新教材适用2024版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2讲排列与组合课件
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解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理. (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (9)构造模型. (10)正难则反,等价转化.
⑦全体排成一排,甲必须排在乙前面;____2_5_2_0_____
⑧全部排成一排,甲不排在左端,乙不排在右端._____3_7_2_0____
(2)(2023·山东“学情空间”教研共同体联考)随着北京冬奥会的开
幕,吉祥物“冰墩墩”火遍国内外,现有3个完全相同的“冰墩墩”,
甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念,则
4.(2020·新高考Ⅱ卷)要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学
生只能选择去一个村,每个村里至少有一名志愿者,则不同的安排方法
共有( C )
A.2种
B.3种
C.6种
D.8种
[解析] 解法一:将 3 名学生 A、B、C 分成两组有 AB、C,AC、B,
A、BC,3 种方法,再将两组学生 1、2 分到甲、乙两村有甲 1 乙 2、甲 2
[ 引 申 ] 本 例 中 7 人 排 一 排 , ① 甲 站 中 间 的 站 法 有 ___7_2_0____ 种 ; ② 甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有___9_6_0____种;③甲、乙相邻 且都与丙不相邻的站法有___9_6_0____种.
[解析] ①A36A33=720;或 A66=720; ②A22A14A55=960; ③A22A44A25=960.
②排成前后两排,前排3人,后排4人;____5_0_4_0_____
③全体排一排,排头只能站甲或乙,排尾不能站甲;____1_3_2_0_____
④全体排成一排,女生必须站在一起;___5_7_6____ ⑤全体排成一排,男生互不相邻;___1_4_4_0______
⑥全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人;___1_4_4_0___
④(捆绑法)将女生看成一个整体,与 3 名男生在一起进行全排列,有 A44种方法,再将 4 名女生进行全排列,也有 A44种方法,故共有 A44×A44= 576 种.
⑤(插空法)男生不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,有 A44种 方法,再在女生之间及首尾空出 5 个空位中任选 3 个空位排男生,有 A35种 方法,故共有 A44×A35=1 440 种.
为 C12C25-C15
(2)(2022·江苏南通质检)我国进入双航母时代,航母编队的要求是每
艘航母配2~3艘驱逐舰,1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜
艇全部用来组建航母编队,则不同的组建方法种数为( D )
A.30
B.60
C.90
D.120
[解析] (1)若任意选择三门课程,选法总数为 C37种,A 正确;若物 理和化学选一门,有 C12种方法,其余两门从剩余的 5 门中选 2 门,有 C25 种选法,若物理和化学选两门,有 C22种选法,剩下一门从剩余的 5 门中 选 1 门,有 C15种选法,由分步乘法计数原理知,总数为 C12C25+C22C15种选 法,故 B 正确;若物理和历史不能同时选,选法总数为 C37-C22C15=C37- C15种,故 C 正确;若物理和化学至少选一门,有 3 种情况,①只选物理 不选化学且物理和历史不同时选,有 C11C24种选法;②选化学,不选物理, 有 C11C25种选法;③物理与化学都选,有 C22C14种选法,故选法总数为 C11C24 +C11C25+C22C14=6+10+4=20,而 C12C25-C15=15,故 D 错误.故选 ABC.
知识点二 组合与组合数
(1)组合的定义:一般地,从n个___不__同__元素中取出m(m≤n)个元素 __作__为__一__组___,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2) 组 合 数 的 定 义 : 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 的 __所__有__不__同__组__合___ 的 个 数 , 叫 做 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 组 合 数,用符号___C__mn __表示.
隐含条件 m≤n,且 m,n∈N*.
对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求的 排列数或组合数.
题组三 走向高考 3.(2018·新课标Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且 至少有1位女生入选,则不同的选法共有___1_6___种.(用数字填写答案) [解析] 解法一:从 2 位女生,4 位男生中选 3 人,且至少有 1 位女 生入选的情况有以下 2 种:①2 女 1 男:有 C22C14=4 种选法;②1 女 2 男: 有 C12C24=12 种选法,故至少有 1 位女生入选的选法有 4+12=16 种. 解法二:从 2 位女生,4 位男生中选 3 人有 C36=20 种选法,其中选 出的 3 人都是男生的选法有 C34=4 种,所以至少有 1 位女生入选的选法 有 20-4=16 种.
⑥把甲、乙及中间 3 人看作一个整体,第一步先排甲、乙两人,有 A22种方法;第二步从余下 5 人中选 3 人排在甲、乙中间,有 A35种;第三 步把这个整体与余下 2 人进行全排列,有 A33种方法.故共有 A22·A35·A33= 720 种.
⑦消序法:2A!77 =2 520 种.
⑧间接法:A77-2A67+A55=3 720 种. 位置分析法:分甲在右端与不在右端两类. 甲在右端的排法有 A66(种)排法, 甲不在右端的排法有 5×5A55(种)排法, ∴共有 A66+25A55=3 720(种). (2)因为 3 个“冰墩墩”完全相同,将其中 2 个“冰墩墩”捆绑,记为元 素 a,另外 1 个“冰墩墩”记为元素 b,先将甲、乙、丙、丁 4 位运动员全 排,然后将 a、b 元素插入这 4 位运动员所形成的空中,且 a、b 元素不 相邻,则不同的排法种数为 A44A25=480.故选 B.
排列,有 A33种排列方式,最后将甲插入中间两空,有 C12种排列方式,所
以不同的排列方式共有 A22A33C12=24 种,故选 B.
考点突破 · 互动探究
考点一
排列问题——自主练透
例1 (1)有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,不同的排列方
法总数,分别为:
①选其中5人排成一排;_____2_5_2_0____
〔变式训练1〕 (1)(2023·云南师大附中月考)成语“五音不全”中的五音指古乐的五 声音阶:宫、商、角、徵、羽,是中国古乐基本音阶.把这五个音阶排 成一列,形成一个音序.满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶 之前的不同音序的种数为___2_4___.(用数字作答)
(2)(2022·辽宁沈阳市郊联合体期末)电影《夺冠》讲述中国女排姑娘 们顽强奋斗、为国争光的励志故事,打造一部见证新中国体育改革40年 的力作,该影片于2020年09月25日正式上映,在《夺冠》上映当天,一 对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片,订购的4张电影票恰好 在同一排且连在一起,为安全起见,影院要求每个小孩子要有家长相邻 陪坐,则不同的坐法种数是___1_6___.
考点二
组合问题——师生共研
例2 (1)(多选题)(2023·吉林东北师大附中开学考)某学生在物理、化
学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,
下列说法正确的是( ABC ) A.若任意选择三门课程,选法总数为 C37 B.若物理和化学至少选一门,选法总数为 C12C25+C22C15 C.若物理和历史不能同时选,选法总数为 C37-C15 D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数
(3)
组
合
数
的
计
算
公
式
:
C
m n
=
Amn Amm
=
n! m!n-m!
=
nn-1n-m2!…n-m+1,这里规定 C0n=__1___. (4)组合数的性质:①Cmn =_C__nn-_m___;②Cmn+1=__C__mn___+__C_mn_-_1__.
注:应用公式化简、求值、解方程、解不等式时,注意 Amn 、Cmn 中的
有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为( B )
A.240
B.480
C.1 440
D.2 880
[解析] (1)①从 7 人中选 5 人来排,是排列, 有 A57 =7×6×5×4×3=2 520(种). ②分两步完成,先选 3 人排在前排,有 A37种方法,余下 4 人排在后 排,有 A44种方法,故共有 A37·A44=5 040(种).事实上,本小题即为 7 人排 成一排的全排列,无任何限制条件. ③(特殊元素优先法)甲站排头有 A66种排法;乙站排头有 C15A55种排法, 故共有 A66+C15A55=1 320 种排法.
题组一 走出误区 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ ) (4)(n+1)!-n!=n·n!.( √ ) (5)若组合式 Cxn=Cmn ,则 x=m 成立.( × ) (6)kCkn=nCkn--11.( √ )
题组二 走进教材 2.(选择性必修3P38T3(2)改编)某班一天上午有4节课,下午有2节 课,安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术每科一节,要求数学排 在上午,体育不排上午第一节和下午第二节,则不同的安排种数是 ___3_1_2____. [解析] 上午第一节排数学有 4A44=96 种排法; 上午第一节不排数学有 3×3A44=216 种排法, ∴不同的排法共有 96+216=312 种排法.
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第二讲 排列与组合
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升
知识梳理 · 双基自测
知识点一 排列与排列数 (1)排列的定义:从n个__不__同___元素中取出m(m≤n)个元素,并按照 一定的__顺__序___排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 列.
乙 1,2 种方法,故共有 2×3=6 种安排方法.故选 C.
解法二:安排方法共有 C13C22A22=6 种,故选 C.
5.(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加
文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有( B )
A.12种
B.24种
C.36种
D.48种
[解析] 先将丙和丁捆在一起有 A22种排列方式,然后将其与乙、戊
(2) 排 列 数 的 定 义 : 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 的 ___所__有__不__同__排__列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 用符号___A_mn____表示.
(3)排列数公式:Amn =_n_(_n_-__1_)(_n_-__2_)_…__(n_-__m__+__1_)_(m__,__n_∈__N_*_,__且__m_≤_n_). (4)全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元素的一 个全排列,Ann=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1=__n_!__.排列数公式写成阶 乘的形式为 Amn =n-n!m!,这里规定 0!=___1__.
[解析] (1)把“徵”“羽”看成一个“合体”元素和其余 3 个音阶 共 4 个元素有 A44种不同排法,又“宫”在“合体”元素前、后各占12,故 不同音序的种数为12A44A22=24.
(2)根据题意,将两名家长、孩子全排列,有 A44=24 种排法,其中两 个孩子相邻且在两端的情况有 A22A22A22=8 种,则每个小孩子要有家长相 邻陪坐的排法有 24-8=16 种,故答案为 16.