高等数学同济版 第八章 习题

z Fy . y Fz
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(3)
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
隐函数存在定理 3 设F ( x, y, u,v)、G( x, y, u,v) 在
点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
1、区域
（1）邻域
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
U(P0, ) P | PP0 |
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
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2、多元函数概念
定义 设D是平面上的一个点集，如果对于每个
点 P( x. y) D，变量 z按照一定的法则总有确定 的值和它对应，则称 z是变量 x, y的二元函数， 记为z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ) ,v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
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v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
定义 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集D, P0 是
其聚点且
P0DΒιβλιοθήκη ，如果 lim P P0
f (P)
f ( P0 ) 则称 n
元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.
设P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点，如果 f (P )在点P0 处不连续，则称P0 是函数 f (P )的
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0

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三元函数方向导数的定义
f
f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z)
lim
.
l 0

（ 其中 (x)2 (y)2 (z)2 ）
z f ( x, y)当 x x0， y y0 时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
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说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
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多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
沿 任 意 方 向 的 方 向 导 数 存 在
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10、复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
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3、多元函数的极限
定义 设函数 z f ( x, y)的定义域为 D, P0( x0 , y0 ) 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在
正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A 为函数
的函数，它的全微分形式是一样的.
dz z du z dv . u v
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12、隐函数的求导法则
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点P( x0 , y0 ) 的
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
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(2) F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 ,


2z y 2

f yy ( x, y),
纯偏导
y

z x


2z xy

fxy ( x, y),
z 2z x y yx

f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
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９、全微分概念
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
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如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)在对应
点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
4、极限的运算
设 P P0 时，f (P) A, f (P) B,则 (1). f (P) g(P) A B; (2). f (P) g(P) A B; (3). f (P) g(P) A B (B 0).
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5、多元函数的连续性
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ， x u x v x
z

z
u

z
v
.
y u y v y
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11、全微分形式不变性
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
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13、微分法在几何上的应用
(1) 空间曲线的切线与法平面
: x (t), y (t), z (t).
切线方程为 x x0 y y0 z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 )
法平面方程为
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0.
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对x 的
偏导数，记为
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z x
，f x x0 x
z ，
间断点.
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6、多元连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上
至少取得它的最大值和最小值各一次． （2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次．
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7、偏导数概念
定义 设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当y 固定在y0 而x 在x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对y
的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
记为z y
x x0
，f y
x x0
，z y
x x0 y y0
或
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
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如果函数z f ( x, y)在区域D 内任一点
( x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
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14、方向导数
定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y) 与
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J

(F ,G) (u, v )

u G
v G
u v
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在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数u u( x, y) ，
，z
x
或
f
x
(
x,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量y 的偏导
数，记作z y
，f y
，z
y
或
f
y
(
x,
y
)
.
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８、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x

z x


2z x 2

f xx ( x, y),
y

z y
定理 如果函数z f ( x, y) 在点 P( x, y)是可微分的，
那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有
f f cos f cos
l x
y
其中cos，cos 是l的方向余弦。
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梯度的概念
定义 设函数z f ( x, y)在平面区域 D 内具有
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中 A,B 不依赖于 x, y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点( x, y) 的 全微分，记为dz ，即 dz =Ax By .
P0
（2）区域 连通的开集称为区域或开区域．
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（3）聚点
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点.
（4）n维空间
设n 为取定的一个自然数，我们称n 元数组 ( x1 , x2 ,, xn )的全体为n 维空间，而每个n 元数 组( x1 , x2 ,, xn ) 称为n 维空间中的一个点，数 xi 称为该点的第i 个坐标.
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(２) 曲面的切平面与法线
: F( x, y, z) 0.
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
法线方程为 x x0 y y0 z z0 .
y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程F ( x, y, z) 0在点P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ， x Fz