贝塞尔函数
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第五章 贝塞尔函数
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导 出贝塞尔方程； ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解 的性质。
稳恒状态圆域上热传导问题—欧拉方程。
瞬时状态圆域上热传导问题—贝塞尔方程。
5.1 贝塞尔方程的引入
5.1 贝塞尔方程的引入
设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上 温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温 度分布规律。
k
0
[c(ckk
)2(c
n2ka1k )a(ck 2
k)0
(
xk2
n22,)3],ak
x
c
k
0
5.2 贝塞尔方程的求解
由选c取akak0z221kn n22a1znnka2z1kk
ak 2
(
得
p
0取c=n
e 0
x
x
p1dx
)
n由mna1 m01 an12a(n31) (n1a) 2k1n0m 1
5.2 贝塞尔方程的求解
取指标
c
n,
a0
1
2n n 1 得方程的另一特解
Jn
x
m0
1
m
1 2n2m m!
1 n m 1
xn2m
m0
m!
1m n m
1
(
x 2
)
n2
m
结论：当 n 不为整数时, Jn x和 Jn x 线性无关．
所以方程的通解可以表示为
y AJn x BJn x
2
V 0
0 R
V | R 0
5.1 贝塞尔方程的引入
再次分离变量,令 V , P ,代入化简得
P" ( ) 1 P ' ( )
1
2
P
"(
)
P
(
)
0
2 P" P ' "( ) 2 0
P
P
引入参数 分解
" 0
2P" P' 2 P 0
5.1 贝塞尔方程的引入
x2k 22k (k !)2
则
d dx
[ xJ
1
x]
xJ
0
x
5.4 贝塞尔函数的递推公式
一般的, 有
d dx
[xn
Jn
x]
xn
J n1 x
d dx
[
x
n
J
n
x]
x
n
J
n1
x
上面两式左边的导数求出来, 并经过化简,则得
xJ'n x nJn x xJn1x
xJ'n x nJn x xJn1x
5.4 贝塞尔函数的递推公式
f
r
m1
Am J n
n
m
R
r
其中
Ak
R2 2
1
J
2 n1
n
k
R 0
rf
rJ n
n
k
R
r dr
５.6 应用举例
５.６ 应用举例
例1 设有半径为1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘， 边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度 分布为1-r2，其中 r 为圆盘内任一点的极半径， 求圆盘的温度分布规律。
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
由于在Y本n 章0 开始，,我由们条从件薄|圆P盘(0)温|度分知布的D 定0解,问
题从中而，导出了贝塞尔方程的特征值问题：
Jn R 0 的解为
R mn m 1,2,
与这些特征值相应的特征函数为
Pm
r
Jn
n
m
R
r
m 1,2,
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
➢ 贝塞尔函数的正交性
讨论
Pm
r
J
n
mn
R
r
的正交性
结论１n 阶贝塞尔函数序列
1, 2 …)在区间(0,R) 上带权
Pm
r
r J
正交,
n即 Rmn
两式相加减 分别消去 Jn 'x 和 Jn x , 可以得到
J n1 x
J n1 x
2n x
Jn x
Jn1x Jn1x 2J 'n x
贝塞尔函数的递推公式
若知道 Jn x J n1x的值, 就可以求出 J n1x
进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式.
r
(m
=
R
0
rJ n
n
m
R
r J n
n
k
R
r dr
0, R2 2
mk
J2 n1
n
m
R2 2
J2 n1
n
m
.
mk
R 0
rJ
2 n
n
m
R
r
dr
的正平方根称为函数
Jn
n
m
R
r
的模值.
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
结论2. 在区间［０，R］上具有一阶连续导数以
及分段连续的二阶导数的函数 f ( r ),如果在 r=0 处有界, 在 r=R 处等于零, 则它必可以展开为 如下形式的一致收敛的级数：
!
xN 1 2N2 (N 1)!
2N
4
xN (N
4
2)!2!
(1)N JN (x)
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
所以，当n为整数时, Jn x与 Jn x 线性相关
此时定义第二类贝塞尔函数为
Yn
x
lim
n
J
x
cos sin
J
x
不为整数. 可以证明 Jn x 和 Yn x 线性无关，
因此a2
aa2m4
22412m2ann02n2a2210m
1
m2!nn4 m
1
a2m
1m
22m
m!n
a0
1n
2
n m .
5.2 贝塞尔方程的求解
这样பைடு நூலகம்得到方程的一个特解
J n
x
1m
m0
1
1
2n2m m! n m 1
xn2m
1m
( x )n2m
m0 m! n m 1 2
称 Jn x 为 n 阶第一类贝塞尔函数(n>=0).
5151贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入由边界条件可知在极坐标系下问题可以写成5151贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入再次分离变量令代入化简得引入参数分解5151贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入sincos结合自然周期条件得本征值问题本征函数5151贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入由温度是有限的得原问题就转化为求贝塞尔方程在条件考虑贝塞尔方程5151贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入n阶贝塞尔方程的标准形式
Yn1
x
Yn1
x
2n x Yn
x
Yn1 x Yn1 x 2Y 'n x
5.4 n 为整数时贝塞尔方程的通解
例
n 为半奇数. Jn x 可以用初等函数来表示:
J 2m1 x 1m
2
2
m 1
x2
1 x
d dx
m
sin x
x
J2m1 x 2
2
m 1
x2
1 x
d dx
m
cos x
y'x ak c k xck1
[(c
kk)0 2
n2 ]ak
ak2
xck 0
比较系k数y"2得x ak c k c k 1 xck2
k 0
c 代入方c2程确n定2 a系0数 0ak 和a0 0 c： n
c
1x2
2
dnd2x22ya1
x0
ddyx
ax12
n02
yx 0
(1) 由 (n m 1) (n m)! 得
Jn
（２）取n=N
(x) m0
1
m
1 2n2m m!
1
xn2m
nm ! 1
, 在 Jn x 中,由于m<N时，N m 1
0
所以级数从m=N开始
JN (x)
mN
1
m
1 2N2m m!
1 N m1
x N 2m
(1)N
xN 2N N
1 r
u r
,
0r
1
u t0 1 r 2
u r1 0
５.６ 应用举例
由物理意义, u , 且当t 时, u 0
令 ur,t FrTt 代入方程得
Gamma函数的定义与性质
由广义积分定义
p x p 1e x d x 0 Gamma 函数有如下性质：
p 1 p p
1
1,
1 2
,
1
m
0,
(m
0,1, 2
)
当m,n为整数时，有 (n m 1) (n m)!
5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解
5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解
r
2
P"rPr rPC'Jrn
r
r
2
n2
Pr 0
由 P R 0 可得:
PR 0,
P0J
n
R
0
为了方求程出的特通征解值为问题, 必须判明 Jn x 的零点是否存
在,分布情形如何．
Pr CJn r DYn r
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
➢ 贝塞尔函数的零点的结论：
其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 n 0的情形.
假定方程有如下形式的级数解：
y x xc a0 a1x ak xk
ak xck (a0 0) k 0
其中 c, ak 为常数。
5.2 贝塞尔方程的求解
逐项求(导c2,有n2 )a0 xc [(c 1)2 n2 ]a1xc1
由温度是有限的，得 P 0
P(R) 0
原问题就转化为求贝塞尔方程在条件
的特征值和特征函数.
P(0)
下
考虑贝塞尔方程
2P" P' 2 n2 P 0
做代换 r
, 并记
F
r
P
r
5.1 贝塞尔方程的引入
2P" P' 2 n2 P 0
dP dP dr dP
d dr d
可归结为求解如下定解问题
u t
a
2
2u x 2
2u y 2
,
u x, y t 0
u 0 x2 y2 R2
x2 y2 R2
5.1 贝塞尔方程的引入
令 ux, y,t V x, yTt，代入方程得
进而得
VT '
a
2
2V x 2
2V y 2
T
T ' Vxx Vyy
a 2T
V
0
(1)m m !(n m)!
x 2
n2m
nm k 1
1 k
m k 1
1 k
其中C为欧拉常数 C = 0.577216
5.4 贝塞尔函数的递推公式
5.4 贝塞尔函数的递推公式
建微立分不J同0 阶的的第贝2塞k +尔2函项数之1间k递1 推公x式2k.2 22k2 (k
2)!2
首先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间关系.
dr
d 2P
d2
d 2P dr 2
r
方程转化为
r 2F"r r F'r r 2 n2 Fr 0
n阶贝塞尔方程的标准形式.
5.2 贝塞尔方程的求解
5.2 贝塞尔方程的求解
用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶 贝塞尔方程为
x2 d 2 y x dy x2 n2 yx 0 dx2 dx
x
1
d
m
1d
这里微分算子
x
dx
表示算子 x dx 连续作用 m 次的缩写.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
例 求不定积分 xJ2 x.dx 解 由 xJ '1 x J1 x xJ2 x ，可得
xJ2 x dx xJ '1 x dx J1 x dx x dJ1 x J1 x dx
结合自然周期条件，得本征值问题
" 0 2
本征值 n n2，
0
a0 2
本征函数
n an cosn bn sin n ,n 1,2,
将 n n2 代入另一方程得
2P" P' 2 n2 P 0
n 阶贝塞尔方程.
5.1 贝塞尔方程的引入
由条件 V R 0 得 PR 0
5.2 贝塞尔方程的求解
如果选取
A ctgn ,
得到
B 1
sin n
Yn x
J n xcosn
sin n
Jn x
(n 1, 2, )
当 n 不为整数时, Jn x和 Yn x 线性无关． 称 Yn x 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,
方程的通解也可表示为
y CJn x DYn x
分别令ddxnJn11xk0k212及k212mkkx2!n20kkx12kk1112得1!m!2:2n21mm!1kn2×(212k（km2[－k2!１)xx1n）2k!21]m2
J0
所x以 1
x2 22
24
x4
2!2
26
x6
3!2
1k
x2k
22k k !2
J1 x
x 2
xd3 23d2x!
分析: 由于是在圆域内求解问题, 故采用极坐标.
考虑到定解条件和 无关, 所以温度 u 只能是 r 和 t 的函数.
５.６ 应用举例
解:问题可归结为求下列定解问题:设u ur,t
u t
a
2
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
,
0 r 1
由于u
和
无关,
u
0,可以化简为问题
u
t
a2
2u r 2
通解可写为
y CJn x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
Y0
x
2
J0
x
(ln
x 2
C)
2
n1 m0
(1)m (m !)2
x 2
2m
m k 1
1 k
Yn
x
lim
n
J
x
cos sin
J
x
2
Jn
x
(ln
x 2
C)
1
n1 m0
(n
m m!
1)!
x 2
n2m
1
m0
齐次偏微分方程化为两个微分方程:
(1)
T't a2Tt 0
它的解为
T t Aea2 t
5.1 贝塞尔方程的引入
(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz) 2V 2V V 0
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导 出贝塞尔方程； ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解 的性质。
稳恒状态圆域上热传导问题—欧拉方程。
瞬时状态圆域上热传导问题—贝塞尔方程。
5.1 贝塞尔方程的引入
5.1 贝塞尔方程的引入
设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上 温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温 度分布规律。
k
0
[c(ckk
)2(c
n2ka1k )a(ck 2
k)0
(
xk2
n22,)3],ak
x
c
k
0
5.2 贝塞尔方程的求解
由选c取akak0z221kn n22a1znnka2z1kk
ak 2
(
得
p
0取c=n
e 0
x
x
p1dx
)
n由mna1 m01 an12a(n31) (n1a) 2k1n0m 1
5.2 贝塞尔方程的求解
取指标
c
n,
a0
1
2n n 1 得方程的另一特解
Jn
x
m0
1
m
1 2n2m m!
1 n m 1
xn2m
m0
m!
1m n m
1
(
x 2
)
n2
m
结论：当 n 不为整数时, Jn x和 Jn x 线性无关．
所以方程的通解可以表示为
y AJn x BJn x
2
V 0
0 R
V | R 0
5.1 贝塞尔方程的引入
再次分离变量,令 V , P ,代入化简得
P" ( ) 1 P ' ( )
1
2
P
"(
)
P
(
)
0
2 P" P ' "( ) 2 0
P
P
引入参数 分解
" 0
2P" P' 2 P 0
5.1 贝塞尔方程的引入
x2k 22k (k !)2
则
d dx
[ xJ
1
x]
xJ
0
x
5.4 贝塞尔函数的递推公式
一般的, 有
d dx
[xn
Jn
x]
xn
J n1 x
d dx
[
x
n
J
n
x]
x
n
J
n1
x
上面两式左边的导数求出来, 并经过化简,则得
xJ'n x nJn x xJn1x
xJ'n x nJn x xJn1x
5.4 贝塞尔函数的递推公式
f
r
m1
Am J n
n
m
R
r
其中
Ak
R2 2
1
J
2 n1
n
k
R 0
rf
rJ n
n
k
R
r dr
５.6 应用举例
５.６ 应用举例
例1 设有半径为1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘， 边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度 分布为1-r2，其中 r 为圆盘内任一点的极半径， 求圆盘的温度分布规律。
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
由于在Y本n 章0 开始，,我由们条从件薄|圆P盘(0)温|度分知布的D 定0解,问
题从中而，导出了贝塞尔方程的特征值问题：
Jn R 0 的解为
R mn m 1,2,
与这些特征值相应的特征函数为
Pm
r
Jn
n
m
R
r
m 1,2,
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
➢ 贝塞尔函数的正交性
讨论
Pm
r
J
n
mn
R
r
的正交性
结论１n 阶贝塞尔函数序列
1, 2 …)在区间(0,R) 上带权
Pm
r
r J
正交,
n即 Rmn
两式相加减 分别消去 Jn 'x 和 Jn x , 可以得到
J n1 x
J n1 x
2n x
Jn x
Jn1x Jn1x 2J 'n x
贝塞尔函数的递推公式
若知道 Jn x J n1x的值, 就可以求出 J n1x
进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式.
r
(m
=
R
0
rJ n
n
m
R
r J n
n
k
R
r dr
0, R2 2
mk
J2 n1
n
m
R2 2
J2 n1
n
m
.
mk
R 0
rJ
2 n
n
m
R
r
dr
的正平方根称为函数
Jn
n
m
R
r
的模值.
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
结论2. 在区间［０，R］上具有一阶连续导数以
及分段连续的二阶导数的函数 f ( r ),如果在 r=0 处有界, 在 r=R 处等于零, 则它必可以展开为 如下形式的一致收敛的级数：
!
xN 1 2N2 (N 1)!
2N
4
xN (N
4
2)!2!
(1)N JN (x)
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
所以，当n为整数时, Jn x与 Jn x 线性相关
此时定义第二类贝塞尔函数为
Yn
x
lim
n
J
x
cos sin
J
x
不为整数. 可以证明 Jn x 和 Yn x 线性无关，
因此a2
aa2m4
22412m2ann02n2a2210m
1
m2!nn4 m
1
a2m
1m
22m
m!n
a0
1n
2
n m .
5.2 贝塞尔方程的求解
这样பைடு நூலகம்得到方程的一个特解
J n
x
1m
m0
1
1
2n2m m! n m 1
xn2m
1m
( x )n2m
m0 m! n m 1 2
称 Jn x 为 n 阶第一类贝塞尔函数(n>=0).
5151贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入由边界条件可知在极坐标系下问题可以写成5151贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入再次分离变量令代入化简得引入参数分解5151贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入sincos结合自然周期条件得本征值问题本征函数5151贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入由温度是有限的得原问题就转化为求贝塞尔方程在条件考虑贝塞尔方程5151贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入n阶贝塞尔方程的标准形式
Yn1
x
Yn1
x
2n x Yn
x
Yn1 x Yn1 x 2Y 'n x
5.4 n 为整数时贝塞尔方程的通解
例
n 为半奇数. Jn x 可以用初等函数来表示:
J 2m1 x 1m
2
2
m 1
x2
1 x
d dx
m
sin x
x
J2m1 x 2
2
m 1
x2
1 x
d dx
m
cos x
y'x ak c k xck1
[(c
kk)0 2
n2 ]ak
ak2
xck 0
比较系k数y"2得x ak c k c k 1 xck2
k 0
c 代入方c2程确n定2 a系0数 0ak 和a0 0 c： n
c
1x2
2
dnd2x22ya1
x0
ddyx
ax12
n02
yx 0
(1) 由 (n m 1) (n m)! 得
Jn
（２）取n=N
(x) m0
1
m
1 2n2m m!
1
xn2m
nm ! 1
, 在 Jn x 中,由于m<N时，N m 1
0
所以级数从m=N开始
JN (x)
mN
1
m
1 2N2m m!
1 N m1
x N 2m
(1)N
xN 2N N
1 r
u r
,
0r
1
u t0 1 r 2
u r1 0
５.６ 应用举例
由物理意义, u , 且当t 时, u 0
令 ur,t FrTt 代入方程得
Gamma函数的定义与性质
由广义积分定义
p x p 1e x d x 0 Gamma 函数有如下性质：
p 1 p p
1
1,
1 2
,
1
m
0,
(m
0,1, 2
)
当m,n为整数时，有 (n m 1) (n m)!
5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解
5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解
r
2
P"rPr rPC'Jrn
r
r
2
n2
Pr 0
由 P R 0 可得:
PR 0,
P0J
n
R
0
为了方求程出的特通征解值为问题, 必须判明 Jn x 的零点是否存
在,分布情形如何．
Pr CJn r DYn r
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
➢ 贝塞尔函数的零点的结论：
其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 n 0的情形.
假定方程有如下形式的级数解：
y x xc a0 a1x ak xk
ak xck (a0 0) k 0
其中 c, ak 为常数。
5.2 贝塞尔方程的求解
逐项求(导c2,有n2 )a0 xc [(c 1)2 n2 ]a1xc1
由温度是有限的，得 P 0
P(R) 0
原问题就转化为求贝塞尔方程在条件
的特征值和特征函数.
P(0)
下
考虑贝塞尔方程
2P" P' 2 n2 P 0
做代换 r
, 并记
F
r
P
r
5.1 贝塞尔方程的引入
2P" P' 2 n2 P 0
dP dP dr dP
d dr d
可归结为求解如下定解问题
u t
a
2
2u x 2
2u y 2
,
u x, y t 0
u 0 x2 y2 R2
x2 y2 R2
5.1 贝塞尔方程的引入
令 ux, y,t V x, yTt，代入方程得
进而得
VT '
a
2
2V x 2
2V y 2
T
T ' Vxx Vyy
a 2T
V
0
(1)m m !(n m)!
x 2
n2m
nm k 1
1 k
m k 1
1 k
其中C为欧拉常数 C = 0.577216
5.4 贝塞尔函数的递推公式
5.4 贝塞尔函数的递推公式
建微立分不J同0 阶的的第贝2塞k +尔2函项数之1间k递1 推公x式2k.2 22k2 (k
2)!2
首先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间关系.
dr
d 2P
d2
d 2P dr 2
r
方程转化为
r 2F"r r F'r r 2 n2 Fr 0
n阶贝塞尔方程的标准形式.
5.2 贝塞尔方程的求解
5.2 贝塞尔方程的求解
用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶 贝塞尔方程为
x2 d 2 y x dy x2 n2 yx 0 dx2 dx
x
1
d
m
1d
这里微分算子
x
dx
表示算子 x dx 连续作用 m 次的缩写.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
例 求不定积分 xJ2 x.dx 解 由 xJ '1 x J1 x xJ2 x ，可得
xJ2 x dx xJ '1 x dx J1 x dx x dJ1 x J1 x dx
结合自然周期条件，得本征值问题
" 0 2
本征值 n n2，
0
a0 2
本征函数
n an cosn bn sin n ,n 1,2,
将 n n2 代入另一方程得
2P" P' 2 n2 P 0
n 阶贝塞尔方程.
5.1 贝塞尔方程的引入
由条件 V R 0 得 PR 0
5.2 贝塞尔方程的求解
如果选取
A ctgn ,
得到
B 1
sin n
Yn x
J n xcosn
sin n
Jn x
(n 1, 2, )
当 n 不为整数时, Jn x和 Yn x 线性无关． 称 Yn x 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,
方程的通解也可表示为
y CJn x DYn x
分别令ddxnJn11xk0k212及k212mkkx2!n20kkx12kk1112得1!m!2:2n21mm!1kn2×(212k（km2[－k2!１)xx1n）2k!21]m2
J0
所x以 1
x2 22
24
x4
2!2
26
x6
3!2
1k
x2k
22k k !2
J1 x
x 2
xd3 23d2x!
分析: 由于是在圆域内求解问题, 故采用极坐标.
考虑到定解条件和 无关, 所以温度 u 只能是 r 和 t 的函数.
５.６ 应用举例
解:问题可归结为求下列定解问题:设u ur,t
u t
a
2
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
,
0 r 1
由于u
和
无关,
u
0,可以化简为问题
u
t
a2
2u r 2
通解可写为
y CJn x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
Y0
x
2
J0
x
(ln
x 2
C)
2
n1 m0
(1)m (m !)2
x 2
2m
m k 1
1 k
Yn
x
lim
n
J
x
cos sin
J
x
2
Jn
x
(ln
x 2
C)
1
n1 m0
(n
m m!
1)!
x 2
n2m
1
m0
齐次偏微分方程化为两个微分方程:
(1)
T't a2Tt 0
它的解为
T t Aea2 t
5.1 贝塞尔方程的引入
(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz) 2V 2V V 0