【沪科版】八年级数学下册：18.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用教案

第2课时 勾股定理的逆定理的应用
1．熟练掌握勾股定理及其逆定理；(重点)
2．能灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．(难点)
一、情境导入
有一块空白地，∠ADC ＝90°，CD ＝6m ，
AD ＝8m ，AB ＝26m ，BC ＝24m.现计划在该空地上进行绿化，若平均每平方米投资100元，那么该空白地的绿化需要投入多少钱？
二、合作探究
探究点：勾股定理的逆定理的应用 【类型一】
求边长
如图，在△ABC 中，AB ＝17，∠
C ＝60°，
D 是BC 上一点，且BD ＝15，AD ＝8，求AC .
解析：在△ADC 中，已知一边及其对角，
要求另一边．若△ADC 不是特殊三角形，则
难以求解．因此，必须首先判定△ADC 的形
状，然后再解决计算问题．
解：在△ADB 中，AD 2
＋BD 2
＝82
＋152
＝172＝AB 2.由勾股定理的逆定理可知，△ADB 为直角三角形，所以∠ADB ＝90°，所以∠ADC ＝90°.
在Rt △ADC 中，因为∠C ＝60°，所以
∠CAD ＝30°.设DC ＝x ，则AC ＝2x .由勾股定理，得x 2＋82＝(2x )2，即3x 2＝64.
所以x ＝83
3
(负值舍去)，故AC ＝2x ＝
163
3.
方法总结：利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时，一般先比较出三条边的大小(若是具体的数值很容易发现；若是一个整式常用作差的方法来确定三条边的大小)，再通过勾股定理的逆定理进行判断．
【类型二】 求角度
如图，已知AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝23，则∠DAB ＝______．
解析：欲求∠DAB ，须先把它转化为三
角形的内角或几个内角和．连接AC ，易知
△ABC 为等腰直角三角形，则∠BAC ＝45°.
从而，欲求∠DAB 的大小，只需求出∠DAC
的大小．在Rt △ABC 中，由勾股定理，得
AC ＝2 2.在△ACD 中，AC 2＋AD 2＝(22)2＋22＝12＝(23)2＝CD 2，由勾股定理的逆定理可知△ACD 为直角三角形，∠DAC ＝90°.
所以∠DAB＝∠BAC＋∠DAC＝45°＋90°＝135°.故填135°.
方法总结：本题从构造三角形，判定为直角三角形，到勾股定理的应用，充分体现了勾股定理及其逆定理的相互结合，相辅相成．
【类型三】求面积
如图，AD⊥CD，AB＝13，BC＝
12，CD＝3，AD＝4，求四边形ABCD的面
积．
解析：四边形ABCD由两个三角形组
成，其中△ACD是已知的直角三角形，面积
易求．而已知△ABC的两边，形状未知，因
此要求其面积，要先应用勾股定理的逆定理
来判定它是直角三角形．由于已知△ABC的
两边，需要求出第三边，这可在△ACD中用
勾股定理求出，最后再求出两个直角三角形
的面积，即可得到答案．
解：∵AD⊥CD，CD＝3，AD＝4，
∴由勾股定理得AC＝5.在△ABC中，∵AB
＝13，BC＝12，AC＝5，AC2＋BC2＝AB2.
∴由勾股定理逆定理可知△ABC是直角三
角形，∠ACB＝90°，∴S△ACD＝
1
2×3×4＝6，
S△ABC＝
1
2×5×12＝30.∴S四边形ABCD＝S△ACD
＋S△ABC＝6＋30＝36.
【类型四】勾股定理逆定理的实际应
用
如图，是一农民建房时挖地基的
平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测
量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝
6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验
一下挖的是否合格？
解析：把实际问题转化成数学问题来解
决，运用直角三角形的判别条件，验证它是
否为直角三角形．
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，
∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又
∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠
ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．
方法总结：解答此类问题，一般是根据
已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断
一个三角形是否是直角三角形，然后再作进
一步解答．
【类型五】运用勾股定理逆定理解决
方位角问题
如图，南北向MN为我国领海线，
即MN以西为我国领海，以东为公海，上午
9时50分，我国反走私艇A发现正东方有
一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海
开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国
反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇
C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5
海里；反走私艇B测得距离走私艇C12海
里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么
时候进入我国领海？
解析：已知走私艇的速度，求出走私艇离我国领海线的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私艇离我国领海线的距离，根据题意，CE 即为走私艇所走的路程．由题意可知，△ABE 和△ABC 均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．
解：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC ＝90°.∵AB 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我国领海的最短距离是CE .由S △ABC ＝12AB ·BC ＝1
2AC ·BE ，
得BE ＝60
13海里．由CE 2＋BE 2＝122，得CE
＝14413海里，∴14413÷13＝144
169≈0.85(小时)＝51(分钟)，9时50分＋51分＝10时41分． 答：走私艇C 最早在10时41分进入我国领海．
方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言．
三、板书设计
本节课教学过程中不断帮助学生构建知识体系，所以本节课对知识的归纳总结不仅没有局限于本章所学内容，而且还引导学生对直角三角形的性质和判定方法做了归纳总结．由于学生对于两个定理的直接应用有了一定的基础，所以本节课的安排以灵活应用为主，循序渐进、由易到难设计例题和练习，收到了较好的教学效果.。