范德蒙行列式-拉普拉斯展开-克莱姆法则.共55页文档
范德蒙行列式的相关应用讲解
范德蒙行列式的相关应用（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是：1222212111112111()n n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。
常见的化法有以下几种：1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。
例1 计算222111222333nn n nD n n n =解 n D 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到n r -。
而是由1递升至n 。
如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到1n -.[]21212111111222!!(21)(31)(1)(32)(2)(1)13331n n n n D n n n n n n nn n ---==-------!(1)!(2)!2!1!n nn =--例2 计算1111(1)()(1)()1111n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1n D +中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n +列依次与上行交换直至第1行，第n 行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n 行，于是共经过(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+++=次行的交换得到1n +阶范德蒙行列式：[][](1)21111(1)211111(1)(1)()(1)()(1)(1)(2)()2(1)((1))!n n n n n n n nn n nk aa a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a n k ++---+=--=-----=--------------=∏ 若n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且n D 中含有由n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以-1加到第1i +行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式： 例3 计算1234222211223344232323231122334411111sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D +Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ解 将D 的第一行乘以-1加到第二行得：123422221122334423232323112233441111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ΦΦΦΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：12342222141234333412341111sin sin sin sin (sin sin )sin sin sin sin sin sin sin sin i j j i D ≤<≤ΦΦΦΦ==Φ-ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ∏例4 计算211122222111111111nnnn nnx x x x x x D x x x ++++++=+++ （1）解 先加边，那么22111111222222222210001111111111111111111n n nn n n n nnnnnx x x x x x D x x x x x x x x x x x x ---+++=+++=+++ 再把第1行拆成两项之和，2211111122111120001111nnn n nnnnnnx x x x x x D x x x x x x =-11111112()(1)()()[2(1)]nnk j i k j j k ni j k nnnk j i i j k ni i x xx x x x x x x x x ≤<≤=≤<≤≤<≤===----=---∏∏∏∏∏∏2.加行加列法各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法： 例5 计算2221233312121113n n nnn nx x x D x x x x x x =解 作1n +阶行列式：122222121333312121111n nn nnnn n nz x x x z x x x D z x x x z x x x +==1()()ni j k i l k j nx z x x =≤<≤--∏∏由所作行列式可知z 的系数为D -，而由上式可知z 的系数为：211211(1)()()nn n j k i n j k li x x x x x x -=≥>≥--∑∏通过比较系数得：1211()()nn j k i n j k li D x x x x x x =≥>≥=-∑∏ 3.拉普拉斯展开法运用公式D =1122n n M A M A M A ++来计算行列式的值：例6 计算111111122122111000010010000100100001n n n n n n n n nnx x y y x x D y y x x y y ------=解 取第1，3，21n -行，第1，3，21n -列展开得： 11111111222211111111n n n n n n nn nnx x y y x x y y D x x y y ------==()()j i j i n j i lx x y y ≥>≥--∏4.乘积变换法 例7 设121(0,1,22)nk k k k k ni i s x xx x k n ==+++==-∑，计算行列式1112122n n n nn s s s s s s D s s s ---=解11121111222111nnn iii i nnn n iiii i i nnnn n n ii i i i nxxxxxD xxx -=====--====∑∑∑∑∑∑∑∑211111221222222122111122111111()n n n nn n n n nnnnj i l i j nx x x x x x x x x x x x x xxx x x x x -----≤<≤==-∏例8 计算行列式000101011101()()()()()()()()()n n n n n n n n nnnn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++解 在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。
行列式计算及克莱姆法则课件
02
克莱姆法则
克莱姆法则的概述
01 02
克莱姆法则定义
克莱姆法则是线性代数中的一个基本法则，用于解决线性方程组的问题 。它指出，对于一个给定的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零 ，则该方程组有唯一解。
线性方程组解的判定定理
唯一解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 不为0时，线性方程组有唯 一解。
无解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且不满秩时，线性方程 组无解。
无数解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且满秩时，线性方程组 有无数解。
04
矩阵的逆与行列式的关 系
矩阵的逆的定义与性质
定义
设矩阵A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵） ，则称B是A的逆矩阵。
利用伴随矩阵的性质计算逆矩 阵。
迭代法
利用迭代公式计算逆矩阵。
分块法
对于大型矩阵，可以将矩阵分 块处理，然后分别求出各块的 逆矩阵，再组合起来得到原矩
阵的逆矩阵。
05
总结与展望
行列式计算及克莱姆法则的重要性和应用领域
线性代数基础
行列式计算是线性代数中的基础概念 ，对于理解矩阵、向量等概念至关重 要。
数值分析
行列式计算在数值分析中有着广泛的 应用，例如在求解线性方程组、计算 特征值和特征向量等方面。
工程领域
在工程领域中，行列式计算是解决各 种实际问题的关键工具，如结构分析 、流体动力学等。
【DOC】行列式的展开法则
【DOC】行列式的展开法则行列式是线性代数中的重要概念之一，它可以用于求解线性方程组、矩阵的逆、矩阵的秩等问题。
展开法则是求解行列式的一种方法，其基本思想是利用行列式的性质，在行（或列）上进行化简，直到得到一个简单的行列式，然后根据行列式的性质进行计算。
本文将介绍行列式的展开法则及其相关性质。
一、定义行列式是一个由数构成的方阵，其计算方式如下：$$ \begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}& \cdots&a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma( 2)}\cdots a_{n\sigma(n)} $$其中，$\sigma$ 是从 $n$ 个数 $1,2,\cdots,n$ 中选取 $n$ 个数的一个排列，$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 是排列 $\sigma$ 的逆序数，$a_{i\sigma(i)}$ 是第$i$ 行 $\sigma(i)$ 列的元素。
例如，当 $n=2$ 时，行列式为：$$ \begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} $$二、展开法则1. 拉普拉斯展开法则拉普拉斯展开法则是行列式展开法则中最基本的一种。
它的基本思想是：对于一个$n$ 阶行列式 $D$，选取其中任意一行（或一列）进行展开，得到 $n-1$ 阶行列式，然后递归地对 $n-1$ 阶行列式进行展开，直到得到 $2$ 阶行列式为止，在计算过程中交替改变符号。
线性代数发展简介
线性方程组
18世纪下半叶，法国数学家贝祖 对线性方程组理论进行了一系列研究 证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件 是系数行列式等于零
19世纪，英国数学家史密斯和道奇森 前者引进了方程组的增广矩阵的概念 后者证明了n个未知数m个方程的方程组
相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩 相同
矩阵
英国数学家凯莱 1858 年，《矩阵论的研究报告》 系统地阐述了关于矩阵的理论: 矩阵的相等、运算法则、转置以及逆等 指出了矩阵加法的可交换性与可结合性
方阵的特征方程和特征根(特征值), 有关矩阵的一些基本结果
凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭 剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学 三年后他转从律师职业，工作卓有成效 并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文
线性代数发展简介
二次型
二次型化简的进一步研究涉及特征方程的 概念
特征方程的概念隐含地出现在瑞士数学家 欧拉的著作中;
法国数学家拉格朗日在其关于线性微分方 程组的著作中首先明确地给出了这个概念;
而三个变数的二次型的特征值的实性则是 由阿歇特、蒙日和泊松建立的
线性代数发展简介
二次型
法国数学家柯西 在别人著作的基础上，着手研究化简变数
线性代数发展简介
线性方程组
大量的科学技术问题，最终往往归结为解 线性方程组。
因此在线性方程组的数值解法得到发展的 同时，线性方程组解的结构等理论性工作 也取得了令人满意的进展。
现在，线性方程组的数值解法在计算数学 中占有重要地位。
线性代数发展简介
向量
古希腊的亚里士多德已经知道力可以表示成向量， 二力合成的平行四边形法则。 法国数学家笛卡尔和费马为解析几何奠定了基础。 挪威测量学家未塞尔(Caspar Wessel, 1745.6.81818.3.25), 瑞士数学家阿工(Jean Robert Argand, 1768.7.18-1822.8.13)发明了复数的几何表示。 英国数学家科兹, 法国数学家棣美弗, 范德蒙 (Alexandre-Théophile Vandermonde, 1735.2.281796.1.1), 瑞士数学家欧拉也曾认识到平面上的点 可与复数一一对应。
克莱姆法则及证明
第7节克莱姆（Cramer）法则一、线性方程组元线性方程组是指形式为：（1）的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，， ; 称为方程组的系数，称为常数项。
线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。
方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。
为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题：(1).这个方程组有没有解？(2).如果这个方程组有解，有多少个解？(3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。
本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即)的情形。
二、克莱姆法则定理1（克莱姆法则）如果线性方程组（2）的系数行列式：那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成：（3）其中是把中第列换成常数项所得的行列式，即。
分析：定理一共有3个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。
因此证明的步骤是：第一，把代入方程组，验证它确实是解。
这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论与。
第二，证明如果是方程组（２）的一个解，那么一定有。
这就证明了解的唯一性，即证明了结论。
证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式，则有：接下来证明定理。
首先，证明（3）确实是（2）的解。
将行列式按第列展开得：，其中是行列式中元素的代数余子式。
现把代入第个方程的左端，得：这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。
其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式：（4）用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到：将此个等式相加，得：从而有：。
这就是说，如果是方程组（2）的一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。
三、齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常数项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。
显然，齐次线性方程组总是有解的，因为就是它的解，这个解称为零解；其他的，即不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。
范德蒙德行列式——简单明了
j. j
三、小结
1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计
算化为低阶行列式计算的重要工具.
n
n
2. aki Akj aik Ajk D ij
k 1
k 1
思考题
1 2 3n
1 2 0 0
设 n 阶行列式 Dn 1 0 3 0
1 0 0n
求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ ···+A1n .
ai1Aj1 + ai2Aj2 + ···+ ainAjn = 0, i j ; a1iA1j + a2iA2j + ···+ aniAnj = 0, i j .
证: 把行列式D = det(aij) 按第 j 行展开, 得
a11 a1n
ai1 ain
D a j1 Aj1 a jn Ajn
从而 D = a11A11, 即结论成立.
再证一般情形, 此时
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
an1 anj ann
把D的第 i 行依次与第 i –1行,第 i –2行, ···, 第1行
交换, 得
0 aij 0
D 1 i1 ai1,1 ai1, j ai1,n
有:
1 11
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 )( xn x1 )
x2
x3 xn
n–1阶范德蒙德行列式
x2n2
x3n2
x
行列式的计算及克莱姆法则
CHAPTER 05
行列式的应用
在几何学中的应用
确定几何形状的面积和体积
行列式可以用于计算多边形的面积和立体的 体积。
线性变换
行列式可以Байду номын сангаас述线性变换，如旋转、平移等。
方向场和梯度
行列式可以用于确定方向场和梯度的计算。
在物理学中的应用
线性弹性力学
行列式在描述物体的弹性性质和应力状态时起到 关键作用。
系数行列式的值不为0时，线性方程组有唯一解；系数行列式的值为0时，线性方程组可能有无穷多解或无解。
系数行列式的计算
通过将线性方程组的系数按照某一行或列展开，得到一个数值，即为系数行列式的值。
利用行列式解线性方程组的方法
克拉默法则
当系数行列式不为0时，线性方程组有唯一解，且可以通过将系数行列式按某一行或列展开，得到线 性方程组的解。
给定线性方程组$begin{cases}x + y = 3 2x + y = 4 end{cases}$，首先计算系数行列式$D = begin{vmatrix}1 & 1 2 & 1 end{vmatrix} = 1 times 1 - 2 times 1 = -1$， 因为系数行列式的值为0，所以线性方程组无解。
克拉默法则的应用步骤
首先计算系数行列式的值，然后根据系数行列式的值是否为0，确定线性方程组的解的情况，最后通过展 开系数行列式得到线性方程组的解。
克拉默法则的应用实例
要点一
实例1
要点二
实例2
给定线性方程组$begin{cases}2x + y = 5 x - y = 1 end{cases}$，首先计算系数行列式$D = begin{vmatrix}2 & 1 1 & -1 end{vmatrix} = 2 times (-1) - 1 times 1 = -3$， 因为系数行列式的值不为0，所以线性方程组有唯一解。通过 展开系数行列式得到$x = frac{D_{1}}{D} = frac{5 - 1}{-3} = -frac{4}{3}$，$y = 5 - 2x = 5 - 2 times (-frac{4}{3}) = frac{23}{3}$。
范德蒙德矩阵和克拉默法则
范德蒙德矩阵和克拉默法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：范德蒙德矩阵和克拉默法则是线性代数中非常重要的概念，它们在矩阵论、方程组解法、行列式计算等方面都有着重要的应用。
范德蒙德矩阵是一个特殊的矩阵，它可以用来表示多项式的系数，而克拉默法则则是一种解线性方程组的方法，通过克拉默法则可以求解任意的线性方程组，从而得到方程组的解。
本文将介绍范德蒙德矩阵和克拉默法则的定义、性质及应用。
一、范德蒙德矩阵范德蒙德矩阵是一个很特殊的矩阵，它可以用来表示多项式的系数。
一个n次多项式可以表示为：f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n其中a0, a1, a2, ..., an是多项式的系数。
我们可以将多项式的系数表示为一个n+1阶的矩阵，这个矩阵就是范德蒙德矩阵。
对于一个3次多项式：它的系数矩阵为：V = |1 x x^2 x^3|;|1 x1 x2 x3|;|1 x2 x4 x8|;|1 x3 x9 x27|;其中x1, x2, x3, ..., xn是多项式的变量值。
范德蒙德矩阵具有一些特殊的性质，例如范德蒙德矩阵的行列式等于多项式的导数值，这使得范德蒙德矩阵在计算多项式的导数值时非常有用。
范德蒙德矩阵还有一些其他的性质，例如它是一个Vandermonde矩阵，它的行列式不为零等。
范德蒙德矩阵在数学中有非常广泛的应用，例如在插值多项式、数值积分、插值多项式等方面都有着重要的作用。
二、克拉默法则一个n元线性方程组可以表示为：a11*x1 + a12*x2 + ... + a1n*xn = b1a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn = b2...an1*x1 + an2*x2 + ... + ann*xn = bn其中a11, a12, ..., ann是系数矩阵的元素，b1, b2, ..., bn是常数矩阵的元素。
利用克拉默法则，可以得到线性方程组的解的表达式为：x1 = D1/Dx2 = D2/D...xn = Dn/D其中D是系数矩阵的行列式，Di是将系数矩阵的第i列替换为常数矩阵得到的矩阵的行列式。
范德蒙德行列式
02
范德蒙德行列式的性质
行列式的值唯一确定
• 范德蒙德行列式的值是由其元素唯一确定的。行列式的元素满足线性关系，即对于任意两个不同的排列，其对 应的行列式值是相等的。这种线性关系是范德蒙德行列式的一个重要性质，也是其广泛应用于矩阵计算和线性 方程组求解的基础。
转置不改变行列式的值
• 范德蒙德行列式的转置不改变其值。也就是说，对于任意一个n阶范德蒙德行 列式D，有D^T=D。这个性质在计算行列式时非常重要，因为它意味着我们 不需要对每个元素进行单独处理，而可以将它们按照一定的规律进行排列，从 而简化计算过程。
范德蒙德行列式的推广
范德蒙德行列式是组合数学中的重要公式，可以用于求解一 些组合数的问题。通过对该行列式的推广，我们可以将其应 用于更广泛的数学问题中。
推广的范德蒙德行列式可以用于求解更复杂的组合数问题， 也可以用于研究矩阵的特性。通过对行列式的深入研究，我 们可以得到许多有价值的数学结论。
范德蒙德行列式在量子力学中的应用
代数余子式
• 在范德蒙德行列式的定义中，我们可以看到每个子行列式都是由给定点的坐标差组成的。这些子行列式称为代 数余子式（Algebraic Minors）。
范德蒙德矩阵
• 范德蒙德矩阵（Vandermonde Matrix）是由给定平面上任意n个点的所有有 序坐标差组成的矩阵。其行向量和列向量都由给定点的坐标构成。
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03
范德蒙德行列式的计算方 法
递归法
递归法是一种通过不断将问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。在计算范德蒙德行列式时，可 以将行列式拆分成更小的行列式，然后逐个计算，最终得到原行列式的值。
具体来说，我们可以将范德蒙德行列式的每一行都拆分成两个或更多的行，然后利用拆分后的行列式 与原行列式的递推关系，从低阶行列式推导出高阶行列式的值。这种方法虽然比较繁琐，但对于计算 一些低阶的范德蒙德行列式非常有效。
范德蒙行列式-拉普拉斯展开-克莱姆法则
a12 a11a22 a12a21 a22
11
由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的结果写为：
a D a
21
a a
12
并称为线性方程组（1）的系数行列式，
22
b1 D1 b2
a12 a11 , D2 a22 a21
b1 b2
则当D ≠0时，有
D1 D2 x1 , x2 D D
利用性质，将它化为一个上三角行列式，再计算。 解：
4 1 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1 0 1 1 0 0 7
3 2 1 1 2 0 0 1 1 0 6 1 2 4 1 2 4 1
=7
22
线性代数
第一章 n阶行列式
第3节 n阶行列式的计算
1 2 5 0 例2： 2 3 8 1 3 1 2 4 1 4 2 5
1
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式
一. 二阶和三阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
1
用中学学过的加减消元法可得结论：当a11a22 a12a21 0时， 方程组有唯一解：
其中aij , b j i , j 1,2为常数， x1, x2为未知量。
a11 ai 1 a s1
a12 a1n ai 2 ain
a11 ai 1 a n1
a12 ai 2 an 2
a1n ain ann
a s 2 a sn
as1 kai 1 as 2 kai 2 as 3 kain
范德蒙德行列式——简单明了
ai1 j1 ai1 j1
ai1 j1
ai1 j1
ai1n ai1n
an1 an2 anj1 anj1 ann
记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.
例如
a11 a12
D
a21 a31
aij1 ain
ai1 j1 ai1n
an1 an2 anj1 anj
anj1 ann
a11 a12 a1 j1 a1 j1 a1n
a21 a22 a2 j1 a2 j1 a2n
M ij
a i 11
a i 11
a i 12
D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ···+ ainAin ( i =1, 2, ···, n);
D = a1iA1i + a2iA2i + ···+ aniAni ( i =1, 2, ···, n).
证: a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
a21 a22 a2 j1 a2 j
a1 j1
a2 j1
a1n a2n
D
a i 11 ai1 a i 11
a i 12 ai2 a i 12
ai1 j1 aij1 ai1 j1
ai1 j aij ai1 j
ai1 j11 ai1n
x
n1 n
行列式性质计算克莱姆法则
推论：(1) 若矩阵 A 有两列(行)相等， 则 |A|=0
(2) 若矩阵 A 两列(行)成比例，则|A|=0
推论：(1) 若矩阵 A 有两列(行)相等， 则 |A|=0
(2) 若矩阵 A 两列(行)成比例，则|A|=0
证明：假设 A A1
记 B A1
Ai
Ai
An
Ai
kAi
An
例7 求解方程
1 1 1 1 1 1 x 2 2 0 2 2 x 1 0 3 3 1 x 0 ( x 1) ( x 4)
2
1 1 x 1 1 0 x2 0 2
1 1 1 x 3
解为 x1=x2=1，x3=4
克莱姆法则
回顾：n 阶矩阵的行列式
det A=a11A11+a12A12+...+a1nA1n
例5 求范德蒙行列式 1 1 1
a1 2 D a1 a
n 1 1
a2 2 a2 a
n 1 2
a3 2 a3 a
n 1 3
1 an 2 an a
n 1 n
例5 求范德蒙行列式 1 1 1
a1 2 D a1 a
n 1 1
a2 2 a2 a
n 1 2
a3 2 a3 a
n 1 3
1 an 2 an a
=(-1)n det A 由于 n 为奇数，det A=0
例4 求 det D
a b b b a b D b b b
b b a
例4 求 det D
a b b b a b D b b b
b b a
注意 D 的行之间具有“循环”性质 将其他行加到第一行，第一行相等
(整理)范德蒙行列式及其应用
范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。
它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质 1.范德蒙行列式的定义 定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---= (1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在级行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积 ，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得=根据上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有=同样可得=（）()()此处是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得=（）()（）由以上的计算可以得出，定理1 n 阶范德蒙行列式n V （1x ,2x ,…n x ）=12222121111211...1nn n n n nx x x x x x x x x ---=∏(i j x x -).有这个结果立即得出定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.二． 范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.1. 范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助. 例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证 不妨设n>0,如果 f(x)=2012n n a a x a x a x ++++有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有 ()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x ++++≤≤，11即 201121120222222012110,0,.......................0.n n nn n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式211122222111111nn n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.因此010n a a a ====，这个矛盾表明 ，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.证明 ：设()1011n n f x c c x c x --=+++，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知101111110121221011,,.n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c ac a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式()21111212221211101n n ji i j nn nnna a a a a a D aa a a a --≤<≤-==-≠∏.则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=+++，使得(),1,2,i i f a b i n ==.例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即()i i f a b =()1i n ≤≤.证明： 设()12121n n n n f x c xc x c x c ---=++++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关于12,,,n c c c 的线性方程组：12111211112212221212121,,.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：121111222212111121111n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a D a a a a a a -----------=.当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.2. 范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用例 4 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++22221122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++=222121311222322333333()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++=0.123,,a a a 线性无关，故有2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解， 即2,,b Ab A b 线性无关.例 5 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=那么，()11220,11jr r Ax x x j r ααα+++=≤≤-，即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα====，又0i α≠于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.3. 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例。
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16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
范德蒙行列式-拉普拉斯展开-克莱姆 法则.
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 5常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
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