遂宁市2016-2017学年高二下期末考试数学试题(文)含答案

遂宁市高中2018级第四学期教学水平监测
数学（文科）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的） 1．复数
51i
i
-+（i 是虚数单位）的在复平面上对应的点位于第 象限 A ． 一 B ． 二 C ．三 D ． 四 2．在用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），
求证(2)a b -、 (2)b c -、(2)c a -不可能都大于1”时，反证假设时正确的是
A ．假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1
B ．假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1
C ．假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1
D ．以上都不对
3．“0x >”是“(2)(4)0x x --<”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．设函数sin cos y x x x =+的图象上点(,())P t f t 处的切线斜率为k ， 则函数()k g t =的大致图象为
5．函数3
1()ln 13
f x x x =-
+的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
6．在极坐标系中，若过点（2，0）且与极轴垂直的直线交曲线8cos ρθ= 于A 、B 两点，则||AB =
A ．．．．7．运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名。

比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
8．若正整数N 除以正整数m 后的余数 为n ，则记为(mod )N n m ≡，例 如102(mod 4)≡.如图程序框图的 算法于我国古代闻名中外的《中 国剩余定理》.执行该程序框图，则 输出的i 等于
A ． 4
B ．8
C ．16
D ．32
9．已知圆(＋3)2
＋y 2
＝64的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为 (3，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是 A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．椭圆
10．设F 为抛物线2
8y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上不同的三点，且
0FA FB FC ++=，O 为坐标原点，若OFA OFB OFC ∆∆∆、、的面积分别为
123S S S 、、，则22
2123++=S S S
A ．36
B ．48
C ．54
D ．64 11．已知)()(x 、g x f 都是定义在R 上的函数, ()0,g x ≠
()()()(),()(),
x f x g x f x g x f x a g x ''<=(1)(1)5
(1)(1)2
f f
g g -+=-，
在有穷数列()()f n g n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
(n =1,2,…,10）中，任意取前项相加， 则前项和不小于
63
64
的的取值范围是 A ．[]
6,10且k N *∈ B ．(]
6,10且k N *∈
C ．[
]
5,10且k N *∈ D ．[]
1,6且k N *∈
12．已知椭圆2
2:12
x C y +=，点12,,M M …,5M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于12,,P P …,10,P 则直线
12,,AP AP …,10AP 这10条直线的斜率的乘积为
A ．116-
B ．132-
C ．1
64
D ．11024
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．抛物线2
4y x =的焦点坐标为 ▲
14．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程为430x y -=，则双曲线的离心率
为 ▲
15．若“0(0,)x ∃∈+∞，使得00ln 0x ax ->”为假命题，则实数
a 的取值范围为 ▲
16．已知函数2
()(3)x
f x x e =-，现给出下列结论：
①()f x 有极小值，但无最小值 ②()f x 有极大值，但无最大值
③若方程()f x b =恰有一个实数根，则3
6b e -> ④若方程()f x b =恰有三个不同实数根，则3
06b e -<< 其中所有正确结论的序号为 ▲
三、解答题（17题10分，18~22题各12分，共70分，请写出必要的解答过程或文字说明） 17．（本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2
2
20x y x +-=
（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；
（2）设直线l 的参数方程为cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数）,若直线l 与圆C 交于,A B 两点，
且||AB =
l 的斜率.
18．（本题满分12分）
已知命题:p 函数2
()23f x x ax =-+在区间[1,2]-上单调递增； 命题:q 函数2()lg(4)g x x ax =++的定义域为R ；
若命题“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，求实数a 的取值范围.
19．（本题满分12分）
在某地区2008年至2014年中，每年的居民人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
对变量t 与y 进行相关性检验，得知t 与y 之间具有线性相关关系． （1）求y 关于t 的线性回归方程； （2）预测该地区2017年的居民人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
2
1
()()
ˆ()n
i
i i n
i
i t
t y y b
t
t ==--=-∑∑，ˆˆa
y bt =-
20．（本题满分12分）
已知函数32
9()6.2
f x x x x a =-
+- （1）对任意实数,()x f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若函数()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围.
21．（本题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
经过点P ，一个焦点F 的坐标为(2,0).
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线:1l y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求OA ·OB 的取值范围.
22．（本题满分12分）
已知函数2
()ln f x a x x =-.
（1）当2a =时，求函数()y f x =在1
[,2]2
上的最大值；
（2）令()()g x f x a x =+
，若()y g x =在区间(0,3)上为单调递增函数，求a 的取值范围；
（3）当2=a 时，函数()()mx x f x h -=的图象与x 轴交于两点()()0,,0,21x B x A ，且210x x <<，又)('x h 是)(x h 的导函数.若正常数βα，满足条件αββα≥=+，1.证明：12()h x x αβ'+<0.
遂宁市高中2018级第四学期教学水平监测 数学（文科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（5×12=60分）
二、填空题（5×4=20分）
13. (0,
116) 14．53 15．1
[,)e
+∞ 16．②④ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．) 17．（10分）
cos ,sin 2cos x y C ρθρθρθ===解：(1)由得圆的极坐标方程为………………4分
()l R θαρ=∈(2)直线的极坐标方程为 ………………6分
||AB ρ=⇒=
cos tan 23
αα∴=
⇒=±………………9分
3
l ±
故直线的斜率为 ………………10分 18．（12分）
:1p a ≤-解：命题 ………………2分
2:16044q a a ∆=-<-<<命题即 ………………4分
,,p q p q p q ∧∨⇔命题“”为假“”为真中一真一假 ………………6分
1
444a p q a a a ≤-⎧⇔≤-⎨
≤-≥⎩真假：或 ………………8分 1
1444
a p q a a >-⎧⇔-<<⎨
-<<⎩假真： ………………10分 414a a ≤--<<综上：或 ………………12分
19．（12分）
解：（1）由已知表格的数据，得1234567
47
t ++++++=
=， ………………2分
2.7
3.6 3.3
4.6
5.4 5.7
6.2
4.57
y ++++++=
=， ………………3分
7
1
()()(3)( 1.8)(2)(0.9)(1)( 1.2)i
i i t
t y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑
00.110.92 1.23 1.7+⨯+⨯+⨯+⨯
16.8=， ………………4分
7
222222221
()(3)(2)(1)012328i
i t
t =-=-+-+-++++=∑， ………………5分
∴16.8
ˆ0.628
b
==． ………………6分 ∴ˆ 4.50.64 2.1a
=-⨯=． ………………7分 ∴y 关于t 的线性回归方程是ˆ0.6 2.1y
x =+． ………………8分 （2）由（1），知y 关于t 的线性回归方程是ˆ0.6 2.1y
x =+． 将2017年的年份代号10t =代入前面的回归方程，得ˆ0.610 2.18.1y
=⨯+=． 故预测该地区2017年的居民人均收入为8.1千元． ………………12分
20．（12分）
22333
()3963()244
f x x x x '=-+=--≥-解：⑴ ………………4分
33
(),44
f x m m m '≥≤--恒成立故即的最大值为 ………………6分
2
()3963(2)(1)f x x x x x '=-+=--⑵
()021
()012f x x x f x x ''>⇒><<⇒<<或； ()(,1)(2,),(1,2)f x ∴-∞+∞在和上单增在上单减 ………………8分 5
()(1),()(2)22
f x f a f x f a ∴==-==-极大极小 ………………10分
()f x 恰有一个零点
55
020222
a a a a ∴-<-><>或即或 ………………12分 21．（12分）
(1)222a a c b ==⇒==⇒=解: ………………3分
22
184x y C ∴+=椭圆的方程为 ………………4分
1122(,),(,)A x y B x y (2)设
22
22
1(12)46028
y kx k x kx x y =+⎧++-=⎨+=⎩由得： ………………6分 2221624(12)64240k k k k R ∆=++=+>⇒∈
1212
22
46
,1212k x x x x k k -+=-
=++ ………………8分 222
2
121212222
6418()11121212k k k y y k x x k x x k k k
--=+++=-+=+++ 2212122222618851
412121212k k OA OB x x y y k k k k ----⋅=+=+==--++++………10分
[5,4)OA OB ⋅--故的取值范围为 ………………12分
22．（12分） 解：（1）
2
222()2,x f x x x x
-'=-=
函数)(x f y =在[
2
1
,1]是增函数，在是减函数， 所以111ln 2)1()(2max -=-==f x f ． ………………3分 （2）因为ax x x a x g +-=2ln )(，所以a x x
a
x g +-=
'2)(， 因为)(x g 在区间)3,0(单调递增函数，所以'
()0g x ≥在（0，3）恒成立
()0g x '≥，有2
21
x
a x ≥+=)29,0(4)111(2∈-+++x x ，（)3,0(∈x ）
综上：9
2
a ≥ ………………7分 （3）∵2
()2h x x m x
'=
--，又0)(=-mx x f 有两个实根21,x x ， ∴⎩
⎨⎧=--=--0ln 20ln 222
221211mx x x mx x x ，两式相减，得)()()ln (ln 2212
22121x x m x x x x -=---，
∴)()
ln (ln 2212
121x x x x x x m +---=
, ………………9分
于是121212121212
2(ln ln )2
()2()()x x h x x x x x x x x x x αβαβαβ-'+=
-+-+++-
))(12()ln (ln 22
122
12121x x x x x x x x --+---+=
αβα．
211,21,(21)()0.a a x x βααβ≥+=∴≤∴--≤且
要证：12()0h x x αβ'+<，只需证：
0)ln (ln 22
2
12121<---+x x x x x x βα
只需证：
0ln 2
12121>-+-x x
x x x x βα．(*) ………………11分
令)1,0(21∈=t x x ，∴(*)化为 0ln 1<++-t t t β
α，只证01ln )(<+-+=βαt t t t u 即可． ()u t 在（0，1）上单调递增，01ln ,0)1()(<+-+
∴=<β
αt t
t u t u ，
即
0ln 2
121<++-x x
t x x βα．∴0)(21'<+x x h βα． ………………12分
（其他解法根据情况酌情给分）。