人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (90)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线
的性质作业复习题（含答案)
如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H 分别是直线AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∥AEF，HI平分∥CHG，EI与HI交于点I.
（1）如图，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF=70°，∠CHG=60°，求∠ETH的度数.
（2）如图，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF=α，∠CHG=β，其他条件不变，求∠ETH的度数.
（3）如图，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，∠GHC的平分线HJ交∠KEG的平分线EJ于点J.其他条件不变，若∠AEF=α，∠CHG=β，求∠EJH的度数.
【答案】（1）65°；（2）1122αβ+；（3）1118022
αβ︒--. 【解析】
【分析】
（1）过点I 作IM ∥AB ，由角平分线的性质得到∠AEI=35°，∠CHI=30°，
根据平行线的性质，由IM ∥AB 得到∠MIE=∠AEI=35°，由AB ∥CD ，IM ∥AB
可得∠MIH=∠CHI=30°，再由∠EIH=∠MIE+∠MIH 计算即可得到答案；
（2）过点I 作IM ∥AB ，由角平分线的性质得到∠AEI=1α2
，∠CHI=1β2，根据平行线的性质由IM ∥AB 可得∠MIE=∠AEI=1α2
，由AB ∥CD ，IM ∥AB 得到IM ∥CD ，结合题意得到∠EIH=∠MIE+∠MIH 计算即可得到答案；
（3）过点J 作MN ∥AB ，由角平分线的性质得到∠JEG=1α2
，∠JHF=1β2，根据平行线的性质由MN ∥AB 得到∠MJE=∠JEG =1α2
，由AB ∥CD ，MN ∥AB 得到MN ∥CD ，结合题意得到∠EJH=180°-∠MJE-∠NJH ，计算即可得到答案.
【详解】
（1）解：过点I 作IM ∥AB
∵EI 平分∠AEF ，HI 平分∠CHG ，∠AEF=70°，∠CHG=60°，
∴∠AEI=35°，∠CHI=30°
∵IM ∥AB
∴∠MIE=∠AEI=35°
∵AB∥CD，IM∥AB
∴IM∥CD
∴∠MIH=∠CHI=30°
∴∠EIH=∠MIE+∠MIH=35°+30°=65°
（2）解：过点I作IM∥AB
∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF=α，∠CHG=β，
∴∠AEI=1
α
2
，∠CHI=1β
2
∵IM∥AB
∴∠MIE=∠AEI=1α2
∵AB∥CD，IM∥AB ∴IM∥CD
∴∠MIH=∠CHI=1β2
∴∠EIH=∠MIE+∠MIH=1
α
2
+1β
2
（3）解：过点J作MN∥AB
∵∠AEF=α
∴∠KEB=α
∵EJ 平分∠KEB ，HJ 平分∠CHG ，∠KEB =α，∠CHG=β，
∴∠JEG=1α2
，∠JHF=1β2 ∵MN ∥AB
∴∠MJE=∠JEG =1α2
∵AB ∥CD ，MN ∥AB
∴MN ∥CD
∴∠NJH=∠CHJ=1β2
∴∠EJH=180°-∠MJE-∠NJH=180°-1α2-1β2. 【点睛】
本题考查平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的性质的综合使用.
92．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”.
解决问题：
（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠，B ，C ∠之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
Ⅰ.如图②，把一块三角尺DEF 放置在ABC △上，使三角尺的两条直角边DE ，DF 恰好经过点B ，C ，若40A ∠=︒，则ABD ACD +=∠∠_____︒.
Ⅱ.如图③，BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，若40A ∠=︒，130BPC ∠=︒，求BDC ∠的度数.
【答案】（1）详见解析；（2）50︒；BDC ∠=85︒
【解析】
【分析】
（1）连接AD 并延长至点F ，根据三角形外角性质即可得到BDC ∠与A ∠，B ，C ∠之间的数量关系；
（2）Ⅰ、由（1）可得，BDC ABD ACD A ∠=∠+∠+∠，再根据40A ∠=︒，
90D ∠=︒，即可得出ABD ACD ∠+∠的度数；
Ⅱ、根据（1），可得BPC BAC ABP ACP ∠=∠+∠+∠，
BDC BAC ABD ACD ∠=∠+∠+∠，再根据BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，即可得出BDC ∠的度数.
【详解】
解：（1）如图①，连接AD 并延长至点F ，根据外角的性质，可得
BDF BAD B ∠=∠+∠，
CDF C CAD ∠=∠+∠，
又BDC BDF CDF ∠=∠+∠，
BAC BAD CAD ∠=∠+∠，
BDC A B C ∴∠=∠+∠+∠；
（2）Ⅰ.由（1），可得BDC ABD ACD A ∠=∠+∠+∠；
又40A ∠=︒，90D ∠=︒，
904050ABD ACD ∴∠+∠=︒-︒=︒，
故答案为：50︒；
Ⅱ.由（1），可得BPC BAC ABP ACP ∠=∠+∠+∠，
BDC BAC ABD ACD ∠=∠+∠+∠，
1304090ABP ACP BPC BAC ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，
又BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，
()1452ABD ACD ABP ACP ∴∠+∠=
∠+∠=︒， 454085BDC ∴∠=︒+︒=︒.
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、三角形外角性质及角平分线的定义的运用，熟知三角形的内角和等于180°、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.
93．已知：如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF ＝PG ，DF ＝EG ．
（1）求证：OC 是∠AOB 的平分线．
（2）若PF ∥OB ，且PF ＝4，∠AOB ＝30°，求PE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）PE ＝2．
【解析】
【分析】
（1）利用“HL ”证明Rt △PFD 和Rt △PGE 全等，根据全等三角形对应边相等可得PD ＝PE ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）在Rt △PFD 中，求出PD 即可解决问题.
【详解】
（1）证明：在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，
PF PG DF EG =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △PFD ≌Rt △PGE （HL ），
∴PD ＝PE ，
∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，
∴OC 是∠AOB 的平分线；
（2）∵PF ∥OB ，∠AOB ＝30°，
∴∠PFD ＝∠AOB ＝30°，
在Rt △PDF 中，PD ＝12
PF ＝2，
∴PE ＝PD ＝2．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．
94．如图，D ，E ，F ，G ，H ，I 是三角形ABC 三边上的点，连结EI ，//EF BC ，//GH AC ，//DI AB ．
（1）判断GHC ∠与FEC ∠是否相等，并说明理由．
（2）若EI 平分FEC ∠，56C ∠=︒，50B ∠=︒，求EID ∠的度数．
【答案】（1）相等，理由见解析；（2）12∠=︒EID
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠FEC ＋∠C ＝180°，
∠GHC ＋∠C ＝180°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠FEC ＋∠C ＝180°，求得∠FEC ＝180°−∠C
＝124°，根据角平分线的定义得到∠FEI ＝12
∠FEC ＝62°，由平行线的性质得到∠DIC ＝∠B ＝50°，即可得到结论．
【详解】
（1）GHC FEC ∠=∠，
理由：//EF BC ，
180FEC C ∴∠+∠=︒，
//GH AC ，
180GHC C ∴∠+∠=︒，
GHC FEC ∴∠=∠；
（2）//EF BC ，56C ∠=︒
180FEC C ∴∠+∠=︒，
180124∴∠=︒-∠=︒FEC C EI 平分FEC ∠，
1622
∴∠=∠=︒FEI FEC 62∴∠=∠=︒FEI EIC
//DI AB ，50B ∠=︒
50∴∠=∠=︒DIC B
12∴∠=∠-∠=︒EID EIC DIC
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，同旁内角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
95．如图，在△ABC 中，∠BAC=20°，∠ABC=30°.
（1）画出BC边上的高AD和角平分线AE；
（2）求∠EAD的度数.
【答案】（1）见解析；（2）50°
【解析】
【分析】
从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，画出的这条线段就是三角形的高，注意钝角三角形较短边上的高在三角形的外部，再结合尺规作角平分线的方法即可解答第（1）问；
（2）根据已知条件，在△ABD中运用三角形内角和定理可得到∠BAD的度数，然后由角平分线的定义可得∠BAE=10°，再结合∠EAD=∠BAD-∠BAE即可得到答案.
【详解】
（1）如图所示，AD为BC边上的高，AE为角平分线.
（2）∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°.
∵在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
∴∠BAD=180°-90°-30°=60°.
∵∠BAC=20°，AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE=10°.
∵∠BAD=60°，∠BAE=10°，
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=60°-10°=50°.
【点睛】
此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握作图法则.
96．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明：
（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点P满足∠ABP=30︒，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：
①∠DGP-∠MGN的值不变；
②∠MGN的度数不变．
可以证明，只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值．
【答案】（1）见详解；（2）②正确，∠MGN的度数为15°，理由见详解．【解析】
【分析】
（1）由AC平分∠DAB，∠1=∠2，可得∠2=∠BAC,进而即可得到结论；
（2）由角平分线的定义和三角形外角的性质，可得∠MGP=1
2
（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=1
2
∠BPG，进而由∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得到结论．
【详解】
（1）AB∥CD，理由如下：
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠BAC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BAC,
∴AB∥CD；
（2）②∠MGN的度数不变是正确的，理由如下：
∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ=1
2
∠BPG，∠MGP=
1
2
∠DGP，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∵∠1=∠BPG+∠B，
∴∠MGP=1
2
∠1=
1
2
（∠BPG+∠B），
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ=1
2
∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=1
2
（∠BPG+∠B）-1
2
∠BPG=
1
2
∠B=
1
2
×30°=15°，
∴∠MGN的度数不变，度数为15°．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理与平行线的性质和判定定理，理清角的和差倍分关系，是解题的关键．
97．已知：在△ABC中,∠ABC=60°,CD平分∠ACB交AB于点D,点E在线段CD上(点E不与点C．D重合)，且∠EAC=2∠EBC．
(1)如图1,若∠EBC=27°,且EB=EC,则∠DEB=___°,∠AEC=___°.
(2)如图2，①求证：AE+AC=BC；
②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数。

【答案】（1）27°,99°;（2）①见解析；②20°；
【解析】
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB=27°，根据角平分线的性质
得到∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°，再由角平分线的性质得到
∠ACD=∠ECB=27°，因为∠EAC=2∠EBC=54°，求得
∠AEC=180°-27°-54°=99°；
（2）①在BC上取一点M，使BM=ME，根据等腰三角形的性质得到
∠MBE=∠MEB，由∠EAB=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE，得到∠EAC=∠EMC，由全等三角形的性质推出AE=ME，CM=AC，于是得到结论；
②如图2，在BC上取一点M，使BM=ME，连接AM，由∠ECB=30°，得到∠ACB=60°，于是推出△AMC是等边三角形，通过三角形全等得到
∠EBC=∠MAE，由∠MAC=60°，得到∠EAC=2∠EBC=2∠MAE，于是得出结果．
【详解】
(1)∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=27°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECB=27°，
∵∠EAC=2∠EBC=54°，
∴∠AEC=180°−27°−54°=99°，
故答案为：27°,99°;
(2)①证明：如图1，在BC上取一点M，使BM=ME，
∴∠MBE=∠MEB ，
∵∠EAC=2∠MBE ，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE ，
∴∠EAC=∠EMC ，
在△ACE 与△MCE 中，
CAE CME ACE MCE CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACE ≌△MCE ，
∴AE=ME ，CM=AC ，
∴AE=BM ，
∴BC=BM+CM=AE+AC ；
②如图2在BC 上取一点M,使BM=ME,连接AM,
∵∠ECB=30°，
∴∠ACB=60°,由①可知;△AMC 是等边三角形(M 点与B 点重合)， ∴AM=AC=BE ，
在△EMB 与△MEA 中，
AE BM EM EM AM BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴∠EBC=∠MAE ，
∵∠MAC=60°，
∵∠EAC=2∠EBC=2∠MAE ，
∴∠MAE=20°,∠EAC=40°，
∴∠EBC=20°.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理.
98．如图,在△ABC 中,∠C=90°，AB=10，AD 是△ABC 的一条角平分线。

若CD=3，
求ABD ∆的面积.
【答案】15.
【解析】
【分析】
要求△ABD 的面积，现有AB=10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE ⊥AB 于E ．根据角平分线的性质求得DE 的长，即可求解．
【详解】
作DE ⊥AB 于E.
∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，
∴DE=CD=3.
∴△ABD 的面积为
12
×3×10=15. 故答案是：15.
【点睛】
此题考查角平分线的性质，解题关键在于作辅助线.
99．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BAC ∠的平分线，
,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别是,E F ，求证：BE CF =.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
欲证明BE=CF ，只要证明Rt △BDE ≌Rt △CDF 即可；
【详解】
证明：∵AB=AC ，AD 为∠BAC 的平分线
∴BD=CD ，
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC
∴DE=DF ，
在Rt △BDE 和Rt △CDF 中
BD DC DE DF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，
∴BE=CF.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键在于掌握判定定理.
100．（1）在图1中，画出△CDE 关于直线AB 的对称图形△C D E '''
（2）在图2中，已知∠AOB 和C 、D 两点，在∠AOB 内部．．
找一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 的两边OA 、OB 的距离相等．（用直尺和圆规作图,不写作法，保留作图痕迹）
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据轴对称的性质作图即可，（2）做出线段CD的垂直平分线MN，∠AOB的平分线OQ，直线MN与OQ的交点为P，即可得出答案【详解】
'''即为所求；（2）如图（2），作出线段CD的垂直（1）如图（1），△C D E
平分线MN，∠AOB的平分线OQ，直线MN与OQ的交点为P，点P即为所求
【点睛】
本题的关键是掌握中垂线的性质。