2022——2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题(3月4月)含答案

2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1.若3（a +1）的值与1互为倒数，则a 的值为（）A.﹣
23
B.﹣43
C.0
D.
43
2.下列运算正确的是（）
A.（a +b ）2=a 2+b 2
B.（﹣1+x ）（﹣x ﹣1）=1﹣x 2
C.a 4•a 2=a 8
D.（﹣2x ）3=﹣6x 3
3.若代数式1
1
x +-有意义，则实数x 的取值范围是（）A.x ≠1
B.x ≥0
C.x ≠0
D.x ≥0且x ≠1
4.某市测一周PM 2.5的月均值（单位：微克/立方米）如下：50，40，73，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（）
A.50和50
B.50和40
C.40和50
D.40和40
5.已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =1
2，AC =BC 的值为（）
A.2
B.4
C. D.6
6.从1，2，3，4这四个数中随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是（）
A.
1
3
B.
12
C.
14
D.
16
7.关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是（）A.3m ≤ B.3m <C.3m <且2m ≠ D.3m ≤且2
m ≠8.圆锥的底面直径是80cm ，母线长90cm ，则它的侧面展开图的圆心角是（
）A.320°
B.40°
C.160°
D.80°
9.化简2216a a 4a 2
a 4a 42a 4a 4
--+÷⋅
++++，其结果是A.2
- B.2
C.()
2
2
a 2-
+ D.
()
2
2
a 2+10.有下列命题：
①若x2＝x，则x＝1；
②若a2＝b2，则a＝b；
③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
④相等的弧所对的圆周角相等；
其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
11.已知菱形
OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）
A.（0，0）
B.（1，1
2
） C.
6
5
3
5 D.
10
7
5
7
12.抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为()
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；
②c＝a+3；
③a+b+c＜0；
④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题（每小题3分，共24分）
13.某种计算机完成基本运算的时间约为0.000000001s，把0.000000001用科学记数法表示为_____．
14.
若x=3x2﹣6x+9的值为_____．
15.计算：2cos45°﹣（π+1）01
1()2
-=______．16.如图，□ABCD 的周长为20cm ，AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△CDE 的周长为_________cm.
17.如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是 CF
的中点，弦CF 交AB 于点E ，若⊙O 的半径为2，则CF ＝________．
18.已知双曲线k
y x
=Rt △OAB 斜边OA 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若S △OAC =3，则k =______．
19.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为____．
20.菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：（1）BF为∠ABE的角平分线；
（2）DF=2BF；（3）2AB2=DF•DB；（4）sin∠BAE=EF
AF．其中正确的结论为___（填序号）
三、解答题（共6小题，满分60分）
21.今年10月，某公司随机抽取所属的a家连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了
A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚没有完整的统计图表．
根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩没有少于80分的连锁店中任选2家介绍营销，求其中至少有一家是A等级的概率．
22.某市在新农村改造工程中需要修建一段东西方向全长1000米的道路（记作AB）．已知C点周围350米范围内有一电力设施区域．在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C
在B的北偏西45°方向上．（≈1.414）
（1）道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？
（2）在施工250米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，加快了施工进度，实际工作效率变成了原计划工作效率的1.5倍，结果提前5天完成了修路任务，则原计划每天修路多
少米？
23.我市某电器商场根据民众健康需要，代理某种家用空气净化器，其进价是200元/台．市场后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台的任务．
（1）试确定月量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；
（2）求出售价x的范围；
（3）商场每月这种空气净化器所获得的利润为w（元），写出w关于x的关系？当售价x（元/台）定为多少时利润，是多少？
24.如图，OA，OD是⊙O半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求 DE的长度．(结果保留π)
25.如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若没有成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，时，求线段BG的长．
26.已知抛物线y＝ax2＋bx－3(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为310
2？若存在，求出k的值；若没有存在，请说明
理由．
2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1.若3（a +1）的值与1互为倒数，则a 的值为（）A.﹣
23
B.﹣
43 C.0
D.
43
【正确答案】A
【详解】解：由题意得：3（a +1）=1，解得：a =﹣2
3
．故选A ．2.下列运算正确的是（）
A.（a +b ）2=a 2+b 2
B.（﹣1+x ）（﹣x ﹣1）=1﹣x 2
C.a 4•a 2=a 8
D.（﹣2x ）3=﹣6x 3
【正确答案】B
【详解】解：A ．（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，故本选项错误；B ．（﹣1+x ）（﹣x ﹣1）=1﹣x 2，故本选项正确；C ．a 4•a 2=a 4+2=a 6，故本选项错误；
D ．（﹣2x ）3=（﹣2）3x 3=﹣8x 3，故本选项错误．故选B ．
3.若代数式1
1
x +-有意义，则实数x 的取值范围是（）A.x ≠1 B.x ≥0
C.x ≠0
D.x ≥0且x ≠1
【正确答案】D
【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件：二次根式被开方数必须是非负数和分式分母没
有为0的条件，要使11x +-在实数范围内有意义必须10
0x x ì-¹ïí³ïî
，据此列出关于x 的没有
等式组，求出x 的取值范围即可．
【详解】解：∵代数式
1
1
x -有意义，
∴
10
x
x
ì-¹
ï
í
³
ïî
，
解得x≥0且x≠1．
故选D．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
4.某市测一周PM2.5的月均值（单位：微克/立方米）如下：50，40，73，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（）
A.50和50
B.50和40
C.40和50
D.40和40【正确答案】A
【详解】试题分析：从小到大排列此数据为：37、40、40、50、50、50、75，数据50出现了三次至多，所以50为众数；50处在第4位是中位数．故选A．
考点：中位数；众数．
5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=1
2
，AC=BC的值为（）
A.
2 B.4 C. D.6
【正确答案】A
【详解】解：∵sin A=1
2
，∴∠A=30°，∴tan30°=
3
3
=
BC
AC ，∴BC=2．故选A．
6.从1，2，3，4这四个数中随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的2倍的概率是（）
A.1
3 B.
1
2
C.
1
4 D.
1
6
【正确答案】A
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中一个数是另一个数两倍的有4种情况，∴其中一个数是另一个数2倍的概率是：
412=1
3
．故选A ．7.关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是（）A.3m ≤ B.3m <C.3m <且2m ≠ D.3m ≤且2
m ≠【正确答案】D
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有实数根，∴20m -≠且△≥0，即224(2)10m --⨯≥，解得3m ≤，
∴m 的取值范围是3m ≤且2m ≠．故选：D ．
8.圆锥的底面直径是80cm ，母线长90cm ，则它的侧面展开图的圆心角是（）A.320° B.40°
C.160°
D.80°
【正确答案】C
【详解】解：∵圆锥的底面直径是80cm ，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd =80π，∵母线长
90cm ，∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：1
2
lr =
12
×80π×90=3600π，∴2
90360
n π⨯=3600π，解得：
n =160．故选C ．
点睛：本题考查了圆锥的有关计算，解答此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系．
9.化简2216a a 4a 2
a 4a 42a 4a 4
--+÷⋅
++++，其结果是A.2- B.2
C.()
2
2
a 2-
+ D.
()
2
2
a 2+【正确答案】A
【详解】试题分析：利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，各分子分母因式分解后，约分即可得到结果：
()()()
()222
a 4a 42a 216a a 4a 2
a 22a 4a 42a 4a 4a 4a 4a 2+-+--++÷⋅=-⋅⋅=-++++-++．故选A ．10.有下列命题：①若x 2＝x ，则x ＝1；②若a 2＝
b 2，则a ＝b ；
③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；④相等的弧所对的圆周角相等；
其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【正确答案】B
【详解】解：若x 2=x ，则x =1或x =0，所以①错误；若a 2=b 2，则a =±b ，所以②错误；
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以③正确；
相等的弧所对的圆周角相等，所以④正确．四个命题的逆命题都是真命题．故选B ．
点睛：本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论；命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11.已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP +DP 最短时，点P 的坐标为（
）
A.（0，0）
B.（1，1
2）
C.
653
5
D.
10757
【正确答案】D
【详解】解：如图连接AC ，AD ，分别交OB 于G 、P ，作BK ⊥OA 于K
．
∵四边形OABC 是菱形，∴AC ⊥OB ，GC =AG ，OG =BG
=A 、C 关于直线OB 对称，∴PC +PD =PA +PD =DA ，∴此时PC +PD 最短．在RT △AOG 中，
AG
，∴AC =OA •BK =12•AC •OB ，∴BK =4
，AK =3，∴点B 坐标（8，4）
，∴直线OB 解析式为12y x =，直线AD 解析式为115y x =-+，由12115y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：10757x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴点P 坐标10757．故选D ．12.抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为(
)
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ；
②c ＝a+3；
③a+b+c ＜0；
④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根．A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【正确答案】C 【分析】通过比较点(3,)P m -和(3,)Q n 到直线1x =-的距离大小可对①进行判断；利用对称
轴方程得到2b a =，再利用1x =-时，3y =可对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点A 在点(0,0)和(1,0)之间，则利用当1x =时，0y <可对③进行判断；根据抛物线2y ax bx c =++的顶点为(1,3)-可对④进行判断．
【详解】解： 抛物线2y ax bx c =++的顶点为(1,3)-，
∴抛物线的对称轴为直线1x =-，
而点(3,)P m -比(3,)Q n 到直线1x =-的距离小，
m n ∴>；所以①错误；
12b a
-=- ，2b a ∴=，
1x =- 时，3y =，
3a b c ∴-+=，
23a a c ∴-+=，即3c a =+，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴的一个交点A 在点(3,0)-和(2,0)-之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点A 在点(0,0)和(1,0)之间，
∴当1x =时，0y <，
即0a b c ++<，所以③正确；
抛物线2y ax bx c =++的顶点为(1,3)-，
∴方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以④正确．
故选：C ．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△240b ac =->时，抛物线与x 轴有2个交点；△240b ac =-=时，抛物线与x 轴有1个交点；△240b ac =-<时，抛物线与x 轴没有交点．
二、填空题（每小题3分，共24分）
13.某种计算机完成基本运算的时间约为0.000000001s ，把0.000000001用科学记数法表示为_____．
【正确答案】1×10﹣9．
【详解】解：0.000000001=1×10﹣9．故答案为1×10﹣
9．14.若x=3
x 2﹣6x+9的值为_____．
【正确答案】2.
【详解】根据完全平方公式可得x 2﹣6x+9=（x ﹣3）2，当x=3时，原式=（3﹣3）2=2.
15.计算：2cos45°﹣（π+1）011()2-=______．
32
+．
【详解】解：原式=2121222⨯
-++=3232．16.如图，□ABCD 的周长为20cm ，AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△CDE 的周长为_________cm.
【正确答案】10
【分析】先由平行四边形的性质和周长求出AD+DC=10，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE ，即可得出△CDE 的周长=AD+DC ．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC ，AD=BC ，OA=OC ，
∵ ABCD 的周长为20cm ，
∴AD+DC=10cm ，
又∵OE ⊥AC ，
∴AE=CE ，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；
故答案是：10．
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，运用线段垂直平分线的性质得出AE=CE是解决问题的关键．
17.如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是 CF的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝________．
【正确答案】
【详解】试题解析：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵BD=OB，
∴OB=1
2 OD，
∵OC=OB，
∴OC=1
2 OB，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AB为⊙O的直径，点B是 CF的中点，∴CF⊥OB，CE=EF，
∴CE=OC•sin60°=2×
2
∴CF=2
考点：1．切线的性质；2．含30度角的直角三角形；3．垂径定理．
18.已知双曲线k y x
=
Rt △OAB 斜边OA 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若S △OAC =3，则k =______．
【正确答案】﹣2．
【详解】解：设D （m ，k m ）．∵双曲线k y x
=
Rt △OAB 斜边OA 的中点D ，∴A （2m ，2k m ）．∵S △OAC =3，∴12•（﹣2m ）•2k m +12k =3，∴k =﹣2．故答案为﹣2．点睛：本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数k y x =
图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．
19.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为____．
．
【详解】试题分析：先根据折叠的性质得DE=EF ，CE=EF ，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF ，AB=5，再作AH ⊥BC 于H ，由于AD ∥BC ，∠B=90°，则可判断四边形ADCH 为矩形，所以AH=DC=2EF ，
HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．
考点：翻折变换（折叠问题）．.
20.菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：（1）BF为∠ABE的角平分线；
（2）DF=2BF；（3）2AB2=DF•DB；（4）sin∠BAE=EF
AF．其中正确的结论为___（填序号）
【正确答案】（1）（3）（4）
【详解】试题分析：（1）正确．根据菱形性质即可判定．（2）错误．假设成立推出矛盾即可．
（3）正确．由△ADO∽△FDA，得AD DO
DF AD
，AD2=DO•DF，两边乘2即可得到证明
（4）正确．由AD∥BC，得EF
AF=
BE
AD=
BE
AB，又sin∠BAE=
BE
AB，由此即可证明．
故答案为（1）（3）（4）．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21.今年10月，某公司随机抽取所属的a家连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了
A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚没有完整的统计图表．
根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩没有少于80分的连锁店中任选2家介绍营销，求其中至少有一家是A等级的概率．
【正确答案】（1）2；（2）28°48′；（3）5 6．
【详解】试题分析：（1）利用扇形统计图得到C等级所占的百分比，再用C等级的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后用样本容量分别减去A、C、D等级的频数即可得到a的值；（2）用B等级所占的百分比乘以360°可得到B等级所在扇形的圆心角的大小；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出至少有一家是A等级的结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：解：（1）15÷60%=25，所以a=25﹣2﹣15﹣6=2；
（2）B等级所在扇形的圆心角=2
25×360°=28°48′；
（3）评估成绩没有少于80分的连锁店中A等级有2家，B等级有2家，画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中至少有一家是A等级的结果数为10，所以其中至少有一家是A
等级的概率=10
12=
5
6．
22.某市在新农村改造工程中需要修建一段东西方向全长1000米的道路（记作AB）．已知C点周围350米范围内有一电力设施区域．在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C
在B的北偏西45°方向上．（≈1.414）
（1）道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？
（2）在施工250米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，加快了施工进度，实际工作效率变成了原计划工作效率的1.5倍，结果提前5天完成了修路任务，则原计划每天修路多少米？
【正确答案】（1）没有穿过；（2）50．
【详解】试题分析：（1）首先过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD =x 米，然后利用三角函数，即
可表示出AD 与BD +x =1000，求得CD 的长，与350米比较，即可得道路AB 没有穿过电力设施区域；
（2）首先设原计划每天修路y 米，根据题意即可得分式方程，解分式方程即可求得答案．试题解析：解：（1）道路AB 没有穿过电力设施区域．
如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD =x 米．由题意得：∠CAD =90°﹣60°=30°，∠CBD =90°
﹣45°=45°．在Rt △ACD 中，AD =tan 30CD =（米）
．在Rt △BCD 中，BD =CD =x
（米）．∵AB =1000+x =1000，解得：x 500≈366．∵366米＞350米，∴道路AB 没有穿过电力设施区域；
（2）设原计划每天修路y 米，依题意得：
100010002502505 1.5y y y
--=+解得：y =50，经检验，y =50是原分式方程的解．
答：原计划每天修路50米．
点睛：本题考查了方向角问题与分式方程的应用．注意构造直角三角形并利用解直角三角形的知识是解答本题的关键．
23.我市某电器商场根据民众健康需要，代理某种家用空气净化器，其进价是200元/台．市场
后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台的任务．
（1）试确定月量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式；
（2）求出售价x 的范围；
（3）商场每月这种空气净化器所获得的利润为w （元），写出w 关于x 的关系？当售价x （元/台）定为多少时利润，是多少？
【正确答案】（1）y=﹣5x+2200；（2）300≤x≤350；（3）W=﹣5（x ﹣320）2+72000，当售价定为320元/台时，商场每月这种空气净化器所获得的利润w ，利润是72000元．
【详解】试题分析：（1）根据题中条件价每降低10元，月量就可多售出50台，即可列出函数关系式；
（2）根据供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台的即可求出x 的取值．
（3）用x 表示y ，然后再用x 来表示出w ，根据函数关系式，即可求出w ；
试题解析：解：（1）根据题中条件价每降低10元，月量就可多售出50台，则月量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式：y =200+50×
40010
x -，化简得：y =﹣5x +2200；∴y 与x 之间的函数关系式为：y =﹣5x +2200；
（2）供货商规定这种空气净化器售价没有能低于300元/台，代理商每月要完成没有低于450台，根据题意得：30052200450
x x ≥⎧⎨-+≥⎩，解得：300≤x ≤350，∴售价x 的范围为：300≤x ≤350；（2）W =（x ﹣200）（﹣5x +2200），整理得：W =﹣5（x ﹣320）2+72000．
∵x =320在300≤x ≤350内，∴当x =320时，值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月这种空气净化器所获得的利润w ，利润是72000元．
点睛：本题主要考查了二次函数的应用，还应用到将函数变形求函数最值的知识．
24.如图，OA ，OD 是⊙O 半径．过A 作⊙O 的切线，交∠AOD 的平分线于点C ，连接CD ，延长AO 交⊙O 于点E ，交CD 的延长线于点B ．
(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线；
(2)如果D 点是BC 的中点，⊙O 的半径为3cm ，求 DE
的长度．(结果保留π)
【正确答案】（1）证明见解析；（2） DE的长度为π.
【详解】（1）证明：∵AC是⊙O切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵CO平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，
∴△AOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）∵OD⊥BC，DC=DB，
∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
DE的长度=π．
∴
25.如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若没有成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，时，求线段BG的长．
【正确答案】解：（1）BD=CF 成立．理由见解析；（2）①证明见解析；②
810
5
【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，易证得△BAD ≌△CAF ，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF ；
（2）①由△BAD ≌△CAF ，可得∠ABM=∠GCM ，又由对顶角相等，易证得△BMA ∽△CMG ，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD ⊥CF ；
②首先过点F 作FN ⊥AC 于点N ，利用勾股定理即可求得AE ，BC 的长，继而求得AN ，CN 的长，又由等角的三角函数值相等，可求得14
33
AM AB =
=，然后利用△BMA ∽△CMG ，求得CG 的长，再由勾股定理即可求得线段BG 的长．【详解】解（1）BD=CF 成立．
理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，∴AB=AC ，AD=AF ，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC-∠DAC ，∠CAF=∠DAF-∠DAC ，∴∠BAD=∠CAF ，在△BAD 和△CAF 中，
AB AC
BAD CAF AD AF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BAD ≌△CAF （SAS ）．∴BD=CF ．
（2）①证明：设BG 交AC 于点M ．∵△BAD ≌△CAF （已证），∴∠ABM=∠GCM ．∵∠BMA=∠CMG ，
∴△BMA ∽△CMG ．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD ⊥CF ．
②过点F 作FN ⊥AC 于点N
．
∵在正方形ADEF 中，
，
21
12
AE AN FN AE ∴==∴==
=∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC-AN=3
，BC =
=∴在Rt △ABM 中，1
tan 3
FN FCN CN ∠==∴在Rt △ABM 中，1
tan tan 3
AM ABM FCN AB ∠=
=∠=14
33
AM AB ∴=
=484104,333CM AC AM BM ∴=-=-====
∵△BMA ∽△CMG ，
BM CM
BA CG
∴
=833
4CG ∴
=5
CG ∴=
∴在Rt△BGC中，
5
BG==
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形思想的应用，注意辅助线的作法．
26.已知抛物线y＝ax2＋bx－3(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为310
2？若存在，求出k的值；若没有存在，请说明
理由．
【正确答案】（1）y=x2﹣2x﹣3
（2）当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A），点B的坐
（3）没有存在，理由详见解析
【分析】（1）令x=0求出y值即可得出C点的坐标，又有点（﹣1，0）、（3，0），利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出“x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3”，点O为线段AB的中点即可得出x A+x B=2+k=0，由此得出k的值，将k的值代入一元二次方程中求出x A、x B，在代入函数解析式中即可得出点A、B的
坐标；
（3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的“x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3”，即可得出关于k的一元二次方程，方程无解即可得出假设没有成立，从而得出没有存在满足题意的k值．【小问1详解】
解：令抛物线y=ax2+bx﹣3中x=0，
则y=﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∵抛物线y=ax2+bx﹣3（﹣1，0），（3，0）两点，
∴有
03 0933
a b
a b
=--
⎧
⎨
=+-
⎩
，
解得：
1
2 a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
【小问2详解】
解：将y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中，
得：kx=x2﹣2x﹣3，
整理得：x2﹣（2+k）x﹣3=0，
∴x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3．
∵原点O为线段AB的中点，
∴x A+x B=2+k=0，
解得：k=﹣2，
当k=﹣2时，
x2﹣（2+k）x﹣3=x2﹣3=0，
解得：x A=﹣x B．
∴y A=﹣2x A，y B=﹣2x B．
故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，
点A，点B；【小问3详解】
解：假设存在实数k使得△ABC的面积为310 2，
由（2）可知：x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3，
S△ABC=1
2OC•|x A﹣x B|()2
1310
34
22
A B A B
x x x x
=⨯⨯+-⋅=，
∴（2+k）2﹣4×（﹣3）=10，即（2+k）2+2=0，
∵（2+k）2非负，无解，
故假设没有成立，
所以没有存在实数k使得△ABC的面积为310 2．
本题考察了二次函数的应用，属于综合的题目，解题的关键是会求二次函数与坐标轴的交点，求直线与二次函数的交点．
2022-2023学年吉林省长春市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（每小题4分，共10题、共40分）
1.下列运算正确的是（）
A.a+a=a2
B.a2•a=2a3
C.a3÷a2=a
D.（a2）3=a5
2.某种细胞的直径是0.000067厘米,将0.000067用科学记数法表示为()
A.6.7×10−5
B.0.67×10−6
C.0.67×10−5
D.6.7×10−6
3.下列根式中是最简根式的是（）
A.2
ab B.2
a b+ C.
b a D.22
2
a a
b b
++
4.某运动器材的形状如图所示，以箭头所指的方向为左视方向，则它的俯视图是（）
A. B. C. D.
5.下列命题中正确的是（）
A.平分弦的直径垂直于弦；
B.与直径垂直的直线是圆的切线；
C.对角线互相垂直的四边形是菱形；
D.连接等腰梯形四边中点的四边形是菱形．
6.如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（）
A.（20+x）（32﹣x）＝540
B.（20﹣x）（32﹣x）＝100
C.（20﹣x）（32﹣x）＝540
D.（20+x）（32﹣x）＝540
7.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法没有正确的是（）．
A.△CDH的周长等于AD+CD
B.FC平分∠BFD
C.
AC2+BF2=4CD2 D.DE2=EF.CE
8.学校准备从甲、乙、丙、丁四个科技创新小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数x（单位：分）及方差2s如表所示：
甲乙丙丁
x7887
2s1 1.21 1.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
9.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标没有可能是
A.（6，0）
B.（6，3）
C.（6，5）
D.（4，2）
10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数，“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在没有同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是()
A.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油至多
B.以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油至少
C.以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油
D.以80km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升
二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分）
11.掷一枚质地均匀的正方形骰子，骰子的六面分别标有1到6的点数，那么掷两次的点数之和等于5的概率是___________
12.函数y x 2
=
-的定义域为：_x 3x 2≥-≠且________13.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①2log 164=，②5log 255=，③2
1
log 12
=-.其中正确的是_________.14.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=9,co=
2
3
，把△ABC 绕着点C 旋转，使点B 与AB 边上的点D 重合，点A 落在点E，则点A、E 之间的距离为______.
三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）15.分解因式：（x ﹣8）（x+2）+6x=_______________________．16.观察下列等式：①sin30°=1
2，cos60°=1
2；
②sin45°=
2，cos45°=2；③sin60°=
32，cos30°=32
．（1）根据上述规律，计算sin 2α+sin 2（90°-α）=．
（2）计算：sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°．
17.如图，点C 在⊙O 上，连接CO 并延长交弦AB 于点D ， =AC BC
，连接AC 、OB ，若CD=40，AC=
（1）求弦AB 的长；（2）求sin ∠ABO 的值．
四、解答题（本大题共6小题，共66分）
18.为响应推进中小学生素质教育的号召，某校决定在下午15点至16点开设以下选修课：音乐史、管乐、篮球、健美操、油画．为了解同学们的选课情况，某班数学兴趣小组从全校三个年级中各一个班级，根据相关数据，绘制如下统计图．
（1）请根据以上信息，直接补全条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）；
（2）若初一年级有180人，请估算初一年级中有多少学生选修音乐史？
（3）若该校共有学生540人，请估算全校有多少学生选修篮球课？
19.某校计划在暑假两个月内对现有的教学楼进行加固改造,经发现,甲、乙两个工程队都有能力承包这个项目,已知甲队单独完成工程所需要的时间是乙队的2倍,甲、乙两队合作12天可以
完成工程的2
3;甲队每天的工作费用为4500元,乙队每天的工作费用为10000元,根据以上信息,
从按期完工和节约资金的角度考虑,学校应选择哪个工程队?应付工程队费用多少元?
20.图①②③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）图①中△MON 的面积=________；
（2）在图②③中以格点为顶点画出一个正方形ABCD，使正方形ABCD 的面积等于（1）中△MON 面积的4倍，并将正方形ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD 的面积没有剩余（在图②、图③中画出的图形没有能是全等形）
21.某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC ，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB 所在的直线与CD 平行），层高AD 为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时没有至于碰头，A 、B 之间必须达到一定的距离．
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时没有碰头，那么A 、B 之间的距离至少要多少米？（到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE 、EF 、FC 三段组成（如图中虚线所示），中间段EF 为平台（即EF ∥DC ），AE 段和FC 段的坡度i=1：2，求平台EF 的长度．（到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
22.直线y=-3x+3与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，点A 关于直线x=-1的对称点为点C.（1）求点C 的坐标；
（2）若抛物线23y mx nx m =+-（m≠0）A、B、C 三点，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线23y ax bx =++（a≠0）A，B 两点，且顶点在第二象限.抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围.。