高等数学A课程教学大纲Advanced Mathematics A

课程编号：0601101
高等数学(A)课程教学大纲
Advanced Mathematics (A)
总学时：176学时
总学分：11学分
课程性质：公共基础课
开设学期及周学时分配：第一、二学期，每周5学时，每学期各88学时
适用专业及层次：全校本、专科生（应用物理、计算机、自动化、信息、机械、环境科学等偏理科专业）
相关课程：先行课程无，后继课程有概率论与数理统计，复变函数与积分变换等
教材：《高等数学》（第五版），同济大学应用数学系编著，高等教育出版社， 2002年
推荐参考书：高等数学附册《学习辅导与习题选解》(同济四、五版)，同济大学应用数学系编著，高等教育出版社，2002年
一 、 课程目的及要求
高等数学课程在高等工科学校的教学计划中是一门重要的基础理论课。

它是为培养适应我国社会主义现代化建设的需要高质量的专门人才服务的。

目的：
通过本课程的学习，要使学生获得以下知识：
1.函数、极限、连续；
2.一元函数微积分学；
3.向量代数和空间解析几何；
4.多元函数微积分学；
5.级数；
6.常微分方程
本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。

同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，综合运用所学知识分析和解决实践问题的能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。

基本要求：
（一）函数、极限、连续
1.理解函数的概念，知道映射的概念。

2.理解函数的单调性、周期性、有界性和奇偶性。

3.了解反函数与复合函数的概念。

4.熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.能列出简单实际应用问题中的函数关系。

6.知道极限的ε-N, ε-δ定义。

7.掌握极限的四则运算法则。

8.了解两个极限存在准则，掌握用两个重要极限求极限的方法。

9.了解无穷小、无穷大的概念，熟练掌握无穷小的比较。

10.理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。

11.知道初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，掌握零点定理，介值定理的应
用。

（二）一元函数微分学
1.理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数可导性与连续性的关系，会用
导数的定义求分段函数在分段点处的导数。

2.熟悉导数和微分的运算法则，熟练掌握初等函数的一阶、二阶导数。

了解微分在
近似计算中的应用。

3.会求隐函数的导数，会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，了解相关变
化率的概念。

4.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理，并会应
用拉格朗日中值定理。

5.理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法。

6.掌握函数的单调性与曲线的凹凸性的判定法，会利用函数的单调性证明不等式。

7.会求曲线的拐点并作图，解决较为简单的最大（小）值的应用题。

8.熟练掌握洛必达法则。

9.知道曲率的概念，并会计算曲率和曲率半径。

（三）一元函数的积分学
1.理解不定积分的概念、定积分的概念及其性质。

2.熟悉不定积分的基本公式，熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法，
掌握较简单有理函数的积分。

3.熟练掌握变上限函数的求导及牛顿—莱布尼兹公式。

4.了解反常积分的概念。

5.熟练掌握用定积分求平面图形面积、体积、弧长、侧面积等方法，掌握用定积分
元素法的思想求功、水压力。

（四）向量代数和空间解析几何
1.理解向量的概念，掌握向量的运算。

2.掌握两个向量夹角的求法以及两个向量垂直、平行的条件。

3.熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式，并能熟练地运用坐标表达式进行
向量的运算。

4.熟练掌握平面方程和直线方程的求法。

5.了解曲面方程的概念，掌握常用二次曲面的方程及其图形。

6.掌握旋转曲面、柱面方程。

7.知道空间曲线的参数方程和一般方程。

（五）多元函数微分学
1.理解多元函数的概念。

2.知道二元函数的极限、连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解偏导数、全微分概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件。

4.了解方向导数和梯度的概念。

5.熟练掌握复合函数的求导法则，了解全微分形式不变性的概念，会求二阶偏导数。

6.会求隐函数的偏导数及雅可比行列式。

7.掌握求曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线方程的方法。

8.理解多元函数极值的概念，了解条件极值的概念，会求解一些较简单的极值、最
值问题。

（六）多元函数积分学
1.理解二、三重积分的概念与性质。

2.熟练掌握二重积分的计算方法，掌握三重积分的计算，含参变量积分。

3.理解两类曲线积分、曲面积分的概念，知道曲线、曲面积分的性质。

4.掌握两类曲线积分、曲面积分的计算方法。

5.熟悉格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件。

6.掌握高斯公式，知道斯托克斯公式。

7.知道散度与旋度的概念。

8.能用重积分、曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量。

（七）无穷级数
1.理解级数收敛、发散与级数和的概念，掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基
本性质。

2.熟悉几何级数和P-级数的敛散性。

3.掌握正项级数的三大审敛法。

4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法。

5.了解级数的绝对收敛与条件收敛的概念。

6.知道幂级数收敛半径的求法。

7.知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

8.记住sinx,cosx,ln(1+x)等常用函数的麦克劳林展开式。

9.掌握用间接法将一些简单函数展开成幂级数，会求和函数。

10.掌握傅里叶级数的收敛定理，并能将定义在[-ππ]和[-L,L]上的函数展开成傅
里叶级数，能将定义在[0,π] ，[0,L]上的函数展开成正弦或余弦级数。

（八）常微分方程
1.理解方程、通解、初始条件和特解等概念。

2.会判别下列几种一阶微分方程：可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、
伯努利方程和全微分方程。

3.掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法。

4.会解齐次方程和伯努利方程。

5.会解较简单的全微分方程。

6.知道几种特殊的高阶方程降阶法。

7.掌握二阶线性微分方程解的结构。

8.熟练掌握二阶线性常系数齐次方程的解法，并了解高阶线性常系数齐次方程的解
法。

9.了解二阶常系数非齐次线性方程的解法。

10.会解欧拉方程。

二、课程内容及学时分配：
课程内容：
1．函数
函数的概念及其表示法，函数的特性，反函数，复合函数，分段函数，基本初等函数，初等函数。

2．极限与连续
数列极限的ε-N定义，函数极限的ε-δ定义，函数的左、右极限，无穷小与无穷大，无穷小与函数极限的关系，无穷小的性质，极限的四则运算法则，极限存在准则，两个重要极限，无穷小的比较。

函数连续的定义，函数的间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

3．导数与微分
导数及微分的定义及其几何意义，平面曲线的切线与法线，函数的可导性与连续性的关
系，左、右导数，导数与微分的运算法则，反函数的导数，复合函数的导数，基本初等函数的导数公式，高阶导数，隐函数求导，对数求导法，由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率。

一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。

4．中值定理与导数应用
罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒中值定理，洛必达法则，函数单调的判定法，函数的极值及其求法，最大值与最小值的求法及其简单的应用问题，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平、垂直渐近线，函数的作图，弧长的微分，曲率及其计算公式，曲率圆与曲率半径。

5．不定积分
原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法及分部积分法，有理函数的积分法，三角有理式和简单无理式的积分。

6．定积分及其应用
定积分的定义及其几何意义，定积分的存在性，定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数，牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法与分部积分法，反常积分的概念和计算。

定积分的几何应用与物理应用。

7.向量代数与空间解析几何
空间直角坐标系，两点间的距离公式，向量的概念及向量的运算，向量及其方向余弦的坐标表示，向量的夹角，向量平行与垂直的条件。

曲面方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面，平面与直线，直线与直线的位置关系，旋转曲面，柱面，二次曲面，空间曲线。

7.多元函数的微分学
邻域、区域、多元函数，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续，有界闭域上连续函数的性质，偏导数与全微分，高阶偏导数，多元复合函数与隐函数的求导法则，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，二元函数的极值，条件极值，方向导数，梯度。

9.重积分
二、三重积分的定义及其性质，二、三重积分的计算方法，重积分的应用。

10. 曲线积分与曲面积分
两类曲线、曲面积分的定义、性质及其计算方法，两类曲线积分的关系，两类曲面积分的关系，格林公式，曲线、曲面积分的应用，高斯公式，斯托克斯公式，散度与旋度。

11.无穷级数
无穷级数收敛及发散的概念，级数的基本性质，几何级数，P-级数，调和级数，正项级数的审敛法，交错级数，莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛。

幂级数的收敛半径与收敛区间，和函数的求法与性质，泰勒级数，麦克劳林级数，函数展开成幂级数，欧拉公式。

傅里叶级数，收敛定理，函数展开成傅里叶级数。

12.常微分方程
微分方程的概念，一阶微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法，二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法，欧拉方程。

学时分配：
课程内容 讲课时数
函数、极限、连续 16
一元函数微分学及其应用 28
一元函数积分学及其应用 30
空间解析几何与向量代数 14
多元函数微分学 18
多元函数积分学 36
无穷级数 18
常微分方程 16
总计学时节 176
三、教学重点与难点
第一章 函数与极限
重点：基本初等函数及其性质，邻域，函数的几个特性，分段函数，复合函数，极限的四则运算法则，函数的左、右极限，两个重要极限，无穷小的比较，函数连续性与间断点，闭区间上连续函数的性质。

难点：复合函数，极限的定义，求函数的间断点及其分类。

第二章 导数与微分
重点：导数的定义及其几何意义，可导与连续的关系，左、右导数，导数运算法则，基本初等函数的导数公式，复合函数的导数，隐函数的求导，由参数方程所确定的函数的导数，微分的概念。

难点：复合函数的导数，分段函数在分段点处的导数，由参数方程所给定的函数的二阶导数。

第三章 微分中值定理与导数的应用
重点：罗尔定理，拉格朗日中值定理，泰勒中值定理，洛必达法则，函数极值的求法，曲线的凹凸性与拐点，用中值定理及单调性证明等式、不等式，弧长的微分。

难点：拉格朗日中值定理的证明，泰勒公式。

第四章 不定积分
重点：原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法及分部积分法，简单有理函数的积分。

难点：原函数与不定积分的概念，换元积分法及分部积分法的综合运用。

第五章 定积分
重点：定积分的概念和性质，积分上限函数的导数，牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法与分部积分法。

难点：定积分的概念，定积分的换元法，与积分上限函数有关的证明问题，反常积分。

第六章 定积分的应用
重点：定积分的元素法，定积分的几何应用。

难点：定积分的元素法。

第七章空间解析几何与向量代数
重点：向量的数量积及向量积，单位向量，方向余弦及向量坐标表达式，向量垂直、平行的条件，平面方程，直线方程，旋转曲面，柱面，常见的二次曲面。

难点：向量代数及其相关知识。

第八章多元函数微分学
重点： 二元函数的概念，偏导数与全微分的定义，高阶偏导数，多元复合函数与隐函数的求导法则，微分法在几何上的应用，二元函数极值。

难点： 多元复合函数求导法则，方向导数。

第九章重积分
重点：二重积分的计算，三重积分的计算。

难点：二重积分交换积分次序，三重积分的计算。

第十章曲线积分与曲面积分
重点：两类曲线、曲面积分的计算，两类曲线积分的关系，两类曲面积分的关系，格林公式，高斯公式。

难点：第二类曲线、曲面积分的计算，格林公式、高斯公式的应用。

第十一章 级数
重点：无穷级数收敛及发散的定义，正项级数的审敛法，交错级数，绝对收敛与条件收敛。

幂级数的收敛半径与收敛域，和函数，函数间接展开成幂级数。

难点：正项级数审敛法，函数间接展成幂级数，和函数求法。

第十二章 微分方程
重点：微分方程的概念，可分离变量微分方程，一阶线性微分方程，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数线性微分方程的解法。

难点：判别一阶微分方程的类型，求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解。

四、主要教学方法
以课堂讲授为主，多媒体辅助教学。

五 典型作业练习 (一)函数极限连续
1. 设的定义域为[0，1]，求)(x f y =)0)(()(>−++=a a x f a x f y 的定义域。

2. .判别函数x
e y 1=当时的极限存在性。

0→x 3. 若0)1
1
(lim 2=−−++∞→b ax x x x ，试求常数a,b.
4. 已知L L ,11,11,11
111
21−−++=++
==n n n x x x x x x x ，求证存在，并求极限。

n x x ∞→lim 5. 求下列极限：1）)1(lim 2
n n n n −+∞
→ 2) x
x
x 3arctan 2lim
0→
3) x
x x sec 32
)
cos 1(lim −→
+π
6. A 为何值时，函数⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤−−−+=0,01,11)(x Ae x x
x
x x f x 在x=0处连续。

7. 指出下列函数的间断点及间断点类型，若为可去间断点，请补充或改变函数的定
义使之连续：1）)
1()(22−−=x x x
x x f , 2）1lim
)(2+=∞→nx nx x f n 8. 证明方程在)0,0(sin >>+=b a b x a x ],0(b a +内至少有一根。

（二）一元函数微分学
1． 已知
)(,0,
,sin )(x f x x x x x f ′⎩⎨
⎧≥<=求2． 设在处可导且)(x f 0x 0)(0≠′x f ，则=−+→)
()2(lim
000
x f h x f h
h 。

3． 求的导数。

)tan ln(sec x x y +=4． 设可导，求的导数。

)(x f )(cos )(sin 2
2
x f x f y +=5． 设存在，求的二阶导数)(x f ′′))(ln(x f y =2
2dx
y
d 。

6． 用对数求导法求3
4
)1()3(2+−+=
x x x y 的导数。

7． 设由)(x f y =0)sin(=−y xy π确定，求
dx
dy 。

8． 求参数方程所确定函数的导数。

⎩
⎨⎧=−=θθθθcos )
sin 1(y x 9． 设ln 1(cos 2x
x
y −=,则dy = 。

10．
设上连续，在内可导且],[)(b a x f 在),(b a 0)()(==b f a f ,证明在内至少存在一点，使)
,(b a c )(2)(c f c f =′。

11． 函数的n 阶麦克劳林公式为 x
e x
f =)(。

12．
设函数上可导，根据拉格朗日中值定理，应至少存在一点
]b [a )(，在x f ),(b a ∈ξ，使= )()(a f b f e e −。

13． 求极限)1
1
1(
lim 0−−→x
x e x 。

14． 证明：当20π<<x 时，π2
sin >x
x 。

15．
设函数的导函数)(x f )1)(12()(−+=′x x x f ，求的单调区间和极值
点，曲线的凹凸区间与拐点的横坐标。

)(x f )(x f y =16．
求抛物线在其顶点处的曲率及曲率半径。

342
+−=x x y （三）一元函数积分学
1． 求不定积分。

∫
dx x 2)(arcsin 2． 若是的一个原函数，则x e −)(x f ∫
=dx x xf )( 。

3． 求定积分
dx x x x
2
3
(
)4
(sec tan 1
2
2
∫π
π
4． 求
，其中dx x f )(20
∫
⎪⎩⎪
⎨⎧>≤+=1,2
1,1)(2
x x x x x f 5． 设由确定，求
)(x f y =∫
=y dt t xy 0
22)sin(dx
dy。

6． 设,则∫ ∫
=
20
2
)sin()(x dt t x F −=′1
1
2)(dx x F x 。

7． 求由2,0,1
,2===
=x y x
y x y 所围平面图形的面积，求该平面图形绕轴旋转所得立体体积。

x （四）多元函数微分学
1. 设，则322z y x u +−==du 。

2. 设，求)ln(2
xy x z =y
x z
y z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,
. 3. 设函数),(y x z z =由方程所确定，求：
z
e z y x =−+x z ∂∂及2z x y
∂∂∂ 4. 证明：函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2
42y x y x y x y
x y x f 在点（0，0）的偏导
数存在，但不连续。

5. 求曲面在点处的切平面方程和法线方程。

32=+−xy e z z
)0,2,1(6. 求函数在点（1，1，1）处沿着从点（1，1，1）到点（2，3，3）
的方向的方向导数
)ln(2yz x u =7. 求函数的极值。

2
2
)(4),(y x y x y x f −−−=8. 求函数xy z =在条件x+y=1下的极大值。

（五）多元函数积分学 1. 根据二重积分的性质，比较
的大小，积分域D 由
∫∫∫∫++D
D
d y x d y x σσ32
)()
(与
x 轴、y 轴与直线x+y=1所围成。

2．∫∫
6
6
cos π
π
y
dx x
x
dy
计算二重积分（交换积分次序） 3. 利用极坐标计算
∫∫D
d x
y
σarctan
，其中D 由圆周 及直线y=0,y=x 所围成的在第一象限内的闭区域。

1,42222=+=+y x y x 4. 计算三重积分
22
2(),x y dxdydz +∫∫∫Ω
其中Ω是由2z =及221(2z x y =+) 所围成的空间区域。

5. 计算曲线积分22()()L
x y dx y x dy x y ++−+∫Ñ，其中L 是圆周222
x y R +=（按逆时针方向）。

6. 计算曲面积分zds Σ
∫∫，其中Σ
是曲面z =介于0z =及之间的部分。

2z =7.利用高斯公式计算曲面积分，
()()x xy dydz ydzdx z yz dxdy Σ
+++−∫∫Ò，其中是球
面Σ2
2
2
2
x y z R ++=的外侧。

（六）级数
1．若级数
∑在处收敛，则在∞
=0
n n
n x
a 3=x 2−=x 处 。

2．判别下列级数的敛散性：
1）
∑
∞
=1
7
1
n n
2）23+2223+33
23+‥‥n n 23+‥‥
3）
∑
∞
=+12
)
1(1n n n 4）
∑
∞
=1
2
23
cos n n
n n π
3．判定下列级数的敛散性，若收敛，需说明是绝对收敛还是条件收敛
1）
1
1
1
3)
1(−∞
=−∑−n n n n 2）
10
)1(1
1
+−∑∞
=−n n n n
4．求级数∑∞
=+−0
8)1()3(n n
n
n x 的收敛域
5．求级数
∑∞
=−1
12
n n
n n x
的收敛域与和函数
6．将函数f(x)=
x
−31
展开成x —1的幂级数 7．将函数f(x)=在⎩
⎨⎧〈≤−〈≤−πππx x x 000
[]ππ,−上展成Fourier 级数，并绘出级数的和
函数S(x)的草图
8．将f(x)=π—x (0π≤≤x ),分别展成余弦级数和正弦级数 （七）常微分方程
1．方程是 02)(/
2
/=+−x yy y x 阶微分方程。

2．求一阶微分方程y dx
dy
y x =−)(2的通解。

3. 求方程
y
x x
dy dx +=3
的通解； 4. 求方程的通解。

x
e
y y y −=+′+′′235. 求方程的一个特解形式。

96962///+−=+−x x y y y 六、课程考核方式
1.本课程分两个学期讲授；
2.采取闭卷考试考核；平时成绩占0%～20%，卷面成绩占80%～100%；
3.闭卷考试卷面分值的大致分布为：选择题占20%，填空题占20%，计算题和其他占
60%；
4.第一学期重点考核的内容为一元微积分的基本概念、基本计算方法和技能以及简单应用，向量代数与空间解析几何；第二学期重点考核的内容为多元函数微积分以及微分方程与级数的基本概念、基本计算方法和技能以及简单应用。

说明：
大纲中的教学基本要求是作为合格的本、专科学生必须达到的最低要求。

基本要求的高低用不同的词汇加以区分，从高到低，对概念、理论用“理解”、“了解”、“知道”三级区分；对运算方法用“熟练掌握”，“掌握”，“会或能”三级区分，熟悉相当于 “理解” 和“熟练掌握”。