2023版高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第二讲函数的单调性与最值课件

)
A.13，23
B.13，23
C.12，23
D.12，23
解析：∵偶函数 f(x)满足：对任意的 x1，x2∈[0， ＋∞)(x1≠x2)，都有fxx11－ －fx2x2>0 成立，故 f(x)在[0，＋∞) 上单调递增，根据偶函数的对称性可知，函数在(－∞，0) 上单调递减，由 f(2x－1)<f31可得|2x－1|＜13，∴－31<2x－ 1<13，解得13<x<23.故选 A.
答案：C
(2)(一题两空)已知函数 fwenku.baidu.comx)＝x＋2x－3，x≥1， lgx2＋1，x<1，
则 f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
解析：∵f(－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f(f(－3))＝f(1)＝0. 当 x≥1 时，f(x)＝x＋2x－3≥2 2－3，当且仅当 x＝ 2 时取等号，此时 f(x)min＝2 2－3<0；
第二讲 函数的单调性与最值
课标要求
考情分析
1.本讲以基本初等函数为载体，考查 借助函数图象，会用
函数的单调性、单调区间及函数最值
符号语言表达函数的
的确定与应用；常与函数的图象及其
单调性、最大值、最
他性质交汇命题.
小值，理解它们的作
用和实际意义
2.题型多以选择、填空题形式出现，
若与导数交汇，则为解答题的某一问
1.函数的单调性
单调性
单调递增
单调递减
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
定义
如果∀x1，x2∈D，当
如果∀x1，x2∈D，当
x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)， x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，
那么就称函数f(x)在区间 那么就称函数f(x)在区
D上单调递增.特别地， 间D上单调递减.特别地，
解析：f(x)＝3xx＋－21＝3x＋x＋22－7＝3－x＋7 2，则函数 f(x) 在区间[－5，－3]上单调递增.所以 f(x)max＝f(－3)＝3－ －37＋2＝10，f(x)min＝f(－5)＝3－－57＋2＝136.因此函数 f(x) 的值域为136，10.
答案：136，10
2.(一题两空)若函数 f(x)＝－ax＋b(a＞0)在12，2上的 值域为12，2，则 a＝________，b＝________.
解析：令 u＝x2＋x－6，则 y＝ x2＋x－6可以看作是 由 y＝ u与 u＝x2＋x－6 复合而成的函数.
令 u＝x2＋x－6≥0，得 x≤－3 或 x≥2. 易知 u＝x2＋x－6 在(－∞，－3]上单调递减，在[2， ＋∞)上单调递增，而 y＝ u在[0，＋∞)上单调递增，所以 y＝ x2＋x－6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区 间为[2，＋∞).
(2)若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的 取值范围是( )
解：当 a>0 时，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；当 a<0 时，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增.证明如下：设－1＜x1＜ x2＜1，f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1，f(x1)－f(x2)＝
a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝x1a－x12－xx2－1 1，由于－1＜x1＜ x2＜1，所以 x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上单 调递减；当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、 二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值， 最后结合端点值，求出最值.
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉 的函数，再用相应的方法求最值.
【变式训练】
1.函数 f(x)＝3xx＋－21，x∈[－5，－3]的值域为________.
所以 a＝f－12＝f52.
当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于 函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以 b>a>c.
答案：D
考向 2 解函数不等式 通性通法：求解含“f ”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为 f(g(x))＞f(h(x))
当函数f(x)在它的定义域 当函数f(x)在它的定义
上单调递增时，我们就 域上单调递减时，我们
称它是增函数
就称它是减函数
(续表) 单调性
单调递增
单调递减
图象 描述
自左向右看图象是上升 的
自左向右看图象是下降 的
(续表) 单调性
单调递增
单调递减
等价 形式
fxx11－ －fx2x2＞0； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
答案：BCD
题组二 走进教材
2.(教材改编题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调
递减的是( )
A.y＝1x－x C.y＝ln x－x
B.y＝x2－x D.y＝ex
答案：A
3.(教材改编题)函数 y＝x－2 1在区间[2,3]上的最大值是
________. 答案：2
题组三 真题展现
4.(2019 年北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调
1<x1x2<4，－1<－x11x2<－14.又因为 1<a<3，所以 2<a(x1 ＋x2)<12，得 a(x1＋x2)－x11x2>0，从而 f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)，
故当 a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增.
4.判断并证明函数 f(x)＝x－ax1(a≠0)在(－1,1)上的单 调性.
[例 2]已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位长度后关
于 y 轴对称，当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0 恒成立，
设 a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，c 的大小关系为(
)
A.c>a>b C.a>c>b
B.c>b>a D.b>a>c
解析：由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位长度后 得到的图象关于 y 轴对称，故函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，
值). (3)函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，
y＝f1x的单调性相反. (4)“对勾函数”y＝x＋ax(a>0)在区间(－∞，－ a)和
( a，＋∞)上单调递增；在区间[－ a，0)和(0， a]上单调 递减.
题组一 走出误区 1.(多选题)下列说法错误的是( )
答案：[2，＋∞) (－∞，－3]
3.判断并证明函数 f(x)＝ax2＋1x(其中 1<a<3)在 x∈[1,2] 上的单调性.
解：f(x)在[1,2]上单调递增，证明如下. 设 1≤x1<x2≤2，则 f(x2)－f(x1)＝ax22＋x12－ax21－x11＝ (x2－x1)ax1＋x2－x11x2， 由 1≤x1<x2≤2，得 x2－x1>0,2<x1＋x2<4，
2.函数的最值 前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足
(1)对于任意x∈I，都有
条件 f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)
＝M
结论
M 为最大值
(1)对于任意x∈I，都有 f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M
M 为最小值
【名师点睛】函数单调性的常用结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当 函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小
答案：A
考向 3 求参数的值或取值范围 通性通法：利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义， 确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. (2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数 在此区间的任意子集上也是单调的.
[例 4](1)若函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上是
fxx11－－fx2x2＜0； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
如果在某区间D上 导数 f′(x)>0，那么f(x)在区
间D上单调递增
如果在某区间D上 f′(x)<0，那么f(x)在区 间D上单调递减
【名师点睛】 (1)函数单调性定义中的x1，x2 具有以下三个特征：一 是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字绝不 能丢；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同属一个单调 区间，三者缺一不可. (2)函数 f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间 上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质.
的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式
g(x)＞h(x)(或 g(x)＜h(x)).此时要特别注意函数的定义域.
[例 3](2021 年吴忠一模)已知偶函数 f(x)满足：对任意
的 x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有fxx11－－fx2x2>0 成立，则
满足 f(2x－1)<f13的 x 取值范围是(
递增的是( )
1
A.y＝x 2
B.y＝2－x
C.y＝log 1 x
2
D.y＝1x
答案：A
5.(2021 年全国甲)下列函数中是增函数的为( )
A.f(x)＝－x C.f(x)＝x2
B.f(x)＝23x D.f(x)＝3 x
答案：D
考点一 确定函数的单调性(区间) 1.(多选题)函数f(x)＝|x2－3x＋2|在下列区间递增的有 ()
A.32，＋∞ C.32，2
B.1，32 D.[2，＋∞)
解析：f(x)＝|x2－3x＋2|＝－x2－x32－x＋3x2＋，2x≤，11或＜xx≥＜22，.
如图 D2 所示，函数的递增区间是1，32和[2，＋∞). 故选 BD.
答案：BD
图 D2
2.(一题两空)函数 y＝ x2＋x－6的单调递增区间为 ________，单调递减区间为________.
单调递增的，则实数 a 的取值范围是( )
A.－14，＋∞
B.－41，＋∞
C.－14，0
D.－41，0
解析：当 a＝0 时，f(x)＝2x－3，在定义域 R 上是单调 递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当 a≠0 时，二次函 数 f(x)图象的对称轴为 x＝－1a，
因为 f(x)在(－∞，4)上单调递增， 所以 a＜0，且－a1≥4，解得－41≤a＜0. 综上所述，实数 a 的取值范围是－41，0. 答案：D
解析：∵f(x)＝－ax＋b(a＞0)在12，2上单调递增， ∴f(x)min＝f12＝12，f(x)max＝f(2)＝2.即－－2a2a＋＋bb＝＝212，， 解得 a＝1，b＝52.
答案：1
5 2
考点三 函数单调性的应用 考向 1 利用单调性比较大小 通性通法：比较函数值的大小时，若自变量的值不在 同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单 调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽 量用图象法求解.
A.对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1，x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数 f(x)在区间 D 上单调递增
B.函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) C.对于函数 y＝f(x)，若 f(1)<f(3)，则 f(x)为增函数 D.函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数 f(x)是 增函数
当 x<1 时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当 x＝0 时取等号，此时 f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为 2 2－3.
答案：0 2 2－3 【题后反思】求函数最值的 5 种常用方法及思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最 值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最 低点，求出最值.
考点二 求函数的最值
[例 1](1)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1,2]
上的最大值与最小值之和为 loga2＋6，则 a 的值为( )
A.12
B.14
C.2
D.4
解析：f(x)＝ ax＋logax在[1,2]上是单调函数，所以f(1) ＋f(2)＝loga2＋6，则a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，即 (a－2)(a＋3)＝0，又 a>0，所以 a＝2.