学而思作业6

杨秀情——六年级暑假——配套练习
【作业要求】
（1）建议打印下来，归类整理好，一个学期下来，装订成册
（2）先看秀情老师网校的课程视频，再做这些作业哈
（3）可根据自己的情况，有选择性的做题哦
（4）书写规范，步骤清晰
【温馨提示】
（1）做完后可以拍照，上传到秀情老师的群：数学加油站
数学加油站（五年级）：236427726
数学加油站（六年级）：252271825
（2）秀情老师从中选优秀作业，赠送我独有的精美礼品
（3）两周一次进行——【情学好问】直播答疑
情学好问（五年级）：62834135
情学好问（六年级）：283789167
【练练1】
如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有种不同走法．
A
【练练2】
小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在P点，他去少年宫都是走最近的路，且每次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．
E
C
【练练3】
如图，某城市的街道由5条东西向马路和6条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线
走到东北角B处，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有
种不同走法．
A
【练练4】
（2007年第五届走美五年级初赛第15题）
如图，8个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条。

B
【练练5】
（2007年第五届走美初赛六年级第15题）
如图，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条。

B
A
【练练6】
游乐园的门票1元1张，每人限购1张。

现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱，问有多少种排队方式，使得售票员总能找的开零钱。

【练练7】
（第15届日本算术奥林匹克预赛试题）
有足够的1cm×2cm的长方形纸条。

用这种纸条去覆盖2cm×3cm的长方形纸，使它们既不重叠，也不超出和留间隙，有3种不同的方法（如左下图）。

那么，将这1cm×2cm的长方形纸条覆盖由16个边长为1cm的正方形组成的图形（如右下图），共有多少种不同的方法？
【练练8】
上一段12级楼梯，规定每一步只能上一级或两级楼梯，要登上第11级楼梯，不同的走法共有种。

【练练9】
上一段15级楼梯，规定每一步只能上一级或两级或三级楼梯，要登上第10级楼梯，不同的走法共有种。

【练练10】
现在有足够的1cm×2cm的长方形纸条.用这种纸条去覆盖2cm×3cm的长方形纸，使它们既不重叠，也不超出和留间隙，有3种不同的方法（如左下图）.那么，将这1cm×2cm的长方形纸条覆盖由24个边长为1cm的正方形组成的图形（如右下图），共有（）种不同的方法.
【练练11】
如图1所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”.
i
图1
【练练12】
(第三届“希望杯”2试试题)右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法
.
杯杯杯杯杯
望望望望希
希希爱爱
我
16
15
1135
3211111111杯杯杯杯杯望
望
望望
希希
希爱
爱我
【练练13】
2008北京奥运会闭幕后，有很多人由于没能到鸟巢现场观看比赛而感到遗憾，北京市政府为了满足大
家需求，决定面向公众开放鸟巢场馆，门票价格为50元，而且规定每人限购1张门票，现有10人排队购票。

其中5人均手持50元面值的钞票，另5人均手持100元面值的钞票，而售票员只带了门票，没有准备零钱，问共有多少种购票序列是不需要售票处另外找零的？
【练练14】
某人游览A，B，C三个风景区，计划旅游５天，最后又回到A区(不能连续两天在同一风景区)，符合条件的游览路线可以有几条？
【练练15】
A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种．
【练练16】
（2008年第一届“学而思杯”五年级试题）
学学和思思一起洗5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法。

【练练17】
平面上4个圆最多能把平面分成多少部分？
【练练18】
10个三角形最多将平面分成几个部分？
【练练19】
一个长方形把平面分成两部分，那么三个长方形最多把平面分成部分．
【练练20】
平面上的5个圆和1条直线最多能把平面分成多少部分？
【练练21】
平面上的5个圆和3条直线最多能把平面分成多少部分？
【练练22】
用10个的小长方形去覆盖的方格网，一共有种不同的覆盖方法．
【练练23】
用10个13
⨯的方格网，一共有多少种不同的覆盖方法。

⨯的小长方形去覆盖310
【练练24】
证明3333221
123(1)4
n n n +++
+=+，n 为自然数
【练练25】
传说在印度的佛教圣地贝拿勒斯圣庙里安放着个一个黄铜板，板上插着三根宝石针，在第一根宝石针上，从下到上穿着由大到小的64片中心有孔的金片.每天都有一个值班僧侣按下面规则移动金片：把金片从第一根宝石针移到其余的某根宝石针上.要求一次只能移动一片，而且小片永远要放在大片的上面.当时传说当64片金片都按上面的规则从第一根宝石针移到另一根宝石针上时，世界将在一声霹雳中毁灭.所以有人戏称这个问题叫“世界末日”问题（也称为“Hanoi 塔”问题），当然，移金片和世界毁灭并无联系，这只是一个传说而已，但说明这是一个需要移动很多很多次才能办到的事情.解这个问题的方法在算法分析中也常用到.究竟按上述规则移动完成64片金片需要移动多少次呢？
【练练26】
(2006年“迎春杯”中年级组决赛)
有6个木箱，编号为1，2，3，……，6，每个箱子有一把钥匙，6把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好．先撬开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把6把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有 种．
【练练27】
给你一架天平和两个砝码，这两个砝码分别重50克和100克，如果再添三个砝码，则这
五个砝码可以称的重量种类最多是________种。

（天平的左右两盘均可放砝码）
【练练28】
有30个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个，2个或3个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少方法取完？石子之间不作区分，即只考虑石子个数。

【练练29】
有从一年级到六年级的儿童各一人，排成一列领取糖果。

如果一个高年级的儿童站在低年级的儿童前面，那么高级年儿童后面所有比他年级低的儿童都会各有一次“怨言”。

在一种排列顺序里，我们把所有“怨言”的总数叫“怨言数”。

（注：一个人可以有两次以上的“怨言”。

）
例如：下面的排列，其“怨言数”就是4。

（前）“怨言”
1年级生0次
4年级生0次
3年级生1次
2年级生2次
6年级生0次
5年级生1次
“怨言数”…4次
问：“怨言数”为7的排列顺序有几种？
【练练30】
整数1,2,3，……，14排成一排，满足：每个数或者大于它前面的所有数，或者小于它前面的所有数。

那么总共有个满足条件的排列方式。

【练练31】
(第六届“华杯赛”复赛)
①.下面的(a )、(b )、(c )、(d )为四个平面图．数一数，每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们分别围成了多少个区域?请将结果填入下表(按填好的样子做)．
(d)
(c)
(b)
(a)
② 观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?
③ 现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边．
【练练32】
个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？
【练练1答案】
如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的A 处沿最短的路线走到东北角B 出，由于修路，十字路口C 不能通过，那么共有 种不同走法．
A
A
【分析】 本题是最短路线问题．要找出共有多少种不同走法，关键是保证不重也不漏，一般采用标数
法．如上图所示，共有120种．
另解：本题也可采用排除法．由于不能经过C ，可以先计算出从A 到B 的最短路线有多少条，再去掉其中那些经过C 的路线数，即得到所求的结果．
对于从A 到B 的每一条最短路线，需要向右6次，向上4次，共有10次向右或向上；而对于每一条最短路线，如果确定了其中的某6次是向右的，那么剩下的4次只能是向上的，从而该路线也就确定了．这就说明从A 到B 的最短路线的条数等于从10次向右或向上里面选择6
次向右的种数，为6
10C ．
一般地，对于m n ⨯的方格网，相对的两个顶点之间的最短路线有C m m n +种．
本题中，从A 到B 的最短路线共有610C 种；从A 到C 的最短路线共有26C 种，从C 到B 的最短
路线共有24C 种，根据乘法原理，从A 到B 且必须经过C 的最短路线有2
264C C ⨯种，所以，从A 到B 且不经过C 的最短路线有62
21064C C C 21090120-⨯=-=种。

【练练2答案】
小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在P 点，他去少年宫都是走最近的路，且每次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．
E C
【分析】 本题属最短路线问题．运用标数法分别计算出从小王家P 点到A 、B 、C 、D 、E 点的不同
路线有多少条，其中，路线条数与小王学习次数56相等的点即为少年宫．
因为，从小王家P 点到A 点共有不同线路84条；到B 点共有不同线路56条；到C 点共有不同线路71条；到D 点共有不同线路15条；到E 点共有不同线路36条．所以，少年宫在B 点处。

【练练3答案】
如图，某城市的街道由5条东西向马路和6条南北向马路组成，现在要从西南角的A 处沿最短的路线走到东北角B 处，由于修路，十字路口C 不能通过，那么共有 种不同走法．
A
【分析】
使用标数法可以得到共有66种不同走法．或者，由于从A 到C 的最短路线有2
5C 10=种，
从C 到B 的最短路线有24C 6=种，所以从
A 到
B 且经过
C 的最短路线有10660⨯=种；由于从A 到B 的最短路线有499876C 1261234
⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种，所以从A 到B 且不经过C 的最短路线有1266066-=种。

【练练4答案】（2007年第五届走美五年级初赛第15题）
如图，8个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A 到B 的最短路线共有 条。

B
54
18
6
18
18
6
66
3
3
2
6
3
3
2
1
6
3
3
2
1
1
1
1
1
B
A
【分析】直接用标数法，即可。

观察发现，从A 点出发的三个面左面、下面、前面所标数相等，则上面的中间填6，进而中间右填18。

类似的，即可得到到达B 段的方法总共有：18×3=54。

【练练5答案】
（2007年第五届走美初赛六年级第15题）
如图，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A 到B 的最短路线共有 条。

B
A
【分析】最短路线有384条。

128
56
12856128
56
36
18
18
8
20
10
4
181882010
4
20
10
4
1
10
6
31364
31
1
21
1B
A
【练练6答案】
游乐园的门票1元1张，每人限购1张。

现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱，问有多少种排队方式，使得售票员总能找的开零钱。

【分析】
标数法，假设1元的为横线，2元的为竖线。

421428145149
5
254321
1
1
11
1
B
A
则共有4260480055
55A A ⨯=（种）排队的方法使得其成立。

【练练7答案】
（第15届日本算术奥林匹克预赛试题）
有足够的1cm ×2cm 的长方形纸条。

用这种纸条去覆盖2cm ×3cm 的长方形纸，使它们既不重叠，也不超出和留间隙，有3种不同的方法（如左下图）。

那么，将这1cm ×2cm 的长方形纸条覆盖由16个边长为1cm 的正方形组成的图形（如右下图），共有多少种不同的方法？
【分析】找规律：
发现，用1×2的长方形纸条去覆盖2×1的有1种方法； 去覆盖2×2的有2种方法； 去覆盖2×3的有3种方法； 去覆盖2×4的有2+3=5种方法； 去覆盖2×5的有3+5=8种方法； 去覆盖2×6的有5+8=13种方法。

以后类似的，覆盖2×n的方法总数是覆盖2×（n-1）的方法总数与覆盖2×（n-2）的方法总数之和。

现在要覆盖如下图
可分为两类：
第一类：拐弯部分分为两类：
第一步；覆盖前面2×6的长条的方法有：13种；
第二步；覆盖后面2×2方格的方法有：2种；
此时有2×13=26种。

第二类：拐弯部分也可能是竖放，此时：
左边2×4的长方形纸条有：5种方法。

所以共有：26+5=31种方法。

【练练8答案】
上一段12级楼梯，规定每一步只能上一级或两级楼梯，要登上第11级楼梯，不同的走法共有种。

【分析】递推法。

上1级台阶只有1种走法，上2级台阶有11+和2两种走法，……
事实上，上第n阶台阶，跨最后一步前，人所在的台阶一定是在第1
n-级台阶或2
n-级台阶上，所以跨上第n级台阶的走法数相当于跨上第1
n-级台阶的总和。

依照这
n-级台阶和第2
一规律，列表写出跨1到12级各级的走法数。

最后递推得到登上第11级楼梯有144种走法。

【练练9答案】
上一段15级楼梯，规定每一步只能上一级或两级或三级楼梯，要登上第10级楼梯，不同的走法共有种。

【分析】递推法。

上1级台阶只有1种走法，上2级台阶有11+和2两种走法，上3级台阶有1+1+1,1+2，2+1,3共4种走法，上4级台阶有：1+1+1+1；1+1+2；1+2+1；2+1+1；2+2；1+3；3+1共7种；走5级台阶有2+4+7=13种走法，走6级台阶有4+7+13=24种走法……
事实上，上第n阶台阶，跨最后一步前，人所在的台阶一定是在第1
n-级台阶或2
n-级台阶或n-3级台阶上，所以跨上第n级台阶的走法数相当于跨上第1
n-级台阶以及第n-3级台阶
n-级台阶和第2
的总和。

依照这一规律，列表写出跨1到10级各级的走法数。

最后递推得到登上第10级楼梯有274种走法。

【练练10答案】
现在有足够的1cm×2cm的长方形纸条.用这种纸条去覆盖2cm×3cm的长方形纸，使它们既不重叠，也不超出和留间隙，有3种不同的方法（如左下图）.那么，将这1cm×2cm的长方形纸条覆盖由24个边长为1cm的正方形组成的图形（如右下图），共有（）种不同的方法.
【分析】找规律：
发现，用1×2的长方形纸条去覆盖2×1的有1种方法；
去覆盖2×2的有2种方法；
去覆盖2×3的有3种方法；
去覆盖2×4的有2+3=5种方法；
去覆盖2×5的有3+5=8种方法；
去覆盖2×6的有5+8=13种方法.
以后类似的，覆盖2×n的方法总数是覆盖2×（n-1）的方法总数与覆盖2×（n-2）的方法总数之和.现在要覆盖如下图
可分为两类：
第一类：拐弯部分分为两部分：
第一步；覆盖前面2×9的长条的方法有：55种；
第二步；覆盖后面2×3方格的方法有：3种；
此时有3×55=165种.
第二类：拐弯部分也可能是竖放，此时：
左边2×7的长方形纸条有：21种方法. 上边2×2的长方形纸条有：2种方法 共有2×21=42种.
所以共有：165+42=207种方法.
【练练11答案】
如图1所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein ”，按图中箭头所示方向有 种不同的方法拼出英文单词“Einstein ”
.
i
011
11
111
i
图1 图2 【分析】 由E n s t e i n →i →→→→→→的拼法如图2所示.
根据加法原理可得
共有303060+=(种)不同拼法.
【练练12答案】
(第三届“希望杯”2试试题)右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法
.
杯杯杯杯杯
望望望望希
希希爱爱
我
16
15
1135
3211111111杯杯杯杯杯望
望
望望
希希
希爱
爱我
【分析】 “我爱希望杯”的读法也就是从“我”走到“杯”的方法.如上右图所示，共16种方法.
【练练13答案】
2008北京奥运会闭幕后，有很多人由于没能到鸟巢现场观看比赛
而感到遗憾，北京市政府为了满足大家需求，决定面向公众开放
鸟巢场馆，门票价格为50元，而且规定每人限购1张门票，现有10人排队购票。

其中5人均手持50元面值的钞票，另5人均手
42
持100元面值的钞票，而售票员只带了门票，没有准备零钱，问共有多少种购票序列是不需要售票处另外找零的？
【分析】要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿100元钱的人前面的若干人中，拿50元的要比拿100元的人数多，先将拿50元钱的人看成是相同的，将拿100元钱的人看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在右图中，每条小横小线段代表50元钱的人，每条小竖线段代表
100元钱的人，因为从A点沿格线走到B点，无论到途中哪一点，经过的小横线段都不少于
小竖线段，所以本题相当于求下图中从A到B有多少种不同走法．利用标数法，可求出从A到
B有42种走法．
但是事实上10个人互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿50元的人，5个人共有5!120
=种排法；第二步排拿100元的人，共有5!5!14400
⨯=种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800
⨯=(种)．
【练练14答案】
某人游览A，B，C三个风景区，计划旅游５天，最后又回到A区(不能连续两天在同一风景区)，符合条件的游览路线可以有几条？
【分析】如图，从A风景区出发共6种走法．
A
A
A
A
A
A
C
C
B
B
B
同理从B或C出发各有5
种
A
A
A
A
A
C
C
C B
B
A
A
A
A
A
C
C B
B
所以符合条件的共有65516
++=种走法
点睛：
画树状图就好像走十字路口选择行走路线
【练练15答案】
A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种．
【分析】如图，A第一次传给B，到第五次传回A有5种不同方式．
同理，A第一次传给C，也有5种不同方式．
所以，不同的传球方式共有10种．
【练练16答案】
（2008年第一届“学而思杯”五年级试题）
学学和思思一起洗5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法。

【分析】方法一：用枚举法：如下所示，共有42种不同的摞法：
54321
----，45321
----，35421
----，
53421
----，34521
----，54231
----，
45231
----，25431
----，52431
----，
24531
----，52341
----，25341
----，
23541
----，23451
----，54312
----，
45312
----，53412
----，35412
----，
34512
----，54132
----，45132
----，
15432
----，51432
----，14532
----，
51342
----，15342
----，13542
----，
13452
----，54123
----，45123
----，
15423
----，51423
----，14523
----，
12543
----，51243
----，15243
----，
12453
----，12354
----，12534
----，15234
----，51234
----，12345
----。

方法二：用标数法：我们把学学洗的5个碗过程看成从起点向右走5步（即洗几个碗就代
表向右走几步），思思拿5个碗的过程看成是向上走5步（即拿几个碗就代表向上走几步），摞好碗的摞法，就代表向右、向上走5步到达终点最短路线的方法.由于洗的碗要多余拿
的碗，所以向右走的路线要多余向上走的路线，所以我们用下面的斜三角形进行标数，
共有42种走法，即代表42种摞法.
【练练17答案】
平面上4个圆最多能把平面分成多少部分？
【分析】1个圆能把平面分成2部分，2个圆与原来的圆产生2个交点，这两个交点把新圆分割出2段曲线，能得到2块新部分，共得到4部分.
第3个圆与原来的圆最多产生4个交点，这4个交点把新圆分割出4段曲线，能得到4块新
部分，共得到8部分.
第4个圆与原来的圆最多产生6个交点，这6个交点把新圆分割出6段曲线，能得到6块新
部分，共得到14部分.
【练练18答案】
10个三角形最多将平面分成几个部分？
【分析】设n个三角形最多将平面分成
n
a个部分．
1
n=时，
12
a=；
42
1
A
2n =时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有236⨯=(个)交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即2223a =+⨯． 3n =时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4312⨯=(个)交点，从而平面也增加了12个部分，即：322343a =+⨯+⨯．……
一般地，第n 个三角形与前面()1n -个三角形最多有()213n -⨯个交点，从而平面也增加()213n -⨯个部分，故
()()2
22343213224213332n a n n n n =+⨯+⨯+
+-⨯=++++-⨯=-+⎡⎤⎣⎦，
特别地，当10n =时，2103103102272a =⨯+⨯+=，即10个三角形最多把平面分成272个部分．
小结：n 个图形最多可把平面分成部分数：
直线：()
112
n n ⨯++；
圆：()21n n +⨯-； 三角形：()231n n +⨯⨯- ； 长方形：()241n n +⨯⨯-．
【练练19答案】
一个长方形把平面分成两部分，那么三个长方形最多把平面分成 部分． 【分析】 一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边与第一个长方形最多有2个交点，4
条边与第一个长方形最多有248⨯=(个)交点．这8个交点将第二个长方形的周边分成8段，这8段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了8个部分，成为10个部分。

第三个长方形的每一条边与前2个长方形最多有4个交点，4条边与前2个长方形最多有4416⨯=(个)交点．这16个交点将第三个长方形的周边分成16段，这16段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了16个部分，成为26个部分。

所以三个长方形至多把平面分成26个部分．
【练练20答案】
平面上的5个圆和1条直线最多能把平面分成多少部分？ 【分析】 1个圆能把平面分成2部分，2个圆与原来的圆产生2个交点，这两个交点把新圆分割出2段
曲线，能得到2块新部分，共得到4部分.
第3个圆与原来的圆最多产生4个交点，这4个交点把新圆分割出4段曲线，能得到4块新部分，共得到8部分.
第4个圆与原来的圆最多产生6个交点，这6个交点把新圆分割出6段曲线，能得到6块新部分，共得到14部分.
第5个圆与原来的圆最多产生8个交点，这8个交点把新圆分割出8段曲线，能得到8块新部分，共得到22部分.
由此可得分得块数规律为22468+++++，5个圆加1条直线，直线最多能产生10个交点，得到10个新部分. 所以最终把平面分成32部分.
【练练21答案】
平面上的5个圆和3条直线最多能把平面分成多少部分？ 【分析】 1个圆能把平面分成2部分，2个圆与原来的圆产生2个交点，这两个交点把新圆分割出2段
曲线，能得到2块新部分，共得到4部分.
第3个圆与原来的圆最多产生4个交点，这4个交点把新圆分割出4段曲线，能得到4块新部分，共得到8部分.
第4个圆与原来的圆最多产生6个交点，这6个交点把新圆分割出6段曲线，能得到6块新部分，共得到14部分.
第5个圆与原来的圆最多产生8个交点，这8个交点把新圆分割出8段曲线，能得到8块新部分，共得到22部分.
由此可得分得块数规律为22468+++++，5个圆加1条直线，直线最多能产生10个交点，得到10个新部分（两端属于同一块）. 第2条直线，又可以产生11个新交点，得到12个新部分. 第3条直线，又可以产生12个新交点，得到13个新部分. 所以最终把平面分成57部分.
【练练22答案】
用10个 的小长方形去覆盖 的方格网，一共有 种不同的覆盖方法．
【分析】 递推法．若用12⨯的小长方形去覆盖2n ⨯的方格网，设方法数为n A ，那么11A =，22A =．
当3n ≥时，对于最左边的一列有两种覆盖的方法：⑴用1个12⨯的小长方形竖着覆盖，那么剩下的()21n ⨯-的方格网有1n A -种方法；⑵用2个12⨯的小长方形横着覆盖，那么剩下的
()22n ⨯-的方格网有2n A -种方法，根据加法原理，可得12n n n A A A --=+．
递推可得到3123A =+=，4235A =+=，5358A =+=，65813A =+=，781321A =+=，
8132134A =+=，9213455A =+=，10345589A =+=． 所以覆盖210⨯的方格网共有89种不同方法．
【练练23答案】
用10个13⨯的小长方形去覆盖310⨯的方格网，一共有多少种不同的覆盖方法。

【分析】 递推法．若用13⨯的小长方形去覆盖3n ⨯的方格网，设方法数为n A ，那么11A =，
21A =．32A = 当4n ≥时，对于最左边的一列有两种覆盖的方法：⑴用1个13⨯的小长方形竖着覆盖，那么剩下的()31n ⨯-的方格网有1n A -种方法；⑵用3个13⨯的小长方形横着覆盖，那么剩下的
()33n ⨯-的方格网有3n A -种方法，根据加法原理，可得13n n n A A A --=+．
递推可得到4123A =+=，5134A =+=，6246A =+=，7369A =+=，84913A =+=， 961319A =+=，1091928A =+=．
所以覆盖310⨯的方格网共有28种不同方法．
【练练24答案】
证明3333221
123(1)4
n n n +++
+=+，n 为自然数
【分析】 显然当1,2n n ==时都成立，假设当n k =时成立，即3333221
123(1)4
k k k +++
+=+，那么
1n k =+时，333332232211
123(1)(1)(1)(1)(2)44
k k k k k k k +++
+++=+++=++，即公式也
成立，所以原公式成立。

【练练25答案】
传说在印度的佛教圣地贝拿勒斯圣庙里安放着个一个黄铜板，板上插着三根宝石针，在第一根宝石针上，从下到上穿着由大到小的64片中心有孔的金片.每天都有一个值班僧侣按下面规则移动金片：把金片从第一根宝石针移到其余的某根宝石针上.要求一次只能移动一片，而且小片永远要放在大片的上面.当时传说当64片金片都按上面的规则从第一根宝石针移到另一根宝石针上时，世界将在一声霹雳中毁灭.所以有人戏称这个问题叫“世界末日”问题（也称为“Hanoi 塔”问题），当然，移金片和世界毁灭并无联系，这只是一个传说而已，但说明这是一个需要移动很多很多次才能办到的事情.解这个问。