第六章 导热

本问题中有内热源因此稳态时本问题的导热微分方程可以表示为01rv?????????????qrtrr3金属球最初温度均匀在冷却时从整个外表面均匀散热因此这是一个球坐标下的一维非稳态导热问题本问题中无内热源但是导热系数不是常数因此本问题的导热微分方程可以表示为????????????????tcrtrrr2216133傅里叶导热定律傅里叶导热定律和和导热微分方程的适用范围导热微分方程的适用范围傅里叶导热定律的推导基于热扰动的传输速度无限大这一假设
式中：ζ——碰撞直径(0.1nm)； Ωλ——兰纳德-焦恩碰撞积分，在数值上等于 Ωμ。
彼此间无相互作用的多组分混合气体的导热系数可以近似表示为
n
xii i1
式中：λi——组分 i 的导热系数(W/(m·°C))。 压力对液体导热系数的影响较大，一般情况下，液体的导热系数随着压力的增大而增大。 液体金属中的自由电子和离子的运动对液体金属的导热有一定贡献，因此液体金属的导热系数比一般液体大得多。 金属导热系数和电导率的关系可以用魏德曼-弗兰兹-洛伦兹方程(Wiedemann-Franz-Lorenz equation)表示，该方程可以表
一定温度范围内，大多数材料的导热系数和温度的关系可以表示为
0 (1 bt)
5
式中：λ0——温度是 0°C 时材料的导热系数(W/(m·°C))； b——常数。
空气的导热系数和温度的关系可以表示为
2.24 103 1 2 104T T 1 124 /T
物质导热系数越小，它的保温隔热效果越好，根据国家标准规定，在平均温度为 298K 时导热系数不 大于 0.08W/(m·°C)的材料称为绝热材料(insulation materials)/保温材料/隔热材料。
t
6.1.3.3 傅里叶导热定律和导热微分方程的适用范围
傅里叶导热定律的推导基于热扰动的传输速度无限大这一假设。一般工程技术中发生的导热问题满足 该假设，傅里叶导热定律和导热微分方程完全适用。
下列三种情况不能直接使用傅里叶导热定律和导热微分方程：(1)导热物体的温度接近绝对零度(温度 效应)；(2)导热过程作用时间极短，和材料本身固有的时间尺度相接近(时间效应)，例如极短时间的激光脉 冲加工过程中的导热；(3)导热过程发生的空间尺度极小，和微观粒子的平均自由行程相接近(尺度效应)， 例如厚度为纳米级别的薄膜中的导热。
3
解：
例 6-1 图
(1) 平底锅的直径明显大于平底锅的厚度(45 倍)，因此平底锅底部可以视为平壁，即本问题是直角坐标下的一 维导热问题。本问题中无内热源，因此稳态时本问题的导热微分方程可以表示为
2t x 2
0
(2) 电阻加热器导线的长度远大于直径(12.5 倍)，因此可以视为圆柱，即本问题是圆柱坐标下的一维导热问题。 本问题中有内热源，因此稳态时本问题的导热微分方程可以表示为
通过在夹层中抽真空(减少导热热损失)和采用多层间隔结构(减少辐射换热热损失)的方法可以获得超绝热材料。 根据材料结构的均匀性和方向性可以将材料分为以下四类：(1)均匀、各向同性材料。这类材料的导热性能也是均匀、 各向同性的，即在同一温度下材料中不同位置和同一位置不同方向上的导热系数值都相同。大多数材料均属于该类材料；(2) 均匀、各向异性材料。木材、石墨等材料各方向结构不同，因此各方向上的导热系数有较大差别；(3)非均匀、各向同性材 料。空心砖属于该类材料；(4)非均匀、各向异性材料。采用不同木材压制成的多层板和航天飞行器燃烧室中采用的层板结 构是这类材料的代表。必须采用张量形式的傅里叶定律研究各向异性材料的导热问题。
6 导热
6.0 本章主要内容导读
本章讨论导热问题，包括导热基本概念、一维稳态导热、非稳态导热和导热的数值求解四大部分内容 (图 6-1)。
图 6-1 第六章主要内容导读 教材中和本章有关的内容包括：第十章。
1
6.1 导热基本概念
6.1.1 导热微观机理
如前所述，导热依靠物质内部分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动进行热量传输。物质形态不 同，导热微观机理也有所不同：气体的导热是气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果；导电固体的导热 是自由电子运动和晶格振动的结果。导电固体中有大量自由电子，它们在晶格之间像气体分子一样运动。 在纯金属的导热中自由电子的运动起主要作用；非导电固体的导热通过晶格结构的振动即原子、分子在平 衡位置附近的振动所产生的弹性波实现；液体的导热机理存在两种不同观点：一种观点认为液体导热机理 类似气体，只是液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰撞的影响比气体大；另一种观点则认为液体导 热机理类似于非导电固体，主要依靠弹性波的作用。近来逐渐趋向于第二种观点。
本章主要讨论一维导热问题。
和动量传输问题类似，绝大多数的实际导热问题都是三维导热问题。 当平壁的长度和宽度比厚度大 10 倍以上、圆柱和圆筒壁的长度比外径大 10 倍以上时，平壁、圆柱、圆筒壁中的导热问 题可以视为一维导热问题。此外，当球体或者球壳的温度分布沿球心中心对称时，在球坐标下该问题也可以视为一维导热问 题。如无特别说明，本章下面讨论中直接用“平壁”、“圆柱”、“圆筒壁”、“球体”、“球壳”表示对应的可以视为一维导热的 物体。 非稳态导热时导热物体内部的温度分布一般同时随空间坐标变化，即对应的温度场可以是一维、二维或三维非稳态温度 场。特殊情况下，导热物体的温度仅仅随时间变化而不随空间坐标变化，即物体温度随时间统一变化，这样的系统称为集总 系统(lumped system)，对应的温度场是零维(zero dimension)、非稳态温度场。
q Q gradt t n
F
n
公式中的负号表示导热的方向和温度梯度方向相反，永远沿着温度降低的方向。
6.1.3.2 导热微分方程
如第五章所述，当速度 v=0 时，传热微分方程退化为导热微分方程，该方程的具体形式如 5.4 节所述。
例 6-1 导热微分方程 写出以下三种情况的导热微分方程：(1)有一个通过电炉加热烹调意大利面条的不锈钢平底锅。已知平底锅 的直径 d=18cm，高度 h=0.4cm。烹调时电炉功率保持为 800W，电炉产生的热量中的 80%均匀的传输给平 底锅。假设导热系数为常数，写出稳态时平底锅底部的导热微分方程；(2)一个长的圆柱形容器通过自带的 电阻加热器加热容器中的水，已知电阻加热器的导线直径 d=4cm，长度 l=50cm。假设导线的导热系数随温 度升高产生的变化可以忽略，给出稳态时导线的导热微分方程；(3)一个在炉子中加热到 600°F 的金属球被 放到温度为 75°F 的环境中进行冷却。已知导热系数和温度近似成线性关系。
图 6-3 一维导热和二维导热
如第五章所述，温度场和对应导热问题的维数和坐标系的选择方式有关。图 6-3 中通过长棒状材料的 导热，当坐标系取直角坐标时该导热问题为二维导热问题，当坐标系取球坐标时该导热问题为三维导热问 题。
6.1.3 导热基本方程
6.1.3.1 傅里叶定律
根据温度梯度的定义，傅里叶定律可以表示为
很多绝热材料都是多孔材料。这些材料不再是均匀的连续介质，内部的传热过程为导热、对流及辐射共同作用的复杂过 程(高温时，多孔绝热材料中热量传输的机理包括蜂窝固体结构的导热和穿过微小气孔的导热等方式；更高温度时，穿过微 小气孔的热量传输方式同时包括导热和热辐射)。当多孔材料孔隙的大小和物体的总几何尺寸相比较小时，可近似地将多孔 材料视为连续介质，传热过程视为导热过程，按照连续介质折算的多孔材料的导热系数称为表观导热系数(apparent thermal conductivity)/当量导热系数/折算导热系数。
水和甘油等强缔合液体的分子量会发生变化，密度也会随温度而变化。因此不同温度下，水和甘油的导热系数随温度的 变化规律不同。
气体通过气体分子不规则热运动时发生的相互碰撞实现导热。随着温度升高，气体分子不规则热运动加剧， 因此气体的导热系数一般随温度升高而增大。 合金主要通过晶格振动实现导热。随着温度升高，晶格振动加强，因此合金的导热系数一般随温度升高而 增大。
6.1.2 导热过程的分类
按照导热物体内部温度分布和时间的关系，导热过程可以分为发生在稳态温度场中的稳态导热(steady state conduction)和发生在非稳态温度场中的非稳态导热(unsteady conduction/transient conduction)/不稳态导 热/瞬态导热(图 6-2)。
同一种物质处于固态时导热系数最大，处于气态时导热系数最小。 按照分子运动论，采用钢球模型，单原子气体的导热系数可以表示为



1 3/2
k 3T / m d2
按照查普曼-恩斯考格(Chapman-Enskog)理论，采用应力场模型，单原子气体的导热系数也可以表示为
0.0829
T /M 2Ω
产生时间效应的极短时间间隔称为微尺度时间。 每种材料都有一个固有的、反映辐射能量和材料微观作用的时间尺度，这个时间尺度称为松弛时间(relaxation time)/弛余 时间/弛豫时间。对一般的金属材料，这个时间尺度在 10-13~10-11s 范围。
6.1.4 导热系数
根据傅里叶定律，导热系数可以表示为
1 r
r r
t r
qV
0
(3) 金属球最初温度均匀，在冷却时从整个外表面均匀散热，因此这是一个球坐标下的一维、非稳态导热问题， 本问题中无内热源，但是导热系数不是常数，因此本问题的导热微分方程可以表示为
1 r2
r
r 2
t r


c
绝热材料导热系数的大小反映了一个国家绝热材料生产及节能的水平。导热系数越小，生产及节能的水平越高。我国在 上世纪 50 年代时定义的绝热材料导热系数为 0.23W/(m·°C)，上世纪 80 年代规定为 0.14W/(m·°C)(GB4272-1984)，上世纪 90 年代规定为 0.12W/(m·°C)(GB4272-1992)，2008 年的新标准中则为 0.08W/(m·°C)(GB4272-2008)。
示为
LGT
式中：L——洛伦兹数(常数)。 上式表明，良好的电导体必然是良好的热导体，反之亦然。 湿度对建筑材料的导热系数有一定影响。两者之间的关系可以表示为
0 exp(0.08Ψ )
式中：λ0——干燥材料的导热系数(W/(m·°C))； Ψ——相对湿度(%)。
图 6-4 物质的导热系数
实际工程研究中遇到的绝大多数导热问题都是非稳态导热问题。
图 6-2 非稳态导热和稳态导热
2
按照导热物体内部温度分布和空间坐标的关系，导热过程可以分为发生在一维温度场中的一维导热 (one dimensional conduction)、发生在二维温度场中的二维导热(two dimensional conduction)和发生在三维温 度场中的三维导热(three dimensional conduction)。图 6-3 中的通过房间窗户玻璃的导热和通过长棒状材料的 导热分别属于一维导热和二维导热。
物质导热能力的大小主要取决于上述两方面因素：物质的微观结构和作用粒子。一般情况下，微观结构的有序性越好， 作用粒子的种类和数量越多，导热能力越强。因此，同一种物质处于晶态时的导热系数大于非晶态/无定形态时的导热系数。
例 6-1A 导热微观机理和物质导热系数的关系 根据导热微观机理分析下述事实：(1)合金的导热系数低于相应纯金属的导热系数；(2)液体和纯金属的导热 系数一般随温度升高而减小，气体和合金的导热系数一般随温度升高而增大。 解： 导热系数表征了物质导热能力的大小，物质导热能力越大，对应的导热系数越大。 (1) 纯金属主要通过自由电子的运动实现导热。合金破坏了原有纯金属的晶格完整性，阻碍自由电子的运动， 因此合金的导热系数低于相应纯金属的导热系数。 (2) 随着温度升高，纯金属的晶格振动加剧，阻碍自由电子的运动，因此纯金属的导热系数一般随温度升高而 减小。 液体的导热系数和液体的密度、分子量有关。液体密度增大或者分子量减小都会使液体的导热系数增大。 大多数液体的分子量保持不变，当温度升高时，液体密度减小，导热系数也减小。
q (t / n)n
即导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下物体内产生的热通量/单位时间、单位面积、单位温度梯度作 用下产生的传热量。
导热系数是物性参数，表征了物质导热能力的大小。物质的导热系数和物质的种类、材料成分、温度、
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湿度、压力、密度等有关。图 6-4 给出了物质种类和温度对物质导热系数的影响。