结构力学 力法

41
4. 求多余的未知力
X1
1P
11
104 .5KN
5. 作内力图
FN FN 1 X 1 FNP M M1 X1 M P
42
讨论： 1. 当桁架各杆的EA很大时 对结构的受力有何影响？ 2. 当桁架各杆的EA很小时 对结构的受力有何影响？
43
44
学习要点
§6-5 对称结构的计算
杆AC CD
EA 2.56 105 KN
杆BC
EA 2.02 105 KN
39
解:
1. 选择基本体系
2. 建立力法方程
11 X 1 1P 0
40
3. 计算系数和自由项
FN21 M 12 11 ds l 0.000419 m / KN EI EA M 1M P 1 P ds 0.0438 m EI
因为 方程可写为
11 11 X 1
11 X1 1P 0
11
讨论：
1）力法方程是位移方程。
2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知 量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支 座竖向位移。 3）系数的物理意义：
11 ——基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移。
1P ——基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。
q
A EI , l
B 3 ql 8
3
二、超静定次数
超静定次数 n = 结构多余约束数目。
为了确定超静定次数，通常使用的方法是拆除 多余约束，使原结构变成静定结构，则n等于拆 除的多余约束数。 规则：
1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；
2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；
4
3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当 于去掉三个约束；
q
C FP A D C
q
D
ΔBH=0
ΔBV=0 θB=0 原结构 B
FP
A 基本体系
X3
B
X2
X1
15
q
C FP A Δ3P B Δ2P Δ1P D
C
D
A
δ31 δ21
B
X1=1
δ11
C D
C
D
δ32
A
X2=1
B δ12
δ22
A
δ33 δ23
X3=1
B δ13
16
力法方程为
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P BH 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P BV 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P B 0
FN 1 FNP l 1 1P [( 2 FP ) ( 2) 2a 2 FP 1 a] EA EA 2 FP a(1 2) EA
X 1 1P / 11 2 FP a (1 EA 2) EA 4a (1 2)
37
1 FP (压) 2
求得未知量后，桁架各杆轴力按下式计算：
FN FN 1 X 1 FNP
1 FP 2
2 2 FP FP 1 1 FP 2 2 FP 2 2 1 FP 2
FN图
38
二、超静定组合结构
例6-4求超静定组合结构在荷载作用下的内力 杆AD
EI 1.4 10 4 KN m 2 EA 1.99 10 6 KN
一、超静定结构的组成
超静定结构有如下特征： 1) 从几何构造分析的观点来看，超静定结构是有 多余约束的几何不变体系 2) 若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力 和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要 补充位移条件。
2
总目录
若只满足平衡条件，超静定结构的内力和 支座反力可以有无穷多组解答。
如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支 座B的竖向反力可以是任意值。
12
3. 力法计算 1) 求系数及自由项
FPl 2
FP
A
B l
l/2
B
A
MP图
M图
X1 1
1 1 2 l3 11 l l l EI 2 3 3EI
1 1 FP l l 2 1 l 1P ( l ) EI 2 2 2 3 3 2 5 FP l 3 1 FP l 2 5 l EI 8 6 48 EI

n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nP
柔度矩阵
0
11 12 1n 22 2 n 21 n1 n 2 nn
19
M M1 X1 M 2 X 2 M n X n M P FQ FQ1 X 1 FQ 2 X 2 FQn X n FQP FN FN 1 X 1 FN 2 X 2 FNn X n FNP
FP A
B
11 X 1 1P 0
力法方程的物理意义是： 基本结构在荷载和X1共同作 用下，杆AB切口左右截面 相对于水平位移等于零。基 本结构中包括AB杆。
a
a
基本体系
35
例6-3 求上图示桁架各杆轴力，各杆EA相同。
解: 根据上述基本体系求得各杆FNP及 FN标于图中。 1 FP A 0 2 FP 0 FP a FNP图 B 0 a
45
总目录
在上列方程中，主系数δii恒大于零，副系数 δij（i≠j）则可能大于零、等于零或小于零。 若能使全部副系数δij等于零，则方程组解耦， 力法方程变为：
11 X 1 1P 0 22 X 2 2 P 0

nn X n nP 0
即使不能使全部副系数等于零，若能使大部 分副系数等于零，则力法计算也将大大简化。 所以，力法简化计算的目的：使尽可能多的副 系数等于零。
13
2) 求未知力X1
5 FP l 3 3EI X 1 1P / 11 3 48 EI l 5 FP () 16
3) 作内力图
3 FPl 16
M MX 1 M P
A
11 FP 16
B
5 FPl 32
5 FP 16
M图
FQ图
14
二、多次超静定结构的力法计算
下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和 未知力X分别作用下的位移图。
29
解:
1. 选择基本体系
30
2. 建立力法方程
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
M 1M P 1 P ds 303 EI M 2M P 2P ds 49 .5 EI MM 11 1 1 ds 73 .4 EI M M 22 2 2 ds 50.9 EI MM 12 21 1 2 ds 20 EI
20
学习要点
§6-3 超静定刚架和排架
一、力法计算超静定结构的步骤
1. 选择基本体系 确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并用相应的约束 反力来代替。 2. 建立力法方程 利用基本体系与原结构在相应约束处的变形条件，建立力 法典型方程。 3. 计算系数和自由项 4. 求多余的未知力 5. 作内力图 按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的 内力，然后画出内力图。
总目录
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A
EI l/2
FP B l/2 A A
FP B 基本体系
X1
B
原结构（ΔBV=0） Δ11
B
基本结构
A
+
A
FP
B
X1
δ11
） 1 〃X
Δ1P
(
A
B
X1 1
10
2. 力法方程
力法方程为
11 1P BV 0
基本结构的位移=原结构的位移
BV ——原结构B截面竖向位移
4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个 约束。
例： a)
X1
原结构
X2
n=2 n=2
X1
X2
5
b)
X2
原结构
n=2
X1
wk.baidu.com
X2
X1
X2
n=2
X1
n=2
6
c)
X3
X1
X2
原结构
n=3
d)
X2
X1
X1
X2
n=2
原结构
7
e)
原结构
X1
X1
n=1 f)
原结构
不要把原结构拆成几何 可变体系。此外，要把超 静定结构的多余约束全部 拆除。
n=3
X1
X3
X2
8
§6-2 力法的基本概念
学习要点
解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必 须满足位移协调条件。
一、一次超静定结构的力法计算
1. 力法的基本体系和基本未知量 如下图示超静定梁，去掉支座B的链杆，用相 应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去 掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法 FP 基本结构。 EI A B l/2 l/2
一、力法简化计算的思路
若结构的超静定次数为n，则在荷载作用下其 力法方程为：
11 X 1 12 X 2 ... 1n X n 1P 0 21 X 1 22 X 2 ... 2 n X n 2 P 0
...
n1 X 1 n 2 X 2 ... nn X n nP 0
第6章 力
§6-2 力法的基本概念
§6-3 超静定刚架和排架 §6-4 超静定桁架和组合结构
法
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数
§6-5 对称结构的计算 §6-9 支座移动和温度改变时的计算 §6-10 超静定结构的位移计算
§6-11 超静定结构计算的校核
1
学习要点
§6-1 超静定结构的组成 和超静定次数
根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的 物理意义。 主系数：δ11、δ22、δ33恒大于零。 副系数：δij (i≠j)可能大于、等于或小于零。
i
表示位移的方位；j
表示产生位移的原因。
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由位移互等定理：δij= δji，即δ12= δ21， δ23= δ32，
δ31= δ13。作 M 图及MP图，求出力法方程的系数和 自由项，解方程求出力法未知量，然后根据下式求 内力：
3. 计算系数和自由项
31
32
4. 求多余的未知力
X 1 4.33KN , X 2 0.73KN
5. 作M图
M M1 X 1 M 2 X 2 M P
33
§6-4 超静定桁架和组合结构
一、超静定桁架
FP E1A1
学习要点
a
a 原结构
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总目录
基本体系：
X1
X1 X1
力法方程：
A
1
X1=1
1
2 2
B
1 a
FP
1 a
FN 1 图
36
11 X 1 1P 0
2 FN 1l 1 11 [2 ( 2) ( 2) 2a 4 a 1 1] EA EA 1 4a (1 2) [4a 4 2a ] EA EA
M M1 X1 M 2 X 2 M 3 X 3 M P
FQ FQ1 X 1 FQ 2 X 2 FQ 3 X 3 FQP
FN FN 1 X 1 FN 2 X 2 FN 3 X 3 FNP
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三、n 次超静定结构的力法计算
力法的典型方程
11 X 1 12 X 2 1n X n 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0
21
总目录
二、超静定刚架
例6-1 图示为一超静定刚架，试作出结构的内力 图，EI1=2EI2 为常数。
22
解:
1. 选择基本体系 2. 建立力法方程
11 X 1 1P 0
3. 计算系数和自由项
4. 求多余的未知力 5. 作内力图
M MX 1 M P
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24
25
思考题：
是当粱和柱的抗弯刚度 发生变化时，超静定结 构弯矩图是否相同？
26
结论：
在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆 抗弯刚度EI的比值k 有关，而与杆件抗弯刚度 EI的绝对值无关。若荷载不变，只要 k 不变， 结构内力也不变。
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三、超静定排架
EA→ ∞ E1I1 E1I1
E2I2
E2I2
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例6-2 求排架在吊车荷载作用下的内力。 已知FPH＝108KN，FPE＝43.9KN，e=0.4m MH＝43.2KNm，ME=17.6KNm
46
二、非对称结构的简化计算
对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 M 图 及MP图局部化，以简化方程系数的计算。所以， 取基本结构时应考虑这一因素。
q
A
X1
X2
X3
B C 连续梁基本体系
D
47
X3 X5
X7 X8
X9
多跨刚架 基本体系
X1 X 2
X6
X4
X2 X1 EA→ ∞
EA→ ∞ 排架结构 基本体系