2021年内蒙古通辽市中考数学试卷(附答案详解)

2021年内蒙古通辽市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)|−2|的倒数是()
A. 2
B. 1
2C. −2 D. −1
2
2.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)下列计算正确的是()
A. x2+x3=x5
B. 2x3−x3=1
C. x3⋅x4=x7
D. (−2xy2)3=−6x3y6
3.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名
同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分919293949596979899100
人数■■1235681012下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是()
A. 平均数，方差
B. 中位数，方差
C. 中位数，众数
D. 平均数，众数
4.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+
1=0的根的情况，下列说法正确的是()
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定
5.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)如图，是由若干
个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，
则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐
年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为()
A. 507(1+2x)=833.6
B. 507×2(1+x)=833.6
C. 507(1+x)2=833.6
D. 507+507(1+x)+507(1+x)2=833.6
7.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)如图，在Rt△
ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下
结论错误的是()
A. ∠BDE=∠BAC
B. ∠BAD=∠B
C. DE=DC
D. AE=AC
8.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)定义：一次函数y=ax+b的特征数为[a,b]，
若一次函数y=−2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y=−3
x
的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y=−2x+m的特征数是()
A. [2,3]
B. [2,−3]
C. [−2,3]
D. [−2,−3]
9.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)如图，已知AD//BC，
AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，
将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂
线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三
等分点时，BE的长为()
A. 3
2B. 3
2
√2 C. 3
2
或3
2
√2 D. 3
2
√2或3
5
√5
10.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)如图，在矩形
ABCD中，AB=4，BC=3，动点P，Q同时从点A
出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→
C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到
达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ.设点P的
运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是()
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11. (2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约
为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为______ ． 12. (2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)如图所示，电
路连接完好，且各元件工作正常.随机闭合开关S 1，S 2，S 3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是______ ．
13. (2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)一副三角板如图所示
摆放，且AB//CD ，则∠1的度数为______ ．
14. (2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载
“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x 尺，竿长y 尺，则可列方程组为______ ．
15. (2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)若关于x 的不等式组{3x −2≥12x −a <5
，有且只有2
个整数解，则a 的取值范围是______ ．
16. (2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)如图，AB 是⊙O
的弦，AB =2√3，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB =60°，若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是______ ．
17. (2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)如图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3，…，
△A n−1A n B n 都是斜边在x 轴上的等腰直角三角形，点A 1，A 2，A 3，…，A n 都在x 轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n 都在反比例函数y =1
x (x >0)的图象上，则点B n 的坐标为______ .(用含有正整数n 的式子表示)
三、解答题（本大题共9小题，共69.0分）
18.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)计算：(1
2
)−1+(π−3)0−2cos30°+|3−√12|.
19.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)先化简，再求值：(2x+1
x+1+x−1)÷x+2
x2+2x+1
，
其中x满足x2−x−2=0．
20.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相
等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘(当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘)，当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y.请用树状图或列表法求点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的概率．
21.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两
岸平行.为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度(结果取整数，参考数据：√3≈1.732)
22.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安
全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩(得分取整数，满分为100分)，整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
其中A组的频数a比B组的频数b小15.请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次共抽取______ 名学生，a的值为______ ；
(2)在扇形统计图中，n=______ ，E组所占比例为______ %；
(3)补全频数分布直方图；
(4)若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学
生人数．
23.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买
甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
(2)由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消
.由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的1
3
了20元/桶、15元/桶的批发价.求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？
最少总金额是多少元？
24.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切
线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD//OP，交⊙O于点D，连接PD．
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
25.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形
OA<OM<OA)，∠AOB=∠MON=90°．
(√2
2
(1)如图1，连接AM，BN，求证：AM=BN；
(2)将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2=2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA=4，OM=3，请直接写出线段AM
的长．
26.(2021·内蒙古自治区通辽市·历年真题)如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于
A(3,0)，B(−1,0)两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q
为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【知识点】绝对值、倒数
，
【解析】解：|−2|的倒数是1
2
故选：B．
．
先求出|−2|=2，再根据倒数定义可知，2的倒数是1
2
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项
【解析】解：A.x2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.2x3−x3=x3，故本选项不合题意；
C.x3⋅x4=x7，故本选项符合题意；
D.(−2xy2)3=−8x3y6，故本选项不合题意；
故选：C．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方运算，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【知识点】加权平均数、中位数、统计量的选择、方差、众数
【解析】解：由表格数据可知，成绩为24分、92分的人数为50−(12+10+8+6+5+ 3+2+1)=3(人)，
成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，
成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98，
因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，
故选：C．
通过计算成绩为91、92分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第25、26位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择．
考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提．
4.【答案】A
【知识点】根的判别式
【解析】解：△=[−(k−3)]2−4(−k+1)
=k2−6k+9−4+4k
=k2−2k+5
=(k−1)2+4，
∵(k−1)2≥0，
∴(k−1)2+4>0，即△>0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
先计算判别式，再配方得到△=(k−1)2+4，然后根据非负数的性质得到△>0，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac 有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
5.【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1(只有一边有)或2(左右都有)个，第二行的正方体可能有2(左边有)或3(左右都有)个，
∵1+2=3，1+3=4，2+2=4，2+3=5，
∴不可能有6个．
故选：D．
主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力．6.【答案】C
【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：507(1+x)2=833.6，
故选：C．
根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×(1+增长率)2=2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
7.【答案】B
【知识点】尺规作图与一般作图
【解析】解：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C=90°，
∴DE=DC，∠B+∠BDE=∠B+∠BAC=90°，
∴∠BDE=∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
{AD=AD
DE=DC，
∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，
∴AE=AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD=∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD=∠B．
本题考查作图−基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线．
8.【答案】D
【知识点】一次函数与反比例函数综合
【解析】解：将一次函数y=−2x+m向上平移3个单位长度后得到y=−2x+m+3，设A(x1,0)，B(x2,0)，
联立{y=−2x+m+3 y=−3
x
，
∴2x2−(m+3)x−3=0，
∵x1和x2是方程的两根，
∴x1+x2=m+3
2
，
又∵A，B两点关于原点对称，
∴x1+x2=0，
∴m+3
2
=0，
∴m=−3，
根据定义，一次函数y=−2x+m的特征数是[−2,−3]，
故选：D．
将一次函数y=−2x+m的图像向上平移3个单位长度后，得到解析式y=−2x+m+3，联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设A(x1,0)，B(x2,0)，
所以x1与x2是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到x1+x2=m+3
2
，又A，B
两点关于原点对称，所以x1+x2=0，则m+3
2
=0，得到m=−3，根据定义，得到一次函数y=−2x+m的特征数是[−2,−3]．
本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，联立两个函数解析式，得到一元二次方程，是解决交点问题的基本方法．
9.【答案】D
【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行线的性质
【解析】解：①当MB′=13MN 时，如图： Rt △AMB′中，AB′=AB =3，MB′=13AB =1，
∴AM =√AB′2−MB′2=2√2，
∵AD//BC ，AB ⊥BC ，MN ⊥AD ， ∴四边形ABNM 是矩形，
∴BN =AM =2√2，MN =AB =3，
设BE =x ，则B′E =x ，EN =2√2−x ，
Rt △B′EN 中，B′N =MN −MB′=2，EN 2+B′N 2=B′E 2，
∴(2√2−x)2+22=x 2，
解得x =3√22
， ∴BE 的长为3√2
2；
②当NB′=1
3MN 时，如图：
∵NB′=1
3MN =1，
∴MB′=2，
设BE =y ，
同①可得y =3√55， ∴BE 的长为3√55
， 综上所述，BE 的长为3√22或3√55
．
故选：D．
分类画出图形，设BE=x，由折叠得性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．
本题考查直角三角形的性质及应用，解题的关键是分类画出图形，用勾股定理列方程解决问题．
10.【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】解：在Rt△APQ中，∠QAP=90°，AP=AQ=x，
∴PQ2=2x2．
当0≤x≤3时，AP=AQ=x，
∴y=PQ2=2x2；
当3≤x≤4时，DP=x−3，AP=x，
∴y=PQ2=32+32=18；
当4≤x≤7时，CP=7−x，CQ=7−x，
∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2−28x+98．
故选：C．
在Rt△APQ中，利用勾股定理可求出PQ2的长度，分0≤x≤3、3≤x≤4及4≤x≤7三种情况找出y关于x的函数关系式，对照四个选项即可得出结论．
本题考查了动点问题的函数图象以及勾股定理，分0≤x≤3、3≤x≤4及4≤x≤7三种情况找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
11.【答案】1.2×10−7
【知识点】科学记数法-绝对值较小的数
【解析】解：0.00000012=1.2×10−7．
故答案为：1.2×10−7．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】1
3
【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为2
6=1
3
，
故答案为：1
3
．
画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】75°
【知识点】平行线的性质
【解析】解：如图，∠A=45°，∠C=30°，
∵AB//CD，
∴∠2=∠C=30°，
∴∠1=∠2+∠A=30°+45°=75°，
故答案为：75°．
由“两直线平行，内错角相等”得到∠2=∠C=30°，再根据三角形的外角性质求解即
可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键． 14.【答案】{x −y =5
y −12x =5
【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组、数学常识
【解析】解：设绳索长x 尺，竿长y 尺，
依题意得：{x −y =5
y −12x =5． 故答案为：{x −y =5
y −12x =5
． 设绳索长x 尺，竿长y 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】−1<a ≤1
【知识点】一元一次不等式组的整数解、一元一次不等式组的解法
【解析】解：解不等式3x −2≥1，得：x ≥1，
解不等式2x −a <5，得：x <
a+52， ∵不等式组只有2个整数解，
∴2<a+52≤3，
解得−1<a ≤1，
故答案为：−1<a ≤1．
解每个不等式得出1≤x <
a+52，根据不等式组整数解的个数得出关于a 的不等式组，解
之即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】4π3−√34
【知识点】扇形面积的计算、圆周角定理
【解析】解：连接OA、OB、OM，如图，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵AM=BM=1
2
AB=√3，
∴OM⊥AB，
∴tan30°=OM
AM
，
∴OM=√3
3
×√3=1，
∴OA=2OM=2，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN//AC，MN=1
2
AC，
∴△MBN∽△ABC，
∴S△MBN
S△ABC =(MN
AC
)2=1
4
，
∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，
∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，
∴△ABC的面积最大值为：1
2
×2√3×(2+1)=3√3，
∴△MBN的面积最大值为：3√3
4
，
∵S
弓形=S
扇形OAB
−S△AOB=120π×22
360
−1
2
×2√3×1=4π
3
−√3，
∴此时，S
阴影=4π
3
−√3+3√3
4
=4π
3
−√3
4
，
故答案为：4π
3−√3
4
．
连接OA、OB、OM，根据圆周角定理得到∠AOB=120°，求出OM=1，OA=2，再根
据三角形中位线性质得到MN//AC，MN=1
2AC，然后根据三角形相似得到S△MBN
S△ABC
=
(MN AC )2=1
4
，故当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，由C、O、M在一条直线时，
△ABC的面积最大，求得△ABC的最大值，进而即可求得△MBN的面积最大值，利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得阴影部分的最大值．
本题考查了扇形的面积，圆周角定理，解直角三角形，三角形中位线定理，求得△ABC 的面积最大值是解题的关键．
17.【答案】(√n−1+√n,−√n−1+√n)
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、平面直角坐标系中点的坐标
【解析】解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，
易知M1(1,0)是OA1的中点，
∴A1(2,0)．
可得B1的坐标为(1,1)，
∴B1O的解析式为：y=x，
∵P1O//A1P2，
∴A1B2的表达式一次项系数相等，
将A1(2,0)代入y=x+b，
∴b=−2，
∴A1B2的表达式是y=x−2，
与y=1
x
(x>0)联立，解得B2(1+√2,−1+√2).
仿上，A2(2√2,0)．
B3(√2+√3,−√2+√3)，
依此类推，点B n的坐标为(√n−1+√n,−√n−1+√n)，
故答案为(√n−1+√n,−√n−1+√n).
由于△OA1B1是等腰直角三角形，可知直线OB1的解析式为y=x，将它与y=1
x
联立，求出方程组的解，得到点B1的坐标，则A1的横坐标是B1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△OA1B1，△A1A2B2都是等腰直角三角形，则A1B2//OB1，直线A1B2可看作是直线OB1向右平移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1B2的解析式，同样，将
它与y=1
x
联立，求出方程组的解，得到点B2的坐标，则B2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A3的坐标，即可求得点B3的坐标，得出规律．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键
是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18.【答案】解：原式=2+1−2×√3
2
+2√3−3
=−√3+2√3
=√3．
【知识点】特殊角的三角函数值、负整数指数幂、实数的运算
【解析】先计算负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算，再进行加减运算即可．
此题考查的是实数的运算，掌握负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算法则是解决此题关键．
19.【答案】解：原式=2x+1+x2−1
x+1⋅(x+1)2
x+2
=x(x+2)
x+1
⋅
(x+1)2
x+2
=x(x+1)
=x2+x，
解方程x2−x−2=0，得x1=2，x2=−1，
∵x+1≠0，
∴x≠−1，
当x=2时，原式=22+2=6．
【知识点】分式的化简求值
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果，点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，
∴点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的概率为4
．
9
【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】画树状图，共有9种等可能的结果，点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：如图，作AD⊥BC于D．
由题意可知：BC=1.5×40=60(m)，∠ABD=
90°−60°=30°，∠ACD=90°−45°=45°，
=1，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=tan45°=AD
CD
∴AD=CD，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=tan30°=AD
，
BD
∴BD=AD
，
tan30∘
∵BC=BD−CD=AD
−AD=60(m)，
√3
3
∴AD=30(√3+1)≈82(m)，
答：此段河面的宽度约82m．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】如图，作AD⊥BC于D.由题意得到BC=1.5×40=60(m)，∠ABD=30°，∠ACD=45°，在Rt△ACD中，由三角函数的定义得到AD=CD，在Rt△ABD中，由三
，根据BC=BD−CD即可求出AD．
角函数的定义得到BD=AD
tan30∘
此题主要考查了解直角三角形−方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．
22.【答案】150 12 144 4
【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布直方图
【解析】解：(1)A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频频率比B组的频率小18%−8%=10%，
因此调查人数为：15÷(18%−8%)=150(人)，
a=150×8%=12(人)，
故答案为：150，12；
(2)360°×60
150
=360°×40%=144°，即n=144，
“E组”所占的百分比为1−8%−18%−30%−40%=4%，
故答案为：144，4；
(3)b=a+15=27(人)，
“C组”频数为：150×30%=45(人)，
“E组”频数为：150×4%=6(人)，
补全频数分布直方图如图所示：
(4)1500×60+6
150
=660(人)，
答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人．
(1)A组的频数a比B组的频数b小15，而A组的频频率比B组的频率小18%−8%=10%，可求出调查人数，再根据频数、频率、总数之间的关系求出a的值即可；
(2)求出“D组”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数及“E组”所占的百分比；
(3)求出b的值，“C组”频数以及“E组”频数即可；
(4)求出样本中成绩在80分以上的学生所占的百分比，即可估计整体中成绩在80分以
上的学生人数．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为(x+6)元/桶，
依题意得：900
x+6=720
x
，
解得：x=24，
经检验，x=24是原方程的解，且符合题意，
∴x+6=30．
答：甲种消毒液的零售价为30元/桶，乙种消毒液的零售价为24元/桶．
(2)设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液(300−m)桶，
(300−m)，
依题意得：m≥1
3
解得：m≥75．
设所需资金总额为w元，则w=20m+15(300−m)=5m+4500，
∵5>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=75时，w取得最小值，最小值=5×75+4500=4875．
答：当甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．
【知识点】分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用
【解析】(1)设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为(x+6)元/桶，根据数量=总价÷单价，结合该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液(300−m)桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的1
，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的
3
取值范围，设所需资金总额为w元，根据所需资金总额=甲种消毒液的批发价×购进数量+乙种消毒液的批发价×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m 的函数关系式．
24.【答案】(1)证明：连接OD，
∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AB，
即∠PAO=90°，
∵OP//BD，
∴∠DBO=∠AOP，∠BDO=∠DOP，∵OD=OB，
∴∠BDO=∠DBO，
∴∠DOP=∠AOP，
在△AOP和△DOP中
{AO=DO
∠AOP=∠DOP PO=PO
，
∴△AOP≌△DOP(SAS)，
∴∠PDO=∠PAO，
∵∠PAO=90°，
∴∠PDO=90°，
即OD⊥PD，
∵OD过O，
∴PD是⊙O的切线；
(2)解：
由(1)知：△AOP≌△DOP，
∴PA=PD，
∵四边形POBD是平行四边形，∴PD=OB，
∵OB=OA，
∴PA=OA，
∵∠PAO=90°，
∴∠APO=∠AOP=45°．
【知识点】平行四边形的性质、切线的判定与性质、圆周角定理
【解析】(1)连接OD，根据切线的性质求出∠PAO=90°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠DOP=∠AOP，根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP(，根据全等三角形的性质得出∠PDO=∠PAO=90°，再根据切线的判定得出即可；
(2)根据全等得出PA=PD，根据平行四边形的性质得出PD=OB，求出PA=OA，再求出答案即可．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵∠AOB=∠MON=90°，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，
即∠AOM=∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA=OB，OM=ON，
∴△AOM≌△BON(SAS)，
∴AM=BN；
(2)①证明：连接BN，
∵∠AOB=∠MON=90°，
∴∠AOB−∠BOM=∠MON−∠BOM，
即∠AOM=∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA=OB，OM=ON，
∴△AOM≌△BON(SAS)，
∴∠MAO=∠NBO=45°，AM=BN，
∴∠MBN=90°，
∴MN 2+BN 2=MN 2，
∵△MON 都是等腰直角三角形，
∴MN 2=2ON 2，
∴AM 2+BM 2=2OM 2；
②解：如图3，当点N 在线段AM 上时，连接BN ，设BN =x ，
由(1)可知△AOM≌△BON ，可得AM =BN 且AM ⊥BN ，
在Rt △ABN 中，AN 2+BN 2=AB 2，
∵△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，OA =4，OM =3，
∴MN =3√2，AB =4√2，
∴(x −3√2)2+x 2=(4√2)2，
解得：x =√46+3√22
， ∴AM =BN =
√46+3√22， 如图4，当点，M 在线段AN 上时，连接BN ，设BN =x ，
由(1)可知△AOM≌△BON ，可得AM =BN 且AM ⊥BN ，
在Rt △ABN 中，AN 2+BN 2=AB 2，
∵△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，OA =4，OM =3，
∴MN =3√2，AB =4√2，
∴(x +3√2)2+x 2=(4√2)2，
解得：x =√46−3√22
， ∴AM =BN =√46−3√22
， 综上所述，线段AM 的长为√46+3√22或√46−3√22．
【知识点】几何变换综合
【解析】(1)通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS ”证明△AOM≌△BON ，即可得到AM =BN ；
(2)①连接BN ，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS ”证明△AOM≌△BON ，得对应角相等，对应边相等，从而可证∠MBN =90°，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立；
②分点N 在线段AM 上和点M 在线段AN 上两种情况讨论，连接BN ，设BN =x ，根据勾股定理列出方程，求出x 的值，即可得到BN 的长，BN 的长就是AM 的长．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点，抓住图形旋转中不变的量，巧妙构造直角三角形是解决问题的关键． 26.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3交x 轴于A(3,0)，B(−1,0)两点， ∴{9a +3b +3=0a −b +3=0
， 解得：{a =−1b =2
， ∴该抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；
(2)在y =−x 2+2x +3中，令x =0，得y =3，
∴C(0,3)，
∵△PBC 的周长为：PB +PC +BC ，
BC 是定值， ∴当PB +PC 最小时，△PBC 的周长最小．
如图1，点A 、B 关于对称轴l 对称，连接AC
交l 于点P ，则点P 为所求的点．
∵AP =BP ，
∴△PBC 周长的最小值是：PB +PC +BC =AC +BC ．
∵A(3,0)，B(−1,0)，C(0,3)，
∴AC =3√2，BC =√10．
∴△PBC 周长的最小值是：3√2+√10．
抛物线对称轴为直线x =−2
2×(−1)=1，
设直线AC 的解析式为y =kx +c ，将A(3,0)，
C(0,3)代入，得：
{3k +c =0c =3
， 解得：{k =−1c =3
， ∴直线AC 的解析式为y =−x +3，
∴P(1,2)；
(3)存在．。