高中数学知识点总结：随机变量及其分布

高中数学知识点总结：随机变量及其分布

随机变量及其分布

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1．

5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：

其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布

6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为

()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，

其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤

7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率

8、公式： .0)(,)()()|(>=

A P A P A

B P A B P

9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。)()()(B P A P B A P ⋅=⋅

10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中

)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数

12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。

13、方差:D(ξ)=(x 1-E ξ)2·P 1+（x 2-E ξ)2·P 2 +......+（x n -E ξ)2·P n 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。

14、集中分布的期望与方差一览：

15、正态分布：

若概率密度曲线就是或近似地是函数 )

,(,21)(222)(+∞-∞∈=

--x e x f x σμσπ

的图像，其中解析式中的实数0)μσ

σ>、（是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 则其分布叫正态分布(,)N μσ记作：，f( x )的图象称为正态曲线。

16、基本性质：

①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ时位于最高点.

③当时

μ<x ，曲线上升；当时μ>x ，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．

④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的

分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.

⑥正态曲线下的总面积等于1.

17、 3σ原则：

从上表看到,正态总体在 )2,2(σμσμ+- 以外取值的概率 只有 4.6%,在 )3,3(σμσμ+-以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.