九年级上册数学《二次函数》单元测试题(带答案)

人教版数学九年级上学期
《二次函数》单元测试
(满分120分，考试用时120分钟)
一、选择题(本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．(2020·广西壮族自治区初三期中)若关于x 的函数y ＝(2﹣A )x 2﹣x 是二次函数，则A 的取值范围是( ) A ．A ≠0 B ．A ≠2 C ．A ＜2 D ．A ＞2
2．(2020·宁夏银川市教育局初三三模)下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是( ) A ．开口向下
B ．对称轴是y 轴
C ．经过原点
D ．在对称轴右侧部分是下降的
3．(2020·浙江省初三二模)二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )
A ．3k <
B ．3k <且0k ≠
C ．3k ≤
D ．3k ≤且0k ≠
4．(2020·江苏省初三二模)竖直向上的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的关系函数关系式为h=-2t 2+mt+
258，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第( )秒离地面最高． A ．37 B ．47 C ．34 D ．43
5．(2020·江西省初三其他)已知二次函数y=2(x ﹣3)2+1．下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3，﹣1);④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
6．(2020·内蒙古自治区初三期末)函数y=A x+B 和y=A x 2+B x+C (A ≠0)在同一个坐标系中的图象可能为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．(2020·湖北省初三期中)抛物线y=(x ﹣2)2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是( ) A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
8．(2020·山东省初三二模)小轩从如图所示的二次函数y=A x 2+B x+C (A ≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息:
①A B ＞0;②A +B +C ＜0;③B +2C ＞0;④A ﹣2B +4C ＞0;⑤3a b 2
=
． 你认为其中正确信息的个数有
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
9．(2020·内蒙古自治区初三期中)设A (-2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y=(x-1)2-3上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．321y y y >>
D ．312y y y >>
10．(2019·河北省初三零模)在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是( )
A ．y 1
B ．y 2
C ．y 3
D ．y 4
11．(2019·河南省初三期末)如图，平行于x 轴的直线A C 分别交函数 y 1=x 2(x≥0)与 y 2= 13
x 2(x≥0)的图
象于 B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1=x 2(x≥0)的图象于点D ，直线D E ∥A C 交 y 2=
13x 2(x≥0)的图象于点E ，则DE AB
=( )
A ．3
B ．1
C ．2
D ．3﹣ 12．(2020·湖南省初三一模)某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直)，如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面
403
m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( )
A ．2m
B ．3m
C ．4m
D ．5m
13．(2019·内蒙古自治区初三期末)如图，在△A B C 中，∠B =90°，A B =6C m ，B C =12C m ，动点P 从点A 开始沿边A B 向B 以1C m/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边B C 向C 以2C m/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过( )秒，四边形A PQC 的面积最小．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
14．(2020·黄冈市启黄中学初三二模)已知二次函数y=﹣x 2+x+6及一次函数y=﹣x+m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，请你在图中画出这
个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是()
二、填空题(本题共4个小题;每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上)
15．(2019·武钢实验学校初三月考)公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m才能停下来．16．(2020·黑龙江省初三期末)已知A (0,3)，B (2,3)是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.
17．(2020·江苏省初三其他)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,若线段A B 在x轴上,且A B 为个单位长度,以A B 为边作等边△A B C ,使点C 落在该函数y轴右侧的图象上,则点C 的坐标为__.
18．(2020·吉林省实验繁荣学校初三其他)在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数y=(x﹣
1)2+1(x≥0)的图象C 1和图象C 2组成中心对称图形，对称中心为点(0，2)．已知不重合的两点A 、B 分别在图象C 1和C 2上，点A 、B 的横坐标分别为A 、B ，且A +B =0．当B ＜x≤A 时该函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关，则A 的取值范围为_____．
三、解答题(本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分) 19．(2020·江门市第二中学初三月考)已知二次函数y=A (x﹣1)2+k的图象经过A (﹣1，0)、B (4，5)两点．
(1)求此二次函数的解析式;
(2)当x为何值时，y随x的增大而减小？
(3)当x为何值时，y＞0？
20．(2020·宁夏回族自治区初三一模)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选
择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x (单位:km)，乘坐地铁的时间1y (单位:min)是关于x 的一次函数，其关系如下表:
(1)求1y 关于x 的函数解析式;
(2)李华骑单车的时间2y (单位:min)也受x 的影响，其关系可以用2y =12
x 2-11x ＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．
21．(2020·安徽省定远县第一初级中学初三月考)如图，在同一直角坐标系中，二次函数y=x 2-2x-3的图象与两坐标轴分别交于点A 点 B 和点C ，一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点.
(1)将这个二次函数化为2()y a x h k =++的形式为 ．
(2)当自变量x 满足 时，两函数的函数值都随x 增大而增大．
(3)当自变量x 满足 时，一次函数值大于二次函数值．
(4)当自变量x 满足 时，两个函数的函数值的积小于0．
22．(2019·江苏省海门中南国际小学初二期中)如图，已知二次函数212
y x bx c =-++的图象经过()2,0A ，()0,6B -两点．
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC
∆的面积．
23．(2020·江西省初三期末)已知二次函数y=x2+B x+C 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:
(1)表中n的值为;
(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
(3)若A (m1，y1)，B (m+1，y2)两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．24．(2020·武汉十一崇仁初级中学初三其他)2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研:蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题:
(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30);
(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
25．(2019·柘城县实验中学初三月考)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，
宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=
1
6
-x2+B x+C 表示，且抛物线上的点C 到OB 的
水平距离为3 m，到地面OA 的距离为17
2
m.
(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
26．(2018·山东省期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两
点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，－3)，点P 是直线B C 下方抛物线上的一个动点．
(1)求二次函数解析式;
(2)连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP'C .是否存在点P ，使四边形POP'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标;若不存在，请说明理由;
(3)当点P 运动到什么位置时，四边形A B PC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形A B PC 的最大面积.
参考答案
一、选择题(本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．(2020·广西壮族自治区初三期中)若关于x 的函数y ＝(2﹣A )x 2﹣x 是二次函数，则A 的取值范围是( ) A ．A ≠0 B ．A ≠2 C ．A ＜2 D ．A ＞2
[答案]B
[解析]∵函数y=(2-A )x 2-x 是二次函数，
∴2-A ≠0，即A ≠2，
故选B ．
2．(2020·宁夏银川市教育局初三三模)下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴
C ．经过原点
D ．在对称轴右侧部分是下降的
[答案]C
[解析]A 、∵A =1＞0，∴抛物线开口向上，选项A 不正确;
B 、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B 不正确;
C 、当x=0时，y=x 2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C 正确;
D 、∵A ＞0，抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x ＞时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确，
故选C ．
3．(2020·浙江省初三二模)二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是(
) A ． B ．且
C ．
D ．且
[答案]D
[解析]∵二次函数y=kx 2−6x+3的图象与x 轴有交点，
∴方程kx 2−6x+3=0(k≠0)有实数根， 1
22b
a =12121
2263y kx x =-+x k 3k <3k <0k ≠3k ≤3k ≤0k ≠
即△=36−12k ⩾0，k ⩽3，由于是二次函数，故k≠0，则k 的取值范围是k ⩽3且k≠0.
故选D .
4．(2020·江苏省初三二模)竖直向上的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的关系函数关系式为h=-2t 2+mt+
，若小球经过秒落地，则小球在上抛过程中，第( )秒离地面最高． A ． B ． C ． D ． [答案]A
[解析]∵竖直上抛的小球离地面的高度h (米)与时间t (秒)的函数关系式为h ＝﹣2t 2+mt +
，小球经过秒落地，
∴t ＝时，h ＝0， 则0＝﹣2×
()2+m +， 解得:m ＝， 当t ＝＝=时，h 最大， 故答案为:． 5．(2020·江西省初三其他)已知二次函数y=2(x ﹣3)2+1．下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3，﹣1);④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
[答案]A
[解析]结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可:
①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误;
②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误;
③其图象顶点坐标为(3，1)，故本说法错误;
④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，故本说法正确． 258
7437473443
2587474
7474258127
2b a -()12722-⨯-37
37
综上所述，说法正确的有④共1个．故选A ．
6．(2020·内蒙古自治区初三期末)函数y=A x+B 和y=A x 2+B x+C (A ≠0)在同一个坐标系中的图象可能为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
[答案]D [解析]解:A ．由一次函数的图象可知A ＞0，B ＞0，由抛物线图象可知，开口向上，A ＞0，对称轴x =﹣＞0，B ＜0;两者相矛盾，错误;
B ．由一次函数的图象可知A ＞0，B ＜0，由抛物线图象可知A ＜0，两者相矛盾，错误;
C ．由一次函数的图象可知A ＜0，B ＞0，由抛物线图象可知A ＞0，两者相矛盾，错误;
D ．由一次函数的图象可知A ＞0，B ＜0，由抛物线图象可知A ＞0，对称轴x =﹣
＞0，B ＜0;正确． 故选D ． 7．(2020·湖北省初三期中)抛物线y=(x ﹣2)2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是( ) A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
[答案]D
[解析]解:抛物线y=x 2顶点为(0，0)，抛物线y=(x ﹣2)2﹣1的顶点为(2，﹣1)，则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=(x ﹣2)2﹣1的图象．
故选D ．
8．(2020·山东省初三二模)小轩从如图所示的二次函数y=A x 2+B x+C (A ≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息:
①A B ＞0;②A +B +C ＜0;③B +2C ＞0;④A ﹣2B +4C ＞0;⑤． 你认为其中正确信息的个数有 2b a 2b a
3a b 2
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
[答案]D [解析]①如图，∵抛物线开口方向向下，∴A ＜0．
∵对称轴x ，∴＜0．∴A B ＞0．故①正确． ②如图，当x=1时，y ＜0，即A +B +C ＜0．故②正确．
③如图，当x=﹣1时，y=A ﹣B +C ＞0，∴2A ﹣2B +2C ＞0，即3B ﹣2B +2C ＞0．∴B +2C ＞0．故③正确．
④如图，当x=﹣1时，y ＞0，即A ﹣B +C ＞0，
∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴C ＞0．
∵B ＜0，∴C ﹣B ＞0．
∴(A ﹣B +C )+(C ﹣B )+2C ＞0，即A ﹣2B +4C ＞0．故④正确．
⑤如图，对称轴，则．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D ．
9．(2020·内蒙古自治区初三期中)设A (-2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y=(x-1)2-3上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
[答案]B
[解析]解:∵函数的解析式是y =(x -1)2-3，
∴对称轴是x =1，
∴点A 关于对称轴的点A ′是(4,y 1)，
那么点B 在对称轴上，点C 、A ′都在对称轴的右边，
∵，
∴抛物线开口向上，并且在对称轴的右边y 随x 的增大而增大，
b 12a 3=-=-2b a 3
=-b 12a 3=-=-3a b 2
=123y y y >>132y y y >>321y y y >>312y y y >>10a =>
∵4＞2＞1.
∴y 1＞y 3＞y 2.
故选B .
10．(2019·河北省初三零模)在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是( )
A ．y 1
B ．y 2
C ．y 3
D ．y 4
[答案]A
[解析]由图象可知: 抛物线y 1的顶点为(-2，-2)，与y 轴的交点为(0，1)，根据待定系数法求得y 1=(x+2)2-2; 抛物线y 2的顶点为(0，-1)，与x 轴的一个交点为(1，0)，根据待定系数法求得y 2=x 2-1;
抛物线y 3的顶点为(1，1)，与y 轴的交点为(0，2)，根据待定系数法求得y 3=(x-1)2+1;
抛物线y 4的顶点为(1，-3)，与y 轴的交点为(0，-1)，根据待定系数法求得y 4=2(x-1)2-3;
综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y 1
故选A ．
11．(2019·河南省初三期末)如图，平行于x 轴的直线A C 分别交函数 y =x (x≥0)与 y =
x (x≥0)的图象于 B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y =x (x≥0)的图象于点D ，直线D E ∥A C 交 y =x (x≥0)的图象于点E ，则=(
) 34
12213
2122132DE AB
A
B ．1 C
D ．3﹣
[答案]D
[解析]解:设点A
的纵坐标为B , 因为点B 在的图象上
, 所以其横坐标满足=B , 根据图象可知点B 的坐标为
,B ), 同理可得点C 的坐标为 所以点D 因为点
D 在的图象上, 故可得 y==3B ，所以点
E 的纵坐标为3B ,
因为点E 在的图象上, =3B ， 因为点E 在第一象限,
可得E 点坐标为(,3B ),
故D E=
所以= 故选D .
12
．(2020·湖南省初三一模)某建筑物，从10m 高的窗口
A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直)，如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面
m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( )
A ．2m
B ．3m
C ．4m
D ．5m
[答案]B 2
1y x =2x ∴21y x =2)2213y x =∴213
x (3b -DE AB
3-403
[解析]解:设抛物线的解析式为y ＝A (x ﹣1)2+
， 把点A (0，10)代入A (x ﹣1)2+，得A (0﹣1)2+＝10， 解得A ＝﹣， 因此抛物线解析式为y ＝﹣(x ﹣1)2+， 当y ＝0时，解得x 1＝3，x 2＝﹣1(不合题意，舍去);
即OB ＝3米．
故选B ．
13．(2019·内蒙古自治区初三期末)如图，在△A B C 中，∠B =90°，A B =6C m ，B C =12C m ，动点P 从点A 开始沿边A B 向B 以1C m/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边B C 向C 以2C m/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过( )秒，四边形A PQC 的面积最小．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案]C [解析]解:设P 、Q 同时出发后经过的时间为ts ，四边形A PQC 的面积为SC m 2，则有:
S=S △A B C -S △PB Q
=12 ×12×6-12 (6-t)×2t =t 2-6t+36
=(t-3)2+27．
∴当t=3s 时，S 取得最小值．
故选C ．
14．(2020·黄冈市启黄中学初三二模)已知二次函数y=﹣x 2+x+6及一次函数y=﹣x+m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )
403
403403
103
10340
3
A ．﹣＜m ＜3
B ．﹣＜m ＜2
C ．﹣2＜m ＜3
D ．﹣6＜m ＜﹣2
[答案]D
[解析]如图，当y=0时，﹣x 2+x+6=0，解得x 1=﹣2，x 2=3，则A (﹣2，0)，B (3，0)，
将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x ﹣3)，
即y=x 2﹣x ﹣6(﹣2≤x≤3)，
当直线y=﹣x+m 经过点A (﹣2，0)时，2+m=0，解得m=﹣2;
当直线y=﹣x+m 与抛物线y=x 2﹣x ﹣6(﹣2≤x≤3)有唯一公共点时，方程x 2﹣x ﹣6=﹣x+m 有相等的实数解，解得m=﹣6，
所以当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为﹣6＜m ＜﹣2，
故选D ．
二、填空题(本题共4个小题;每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上)
15．(2019·武钢实验学校初三月考)公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m 才能停下来．
[答案]20．
[解析]求停止前滑行多远相当于求s 的最大值.
则变形s =-5(t -2)2+20，
所以当t =2时，汽车停下来，滑行了20m .
16．(2020·黑龙江省初三期末)已知A (0,3)，B (2,3)是抛物线上两点，
该抛物线的顶点坐标
25425
4
是_________.
[答案](1,4).
[解析]把A (0,3)，B (2,3)代入抛物线
可得B =2，C =3，所以=，
即可得该抛物线的顶点坐标是(1,4).
17．(2020·江苏省初三其他)二次函数y=x 2-2x-3的图象如图所示,若线段A B 在x 轴上,且A B 为
位长度,以A B 为边作等边
△A B C ,使点C 落在该函数y
轴右侧的图象上,则点C 的坐标为
__.
[答案,3)
或(2,-3).
[解析]解
:∵△A B C 是等边三角形，且
∴A B 边上的高为3，
又∵点C 在二次函数图象上，
∴C 的纵坐标为±
3， 令y=±
3代入y=x 2-2x-3， ∴或0或2
∵使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，
∴x ＞0，
∴或x=2
∴3)或(2，-3)
故答案为，3)或(2，-3)
18．(2020·吉林省实验繁荣学校初三其他)在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数y=(x ﹣
1)2+1(x≥0)的图象C 1和图象C 2组成中心对称图形，对称中心为点(0，2)．已知不重合的两点A 、B 分别在图象C 1和C 2上，点A 、B 的横坐标分别为A 、B ，且A +B =0．当B ＜x≤A 时该函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关，则A 的取值范围为_____．
[答案]1≤A
+1
[解析]∵图象
C 1和图象C 2组成中心对称图形，对称中心为点
(0，2)，
∴C 2的解析式为y=(x+1)2+3(x≤0).
∵函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关，
∴1≤y ≤3.
当(x ﹣1)2+1=3，
x 当(x ﹣1)2+1=1，
x =1;
∴1≤A 时，该函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关.
故答案为
三、解答题(本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分)
19．(2020·江门市第二中学初三月考)已知二次函数y=A (x ﹣1)2+k 的图象经过A (﹣1，0)、B (4，5)两点．
(1)求此二次函数的解析式;
(2)当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
(3)当x 为何值时，y ＞0？
[答案](1);(2)x ＜1时，y 随x 的增大而减小;(3)x ＜-1或x ＞3时，y ＞0.
[解析]解:(1)把A (-1，0)和B (4，5)代入，
联立方程组解得，， ∴即;
(2)由(1)可知抛物线的对称轴为x=1，
∵A =1，
∴函数图象开口向上，
223y x x =--14a k =⎧⎨
=-⎩()2y x 14=--2y x 2x 3=--
∴当x<1时，y 随x 的增大而减小;
(3)设y=0，则x 2−2x −3=0，
解得:x=3或−1，
∴函数图象和x 轴的交点坐标为(3，0)和(−1，0)，
∵A =1，
∴函数图象开口向上，
∴x>3或x<−1时，y>0.
20．(2020·宁夏回族自治区初三一模)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为(单位:km)，乘坐地铁的时间(单位:min)是关于的一次函数，其关系如下表:
(1)求关于的函数解析式;
(2)李华骑单车的时间(单位:min)也受的影响，其关系可以用=2-11＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．
[答案](1) y 1=2x ＋2 ;(2) 李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min
[解析]解:(1)设y 1关于x 的函数解析式为y 1=kx ＋B .将(7，16)，(9，20)代入，
得解得∴y 1关于x 的函数解析式为y 1=2x ＋2. (2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为y min ，y =y 1＋y 2
则y =y 1＋y 2=2x ＋2＋x 2-11x ＋78=x 2-9x ＋80= (x -9)2＋39.5. ∴当x =9时，y 取得最小值，最小值为39.5.
所以李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min. 21．(2020·安徽省定远县第一初级中学初三月考)如图，在同一直角坐标系中，二次函数y=x 2-2x-3的图象与
x 1y x 1y x 2y x 2y 12
x x 716920k b k b +=⎧⎨+=⎩
22k b =⎧⎨=⎩121212
两坐标轴分别交于点A 点 B 和点C ，一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点.
(1)将这个二次函数化为的形式为 ．
(2)当自变量满足 时，两函数的函数值都随增大而增大．
(3)当自变量满足 时，一次函数值大于二次函数值．
(4)当自变量满足 时，两个函数的函数值的积小于0．
[答案](1) ; (２) ｘ＞1; (３) 0＜ｘ＜3;(4) ｘ＜-1.
[解析](1)y ＝x 2 －2x －3＝(x － 1)2－4，
(2)抛物线的对称轴为直线x ＝1，则x ＞1时二次函数的函数值都随x 增大而增大，而一次函数y 随x 增大而增大,所以当x ＞ 1时，两函数的函数值都随x 增大而增大，
(3)当0＜x ＜3时，一次函数值大于二次函数值;
(4)当x ＜－1时，两个函数的函数值的积小于0，故答案为y ＝(x －1)2－4 ; x ＞1 ; 0＜x ＜3 ;x ＜－1. 22．(2019·江苏省海门中南国际小学初二期中)如图，已知二次函数的图象经过，两点．
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，，求的面积．
[答案]见解析
2()y a x h k =++x x x x 2(-1)-4y x =212
y x bx c =-++()2,0A ()0,6B
-x C BA BC ABC ∆
[解析](1)把，代入得 ， 解得.
∴这个二次函数解析式为. (2)∵抛物线对称轴为直线， ∴的坐标为，
∴，
∴. 23．(2020·江西省初三期末)已知二次函数y=x 2+B x+C 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表:
(1)表中n 的值为 ;
(2)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？
(3)若A (m 1，y 1)，B (m+1，y 2)两点都在该函数的图象上，且m ＞2，试比较y 1与y 2的大小．
[答案](1)5;(2)当x=2时，y 有最小值，最小值是1;(3)y 1＜y 2
[解析](1)∵根据表可知:对称轴是直线x=2，
∴点(0，5)和(4，n)关于直线x=2对称，
∴n=5，
故答案为5;
(2)根据表可知:顶点坐标为(2，1)，
即当x=2时，y 有最小值，最小值是1; ()2,0A ()0,6B -212
y x bx c =-++2206
b c c -++=⎧⎨=-⎩46
b c =⎧⎨=-⎩21462
y x x =-+-44122x =-
=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭C ()4,0422AC OC OA =-=-=1126622
ABC S AC OB ∆=⨯=⨯⨯=
(3)∵函数的图象开口向上，顶点坐标为(2，1)，对称轴是直线x=2，
∴当m ＞2时，点A (m 1，y 1)，B (m+1，y 2)都在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，
∵m ＜m+1，
∴y 1＜y 2．
24．(2020·武汉十一崇仁初级中学初三其他)2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研:蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题:
(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y (个)与售价x (元)之间的函数关系(12≤x ≤30);
(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
[答案](1)y=－10x ＋300(12≤x ≤30);(2) 王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元;(3) 当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元.
[解析]解:(1)设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据题意可知:y=180﹣10(x ﹣12)=﹣
10x+300(12≤x≤30)．
(2)设王大伯获得的利润为W ，则W=(x ﹣10)y=，令W=840，则=840，解得:=16，=24．
答:王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
(3)∵W=﹣10x 2+400x ﹣3000=，∵A =﹣10＜0，∴当x=20时，W 取最大值，最大值为1000．
答:当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．
25．(2019·柘城县实验中学初三月考)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x 2+B x+C 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为m. (1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
2104003000x x -+-2104003000x x -+-1x 2x 210(20)1000x --+16-
172
[答案](1)抛物线的函数关系式为y=x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m;(2)两排灯的水平距离最小是
m ．
[解析]解:(1)由题知点在抛物线上 所以，解得，所以 所以，当时， 答:，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 (2)由题知车最外侧与地面OA 的交点为(2,0)(或(10,0))
当x=2或x=10时，，所以可以通过 (3)令，即，可得，解得
答:两排灯的水平距离最小是
26．(2018·山东省期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两
点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，－3)，点P 是直线B C 下方抛物线上的一个动点．
16-
17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
4171932
6c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩24b c =⎧⎨=⎩21246y x x =-++62b x a
=-=10t y =≦21246
y x x =-++2263y =
>8y =212486
x x -++=212240x x -+=1266x x =+=-12x x -=2y x bx c =++
(1)求二次函数解析式;
(2)连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形.是否存在点P ，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标;若不存在，请说明理由;
(3)当点P 运动到什么位置时，四边形A B PC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形A B PC 的最大面积.
[答案](1);(2)存在这样的点，此时P 点的坐标为
，); (3)P 点的坐标为(，−)，四边形A B PC 的面积的最大值为． [解析]
(1)将B 、C 两点的坐标代入，得
， 解得. ∴二次函数的解析式为.
(2)存在点P ，使四边形POP′C 为菱形;.
设P 点坐标为(x ，x 2-2x-3)，PP′交C O 于E.
若四边形POP′C 是菱形，则有PC =PO;.
连接PP′，则PE ⊥C O 于E ，
.
∵C (0，-3)，.
POP'C POP'C 2y=x 2x 3--32-321547582y x bx c =++93b c=0{c=3++-b=2{c=3
--2y=x 2x 3--
∴C O=3，.
又∵OE=EC ，.
∴OE=EC =
. ∴y=−;. ∴x 2-2x-3=−
， 解得(不合题意，舍去). ∴存在这样的点，此时P 点的坐标为
，). (3)过点P 作y 轴的平行线与
B C 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P(x ，x 2-2x-3)，
设直线B C 的解析式为:y=kx+D ，.
则，. 解得: .
∴直线B C 的解析式为y=x-3，.
则Q 点的坐标为(x ，x-3);.
当0=x 2-2x-3，.
解得:x 1=-1，x 2=3，.
∴A O=1，A B =4，.
S 四边形A B PC =S △A B C +S △B PQ +S △C PQ .
=
A B •O C +QP•B F+QP•OF. =×4×3+ (−x 2+3x)×3. 3232
3212x x ==32-330
d k d -⎧⎨+⎩＝＝13
k d ⎧⎨-⎩＝＝121212
1212
=− (x −)2+. 当x ＝时，四边形A B PC 的面积最大. 此时P 点的坐标为(，−)，四边形A B PC 的面积的最大值为． 3232
75832
32154758。