【全国百强校】四川省成都市第七中学2018-2019学年高二下学期第9周周末练习数学(文)答案

成都七中高2020 届高二下期第9 周数学周末练习（文科）参考答案
一、选择题
1.C
2.D
3.B
4.B
5.D
6.C
7.A
8.B
9.A 10.A 11.D 12.A 二、填空题
13.3,14.8cm15.10
16. (2??+
1 10??,+∞) ．
三、解答题
17. 解：（ 1）由z234i ， z3z1 z255 i；
z1 z22
（ 2）由z412i，设 z x yi (x, y R) ，则z z4=1表示复平面上半径为1，圆心为(1, 2)的圆，所求z 即求圆上动点( x, y) 到原点O的距离，故取值范围是5 1, 5 1 .
18.解：将 n=1， 2，3 分别代入等式得方程组．
a16
a12a224，
a12a23a360
解得 a1=6， a2=9， a3=12，则 d=3 ．
故存在一个等差数列a n=3 n+3，当 n=1，2， 3 时，已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n=3n+3，对一切自然数等式
a1 +2a2 +3a3+ +na n=n(n+1)( n+2) 都成立．
①因为起始值n=1 已证，可证第二步骤；
②假设 n k(k N ) 时，等式成立，即a1+2 a2+3a3 + +ka k=k(k+1)( k+2) ，
那么当 n=k+1 时， a1 +2a2+3a3+ +ka k +(k+1)a k+1= k(k+1)( k+2)+ ( k+1)[3( k+1)+3]
=( k+1)( k2+2k+3k+6)=( k+1)( k+2)( k+3)=( k+1)[( k+1)+1][( k+1)+2]
这就是说，当n=k+1 时，也存在一个等差数列a n=3n+3 使 a1+2a2+3a3+ +na n=n( n+1)( n+2) 成立．由①②，综合上述，可知存在一个等差数列a n=3n+3，对任何自然数n，等式
a1 +2a2 +3a3+ +na n=n(n+1)( n+2) 都成立．
19.解：以 DA 、DC、 DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系（如图），
设 AD =a，则 D （0， 0， 0）、 A（ a,0,0 ）、 B(a,a,0)、 C(0,a,0) E(a,a a a a
,0) 、F(,,) 、 P(0,0, a). 2222
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（1）
EF DC
( a ,0, a
) (0,a,0) 0, EF
DC.
2 2
（2） 设G( x,0, z),则
G
平面 PAD.
FG
( x
a a , z a
,
2 ),
2
2
FG CB
(x
a , a a (a,0,0)
a( x
a 0, x
a
2, z
) )
;
2
2
a 2 2
2
FG CP
(x
a , a
, z a ) (0, a, a) a(z
a ) 0, z 0.
2 2 2
2
2
G 点坐标为 ( a
,0,0), 即 G 点为 AD 的中点 .
2
（3）设平面 DEF 的法向量为 n
( x, y, z).
n DF 0,
( x, y, z) ( a , a , a
) 0,
2 2
2
由
得
a n DE
( x, y, z)
0,
(a, ,0)
2
a
( x y z) 0,
即 2
取 x 则 2, z 1,
a y
1, y
ax 0.
2
又 DP (0,0,a),
n (1, 2,1). 则d DP n 1 6 .
n
6 6
20. 解：
(1) 函数 f(x)的定义域为 (－ ∞，＋ ∞)，且 a ≤ 0.
2 xx
2
＝(2e xx
由 f ′(x)＝ 2e － ae － a ＋ a)(e － a).
2x
②若 a<0，则由 f ′(x)＝ 0，得 x ＝ ln － a
①若 a ＝ 0，则 f(x)＝ e ，在 (－ ∞，＋ ∞)上单调递增 . 2 .
当 x ∈ －∞，ln －
a
时， f ′(x)<0 ；
当 x ∈ ln － a
，＋ ∞ 时， f ′(x)>0.
2
2
故 f (x) 在 －∞，ln －
a
上单调递减，
在区间 ln － a
，＋ ∞ 上单调递增 .
2
2
综上所述，当 a ＝ 0 时， f( x)在 R 上单调递增；
当 a<0 时， f(x)在 － ∞， ln －
a
上单调递减；在
ln － a
，＋ ∞ 上单调递增 .
2
2
(2) ①当 a ＝ 0 时， f( x) ＝ e 2x ≥ 0 恒成立 .
②若 a<0 ，则由 (1) 得，当 x ＝ ln － a
时， f(x)取得最小值，最小值为
f ln －
a
＝ a 2
3－ ln －
a
，
2 2 4
2
共3页 第2页
3 a
3
2
－ln － ≥ 0，即 0> a ≥－ 2e 4 时， f(x)≥0.
故当且仅当 a
4
2
3
综上， a 的取值范围是 [ － 2e 4， 0].
21. 解： (1) 依题意， 以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 (如图所示 )，则点 C 的
横坐标为 x ，点 C 的纵坐标 y 满足方程
x
2
2
r 2－ x
2
(0 ＜ x ＜ r )．
＋ y
＝ 1(y ≥0)，即 y ＝ 2
r 2 4r 2
1
S ＝2(2x ＋ 2r ) ·2 r 2－x 2＝ 2(x ＋ r) · r 2 － x 2，其定义域为 { x|0＜ x ＜ r } ． (2) 记 f(x) ＝ 4(x ＋ r)2(r 2－ x 2 )， 0＜x ＜ r ，
则 f ′(x)＝ 8(x ＋ r)2(r － 2x) ．令 f ′(x)＝ 0，得 x ＝ 1
r. 2
因为当 0＜ x ＜ r 时， f ′(x)＞ 0；当 r
＜ x ＜r 时， f ′(x)＜ 0，
2 2
1
所以 f( r) 是 f (x)的最大值．
因此，当
1 时， S 也取得最大值，最大值为
f
1 3 3 2
. 故梯形面积
3 3 2
.
x ＝ r
r ＝
2 r S 的最大值为
r
2
2
2
22. 解：（ 1） f ( x) 的定义域为 ( , ) ， f (x)
e x a ，
当 a 0 时，有 f (x) 0 ，得 f (x) 是 R 上的增函数，顶多一个零点，与题意不符，故舍去；
当 a
0 时，设 f ( x)
e x a
0 ，得极小值点 x
ln a ，
∴ f ( x) 在 ( ,ln a) 单减，在 (ln a, ) 单增，欲使函数有两个不同零点，只需极小值
f (ln a) 0 ，
即 y min
2a a ln a 0 ，∵ a
0 ，故 a e 2 ；
（ 2）易知 g( x) 的定义域为 (
,
) ， x 1 , x 2 R ，不妨设 x 1
x 2 ，由 m k AB
g( x 2 )
g(x 1)
，
x 2 x 1
得 g( x 2 ) g (x 1) m( x 2 x 1 ) ，整理可得 g( x 2 ) mx 2 g (x 1) mx 1 ，
设函数 h( x)
g( x) mx ，由 h( x 2 ) h( x 1) ，可推出函数 h( x) 在 (
, ) 上是增函数，
∴ h ( x) 0 在 R 上恒成立；而 h( x) g (x) mx ，得 h ( x) g (x) m
0 ，即 m
g ( x) ，
即 m
g ( x)min 对任意的 x ( , ) 恒成立，
又 g( x)
f (x)
a ，∴ g (x) f (x)
a
e
x
(
a x a
a ( a)
x
e x ) a 2 e ( x
) a 2
e x
e
e
又 2
a
( a)
( a )2
2 a 1 1
a
1 2
1 3(a
1) ，故 g (x)min 3 ，∴ m 3 ．
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