5.1 特征值与特征向量

4 40 a 2 2 a 0 b 1 3 b 0
例6
设A2 3A 2E O, 证明A 的特征值只能取1或2.
解 设A有特征值， A2 3 A 2E 则
3 2
2
又因为A2 3 A 2E 0 故2 3 2 0.
1或者 2.
例7
设n阶方阵A有n个特征值1,2,…., n, 求|A+3E|.
解 设A有特征值， A 3E 则
3
故A+3E的特征值为4, 5, ….., n+3 ( n 3)! A 3E 3!
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
α 0 是 A 的特征向量吗？ 不是
结论：设1, 2 ,, m是方阵A的m个特征值，p1, p2 ,, pm
Байду номын сангаас
依次是与之对应的特征 向量. 若1, 2 ,, m各不相等，
则p1 , p2 ,, pm线性无关。
总结：
1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍 是属于这个特征值的特征向量． 3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言 的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特 征向量只能属于一个特征值．
特征向量仍为 x。
(1 证明： ) Ax x ( kA) x ( k ) x
( 2) A2 x A Ax Ax Ax x 2 x 1 1 1 1 1 ( 3) A Ax A x A x A x x
* *
|A |

x
若，， ，n 是可逆矩阵A的全部特征值，则A*的 | A| | A| | A| 全部特征值是 : ， ， ， ,且对应的特征向量

2
n
相同。
性质2 矩阵A和AT的特征值相同。 证明: 设 是A的特征值，则| A E | 0
( A E)T | 0，即| AT E | 0. |
例5
2 1 1 (1)若A的特征值为 ,1,1, 求a, b; 4 A 1 a 1 , 1 b 2 (2)若A的特征值为 ,2, 求a, b; 4
1 (3)若 1是A的一个特征向量, 求a, b及所对应的特征值. 1 解: (1) a+2+2=4+1+1 a 2
对于1 3 ，解方程组 (1E A)x 0
6 1 0 6 0 1 1 E A 3 A 6 0 0 1 1 E 6 6 6 12 0 0 0 x1 x3 1, 1 ] 同解方程组为 令 x3 1，得基础解系 1 [ ,1 x2 x3
(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? 不一定
(3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______. 不为0 0 (4) A 0 ，A 有一个特征值为______. -1 A E 0 ，A 有一个特征值为______.
1 A E 可逆, A 的特征值一定不等于______.
同解方程组
1 得基础解系为 P2 , 1
是 时全部特征向量。
例2
解：由
a11 求矩阵 A
a12 a1n a22 a2 n 的特征值. ann
a11
E A
a22


( a11 )( a22 )( ann )
个特征值。
本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数
范围内进行。
注: (1)如果实矩阵A有实特征值，则A一定有实特征向量. (2)对应于特征值 的线性无关的特征向量的数目
为 n r (E A).
二、特征值与特征向量的求法
(1) E A 0 求出 即为特征值；
(2) Ax x ( E A) x 0
性质3 设 n 阶方阵 A (aij ) 特征值为 1 , 2 ,, n , 则
(1) 1 2 n a11 a22 ann
a11 a22 ann称为矩阵的迹， ( A). tr
(2) 12 n A
f () E A ( 1 )( 2 )( n )
k22 k33
( k2 , k3 不同时为零 )
三、特征值与特征向量的性质
性质1 设 是方阵 A 的特征值，对应的一个特征向量 x 则 (1) k 是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为x。 (2) 2 是 A2 的特征值，对应的特征向量仍为 x。 (3) 当 A 可逆时， 1 是 A1 的特征值，对应的
是关于 的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式. a11 a12 a1n a21 a22 a2 n f E A 0 a n1 an 2 ann 称为矩阵A的特征方程.
特征方程 E A 0 的根即为A的特征值。 由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有n个根 (重根按重数计算)。因此，n阶方阵在复数范围恰有n
E A 6
6
3
6 6 0
2
r3 r1
3
6
6
6 6
3
0
6 0
3
3
3
6 1
3
3 6 1
3 3
3 6
c1 c3
3
0 0
3 6
A 的特征值为 1 3, 2 3 3
所以是A 的特征值，则| A E | 0.
T
反之亦然。 注意：特征值相同并不意味着特征向量相同。 1 2 T 1 0 反例，A ， , A 有同一特征值 1 0 3 2 3
1 但对应的特征向量分别为 , 0 1 . 1
ann
得 A 的 n 个特征值为
1 a11 , 2 a22 ,, n ann
问题： 对角矩阵,下三角矩阵的特征值等于什么？
例3
6 6 3 3 6 的特征值和特征向量. 求矩阵 A 6 6 6 9
3
解
6
6 6 9 6 1
a11 a12 a13 1 a11 a12 a13 2 1 a a22 a23 1 a21 a22 a23 2 21 21 1 a31 a32 a33 1 a31 a32 a33 2
x为方阵A的对应于特征值 的一个特征向量。
注意: （1）A是方阵; （2）特征向量x是非零列向量;
（3）方阵A的与特征值 对应的特征向量不唯一; （4）一个特征向量只能属于一个特征值.
定义2 已知 Ann (aij )nn , 为常数, 则E A为A的特征矩阵
a11
a21 E A a n1 a12 a22 an 2 a1 n a2 n ann
例4 证明:n阶矩阵A是奇异矩阵的充要条件是 A有一个特征值为零.
则|A|0. 证：(必要性)如果A是奇异矩阵，
|A-0E||A|0 即0是A的一个特征值. (充分性) 设A有一个特征值为0，对应的特征向量为x1. 由特征值的定义，有Ax1 0x1 0 (x10)， 所以齐次线性方程组 Ax0 有非零解x1. 由此可知|A|0，即A为奇异矩阵.
证明：设有一组数 k1 , k2 , k1P k2 P2 0 (1) 1
A 1 两边左乘A， (k1P k2 P2 ) 0, 即k11P k22 P2 0. 1
(1)乘以1：k11P k21P2 0 k2 P2 (1 2 ) 0. 1
又1 2 k2 0 k1 0
1
a0 a1 am
m
是
( A) a k A k a1 A1 a0 E a1 A am Am
的特征值。
若A可逆，问A*的特征值与A的特征值有何关系？
Ax x , A Ax A x AA x
* * *
|A | x A x A x =
T
因此，对应于特征值 1 的所有特征向量为 k11
(k 0) 1
对于特征值 2 3 3 ，解方程组 (2 E A) x 0
6 6 6 1 1 1 2 E A 3E A 6 6 6 0 0 0 6 6 6 0 0 0
x 1 0 同解方程组为 x1 x2 x3 ，令 2 , x 0 1 3
T T 得基础解系 2 [1, 1,0] , 3 [1,0, 1]
因此，对应于特征值 2 3 3 的所有特征向量为
第五章
特征值与特征向量
§5.1 特征值与特征向量
§5.2 方阵的对角化
§5.1 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质
一、特征值与特征向量的定义
定义1 设A是n阶方阵,若数 和n 维非零列向量x ,使得
Ax x 成立，则称 是方阵A的一个特征值，
(5) 一个特征值对应于几个特征向量? 0 是 Ann 的一个特征值，它对应的最大无关的 特征向量的个数= n r (0 E A) .
一个特征向量对应几个特征值? (6) A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值
T 2 它对应的特征向量是______. 是___, (1, 1, 1)
|A|=4*1*1 (2) |A-4E|=0
|A-2E|=0
. b 1 a 3 . b 0
(3) ( A E ) O
2 1 1 1 a b 1 1 0 1 1 0 2 1 0
把得到的特征值 i 代入上式，
求齐次线性方程组(i E A) x 0 的非零解x
即为所求特征向量。 齐次线性方程组 (i E A) x 0 的通解x (去掉零解） 即为与 i 对应的全部特征向量。
例1 求
的特征值与特征向量。
解:
特征值为
同解方程组
得基础解系为
是 时全部特征向量。

k 则 设 推广： 是方阵A的特征值， k 是 A 的特征值。
( ) a0 a1 a22 am m 是
( A) a0 E a1 A a2 A2 am Am 的特征值。
如果A 可逆，则
( ) a k
k
a1
n (1 2 n )n1 (1)n 12 n
(a11 a22 ann )
n
n1
(1) A
n
性质4 设1, 2是A的2个不同特征值， 1, P2是对应于 P
1, 2的特征向量，则P , P2线性无关。 1