电工学第5章1021
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两个电容的电压都发生了变化， 0V升高 两个电容的电压都发生了变化，uC1(t)由0V升高 3V， 则由6V降低到3V 从物理上讲， 6V降低到3V。 到3V，uC2(t)则由6V降低到3V。从物理上讲，这是 上有3μC 3μC的电荷移动到 因为电容C2上有3μC的电荷移动到C1上所形成的结 由于电路中电阻为零， 果，由于电路中电阻为零，电荷的移动可以迅速完 成而不需要时间，从而形成无穷大的电流， 成而不需要时间，从而形成无穷大的电流，造成电 容电压可以发生跃变。 容电压可以发生跃变。
开关闭合已久， 解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变 化的恒定值，造成电容电流等于零， 化的恒定值，造成电容电流等于零，即
duC iC(t ) = C =0 dt
电容相当于开路。 电容相当于开路。此时电容电压为
R2 uC(0− ) = US R + R2 1
当开关断开时， 不为零的情况下， 当开关断开时，在电阻R2和R3不为零的情况下， 电容电流为有限值，电容电压不能跃变， 电容电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到
i u
++ ++ +q - - - - -q
q
斜率为C 斜率为C
为常量， 式中的系数C为常量，与直线的斜 率成正比，称为电容， 电容的SI 率成正比，称为电容， 电容的SI 单位为［法拉］ 符号为F 单位为［法拉］, 符号为F; 1 C／ 常采用微法（ F=1 C／V。常采用微法（μF）和 皮法（pF）作为其单位。 皮法（pF）作为其单位。
根据以上计算结果， 根据以上计算结果，可 以画出电容电压的波形如图(c) 以画出电容电压的波形如图 所示， 所示，由此可见任意时刻电 容电压的数值与此时刻以前 的全部电容电流均有关系。 的全部电容电流均有关系。 例如， 例如，当1s<t<3s时，电 时 容电流i 容电流 C(t)=0，但是电容电压 ， 并不等于零，电容上的 电 并不等于零，电容上的2V电 压是0<t<1s时间内电流作用的 时间内电流作用的 压是 结果。 结果。
0
电容的符号、 图5-1 电容的符号、线性非 时变电容的特性曲线
u
1µF = 10 −6 F 1 pF = 10 −12 F
2.电容元件的 2.电容元件的u—i关系
对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联 参考方向的情况下，可以得到以下关系式
dq d(Cu) du i(t) = = =C dt dt dt
3．当1s≤t<3s时，iC(t)=0，根据式 －3可以得到 ． ≤ 时 ，根据式7－ 可以得到
t 1 t 6 uC(t ) = ∫ iC(ξ )dξ = uC(1) + 2×10 ∫ 0dξ =2V + 0 = 2V 1 C −∞ 当 t = 3s 时 uC(3s) = 2V
4．当3s≤t<5s时，iC(t)=1µA，根据式 －3可以得到 ． ≤ 时 µ ，根据式7－ 可以得到
就端口特性而言， 就端口特性而言，等效为一个直流电压源uc(0) 如图所示。 和一个初始电压为零的电容的串联 如图所示。
1 t 1 0 1 t u(t ) = ∫ i(ξ )dξ + ∫ i(ξ )d = u(0) + ∫0 i(ξ )dξ C C −∞ C 0
从上式可以看出电容具有两个基本的性质 (1)电容电压的记忆性。 (1)电容电压的记忆性。 电容电压的记忆性 从式可见， 任意时刻 t 电容电压的数值 uC(t) ， 从式可见 ， 要由从来确定。 要由从 -∞到时刻 t 之间的全部电流 iC(t) 来确定 。 也就是说， 也就是说 ， 此时刻以前流过电容的任何电流对时 的电压都有一定的贡献。 刻 T 的电压都有一定的贡献 。 这与电阻元件的电 压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不 我们说电容是一种”记忆元件” 同，我们说电容是一种”记忆元件”。
此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正 比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不 同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束 关系。 在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随 时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。
例
电容上的电压波形如图(a)所示， (a)所示 已知C=0.5µF电容上的电压波形如图(a)所示， 试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t), 并画出波形图。 并画出波形图。
5.1 电容元件
认识电容
两块平行的金属极板就构成一个电容元件。 两块平行的金属极板就构成一个电容元件。 在外电源的作用下， 在外电源的作用下，两个极板上能分别存贮等量的异性 电荷形成电场，贮存电能。 电荷形成电场，贮存电能。 因此，电容元件是一 因此， 种能聚集电荷， 种能聚集电荷，贮存 电能的二端元件。 电能的二端元件。
uC1(0+ ) = uC2(0+ )
再根据在开关闭合前后结点的总电荷相等的电 荷守恒定律， 荷守恒定律，可以得到以下方程
C1uC1(0+ ) + C2uC2(0+ ) = C1uC1(0− ) + C2uC2(0− )
联立求解以上两个方程， 联立求解以上两个方程，代入数据后得到
uC1(0+ ) = uC2(0+ ) = 3V
t 1 t 6 uC (t) = ∫ iC (ξ )dξ = 2×10 ∫ 0dξ = 0 −∞ C −∞
2．当0≤t<1s时，iC(t)=1µA，得 ． ≤ 时 µ ，
t 1 t 6 uC(t ) = ∫ iC(ξ )dξ = uC(0) + 2×10 ∫ 10−6 dξ = 0 + 2t = 2t 0 C −∞ 当 t = 1s 时uC(1s) = 2V
电容元件的电容元件的uuii关系关系对于线性时不变电容元件来说在采用电压电流关联参考方向的情况下可以得到以下关系式此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系
第5章 电容元件与电感元件
前几章讨论了电阻电路， 前几章讨论了电阻电路 ， 即由独立电源和电 受控源等电阻元件构成的电路。 阻 、 受控源等电阻元件构成的电路 。描述这类电 路电压电流约束关系的电路方程是代数方程 代数方程。 路电压电流约束关系的电路方程是 代数方程 。但 在实际电路的分析中， 在实际电路的分析中 ， 往往还需要采用电容元件 和电感元件去建立电路模型。 和电感元件去建立电路模型。 这些元件的电压电 流关系涉及到电压电流对时间的微分或积分， 流关系涉及到电压电流对时间的微分或积分 ，称 动态元件。含动态元件的电路称为动态电路， 为 动态元件 。 含动态元件的电路称为动态电路， 描述动态电路的方程是微分方程 微分方程。 描述动态电路的方程是 微分方程 。 本章介绍两种 储能元件—电容元件和电感元件 电容元件和电感元件。 储能元件 电容元件和电感元件 。 以后讨论一阶 电路的时域分析。 电路的时域分析。
(2)电容电压的连续性。 (2)电容电压的连续性。 电容电压的连续性
从上例的计算结果可以看出，电容电流的波形是不连续 的矩形波，而电容电压的波形是连续的。从这个平滑的电 容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。即电容 电流在闭区间[t1,t2]有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内 是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到 证明。
的条件下， 在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为
1 t 1 0 1 t u(t ) = ∫ i(ξ )dξ + ∫ i(ξ )d = u(0) + ∫0 i(ξ )dξ C C −∞ C 0
式中， =0时间范围内流过电容的电流在 式中，u(0) 是从t=-∞到t=0时间范围内流过电容的电流在 电容上积累电荷所产生的电压。称为初始电压 初始电压； 电容上积累电荷所产生的电压。称为初始电压；而后一项 以后电容上形成的电压，它体现了在0 t 是在 t=0 以后电容上形成的电压，它体现了在0—t的时间 内电流对电压的贡献。 内电流对电压的贡献。
将t=T和t=T+dt代入式中，其中t1<T<t2和 t1<T+dt<t2得到
1 T+dt ∆u = uC(T + dt) − uC(T) = ∫ iC(ξ )dξ dt→0 →0 当i(ξ )有界时 C T
当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质， 当电容电流有界时，电容电压不能突变的性 2t ) = 0.5 × 10 −6 = 1 × 10 −6 A = 1µA dt dt
4.当5s≤ )=124.当5s≤t时，uC(t)=12-2t，可以得到
iC (t ) = C du C d(12 − 2t ) = 0.5 × 10 −6 = −1 × 10 −6 A = −1µA dt dt
2.当1s≤t≤3s时，uC(t)=4-2t，可以得到 2.当1s≤ 3s时 )=4du C −6 d(4 − 2t ) iC (t ) = C = 0.5 × 10 = −1 × 10 −6 A = −1µA dt dt
3.当3s≤ 5s时 )=3.当3s≤t≤5s时，uC(t)=-8+2t，可以得到
uC(t+ ) = uC(t− )
来说， 对于初始时刻t=0来说，上式表示为
uC (0+ ) =uC (0− )
利用电容电压的连续性， 利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作 用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。 用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。
图所示电路的开关闭合已久， 例 图所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻 断开瞬间电容电压的初始值uC(0+)。
电容器的分类
按其结构，可分为固定电容器、可变电容器 和微调电容器三类。
常用的几种电容器
1 电容元件的基本概念
电容元件是一个理想的二端元件, 它的图形符号如图所示。 电容元件是一个理想的二端元件, 它的图形符号如图所示。
当电容上电压与电荷为关 联参考方向时， 联参考方向时，电荷q与u 关系为： )=Cu 关系为： q(t)=Cu(t)
根据图(a)波形的具体情况 根据图 (a)波形的具体情况， 按照时间分段来 (a) 波形的具体情况， 进行计算 1.当 1.当0≤t≤1s 时，uC(t)=2t，可以得到
du C −6 d ( 2t ) iC (t ) = C = 0.5 × 10 = 1 × 10 −6 A = 1µA dt dt
3. 电容元件的储能
当电容电压和电流为关联方向时， 当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬 时功率为： 时功率为： p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = Cu ( t ) du ( t ) dt 瞬时功率可正可负， 瞬时功率可正可负，当 p(t)>0时，说明电容 是在吸收能量，处于充电状态； 吸收能量 充电状态 <0时 是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) <0时，说 明电容是在供出能量，处于放电状态。 明电容是在供出能量，处于放电状态。 对上式从进行积分， 对上式从-∞到 t 进行积分，即得t 时刻电容上的 储能为： 储能为： t u( t )
R2 uC(0+ ) = uC(0− ) = US R1 + R2
电路如图所示。 例 电路如图所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬 )=6V， 间的电压分别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开关 闭合后一瞬间， 闭合后一瞬间，电容电压uC1(0＋),uC2(0＋) 。
解： 开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约 开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约 KVL 两个电容电压必须相等， 束，两个电容电压必须相等，得到以下方程
t 1 t 6 uC(t ) = ∫ iC(ξ )dξ = uC(3) + 2×10 ∫ 10−6 dξ =2 + 2(t − 3) 3 C −∞ 当t = 5s 时uC(5s) = 2V + 4V = 6V
5．当5s≤t时，iC(t)=0，根据式 －3可以得到 ． ≤时 ，根据式7－ 可以得到
t 1 t 6 uC(t ) = ∫ iC(ξ )dξ = uC(5) + 2×10 ∫ 0dξ =6V + 0 = 6V 5 C −∞
电路如图(a)所示 已知电容电流波形如图(b)所示 所示， 所示， 例 电路如图 所示，已知电容电流波形如图 所示，试 求电容电压u ，并画波形图。 求电容电压 C(t)，并画波形图。
解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算 根据图 波形的情况， 波形的情况 1．当t≤0时，iC(t)=0，得 ． ≤ 时 ，
开关闭合已久， 解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变 化的恒定值，造成电容电流等于零， 化的恒定值，造成电容电流等于零，即
duC iC(t ) = C =0 dt
电容相当于开路。 电容相当于开路。此时电容电压为
R2 uC(0− ) = US R + R2 1
当开关断开时， 不为零的情况下， 当开关断开时，在电阻R2和R3不为零的情况下， 电容电流为有限值，电容电压不能跃变， 电容电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到
i u
++ ++ +q - - - - -q
q
斜率为C 斜率为C
为常量， 式中的系数C为常量，与直线的斜 率成正比，称为电容， 电容的SI 率成正比，称为电容， 电容的SI 单位为［法拉］ 符号为F 单位为［法拉］, 符号为F; 1 C／ 常采用微法（ F=1 C／V。常采用微法（μF）和 皮法（pF）作为其单位。 皮法（pF）作为其单位。
根据以上计算结果， 根据以上计算结果，可 以画出电容电压的波形如图(c) 以画出电容电压的波形如图 所示， 所示，由此可见任意时刻电 容电压的数值与此时刻以前 的全部电容电流均有关系。 的全部电容电流均有关系。 例如， 例如，当1s<t<3s时，电 时 容电流i 容电流 C(t)=0，但是电容电压 ， 并不等于零，电容上的 电 并不等于零，电容上的2V电 压是0<t<1s时间内电流作用的 时间内电流作用的 压是 结果。 结果。
0
电容的符号、 图5-1 电容的符号、线性非 时变电容的特性曲线
u
1µF = 10 −6 F 1 pF = 10 −12 F
2.电容元件的 2.电容元件的u—i关系
对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联 参考方向的情况下，可以得到以下关系式
dq d(Cu) du i(t) = = =C dt dt dt
3．当1s≤t<3s时，iC(t)=0，根据式 －3可以得到 ． ≤ 时 ，根据式7－ 可以得到
t 1 t 6 uC(t ) = ∫ iC(ξ )dξ = uC(1) + 2×10 ∫ 0dξ =2V + 0 = 2V 1 C −∞ 当 t = 3s 时 uC(3s) = 2V
4．当3s≤t<5s时，iC(t)=1µA，根据式 －3可以得到 ． ≤ 时 µ ，根据式7－ 可以得到
就端口特性而言， 就端口特性而言，等效为一个直流电压源uc(0) 如图所示。 和一个初始电压为零的电容的串联 如图所示。
1 t 1 0 1 t u(t ) = ∫ i(ξ )dξ + ∫ i(ξ )d = u(0) + ∫0 i(ξ )dξ C C −∞ C 0
从上式可以看出电容具有两个基本的性质 (1)电容电压的记忆性。 (1)电容电压的记忆性。 电容电压的记忆性 从式可见， 任意时刻 t 电容电压的数值 uC(t) ， 从式可见 ， 要由从来确定。 要由从 -∞到时刻 t 之间的全部电流 iC(t) 来确定 。 也就是说， 也就是说 ， 此时刻以前流过电容的任何电流对时 的电压都有一定的贡献。 刻 T 的电压都有一定的贡献 。 这与电阻元件的电 压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不 我们说电容是一种”记忆元件” 同，我们说电容是一种”记忆元件”。
此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正 比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不 同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束 关系。 在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随 时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。
例
电容上的电压波形如图(a)所示， (a)所示 已知C=0.5µF电容上的电压波形如图(a)所示， 试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t), 并画出波形图。 并画出波形图。
5.1 电容元件
认识电容
两块平行的金属极板就构成一个电容元件。 两块平行的金属极板就构成一个电容元件。 在外电源的作用下， 在外电源的作用下，两个极板上能分别存贮等量的异性 电荷形成电场，贮存电能。 电荷形成电场，贮存电能。 因此，电容元件是一 因此， 种能聚集电荷， 种能聚集电荷，贮存 电能的二端元件。 电能的二端元件。
uC1(0+ ) = uC2(0+ )
再根据在开关闭合前后结点的总电荷相等的电 荷守恒定律， 荷守恒定律，可以得到以下方程
C1uC1(0+ ) + C2uC2(0+ ) = C1uC1(0− ) + C2uC2(0− )
联立求解以上两个方程， 联立求解以上两个方程，代入数据后得到
uC1(0+ ) = uC2(0+ ) = 3V
t 1 t 6 uC (t) = ∫ iC (ξ )dξ = 2×10 ∫ 0dξ = 0 −∞ C −∞
2．当0≤t<1s时，iC(t)=1µA，得 ． ≤ 时 µ ，
t 1 t 6 uC(t ) = ∫ iC(ξ )dξ = uC(0) + 2×10 ∫ 10−6 dξ = 0 + 2t = 2t 0 C −∞ 当 t = 1s 时uC(1s) = 2V
电容元件的电容元件的uuii关系关系对于线性时不变电容元件来说在采用电压电流关联参考方向的情况下可以得到以下关系式此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系
第5章 电容元件与电感元件
前几章讨论了电阻电路， 前几章讨论了电阻电路 ， 即由独立电源和电 受控源等电阻元件构成的电路。 阻 、 受控源等电阻元件构成的电路 。描述这类电 路电压电流约束关系的电路方程是代数方程 代数方程。 路电压电流约束关系的电路方程是 代数方程 。但 在实际电路的分析中， 在实际电路的分析中 ， 往往还需要采用电容元件 和电感元件去建立电路模型。 和电感元件去建立电路模型。 这些元件的电压电 流关系涉及到电压电流对时间的微分或积分， 流关系涉及到电压电流对时间的微分或积分 ，称 动态元件。含动态元件的电路称为动态电路， 为 动态元件 。 含动态元件的电路称为动态电路， 描述动态电路的方程是微分方程 微分方程。 描述动态电路的方程是 微分方程 。 本章介绍两种 储能元件—电容元件和电感元件 电容元件和电感元件。 储能元件 电容元件和电感元件 。 以后讨论一阶 电路的时域分析。 电路的时域分析。
(2)电容电压的连续性。 (2)电容电压的连续性。 电容电压的连续性
从上例的计算结果可以看出，电容电流的波形是不连续 的矩形波，而电容电压的波形是连续的。从这个平滑的电 容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。即电容 电流在闭区间[t1,t2]有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内 是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到 证明。
的条件下， 在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为
1 t 1 0 1 t u(t ) = ∫ i(ξ )dξ + ∫ i(ξ )d = u(0) + ∫0 i(ξ )dξ C C −∞ C 0
式中， =0时间范围内流过电容的电流在 式中，u(0) 是从t=-∞到t=0时间范围内流过电容的电流在 电容上积累电荷所产生的电压。称为初始电压 初始电压； 电容上积累电荷所产生的电压。称为初始电压；而后一项 以后电容上形成的电压，它体现了在0 t 是在 t=0 以后电容上形成的电压，它体现了在0—t的时间 内电流对电压的贡献。 内电流对电压的贡献。
将t=T和t=T+dt代入式中，其中t1<T<t2和 t1<T+dt<t2得到
1 T+dt ∆u = uC(T + dt) − uC(T) = ∫ iC(ξ )dξ dt→0 →0 当i(ξ )有界时 C T
当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质， 当电容电流有界时，电容电压不能突变的性 2t ) = 0.5 × 10 −6 = 1 × 10 −6 A = 1µA dt dt
4.当5s≤ )=124.当5s≤t时，uC(t)=12-2t，可以得到
iC (t ) = C du C d(12 − 2t ) = 0.5 × 10 −6 = −1 × 10 −6 A = −1µA dt dt
2.当1s≤t≤3s时，uC(t)=4-2t，可以得到 2.当1s≤ 3s时 )=4du C −6 d(4 − 2t ) iC (t ) = C = 0.5 × 10 = −1 × 10 −6 A = −1µA dt dt
3.当3s≤ 5s时 )=3.当3s≤t≤5s时，uC(t)=-8+2t，可以得到
uC(t+ ) = uC(t− )
来说， 对于初始时刻t=0来说，上式表示为
uC (0+ ) =uC (0− )
利用电容电压的连续性， 利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作 用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。 用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。
图所示电路的开关闭合已久， 例 图所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻 断开瞬间电容电压的初始值uC(0+)。
电容器的分类
按其结构，可分为固定电容器、可变电容器 和微调电容器三类。
常用的几种电容器
1 电容元件的基本概念
电容元件是一个理想的二端元件, 它的图形符号如图所示。 电容元件是一个理想的二端元件, 它的图形符号如图所示。
当电容上电压与电荷为关 联参考方向时， 联参考方向时，电荷q与u 关系为： )=Cu 关系为： q(t)=Cu(t)
根据图(a)波形的具体情况 根据图 (a)波形的具体情况， 按照时间分段来 (a) 波形的具体情况， 进行计算 1.当 1.当0≤t≤1s 时，uC(t)=2t，可以得到
du C −6 d ( 2t ) iC (t ) = C = 0.5 × 10 = 1 × 10 −6 A = 1µA dt dt
3. 电容元件的储能
当电容电压和电流为关联方向时， 当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬 时功率为： 时功率为： p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = Cu ( t ) du ( t ) dt 瞬时功率可正可负， 瞬时功率可正可负，当 p(t)>0时，说明电容 是在吸收能量，处于充电状态； 吸收能量 充电状态 <0时 是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) <0时，说 明电容是在供出能量，处于放电状态。 明电容是在供出能量，处于放电状态。 对上式从进行积分， 对上式从-∞到 t 进行积分，即得t 时刻电容上的 储能为： 储能为： t u( t )
R2 uC(0+ ) = uC(0− ) = US R1 + R2
电路如图所示。 例 电路如图所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬 )=6V， 间的电压分别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开关 闭合后一瞬间， 闭合后一瞬间，电容电压uC1(0＋),uC2(0＋) 。
解： 开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约 开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约 KVL 两个电容电压必须相等， 束，两个电容电压必须相等，得到以下方程
t 1 t 6 uC(t ) = ∫ iC(ξ )dξ = uC(3) + 2×10 ∫ 10−6 dξ =2 + 2(t − 3) 3 C −∞ 当t = 5s 时uC(5s) = 2V + 4V = 6V
5．当5s≤t时，iC(t)=0，根据式 －3可以得到 ． ≤时 ，根据式7－ 可以得到
t 1 t 6 uC(t ) = ∫ iC(ξ )dξ = uC(5) + 2×10 ∫ 0dξ =6V + 0 = 6V 5 C −∞
电路如图(a)所示 已知电容电流波形如图(b)所示 所示， 所示， 例 电路如图 所示，已知电容电流波形如图 所示，试 求电容电压u ，并画波形图。 求电容电压 C(t)，并画波形图。
解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算 根据图 波形的情况， 波形的情况 1．当t≤0时，iC(t)=0，得 ． ≤ 时 ，