝错误!.（×)1．(教材改编）在线段[0，3］上任投一点,则此点坐标小于1的概率为( ）A.错误! B。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018版高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.2 古典概型教师用书 文 北师大版1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型． (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果； (2)每一个试验结果出现的可能性相同．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn.4．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( × )(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( √ )(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ )(6)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，且集合A 中的元素个数为n ，所有的基本事件构成集合I ，且集合I 中元素个数为m ，则事件A 的概率为n m.( √ )1．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16答案 B解析 基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2， 所以所求概率P ＝26＝13，故选B.2．(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925 答案 B解析 从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为410＝25.3．(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120 答案 C解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C. 4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为___________________________________________________________________．答案3 5解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35.5．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．答案5 6解析掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率P＝1－66×6＝56.题型一基本事件与古典概型的判断例1 (1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：①试验的基本事件；②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；③事件“出现点数相等”包含的基本事件．(2)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．①有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？②若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)①这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．③事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．(2)①由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．②由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为3 11，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．下列试验中，古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型；③符合古典概型的特点，是古典概型．题型二 古典概型的求法例2 (1)(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________． 答案 56解析 设取出的2只球颜色不同为事件A .基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)共6种，事件A 包含5种．故P (A )＝56.(2)(2016·山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：a ．若xy ≤3，则奖励玩具一个；b ．若xy ≥8，则奖励水杯一个；c ．其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． ①求小亮获得玩具的概率；②请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解 用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n ＝16. ①记“xy ≤3”为事件A ， 则事件A 包含的基本事件共5个， 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)． 所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516.②记“xy ≥8”为事件B ，“3＜xy ＜8”为事件C .则事件B 包含的基本事件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． 所以P (B )＝616＝38.事件C 包含的基本事件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． 所以P (C )＝516.因为38＞516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 引申探究1．本例(1)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A ，则A 包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种， 所以P (A )＝46＝23.2．本例(1)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率． 解 基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率为P ＝616＝38.思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．(1)(2016·全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C解析 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，((红紫)，(黄白))，((黄白)，(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C. (2)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)①从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；②在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解 ①由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.②从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有 {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}， {A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}， {A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}， {A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个． 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的， 事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有 {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此，A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.题型三 古典概型与统计的综合应用例3 (2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．解(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝110.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2. (2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.六审细节更完善典例 (12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4) ↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式求解P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 ↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第一个球的编号，n 是第2个球的编号)n <m ＋2的情况较多，计算复杂↓(将复杂问题转化为简单问题) 计算n ≥m ＋2的概率 ↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)↓P 1＝316↓(注意细节，P 1＝316是n ≥m ＋2的概率，需转化为其对立事件的概率)n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规范解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有{1,2}，{1,3}，共2个． 因此所求事件的概率P ＝26＝13.[4分](2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[6分]又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316.[10分]故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.[12分]1．(2016·全国丙卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130答案 C解析第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为115，故选C.2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910答案 D解析由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝910.3．(2015·广东)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 答案 B解析 设3件合格品为A 1，A 2，A 3,2件次品为B 1，B 2，从5件产品中任取2件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共10种．恰有1件次品有6种，∴P ＝610＝0.6. 4．(2016·哈尔滨模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( ) A.12 B.58 C.1116 D.34 答案 C解析 由已知f ′(x )＝3x 2＋a >0，所以f (x )在R 上递增，若f (x )在[1,2]上有零点，则需⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1＋a －b ≤0，f ＝8＋2a －b ≥0，经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16种， 故所求概率为1116.5．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.12 答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)． ∴P ＝1536＝512，故选A.6．(2016·哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，从下列五个点：A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,2)，E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是( )A.25B.35C.45 D ．1 答案 C解析从5个点中取3个点，列举得ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10个基本事件，而其中ACE，BCD两种情况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为810＝4 5.7．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15答案 D解析如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为315＝15.8．若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________.答案0.3解析因为A、B为互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，故P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.9．(2016·成都模拟)如右图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．答案0.3解析依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝310＝0.3.10．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________. 答案 7解析 1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6，1＋6＝7，2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8，…，依次列出m 的可能取值，知7出现次数最多．11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求事件“|a |≤|b |”发生的概率．解 (1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．因为a ⊥b ，所以m －3n ＝0，即m ＝3n ，有(3,1)，(6,2)，共2种， 所以事件a ⊥b 发生的概率为236＝118. (2)由|a |≤|b |，得m 2＋n 2≤10，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为636＝16.12．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)设(i ，j )表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．解 (1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4，2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．甲胜的概率为P 1＝512，乙胜的概率为P 2＝712.因为512<712，所以此游戏不公平．13.(2015·四川)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．解(1)余下两种坐法如下表所示：(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，则所有可能的坐法可用下表表示：于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4，所以P (A )＝48＝12.。