苏科版九年级数学上圆的切线的性质及其判定习题含答案

圆的切线的性质及其判定
一、选择题
1.下列四个选项中的表述,正确的是()
A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
2.如图1,P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,若∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为()
图1
A.3
B.3√3
C.6
D.9
3.[2020·徐州]如图2,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于()
图2
A.75°
B.70°
C.65°
D.60°
4.[2019·宁波鄞州区一模]如图3,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与点A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判定CE是切线的是()
图3
A.∠E=∠CFE
B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC
D.∠ECF=60°
5.如图4,☉O的半径为2,点O到直线l的距离为3,P是直线l上的一个动点,PQ切☉O
于点Q,则PQ的最小值为()
图4
A.√13
B.√5
C.3
D.5
二、填空题
6.如图5,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若大圆的半径为10 cm,小圆的半径为6 cm,则弦AB的长为.
图5
7.[2020·苏州]如图6,已知AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,连接OC交☉O于点D,连接BD.若∠C=40°,则∠B的度数是.
图6
⏜)上, 8.[2019·温州]如图7,☉O分别切∠BAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧(EDF
若∠BAC=66°,则∠EPF等于°.
图7
9.[2019·鄂州]如图8,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A,B在x轴上,且OA=OB,P为☉C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值
为.
图8
10.阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:尺规作图,过圆外一点作圆的切线.已知:如图9,☉O和☉O外一点P.
求作:过点P的☉O的切线.
小涵的主要作法如下:如图10,
(1)连接OP,作线段OP的中点A;
(2)以点A为圆心,OA为半径作圆,交☉O于点B,C;
(3)作直线PB和PC.
则PB和PC就是所求作的切线.
老师说:“小涵的作法是正确的.”
请回答:小涵的作图依据是.
图9
图10
三、解答题
11.[2019·南通模拟]如图11,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,点O在AB上,OB=2,以O为圆心,OB为半径的☉O与AC相切于点D,交BC于点E,求弦BE的长.
图11
12.如图12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,与AC,BC 分别交于点M,N,与AB的另一个交点为E,过点N作NF⊥AB,垂足为F.
(1)求证:NF是☉O的切线;
(2)若NF=2,DF=1,求弦ED的长.
图12
13.已知:在△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,D是边AB上的一点,过C,D两点的☉O分别与边AC,BC交于点E,F.
(1)如图13(a)(b),若D是AB的中点:
①在(a)中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹,不写作法);
②如图(b),连接EF,若EF∥AB,求线段EF的长;
③请写出求线段EF长度最小值的思路.
(2)如图(c),当点D在边AB上运动时,线段EF长度的最小值是.
图13
答案
1.[解析] C由切线的判定定理可知:经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线,故A,B,D选项不正确,C选项正确.故选C.
2.[解析] A如图,连接OA.∵PA为☉O的切线,A为切点,∴∠OAP=90°.
∵OB=3,∴OA=3.
∵∠P=30°,∴OP=6,∴BP=6-3=3.故选A.
3.[解析] B∵OC⊥OA,
∴∠AOC=90°.
∵∠APO=∠BPC=70°,
∴∠A=90°-70°=20°.
∵OA=OB,∴∠OBA=∠A=20°.
∵BC为☉O的切线,
∴OB⊥BC,∴∠OBC=90°,
∴∠ABC=90°-20°=70°.故选B.
4.[解析] C如图,连接OC.∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B.
∵DE⊥AB,
∴∠BDF=90°,
∴∠B+∠DFB=90°.
∵∠EFC=∠BFD,
∴∠B+∠EFC=90°.
若∠ECF=∠EFC,则∠OCB+∠ECF=90°,
∴CE是☉O的切线.故选C.
5.B
6.[答案] 16 cm
[解析] 连接OA,OC.
∵AB是小圆的切线,∴OC⊥AB.
∵OA=10 cm,OC=6 cm,
∴AC=√OA2-OC2=8 cm.
∵AB是大圆的弦,OC过圆心,OC⊥AB,
∴AB=2AC=2×8=16(cm).
7.[答案] 25°
[解析] ∵AC是☉O的切线,
∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°,
∴∠AOC=90°-∠C=90°-40°=50°.
∴∠B=1
∠AOD=25°,
2
即∠B的度数为25°.
8.[答案] 57
[解析] 连接OE,OF.
∵☉O分别切∠BAC的两边AB,AC于点E,F,∴OE⊥AB,OF⊥AC.
∵∠BAC=66°,∴∠EOF=114°.
∵∠EOF=2∠EPF,∴∠EPF=57°.
故答案为57.
9.[答案] 16
[解析] 连接OC并延长,交☉C上一点P,以O为圆心,以OP的长为半径作☉O,交x轴于点A,B,此时∠APB=90°,且AB的长度最大.
∵C(3,4),∴OC=√32+42=5.
∵以点C为圆心的圆与y轴相切,
∴☉C的半径为3,∴OP=OA=OB=8,
∴AB=OA+OB=16.故答案为16.
10.[答案] 直径所对的圆周角是直角
[解析] 连接OB,OC.
∵OP是☉A的直径,
∴∠PBO=∠PCO=90°,
∴OB⊥PB,OC⊥PC.
∵OB,OC是☉O的半径,
∴PB,PC是☉O的切线.
则小涵的作图依据是直径所对的圆周角是直角.
11.解:如图,连接OD,过点O作OF⊥BE于点F,
BE.
∴BF=1
2
∵AC是☉O的切线,
∴OD⊥AC,
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°,
∴四边形ODCF是矩形,
∴OB=OD=FC=2.
∵BC=3,
∴BF=BC-FC=3-2=1,
∴BE=2BF=2.
12.解:(1)证明:连接ON,如图所示.
∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线, ∴CD=BD,
∴∠DCB=∠B.
∵OC=ON,
∴∠ONC=∠DCB,
∴∠ONC=∠B,
∴ON∥AB.
∵NF⊥AB,
∴∠NFB=90°,
∴∠ONF=∠NFB=90°,
∴ON⊥NF.
又∵NF过半径ON的外端,
∴NF是☉O的切线.
(2)过点O作OH⊥ED,垂足为H,如图所示. 设☉O的半径为r.
∵OH⊥ED,NF⊥AB,ON⊥NF,
∴∠OHD=∠NFH=∠ONF=90°,
∴四边形ONFH为矩形,
∴HF=ON=r,OH=NF=2,
∴HD=HF-DF=r-1.
在Rt△OHD中,∠OHD=90°,
∴OH2+HD2=OD2,
即22+(r-1)2=r2,
解得r=5
,
2
.
∴HD=3
2
∵OH⊥ED,且OH过圆心O,
∴HE=HD,
∴ED=2HD=3.
13.解:(1)①答案不唯一,如图(a)所示.
②如图(b),连接CD,FD.
∵AC=6,BC=8,AB=10,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,
∴EF是☉O的直径.
∵D是AB的中点,
∴AD=BD=CD=5,
∴∠B=∠DCB.
∵EF∥AB,
∴∠A=∠CEF.
又∵∠CDF=∠CEF,
∴∠A=∠CDF.
∵∠A+∠B=90°,
∴∠CDF+∠DCB=90°,
∴∠CFD=90°,
∴CD是☉O的直径,
∴EF=CD=5.
③由AC2+BC2=AB2可得∠ACB=90°,
∴EF是☉O的直径.
∵CD 是☉O 的弦, ∴EF ≥CD ,
∴当CD 是☉O 的直径时,EF 的长度最小.
(2)如图(c),由(1)③知,当CD 是☉O 的直径时,EF 的长度最小,最小值为CD 的长.
当点D 在边AB 上运动时,只有当CD ⊥AB 时,CD 的长最小. 由(1)②知,△ABC 是直角三角形, ∴S △ABC =1
2AC ·BC=1
2AB ·CD , ∴AC ·BC=AB ·CD , ∴CD=
AC ·BC AB
=6×810=24
5, ∴线段EF 长度的最小值为24
5.故答案为24
5.。