高二年级下学期期末考试数学试题与答案解析(共三套)

高二年级下学期期末考试数学试题（一）
注意事项：
1．本试卷共22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）
A．36 B．32 C．28 D．24
2.的展开式中的常数项为（）
A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．180
3.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．2
4.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）
A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14
5.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）
A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤3
6.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．
P（K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0）
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参照附表，可得正确的结论是（）
A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）
A．22种B．24种C．25种D．27种
8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则
的值为（）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。

9.已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）
A．x2f（x1）＜x1f（x2） B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）
C． D．当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f
（x1）
10.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＜0，a10＞0，则下列结论正确的是（）
A．S10＞S9B．S17＜0 C．S18＞S19D．S19＞0
11.已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若r为偶数，则展开式中x r和x r﹣1的系数相等
12.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12），N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列{a n}的前n项和为S n＝2n2+3n+3，则数列{a n}的通项公式为．
14.已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）＝2lnx+x，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线斜率为．
15.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．
16.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
身高x（cm）160 165 170 175 180
体重y（kg）63 66 70 72 74
根据上表可得回归直线方程：＝0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重
为．
四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考生根据要求作答。

17.完成下列各题．
（1）求（3+）4的展开式；
（2）化简（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1．
18.已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+2，若y＝f（x）在有极值，且f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为﹣5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．
19.在数列{a n}中，已知a n＞0，a1＝1，a n+12﹣a n2﹣a n+1﹣a n＝0．
（1）求证：数列{a n}是等差数列；
（2）设数列{a n}的前n和为S n，b n＝，求数列{b n}的前n和T n．
20.某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：
质量指标值m 25≤m＜35 15≤m＜25或35≤m
＜45 0＜m＜15或45≤m＜65
等级一等品二等品三等品
某企业从生产的这种产品中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到右
图的率分布直方图．（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（1）该企业为提高产品质量，开展了质量提升月”活动，活动后再抽样
检测，产品三等品数Y近似满足Y～H（10，15，100），请测算“质量提升月”活动后这种产品的“二等品率“（一、二等品其占全部产品百分比）较活动前提高多少个百分点？（2）若企业每件一等品售价180元，每件二等品售价150元，每件三等品售价120元，以样本中的频率代替相应概率，现有一名联客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
21.伴随着科技的发展，人们的生活节奏也越来越快．听书，逐渐成为了爱阅读的人们的一种喜好，付费阅读也成为追求更高价值的途径之一．某网络公司组织统计了近五年来该公司参与付费听书的人数y；（单位：人）与时间t（单位：年）的数据，列表如下：t i 1 2 3 4 5
y i24 27 41 64 79
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式
参考数据≈75.47
（2））若节日期间营销部拟对平台商品进行新﹣﹣轮更新调整．针对某地拟购买该商品的消费群体进行了一个抽样调查，获得一个容量为200的样本，其中青年人有150人，中老年人有50人．在这些消费群体中，付费阅读的青年人有100人，中老年人有24人．
填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，付费阅读与年龄层次有关？
青年人中老年人合计付费阅读100 24
不付费阅读
合计200
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
22.已知f n（x）＝C x k（n∈N*）．
（Ⅰ）计算f k（﹣1）的值；
（Ⅱ）若g（x）＝f4（x）+2f5（x）+3f6（x）+4f7（x），求g（x）中含x4项的系数；（Ⅲ）证明：＝．
答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）
A．36 B．32 C．28 D．24
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．
【解答】解：S6＝＝3×（3+9）＝36．
故选：A．
【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的前n项和
2.的展开式中的常数项为（）
A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．180
【答案】D
【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数
项．
【解答】解：＝（x3﹣1）（•x3++•4+•8+•16x﹣3+•32+•64x﹣6），
故它的展开式中的常数项为•16﹣•4＝180，
故选：D．
【知识点】二项式定理
3.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．2
【答案】C
【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．
【解答】解：∵切线与直线y＝ax+1平行，斜率为a，
又y'＝＝，
所以切线斜率k＝f′（）＝﹣2，所以y＝ax+1的斜率为﹣2，
即a＝﹣2．
故选：C．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
4.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）
A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14
【答案】D
【分析】已知P（80＜X≤86）＝0.36，根据正态曲线的对称性，P（X＞92）＝
，计算即可．
【解答】解：依题意，P（80＜X≤86）＝0.36，
根据正态曲线的对称性知P（X＞92）＝＝（1﹣2×0.36）＝0.14．
故选：D．
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
5.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）
A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤3
【答案】C
【分析】求出导函数，利用切线的斜率，求出a，判断函数的单调性，列出不等式组求解即可．
【解答】解：，∴a＝1，
因为x＞0，所以当0＜x＜3时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，3]上递减，
所以，∴1＜m≤2．
故选：C．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性
6.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．
P（K2≥
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0）
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参照附表，可得正确的结论是（）
A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
【答案】A
【分析】根据列联表与独立性检验的应用问题，对照临界值即可得出结论．
【解答】解：由题意知，观测值K2＝4.236＞3.841，
所以有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”．
故选：A．
【知识点】独立性检验
7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）
A．22种B．24种C．25种D．27种
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，据此列举列分析点数中三个数字为8或16的组合数目，结合排列、组合数公式分析每种组合的顺序数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，正方形ABCD的边长为2个单位，则其周长是8，
若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，
若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，
若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，
其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有C31＝3种顺序，1、2、5，1、3、4，这2种组合有A33＝6种顺序，
则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法3×5+2×6＝27种，
故选：D．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则
的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．
【解答】解：＝＝×＝×＝×＝
．
故选：C．
【知识点】等差数列的性质
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。

9.已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）
A．x2f（x1）＜x1f（x2）
B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）
C．
D．当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）
【答案】AD
【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．
【解答】解：A．正确；
因为令g（x）＝＝lnx，在（0，+∞）上是增函数，
∴当 0＜x1＜x2时，g（x1）＜g（x2），
∴即x2f（x1）＜x1f（x2）．
B．错误；
因为令g（x）＝f（x）+x＝xlnx+x
∴g′（x）＝lnx+2，
∴x∈（e﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
x∈（0，e﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∴x1+f（x1）与x2+f（x2）无法比较大小．
C．错误；
因为令g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，
g′（x）＝lnx，
∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）单调递减，
x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，
∴当0＜x1＜x2＜1时，g（x1）＞g（x2），
∴f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，
∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，
∴＜0．
当1＜x1＜x2时，g（x1）＜g（x2）
∴f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，
∴f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2，
∴．
D．正确；
因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，
∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．
故选：AD．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
10.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＜0，a10＞0，则下列结论正确的是（）A．S10＞S9B．S17＜0 C．S18＞S19D．S19＞0
【答案】ABD
【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A正确；根据题意可知数列为递减数列则a19＞0，又S18＝S19﹣a19，进而可知S15＞S16，判断出C不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知S17＝＝＝17a9＜0，S19＝＝＝19a10＞0，故BD正确．
【解答】解：根据题意可知数列为递增数列，a9＜0，a10＞0
∴前9项的和最小，故A正确，
S17＝＝＝17a9＜0，故B正确，
S19＝＝＝19a10＞0，故D正确．
∵a19＞0
∴S18＝S19﹣a19
∴S18＜S19，故C不正确．
故选：ABD．
【知识点】等差数列的前n项和
11.已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若r为偶数，则展开式中x r和x r﹣1的系数相等
【答案】ACD
【分析】由题意令x＝1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．
【解答】解：令x＝1，可得的展开式中各项系数的和为（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正确；
∵（1+）＝（1+）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展开式中常数项为﹣160，故B不正确；
的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1+）的各系数和，为（1+a）•36＝1458，故C正确；
根据（1+）＝（1+）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），
可得若r为偶数，则展开式中x r和x r﹣1的系数相等，故D正确，
故选：ACD．
【知识点】二项式定理
12.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12），N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近
【答案】ABC
【分析】根据甲、乙两类正态分布的密度曲线图象，得出平均数的大小，再判断命题是否正确．
【解答】解：由正态分布的密度曲线图象可知，
甲类水果的平均质量为μ1＝0.4kg，A正确；
乙类水果的平均质量为μ2＝0.8kg，所以μ1＜μ2，C正确；
由甲类水果的正态密度曲线比乙类水果的正态密度曲线更凸起些，
所以σ1＜σ2，得出B正确；所以D错误．
故选：ABC．
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列{a n}的前n项和为S n＝2n2+3n+3，则数列{a n}的通项公式为．
【分析】由n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1，代入关系式化简求出a n，再把n＝1时a1＝s1代入验证，再用分段函数形式表示．
【解答】解：当n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1＝2n2+3n+3﹣[2（n﹣1）2+3（n﹣1）+3]
＝4n+1，
当n＝1时，a1＝s1＝8，不符合上式，
则a n＝，
故答案为：．
【知识点】数列的概念及简单表示法
14.已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f（x）＝2lnx+x，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线斜率为．
【答案】3
【分析】由已知求得函数在x＜0时的函数解析式，然后求导函数，进一步求得函数在x＝﹣1处的函数值得答案．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）＝2ln（﹣x）﹣x，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴﹣f（x）＝2ln（﹣x）﹣x，则f（x）＝﹣2ln（﹣x）+x，
∴f′（x）＝，则f′（﹣1）＝3．
即曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线斜率为3．
故答案为：3．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
15.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．
【答案】81
【分析】根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，②，
由分步计数原理分析剩下的3人分配方案数目，由乘法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C31＝3种情况，
②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法，
则有3×27＝81种不同的分配方法；
故答案为：81
【知识点】排列、组合及简单计数问题
16.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
身高x（cm）160 165 170 175 180
体重y（kg）63 66 70 72 74
根据上表可得回归直线方程：＝0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为．
【答案】70.12kg
【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，得到线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的高三男生的体重．
【解答】解：由表中数据可得＝＝170，＝
＝69，
∵（，）一定在回归直线方程y＝0.56x+a上，
∴69＝0.56×170+a，
解得a＝﹣26.2
∴y＝0.56x﹣26.2，
当x＝172时，y＝0.56×172﹣26.2＝70.12．
故答案为：70.12kg．
【知识点】线性回归方程
四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考生根据要求作答。

17.完成下列各题．
（1）求（3+）4的展开式；
（2）化简（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1．
【分析】（1）解法一：根据二项式展开式定理计算即可；解法二：通分再利用二项式展开式定理计算；
（2）利用二项式展开式定理拟用，计算即可．
【解答】（1）解法一：（3+）4＝•+••+••+•（3）•+•
＝81x2+108x+54++；
解法二：（3+）4＝＝（81x4+108x3+54x2+12x+1）＝81x2+108x+54++；
（2）化简（2x+1）5﹣5（2x+1）4+10（2x+1）3﹣10（2x+1）2+5（2x+1）﹣1
＝•（2x+1）5﹣•（2x+1）4+•（2x+1）3﹣•（2x+1）2+•（2x+1）﹣•（2x+1）0＝[（2x+1）﹣1]5
＝32x5．
【知识点】二项式定理
18.已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+2，若y＝f（x）在有极值，且f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为﹣5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程可求a，b进而可求函数解析式；
（2）结合导数可求解函数的单调性，进而可求最值．
【解答】解：（1）f'（x）＝3x2+2ax+b，
由题意，得，
解得，经检验，符合题意．
所以，f（x）＝x3﹣2x2﹣4x+2；
（2）由（1）知f'（x）＝3x2﹣4x﹣4＝（3x+2）（x﹣2），
令f'（x）＝0，得，x2＝2，
由f'（x）＞0，解得或x＞2，f'（x）＜0，解得，∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，3）单调递增．
又f（0）＝2，f（2）＝﹣6，f（3）＝1，
故f（x）在[0，3]上的最大值为2，最小值为﹣6．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的最值19.在数列{a n}中，已知a n＞0，a1＝1，a n+12﹣a n2﹣a n+1﹣a n＝0．
（1）求证：数列{a n}是等差数列；
（2）设数列{a n}的前n和为S n，b n＝，求数列{b n}的前n和T n．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的为等差数列．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
【解答】证明：（1）由，
得（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1+a n）＝0，
因为a n＞0，
所以a n+1﹣a n＝1，
又因为a1＝1，
所以数列{a n}是首项为a1＝1，公差为1的等差数列．
解：（2）由（1）可得，
．
∴．
∴T n＝b1+b2+…+b n
＝
＝．
【知识点】数列递推式、数列的求和、等差数列的性质
20.某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：
质量指标值m 25≤m＜35 15≤m＜25或35≤m
＜45 0＜m＜15或45≤m＜65
等级一等品二等品三等品
某企业从生产的这种产品中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到右
图的率分布直方图．（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（1）该企业为提高产品质量，开展了质量提升月”活动，活动后再抽样
检测，产品三等品数Y近似满足Y～H（10，15，100），请测算“质量提升月”活动后这种产品的“二等品率“（一、二等品其占全部产品百分比）较活动前提高多少个百分点？（2）若企业每件一等品售价180元，每件二等品售价150元，每件三等品售价120元，以样本中的频率代替相应概率，现有一名联客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
【分析】（1）求出样本中一等品和二等品在样本中所占比例为80%，得到100件产品中三等品为15件，推出一、二等品率增加了5个百分点．
（2）随机变量X的所有可能取值为240，270，300，330，360．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
【解答】解：（1）根据抽样调查数据知，样本中一等品和二等品共有：（0.5+0.18+0.12）×100＝80（件）
在样本中所占比例为80%，
活动后产品三等品数Y近似满足Y～H（10，15，100），
所以100件产品中三等品为15件，一、二等品数为100﹣15＝85（件）合格率为85%，
所以一、二等品率增加了5个百分点．
（2）由样品估计总体知，该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
随机变量X的所有可能取值为240，270，300，330，360．
，
，
，
．
，
所以X的分布列为：
X 240 270 300 330 360
P（X）
X的数学期望．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列
21.伴随着科技的发展，人们的生活节奏也越来越快．听书，逐渐成为了爱阅读的人们的一种喜好，付费阅读也成为追求更高价值的途径之一．某网络公司组织统计了近五年来该公司参与付费听书的人数y；（单位：人）与时间t（单位：年）的数据，列表如下：t i 1 2 3 4 5
y i24 27 41 64 79
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式
参考数据≈75.47
（2））若节日期间营销部拟对平台商品进行新﹣﹣轮更新调整．针对某地拟购买该商品的消费群体进行了一个抽样调查，获得一个容量为200的样本，其中青年人有150人，中老年人有50人．在这些消费群体中，付费阅读的青年人有100人，中老年人有24人．
填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，付费阅读与年龄层次有关？
青年人中老年人合计付费阅读100 24
不付费阅读
合计200
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【分析】（1）直接利用相关系数公式求得r值，与0.75比较大小得结论；
（2）填写2×2列联表，求出K2的观测值k，结合临界值表得结论．
【解答】解：（1），，
＝852﹣705＝147，＝10，＝2278，
∴r＝＝≈0.97＞0.75，
∴可用线性回归模型拟合y与t的关系；
（2）填写2×2列联表如图：
青年人中老年人合计付费阅读100 24 124
不付费阅读50 26 76
合计150 50 200
K2的观测值k＝≈5.546＞5.024．
∴有97.5%的把握认为，付费阅读与年龄层次有关．
【知识点】线性回归方程
22.已知f n（x）＝C x k（n∈N*）．
（Ⅰ）计算f k（﹣1）的值；
（Ⅱ）若g（x）＝f4（x）+2f5（x）+3f6（x）+4f7（x），求g（x）中含x4项的系数；（Ⅲ）证明：＝．
【分析】（1）利用赋值法，令x＝﹣1即可算出答案．
（2）写出G（x）的展开表达式，即可找出x4系数的计算式．
（3）构造出关于（1+x）的多项式函数，计算其中的多项式系数，即可予以证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵
＝
＝（1+x）n﹣1，
∴f n（﹣1）＝﹣1；
∴；
（Ⅱ）g（x）＝f4（x）+2f5（x）+3f6（x）+4f7（x）
＝（1+x）4+2（1+x）5+3（1+x）6+4（1+x）7﹣10，
g（x）中的x4项的系数为；
（Ⅲ）设h（x）＝（1+x）m+1+2（1+x）m+2+…+n（1+x）m+n（x≠0与﹣1）①
则函数h（x）中含x m+1项的系数为
，
另一方面，由①×（1+x）得：（1+x）h（x）＝（1+x）m+2+2（1+x）m+3+…+n（1+x）m+n+1②，
①﹣②得：，
∴，
则h （x ）中含x m+1
项的系数为
，
，
∴得证
＝．
【知识点】二项式定理
高二年级下学期期末考试数学试题（二）
一、单选题
1．已知等比数列{}n a 中，121
2
a a +=，3134a a -=，则4=a （ ）
A ．1
8
-
B ．
18
C ．4-
D ．4
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a =5，则5S =（ ） A ．5
B ．25
C ．35
D ．50
3．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
4．观察下列式子:213122+
<，221151233++<，222111712344
+++<，…，则可归纳出()222111
1231n +
++⋅⋅⋅++小于（ ） A ．
1
n
n + B ．
21
1
n n -+ C ．
21
1
n n ++ D ．
21
n
n +
5．设曲线1
e x y ax -=-在点1x =处的切线方程为2y x =，则a =（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且
713n n S n T n -=，则5
5
a b =（ ） A ．
34
15
B ．
2310
C ．
317
D ．
62
27
7．已知函数()33
1
x
f x x e =
++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020212021f f f f ''+-+--的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知函数()()()
22
210,
0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e +∞ B ．(
)
2
e ,+∞
C ．(
)2
0,e
D ．()0,e
二、多选题
9．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >
D ．110S >
10．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A ．()()()f a f e f d >>
B ．函数()f x 在[],a b 上递增，在[],b d 上递减
C ．函数()f x 的极值点为c ，e
D ．函数()f x 的极大值为f b
11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路
B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C ．此人第二天走的路程比全程的
1
4
还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
12．已知数列{}n a 的前n 项和为2
n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）
A ．342n a n =-
B ．16S 为n S 的最小值
C ．1216272a a a +++=
D ．1230450a a a ++
+=
三、填空题
13．已知()2
()21f x x xf =+'，则()1f '等于__________.（用数字作答）
14．()f x 对任意x ∈R 都有()()1
12
f x f x +-=
.数列{}n a 满足：
()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫
=+++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11n f f n -⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
，则n a =__________.
15．已知32
()263f x x x =-+，对任意的2][2x ∈-，
都有()f x a ≤，则a 的取值范围为_______.
16．古代埃及数学中有一个独特现象：除2
3
用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式．例如211
5315
=+，可这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人
1
2，不够，每人13，余13，再将这13分2成5份，每人得115
，这样每人分得11315+．形如
)
*2(3,21
n n N n ∈-的分数的分解：2115315=+，211
7428=+，2119545=+，按此规律，则221
n =-________()
*3,n n N ∈．
四、解答题
17．已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足()2
41n n S a =+.
（1）求数列{}n a 的通项公式. （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．在①133a a b +=，②254b S b +=-，③194a a +=-这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中.若问题中的m 存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，设前n 项和为n T ，若 ， ，且1422,5b T T ==.是否存在大于2的正整数m ，使得
134,,m S S S 成等比数列？
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 19．已知数列{}n a 中，11a =，()*13
n
n n a a n N a +=
∈+ （1）证明：数列112n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是等比数列
（2）若数列{}n b 满足(
)312n n
n
n
n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n
T .
20．已知函数()()x x
f x a a R e
=
-∈ （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若方程()f x ＝0有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围. 21．设函数()2
1x
f x e ax x =---，a R ∈.
（1）0a =时，求()f x 的最小值.
（2）若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求a 的取值范围. 22．已知2
()2ln f x x x a x =-+.
（1）若函数()f x 在2x =处取得极值，求实数a 的值； （2）若()()g x f x ax =-，求函数()g x 的单调递增区间； （3）若2a =，存在正实数12,x x ，使得()()1212f x f x x x +=+成立，求12x x +的取
值范围. 答案解析
一、单选题
1．已知等比数列{}n a 中，121
2
a a +=，3134a a -=，则4=a （ ）
A ．1
8
- B ．
18
C ．4-
D ．4
【答案】A 【分析】
根据题意，将条件表示为1,a q 的形式，计算出1,a q ，再计算4a 即可. 【详解】
∵等比数列{}n a 中，121
2
a a +=
，3134a a -=，
∴11211123
4a a q a a q ⎧
+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，解得111,2a q ==-，
∴3
413
11128a a q ⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭
= ．
故选：A.
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a =5，则5S =（ ） A ．5 B ．25 C ．35 D ．50
【答案】B 【分析】
根据等差中项及等差数列求和公式即可求解. 【详解】
由题意可知，{}n a 为等差数列， 所以15355()52525
25222
a a a S +⨯⨯⨯==== 故选：B
3．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
【答案】D 【分析】
设该女子第一天织布x 尺，根据题意，求得5
31
x =尺，结合等比数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】
设该女子第一天织布x 尺，则5天共织布5
(12)
512
x -=-，解得531x =尺，在情境模拟下，。