史宁中数学核心素养
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什么是推理？ 是一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。
什么是命题？ 可以判断正确或者错误的陈述句。
三数、学命小题：学可数以判学断中正确的或者推错理误的陈述句
可以判断：下面陈述不是数学命题 这个三角形是美的
数学命题的两种形式：性质命题、关系命题
性质命题：A 是 P。 数是可以比较大小的。三角形内角和是180度。
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象） 2.逻辑推理（推理能力、运算能力） 3.数学模型（模型思想、数据分析观念）
1.数学抽象（义务教育阶段：符号意识、数感；几何直观、空间想象） 抽象对象：现实世界的数量与数量关系、图形与图形关系 抽象功能：得到数学的研究对象（概念、关系、规律） 抽象模式：舍去背景、保留关系、符号表达（更详细的？）
上海经验：一切课改最终要落实在课堂、落实于学生。教无定法。
应当建立教学常态：讲好一堂课的原则应当是什么？ 评价一堂课的标准应当是什么？
关于课堂教学，《中华人民共和国义务教育法》只提到一句话：
国家鼓励学校和教师采用启发式教育教学方法，提高教育教学质量。
因此原则和标准是：启发式教学。启发式教学是为了引发学生思考。正在修 改的《普通高中数学课程标准》明确指出：
演绎推理
类似命题：减去一个正数等于加上这个正数的相反数 减去一个正数比原来的数小
数学符号：b ＞ 0，则 a - b = a + (-b) 证明：因为“减法是加法逆运算”：
a - b = x ←→ a = b + x 由命题2，等式的两边分别加上（-b）等式不变：
a + (-b) = b + (-b) + x。 根据相反数的定义：a + (-b) = x。由命题 1：
高中阶段的数学核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学建模 直观想象、数学运算、数据分析
义教阶段的数学核心素养（核心词、核心概念） （数感、符号意识）、推理能力、模型思想 （几何直观、空间想象）、运算能力、数据分析观念
更为一般的数学素养：应用意识、创新意识、学会学习
设定数学核心素养的理由（三会） 会用数学的眼光观察现实世界 数学的眼光是什么：数学抽象（直观想象） 引发的数学特征：数学的一般性； 会用数学的思维思考现实世界 数学的思维是什么：逻辑推理（数学运算） 引发的数学特征：数学的严谨性； 会用数学的语言表达现实世界 数学的语言是什么：数学模型（数据分析） 引发的数学特征：数学应用的广泛性。
几何前提：基本事实。
数与代数前提： 命题1 等式（不等式）关系具有传递性
a = b (a ﹥ b），b = c (b ﹥ c） → a = c (a ﹥ c） 命题2 等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变
a = b (a ﹥ b） → a + c = b + c (a + c ﹥ b + c）
运算程式（直接通分） 1 5 1 6 5 4 6 20 26 4 + 6 = 4 6 = 24 = 24
归纳推理
通过归纳探究成因：计算方法规定的缘由（通过经验）
混合运算 为什么要先乘除后加减？为什么 3 + 2 × 6 = 3 + 12 = 18
举例说明 操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排。 问现在操场上有多少名同学？
义务教育阶段，主要体现在下述性质、规律 数量与关系：正比例、反比例；方程、不等式、函数；随机现象 图形与关系：平移、旋转、轴对称；平行线；全等；直角坐标系
什么样的推理是有逻辑的？ 下面三个推理是否有逻辑 1.因为两点间直线段最短，所以三角形两边之和大于第三边。 2.三角形内角和180度，因为180度是平角，所以三角形是平角。 3.因为两个偶数的和是偶数，所以和为偶数的两个数必为偶数。
x + (-b) – (-b) = a – (-b) 因为同数相减为 0：x = a – (-b)。由命题1：
a - (-b) = a + b
演演绎绎推推理：理验证结论。因为论证形式是：
已知 A 求证 B 其中 A 和 B 都是确定性命题，没有新的知识。需要归纳推理。
归纳推理：发现结论。推理主要表现在： 从条件预测结果的推理 从结果探究成因的推理
工程模型、植树模型
三、如何在小学数学教学评价中考查数学核心素养
教育质量监测的四个原则 1.不要求计算速度（速度的训练是课业负担重的主要原因） 2.监测内容蕴含的数学素养（概念、推理、计算、想象） 3.应当有一道开放题（超市的位置，加分原则） 4.说学生能懂的话（对可能性的理解）
谢谢各位！
小学阶段通过抽象得到基本概念（关系、法则） 得到概念的两种方法：对应方法（名义）、内涵方法（实质）。
核心素养。明确要求：修改课程标准，要把学科核心素养贯穿始终。 北师大研究小组定义核心素养：是指学生应具备的、能够适应终身发
展和社会发展需要的必备品格和关键能力。 高中数学课标修订组定义数学核心素养：是具有数学基本特征的、适
应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与思维 品质。
后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的 知识、能力和态度，涉及人与社会、人与自己、人与工具。
义务教育阶段，主要体现在下述基本概念和运算法则
数量与关系：自然数、整数、分数、小数；运算、方程 图形与关系：点、线、面、体、角；长度、面积、体积
如何理解数感？ 数是对数量的抽象，抽象的核心是舍去现实背景； 数感是对数的感悟，感悟的核心是回归现实背景。 感悟数100：100粒黄豆、100匹马（感觉不同） 100元钱去超市、100元钱去买房（场合不同）
内涵：□□□←□ 3 + 1 = 4 ？ 4=3+1→ 3+1=4
对应： □□
→ 3+1=4
理解等号的意义：等号两边讲两个故事，两个故事量相等。 方程的定义？
运算的关键在于数位（计数单位）： 只有基于同样单位才能比较大小、才能进行计算
大数相乘：3百 × 5百 = 3 × 5 · 百×百 = 15万 分数相加：通分是为了得到同样单位（1/3、1/5 → 1/15）
归纳类比：从特殊到一般的推理（从经验到未经验）。 苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图有死，所以凡人都有
死。 结果是或然成立的，用于发现结论。比如：
苏格拉底不到80岁死去，柏拉图不到80岁死去，所以凡人不到80岁死去。
演绎推理
演绎前提：同一律： a = a 矛盾律： a → P 和 a → Pc 不能同时成立 排中律： a → P 和 a → Pc 必有一个成立
关系命题：如果 A 是 P，那么 A 是 Q。 如果两个数是偶数，那么这两个数的和也为偶数。 如果三条线段可以构成一个三角形，那么其中任意两 条线段的长度之和必然大于第三条线段的长度。
逻辑推理：具有传递性的推理。有两种形式
演绎推理：从一般到特殊的推理（大范围到小范围）。 凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 结果是必然成立的，用于验证结论。
计算缘由 现在同学数 = 原来同学数 + 后来同学数 =3+2× 6
得到结论 混合运算讲两个以上故事，先乘除后加减是一个故事 一个故事的计算。
四3、.数小学学模数型学（模中型的思模想型、数据分析观念）
课标中主要要求两个模型 总量模型（加法模型）
与时间无关：总量 = 部分 + 部分、部分 = 总量–部分 与时间有关：现在 = 过去 + 变化、将来 = 现在 +变化 路程模型（乘法模型） 有一个量纲：总价 = 单价×个数 有两个量纲：路程 = 速度×时间、速度 = 路程 / 时间
数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考。
启发学生自己的思考，帮助积累活动经验，让学生： 会用数学的眼光观察现实世界、 会用数学的思维思考现实世界、 会用数学的语言表达现实世界。
这是数学教育的终极目标，也是制定数学核心素养的依据。
综上所述，数学教学活动应当秉承这样的基本理念： 把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，提出合理的问题，启发
用对应方法认识负数：与自然数数量相等、意义相反。 以后用内涵的方法：自然数是一个一个多起来的（后继数）
1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1， 同时也定义了加法。
如何认识 10000 ? 10个1000？10个千？ 比 9999 多 1（读法可以不同，符号表达一致）
演绎推理
问题：如何定义有理数的加法？
必须让学生感悟：加上一个正数比原来的数大。 符号表示：对任意的数 a 和正数 b， a + b ＞ a。
证明：因为 b 为正数，所以 b ＞0
在不等式两边分别加上 a，由命题 2 得到 a + b ＞a
所以结论成立。 类似方法可以证明对称命题：加上一个负数比原来的数小。
独立思考、与他人交流，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学内容的 本质，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。
掌握知识 ↗ 提高能力 ↗ 发展素养
一、什么是数学核心素养 二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 三、如何在小学数学教学评价中考查数学核心素养
一、什么是数学核心素养 文件《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务》提到
读数的关键有两条：十个符号 + 数位。 如何读 2002？
数位与数不同
数位：个(ones)、十(tens) 因为是十进制，所以 “十”是十个“个”、“万”是十个“千”
数：借助数位表达 因为是一个一个多起来的，所以 10 = 9 + 1，10000 = 9999 + 1
问题：运算的本质是什么、运算的关键是什么 运算的本质是加法：四则运算源于加法 如何理解加法。与数一样，有两种抽象方法：对应、内涵。
如何理解估算？ 在本质上，精算是对数的运算、估算是对数量的运算 估算需要背景（场合与量纲：课桌、教室、操场、县城） 估算需要原则（课标例26李阿姨买鱼：够不够、能不能）
抽象小结 抽象出数学研究对象的概念（符号）、关系、法则（度量） 把数量和数量关系、图形与图形关系抽象到数学内部
概念：自然数、整数、分数、小数；点、线、面、体、角 关系：三种关系（数量关系、图形关系、随机关系） 运算：四则运算；距离、面积、体积
方法：2/3 + 3/5 = (2× 5 + 3× 3) / 3× 5 ? 原理：2/3 + 3/5 = (2× 5)/(3× 5) + (3× 3)/(5× 3) 小数相乘：数量乘数量、单位乘单位
0.23 × 0.2 = (23× 2 )· (0.01× 0.1) = 46 · 0.001 = 0.046
抽象的东西不是具体的存在：现实中没有 2，只有具体的两匹马、两头牛 而是理念的存在：苹果、足球 → 看到的圆 → 头脑中的圆
郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。
2. 逻辑推理（推理能力、运算能力）
推理对象：研究对象的性质、关系之间的规律 推理功能：得到数学的结论（命题、模式、结构） 推理模式：通过归纳类比猜想命题、通过演绎推理验证命题
建议：开始用对应的方法（重在感悟） 以后用内涵的方法（重在理解）
问题：数是什么、数的本质是什么、表示数的关键是什么 素养：符号意识、数感
概念：数是一种符号的表达，数是对数量的抽象。 关系：数量的本质是多与少，数的本质是大与小。
开始用对应的方法： 三个苹果、三只鸡 → □□□ ←→ 3 （形式上去掉后缀名词、实质上舍去物理属性）
a - b = x = a + (-b)
演绎推理
类似命题：减去一个负数等于加上这个负数的相反数 减去一个负数等于加上一个正数 减去一个负数比原来的数大
符号表示： b ＞ 0，则 a - (-b) = a + b 证明：令 x = a + b。等式两边加 b 的相反数 -b ，由命题2：
x + (-b) = a + b + (-b) = a 上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2：
归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西 从小范围成立的命题推断更大的范围类似命题
在数学教育中没有归纳推理，不利于培养创新人才。
归纳推理
通过归纳得到程式：计算程式、运算法则（从经验到一般） 分数加法： 1 5
46 运算道理（同样单位）
1 5 1 6 5 4 6 20 6 20 26 4 + 6 = 4 6 + 6 4 = 24 + 24 = 24 = 24
什么是命题？ 可以判断正确或者错误的陈述句。
三数、学命小题：学可数以判学断中正确的或者推错理误的陈述句
可以判断：下面陈述不是数学命题 这个三角形是美的
数学命题的两种形式：性质命题、关系命题
性质命题：A 是 P。 数是可以比较大小的。三角形内角和是180度。
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象） 2.逻辑推理（推理能力、运算能力） 3.数学模型（模型思想、数据分析观念）
1.数学抽象（义务教育阶段：符号意识、数感；几何直观、空间想象） 抽象对象：现实世界的数量与数量关系、图形与图形关系 抽象功能：得到数学的研究对象（概念、关系、规律） 抽象模式：舍去背景、保留关系、符号表达（更详细的？）
上海经验：一切课改最终要落实在课堂、落实于学生。教无定法。
应当建立教学常态：讲好一堂课的原则应当是什么？ 评价一堂课的标准应当是什么？
关于课堂教学，《中华人民共和国义务教育法》只提到一句话：
国家鼓励学校和教师采用启发式教育教学方法，提高教育教学质量。
因此原则和标准是：启发式教学。启发式教学是为了引发学生思考。正在修 改的《普通高中数学课程标准》明确指出：
演绎推理
类似命题：减去一个正数等于加上这个正数的相反数 减去一个正数比原来的数小
数学符号：b ＞ 0，则 a - b = a + (-b) 证明：因为“减法是加法逆运算”：
a - b = x ←→ a = b + x 由命题2，等式的两边分别加上（-b）等式不变：
a + (-b) = b + (-b) + x。 根据相反数的定义：a + (-b) = x。由命题 1：
高中阶段的数学核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学建模 直观想象、数学运算、数据分析
义教阶段的数学核心素养（核心词、核心概念） （数感、符号意识）、推理能力、模型思想 （几何直观、空间想象）、运算能力、数据分析观念
更为一般的数学素养：应用意识、创新意识、学会学习
设定数学核心素养的理由（三会） 会用数学的眼光观察现实世界 数学的眼光是什么：数学抽象（直观想象） 引发的数学特征：数学的一般性； 会用数学的思维思考现实世界 数学的思维是什么：逻辑推理（数学运算） 引发的数学特征：数学的严谨性； 会用数学的语言表达现实世界 数学的语言是什么：数学模型（数据分析） 引发的数学特征：数学应用的广泛性。
几何前提：基本事实。
数与代数前提： 命题1 等式（不等式）关系具有传递性
a = b (a ﹥ b），b = c (b ﹥ c） → a = c (a ﹥ c） 命题2 等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变
a = b (a ﹥ b） → a + c = b + c (a + c ﹥ b + c）
运算程式（直接通分） 1 5 1 6 5 4 6 20 26 4 + 6 = 4 6 = 24 = 24
归纳推理
通过归纳探究成因：计算方法规定的缘由（通过经验）
混合运算 为什么要先乘除后加减？为什么 3 + 2 × 6 = 3 + 12 = 18
举例说明 操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排。 问现在操场上有多少名同学？
义务教育阶段，主要体现在下述性质、规律 数量与关系：正比例、反比例；方程、不等式、函数；随机现象 图形与关系：平移、旋转、轴对称；平行线；全等；直角坐标系
什么样的推理是有逻辑的？ 下面三个推理是否有逻辑 1.因为两点间直线段最短，所以三角形两边之和大于第三边。 2.三角形内角和180度，因为180度是平角，所以三角形是平角。 3.因为两个偶数的和是偶数，所以和为偶数的两个数必为偶数。
x + (-b) – (-b) = a – (-b) 因为同数相减为 0：x = a – (-b)。由命题1：
a - (-b) = a + b
演演绎绎推推理：理验证结论。因为论证形式是：
已知 A 求证 B 其中 A 和 B 都是确定性命题，没有新的知识。需要归纳推理。
归纳推理：发现结论。推理主要表现在： 从条件预测结果的推理 从结果探究成因的推理
工程模型、植树模型
三、如何在小学数学教学评价中考查数学核心素养
教育质量监测的四个原则 1.不要求计算速度（速度的训练是课业负担重的主要原因） 2.监测内容蕴含的数学素养（概念、推理、计算、想象） 3.应当有一道开放题（超市的位置，加分原则） 4.说学生能懂的话（对可能性的理解）
谢谢各位！
小学阶段通过抽象得到基本概念（关系、法则） 得到概念的两种方法：对应方法（名义）、内涵方法（实质）。
核心素养。明确要求：修改课程标准，要把学科核心素养贯穿始终。 北师大研究小组定义核心素养：是指学生应具备的、能够适应终身发
展和社会发展需要的必备品格和关键能力。 高中数学课标修订组定义数学核心素养：是具有数学基本特征的、适
应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与思维 品质。
后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的 知识、能力和态度，涉及人与社会、人与自己、人与工具。
义务教育阶段，主要体现在下述基本概念和运算法则
数量与关系：自然数、整数、分数、小数；运算、方程 图形与关系：点、线、面、体、角；长度、面积、体积
如何理解数感？ 数是对数量的抽象，抽象的核心是舍去现实背景； 数感是对数的感悟，感悟的核心是回归现实背景。 感悟数100：100粒黄豆、100匹马（感觉不同） 100元钱去超市、100元钱去买房（场合不同）
内涵：□□□←□ 3 + 1 = 4 ？ 4=3+1→ 3+1=4
对应： □□
→ 3+1=4
理解等号的意义：等号两边讲两个故事，两个故事量相等。 方程的定义？
运算的关键在于数位（计数单位）： 只有基于同样单位才能比较大小、才能进行计算
大数相乘：3百 × 5百 = 3 × 5 · 百×百 = 15万 分数相加：通分是为了得到同样单位（1/3、1/5 → 1/15）
归纳类比：从特殊到一般的推理（从经验到未经验）。 苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图有死，所以凡人都有
死。 结果是或然成立的，用于发现结论。比如：
苏格拉底不到80岁死去，柏拉图不到80岁死去，所以凡人不到80岁死去。
演绎推理
演绎前提：同一律： a = a 矛盾律： a → P 和 a → Pc 不能同时成立 排中律： a → P 和 a → Pc 必有一个成立
关系命题：如果 A 是 P，那么 A 是 Q。 如果两个数是偶数，那么这两个数的和也为偶数。 如果三条线段可以构成一个三角形，那么其中任意两 条线段的长度之和必然大于第三条线段的长度。
逻辑推理：具有传递性的推理。有两种形式
演绎推理：从一般到特殊的推理（大范围到小范围）。 凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 结果是必然成立的，用于验证结论。
计算缘由 现在同学数 = 原来同学数 + 后来同学数 =3+2× 6
得到结论 混合运算讲两个以上故事，先乘除后加减是一个故事 一个故事的计算。
四3、.数小学学模数型学（模中型的思模想型、数据分析观念）
课标中主要要求两个模型 总量模型（加法模型）
与时间无关：总量 = 部分 + 部分、部分 = 总量–部分 与时间有关：现在 = 过去 + 变化、将来 = 现在 +变化 路程模型（乘法模型） 有一个量纲：总价 = 单价×个数 有两个量纲：路程 = 速度×时间、速度 = 路程 / 时间
数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考。
启发学生自己的思考，帮助积累活动经验，让学生： 会用数学的眼光观察现实世界、 会用数学的思维思考现实世界、 会用数学的语言表达现实世界。
这是数学教育的终极目标，也是制定数学核心素养的依据。
综上所述，数学教学活动应当秉承这样的基本理念： 把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，提出合理的问题，启发
用对应方法认识负数：与自然数数量相等、意义相反。 以后用内涵的方法：自然数是一个一个多起来的（后继数）
1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1， 同时也定义了加法。
如何认识 10000 ? 10个1000？10个千？ 比 9999 多 1（读法可以不同，符号表达一致）
演绎推理
问题：如何定义有理数的加法？
必须让学生感悟：加上一个正数比原来的数大。 符号表示：对任意的数 a 和正数 b， a + b ＞ a。
证明：因为 b 为正数，所以 b ＞0
在不等式两边分别加上 a，由命题 2 得到 a + b ＞a
所以结论成立。 类似方法可以证明对称命题：加上一个负数比原来的数小。
独立思考、与他人交流，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学内容的 本质，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。
掌握知识 ↗ 提高能力 ↗ 发展素养
一、什么是数学核心素养 二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 三、如何在小学数学教学评价中考查数学核心素养
一、什么是数学核心素养 文件《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务》提到
读数的关键有两条：十个符号 + 数位。 如何读 2002？
数位与数不同
数位：个(ones)、十(tens) 因为是十进制，所以 “十”是十个“个”、“万”是十个“千”
数：借助数位表达 因为是一个一个多起来的，所以 10 = 9 + 1，10000 = 9999 + 1
问题：运算的本质是什么、运算的关键是什么 运算的本质是加法：四则运算源于加法 如何理解加法。与数一样，有两种抽象方法：对应、内涵。
如何理解估算？ 在本质上，精算是对数的运算、估算是对数量的运算 估算需要背景（场合与量纲：课桌、教室、操场、县城） 估算需要原则（课标例26李阿姨买鱼：够不够、能不能）
抽象小结 抽象出数学研究对象的概念（符号）、关系、法则（度量） 把数量和数量关系、图形与图形关系抽象到数学内部
概念：自然数、整数、分数、小数；点、线、面、体、角 关系：三种关系（数量关系、图形关系、随机关系） 运算：四则运算；距离、面积、体积
方法：2/3 + 3/5 = (2× 5 + 3× 3) / 3× 5 ? 原理：2/3 + 3/5 = (2× 5)/(3× 5) + (3× 3)/(5× 3) 小数相乘：数量乘数量、单位乘单位
0.23 × 0.2 = (23× 2 )· (0.01× 0.1) = 46 · 0.001 = 0.046
抽象的东西不是具体的存在：现实中没有 2，只有具体的两匹马、两头牛 而是理念的存在：苹果、足球 → 看到的圆 → 头脑中的圆
郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。
2. 逻辑推理（推理能力、运算能力）
推理对象：研究对象的性质、关系之间的规律 推理功能：得到数学的结论（命题、模式、结构） 推理模式：通过归纳类比猜想命题、通过演绎推理验证命题
建议：开始用对应的方法（重在感悟） 以后用内涵的方法（重在理解）
问题：数是什么、数的本质是什么、表示数的关键是什么 素养：符号意识、数感
概念：数是一种符号的表达，数是对数量的抽象。 关系：数量的本质是多与少，数的本质是大与小。
开始用对应的方法： 三个苹果、三只鸡 → □□□ ←→ 3 （形式上去掉后缀名词、实质上舍去物理属性）
a - b = x = a + (-b)
演绎推理
类似命题：减去一个负数等于加上这个负数的相反数 减去一个负数等于加上一个正数 减去一个负数比原来的数大
符号表示： b ＞ 0，则 a - (-b) = a + b 证明：令 x = a + b。等式两边加 b 的相反数 -b ，由命题2：
x + (-b) = a + b + (-b) = a 上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2：
归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西 从小范围成立的命题推断更大的范围类似命题
在数学教育中没有归纳推理，不利于培养创新人才。
归纳推理
通过归纳得到程式：计算程式、运算法则（从经验到一般） 分数加法： 1 5
46 运算道理（同样单位）
1 5 1 6 5 4 6 20 6 20 26 4 + 6 = 4 6 + 6 4 = 24 + 24 = 24 = 24