吉林省长春市普通高中2018届高三一模考试数学（文）试题Word版含答案

吉林省长春市普通高中2018届高三一模考试数学（文）试题
Word版含答案
长春市普通高中2018届高三质量监测(一)
数学试题卷(文科)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合{}1,2,4A =，{}14,B x x x Z =??，则A B =( )
A ．{}2
B ．{}1,2
C ．{}2,4
D ．{}1,2,4
2.设i 为虚数单位，则()()11i i -++=( )
A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
3.已知圆22460x y x y +-+=的圆心坐标为(),a b ，则22a b +=( )
A ．8
B ．16
C ．12
D ．13
4.等差数列{}n a 中，已知6110a a +=，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为
( )
A ．6
B ．7 C.8 D ．9
5.已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )
A ．92，94
B ．92，86 C.99，86 D ．95，91
6.顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在y 轴上的角
a 的集合是( ) A ．2,2k k Z p a a p 禳镲=+?睚镲铪 B ．2,2k k Z p a a p 禳镲=-?睚镲铪
C.,2k k Z p a a p 禳镲=+?睚镲铪 D ．,2k k Z p a a 禳镲=?睚镲铪
7.下图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出
下列结论：
①一班的成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升.
其中正确结论的个数为( )
A．0 B．1 C.2 D．3
8.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈)，那么该刍甍的体积为( )
A．4立方丈 B．5立方丈 C.6立方丈 D．12立方丈
9.已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，6
AB=，BC=
锥O ABCD
-的体积为R等于( )
A．4 B．
10.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )
A ．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和
B ．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和
C.求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和
D.求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和
11.已知O 为坐标原点，设1F ，2F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线
的垂线，垂足为H ，则OH =( )
A ．1
B ．2 C.4 D ．12
12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x p +=-，当0,2
x p 轾?犏犏臌时，()f x ，则函数()()()1g x x f x p =--在区间3,32 p p 轾-犏犏臌上所有零点之和为( ) A ．p B ．2p C.3p D ．4p
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量()1,2a =，()2,1b =-，则a 与b 的夹角为．
14.函数()()
2ln 34f x x x =--的单调增区间为．
15.已知点(),P x y 位于y 轴，y x =，2y x =-三条直线所围成的封闭区域内(包括边界)，则2x y +的最大值为．
16.在ABC △中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1cos sin 2
b A B =，且a =6b
c +=，则ABC △的面积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，530S =，2616a a +=.
(1)求等差数列{}n a 的通项公式；
(2)求12111n
S S S +++…. 18.长春市“名师云课”活动自开展以为获得广大家长以及学子的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给广大学子，现对某一时段云课的点击量进行统计：
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数.
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[]0,1000
内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(]1000,3000内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中任意取出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率.
19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ^平面ABCD
，E 为PD 的中点
.
(1)证明：PB ∥平面AEC ；
(2)设1PA =，AD ，PC PD =，求三棱锥P ACE -的体积.
20.已知椭圆C 的两个焦点为()11,0F -，()21,0F ，且经过点E . (1)求椭圆C 的方程；
(2)过1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点(点A 位于x 轴上方)，若112AF F B =，求直线l 的斜率k 的值.
21.已知函数()x f x e a =-.
(1)若函数()f x 的图象与直线:1l y x =-，求a 的值；
(2)若()ln 0f x x ->恒成立，求整数a 的最大值.
22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐
标为()1,2，点M 的极坐标为3,2
p 骣琪琪桫，若直线l 过点P ，且倾斜角为6
p ，圆C 以M 为圆心，3为半径.
(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；
(2)设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ×.
23.设不等式112x x +--<的解集为A .
(1)求集合A ；
(2)若,,a b c R ?，求证：11abc
ab c ->-.
长春市普通高中2018届高三质量监测(一)
数学试题卷(文科)参考答案
一、选择题
1-5:BDDCB 6-10:CDBAC 11、12：AD
二、填空题 13.2p 14.()4,+?
15.3 16.三、解答题
17.(1)由题可知31
5302616a a d ì=?í+=??，从而有12a d ==，2n a n =. (2)由(1)知()1n S n n =+，1111
n S n n =-+，从而 12111111111122311
n n S S S n n n +++=-+-++=-=++……. 18.解：(1)根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.
(2)在(1)中选出的6节课中，设点击量在区间[]0,1000内的一节课为1A ，点击量在区间(]1000,3000内的三节课为123,,B B B ，点击量超过3000的两节课为12,C C ，从中选出两节课的方式有11A B ，12A B ，13A B ，11A C ，12A C ，12B B ，13B B ，11B C ，12B C ，23B C ，21B C ，23B C ，31B C ，32B C ，12C C ，共15种，
其中剪辑时间为40分钟的情况有11A C ，12A C ，12B B ，13B B ，23B C ，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率为51153
=. 19.解：(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，在PBD △中，
PE DE PB OE BO DO OE ACE PB ACE PB ACE üü=??Ty?=?t??剔yt∥平面∥平面平面.
(2)11111121244343P ACE P ACD P ABCD ABCD V V V S PA ---骣琪===鬃=状?琪桫平行四边形.
20.解：(1)由椭圆定义1224a EF EF =+=，有2a =，1c =
，b ，从而22
143
x y +=. (2)设直线():1l y k x =+，有()22114
3y k x x y ì=+??í?+=??，整理得2236490y y k k 骣琪+--=琪桫，设()11,A x y ，()22,B x y ，有122y y =-，()212122y y y y =+，2348k +=
，k =?
k . 21.解：(1)由题意可知，()f x 和1y x =-相切， ()'1f x =，则0x =，即()01f =-，解得2a =.
(2)现证明1x e x ?，设()1x F x e x =--，令()'10x F x e =-=，即0x =. 因此()()min 00F x F ==，即()0F x 3恒成立，即1x e x ?，同理可证ln 1x x ?. 由题意，当2a ￡时，21ln x e x x -??.
即2a =时，()()0f x g x ->成立，
不3a 3时，存在x 使3ln x e x -<，即3ln x e x -?不恒成立，因此整数a 的最大值为2.
22.解：(1)直线l
的参数方程为1122
x y t ì?=?í?=+??(t 为参数)，圆的极坐标方程为6sin r q =.
(2)
把1122x y t ì?=?í?=+??代入()2239x y +-=
，得)
2170t t +-=，∴127t t =-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则1PA t =，2PB t =，∴7PA PB ?.
23.解：(1)由已知，令()2,1112,112,1
x f x x x x x x ì3??=+--=-<<í?-，由()2f x <得{}11A x x =-<<.
(2)要证11abc ab c
->-，只需证1abc ab c ->-，只需证2222221a b c a b c +>+，只需证()2222211a b c a b ->-，只需证()()222110a b c -->，由,,a b c A ?，则()()222110a b c -->恒成立.。