灰色关联分析法与TOPSIS评价法

与
maxmax x0 (k ) xi (k )
i 1 k 1
n
m
6．计算关联系数 由（12－5）式，分别计算每个比较序列 与参考序列对应元素的关联系数．

i (k )
min min x 0 (k ) xi (k ) max max x0 ( k ) xi ( k )
灰色关联度综合评价法
利用灰色关联分析进行综合评价的步骤 是： 1．根据评价目的确定评价指标体系，收 集评价数据。

2．确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准， 可以以各指标的最优值 （或最劣值）构 成参考数据列，也可根据评价目的选择 其它参照值．记作

x0 (1) , x0 2 , , x0 m X0
0i (k ) x0 (k ) xi (k )
i 0,1, , n; k 1, 2, ,N
(6.6)
绝对差值阵中最大数和最小数即为最大差和最小 差：
1i n 1 k N
max 0i (k )
1i n 1 k N
(max)
(6.7)
min 0i (k )
同样可计算出表6-4中其余关联系数.
表6-4
年份t 2000 2001 2002 2003 2004 2005
01 (t )
0.4191 0.3796 0.5808 0.7055 0.3696 0.2881
02 (t )
0.6067 0.5178 0.4903 0.8761 0.6141 0.3510
r0i称为序列x0和xi(i=1,2,3)的灰色关联度.由于 r03 r02 r01, 因而第三产业产值与GDP的关 联度最大,其次是第二产业、第一产业. 可以看出,灰色关联分析需要经过以下几个步骤： 1.确定分析序列
在对研究问题定性分析的基础上,确定一个因变量 因素和多个自变量因素.设因变量数据构成参考序 ,各自变量数据构成比较序列 X i(i 1, 2, , n), 列 X0 n+1个数据序列成成如下矩阵：
X i ( xi(1), xi(2),
, xi( N ))T , i 0,1, 2,
,n
N为变量序列的长度.
2.对变量序列进行无量纲化 一般情况下,原始变量序列具有不同的量纲或数量 级,为了保证分析结果的可靠性,需要对变量序列 进行无量纲化.无量纲化后各因素序列形成如下矩 阵：
( X 0 , X1, x0 (1) x1 (1) x0 (2) x1 (2) , Xn) x0 ( N ) x1 ( N )
接下来应该是三个绝对值序列分别求平均再进行比较, 就可以解决问题了.但仔细观察表中的数据会发现绝对 差值数据序列的数据间存在着较大的数量级差异(最大 为0.1857,最小的为0.0006,相差300多倍),不能直接进行综 合,还需要对其进行一次规范化.
设(max)和(min)分别表示表中绝对值 的最大数和最小数，则
下表是某地区2000-2005年国内生产总值的统计资料. 现在提出这样的问题：该地区产业中,哪一产业的变 化与该地区国内生产总值(GDP)的变化态势更一致？ 也就是哪一产业与GDP的关联度最大呢？
表 某地区国内生产总值统计资料(百万元)
年份 国内生产总值 第一产业 第二产业 第三产业 2000 1988 386 839 763 2001 2061 408 846 808 2002 2335 422 960 953 2003 2750 482 1258 1010 2004 3356 511 1577 1268 2005 3806 561 1893 1352
, X 1, (X0
其中
(1) x1 (1) x0 (2) x (2) x 0 1 ) , Xn ( N ) x1 ( N ) x0
(1) xn (2) xn (6.2) ( N ) N ( n 1) xn
03 (t )
0.8687 0.7257 0.5213 0.7338 1.000 0.4758
最后分别对各产业与GDP的关联系数序列求算术 平均可得
1 r01 (0.4191 0.3796 0.5808 0.7055 6 0.3696 0.2881) 0.4571 1 r02 (0.6067 0.5178 0.4903 0.8761 6 0.6141 0.3510) 0.5760 1 r03 (0.8687 0.7257 0.5213 0.7338 6 1.000 0.4758) 0.7209
xn (1) xn (2) (6.3) xn ( N ) N ( n 1)
3.求差序列、最大差和最小差 计算(6.3)中第一列(参考序列)与其余各列(比较序 列)对应期的绝对差值,形成如下绝对差值矩阵： 0n (1) 01 (1) 02 (1) (2) (2) (2) 01 02 0 n 0n ( N ) N n 01 ( N ) 02 ( N ) 其中
灰色关联度评价法
一、 灰色关联分析(GRA)方法
灰色关联分析是一种多因素统计分析方法,它是以 各因素的样本数据为依据用灰色联度来描述因素间 关系的强弱、大小和次序的. 如果样本数据列反映出两因素变化的态势(方向、 大小、速度等)基本一致,则它们之间的关联度较大； 反之关联度较小. 与其他传统的多因素分析方法相比, 灰色关联分析对数据要求较低且计算量小,便于广泛 应用. GRA分析的核心是计算关联度,下面通过一个例 子来说明计算关联度的思路和方法.
(max) 由(6.1)式可以看出, 取值的大小可以控制 对数据转化的影响, 取较小的值,可以提高关联系 数间差异的显著性,因而 称为分辨系数 .
(min) 0.0006, (max) 0.1857
0.0006 0.4 0.1857 01 (2000) 0.4191 0.1044 0.4 0.1857
5.计算关联度
比较序列Xi与参考序列X0的关联程度是通过N个关 联系数(即(6.10)中第i列)来反映的,求平均就可得 到Xi与X0的关联度
1 r0i 0i (k ) N k 1
6.依关联度排序
N
(6.11)
对各比较序列与参考序列的关联度从大到 小排序，关联度越大，说明比较序列与参考序 列变化的态势越一致．
i
x0 (k ) xi (k ) max max x0 (k ) xi ( k )
i k
k
i
k
（ 12 5)
k 1,, m
式中为分辨系数，在（0，1）内取值，若 越小， 关联系数间差异越大，区分能力越强。通常取0.5
如果{x0 (k )}为最优值数据列， i (k )越大，越好； 如果{x0 (k )}为最劣值数据列， i (k )越大，越不好。
(min)
(6.8)
4.计算关联系数 对绝对差值阵中数据作 (k ) 0i (k ) (max)
(6.9)
得到关联系数矩阵：
01 (1) 02 (1) (2) (2) 01 02 01 ( N ) 02 ( N )
0i (t )
0 (min) 0i (t ) (max)
因而
0i (t ) (min) 0 1 (max) (max)
0i (t ) 显然 (max) 越大,说明两序列(xi和x0)的变化态势 (t )
一致性弱,反之,一致性强,因此可考虑将
0i
(max)
两序列变化的态势是表现在其对应点的间距上.如果 各对应点间距均较小,则两序列变化态势的一致性强,否 则,一致性弱.分别计算各产业产值与GDP在对应期的间 距(绝对差值),结果见表所示. 年份t
x0 (t ) x1 (t )
0.1044 0.1231 0.0547 0.0319 0.1284 0.1857

3．对指标数据进行无量纲化 无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：

x0 1 x0 2 X 0 , X 1 , , X n x m 0 x1 2 x1 1 x n 1 x n 2 x n m
7．计算关联序 对各评价对象（比较序列）分别计算其 个指标与参考序列对应元素的关联系数 的均值，以反映各评价对象与参考序列 的关联关系，并称其为关联序，记为：

1 m r0i i (k ) m k 1

8．如果各指标在综合评价中所起的作用 不同，可对关联系数求加权平均值即
x1 m
4．逐个计算每个被评价对象指标序列 （比较序列）与参考序列对应元素的绝 对差值 即 x0 (k ) xi (k ) （ k 1,, m i 1,, n, n 为被 评价对象的个数）． n m 5．确定 min min x0 (k ) xi (k ) i 1 k 1
取
倒反向,为了规范化后数据在[0,1]内,可考虑
(min) / (max) 0i (t ) / (max)
由于在一般情况下, (min) 可能为零(即某个0i (t ) 为零)故将上式改进为
在0和1之间取值.
(min) / (max) 0i (t ) / (max)
一个自然的想法就是分别将三次产业产值的时间序列 与GDP的时间序列进行比较,为了能够比较,先对各序列进 行无量纲化,这里采用均值化法.各序列的均值分别为： 2716,461.5,1228.83,1025.67,上表中每列数据除以其均值可 得均值化序列(如表所示) 年份t GDP x0(t) 一产业 x1(t) 二产业 x2(t) 三产业 x3(t) 2000 0.7320 0.8364 0.6828 0.7440 2001 0.7588 0.8819 0.6885 0.7878 2002 0.8597 0.9144 0.7812 0.9291 2003 1.0125 1.0444 1.0237 0.9847 2004 1.2356 1.1073 1.2833 1.2363 2005 1.4013 1.2156 1.5405 1.3182
01 (t )
x0 (t ) x2 (t )
0.0492 0.0704 0.0785 0.0112 0.0477 0.1392
02 (t )
x0 (t ) x3 (t )
0.0119 0.0289 0.0694 0.0278 0.0006 0.0832
03 (t )
2000 2001 2002 2003 2004 2005
?它是基于归一化后的原始数据矩阵找出有限方案中最优方案和最劣方案分别用最优向量和最劣向量表示然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离获得各评价对象与最优方案的相对接近程度以此作为评价优劣的依据它是基于归一化后的原始数据矩阵找出有限方案中最优方案和最劣方案分别用最优向量和最劣向量表示然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离获得各评价对象与最优方案的相对接近程度以此作为评价优劣的依据
0i (t )
上式可变形为
(min) (max) 0i (t ) 0i (t ) (max) i 1, 2,3; t 2000, , 2005
(6.1)
0i (t )称为序列xi和序列x0在第t期的灰色关联系 数(或简称为关联系数).
利用(6.1)对表6-3中绝对差值 进行规范化 ,取 0i (t ) 6-4,以 计算为例： 结果见表 0.4, 01 (2000)
0 n ( N ) N n
0 n (1) 0 n (2)
(6.10)
式中分辨系数 在(0,1)内取值,一般情况下依据 (6.10)中数据情况多在0.1至0.5取值, 越小越能 提高关联系数间的差异.关联系数 0i (k ) 是不超 过1的正数, 0i (k ) 越小, 0i (k ) 越大,它反映第i 个比较序列Xi与参考序列X0在第k个期关联程度.