06SolidModel

根据立体元素之间的关系，拓扑关系分为九种：
V2
V2
V3
e2
e
V1 边-点包含性
f
V1
V4
面-点包含性
e3 f
e1
e4
面-边包含性
V4
V2
V3
e2
e1
V1 顶点相邻性
V1 e2
e3 e1
e e3
e4 边相邻性
f2 V1
f3 f1
顶点-边相邻性
顶点-面相邻性
f2
f1
f3
面相邻性
f3 f1 e 面-边相邻性
关系
v2
f1 v1
f2 v3
v4
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OpenGL Polyhedron Functions
• OpenGL Polyhedron Functions – glutWireTetrahedron() – glutWireCube() – glutWireOctahedron() – glutWireDodecahedron() – glutWireIcosahedron()
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细分表示-空间位置枚举表示
• 形体空间细分为小的均匀的立方体单元 • 用三维数组C[I][J][K]表示物体，数组中的元素与单位小立方
体一一对应 –当C[I][J][K] = 1时，表示对应的小立方体被物体占据 –当C[I][J][K] = 0时，表示对应的小立方体没有被物体占据
39
细分表示-八叉树表示
E3 {V3,V4, F2,}
E4 {V4,V2, F1, F2}
接下来的问题?
E5 {V4,V1, F1,}
V {V1,V2,V3,V4} {(x1, y1, z1),(x2, y2, z2 ),(x3, y3, z3),(x4, y4, z4 )]
25
4.翼边结构：翼边结构是一种普通的数据结构，用边节点 的环信息来表示，属于表面模型。
组单元实体，如长方体、圆柱体、圆锥体、球体等。 ② 由参数定义的一条(或一组)截面轮廓线，沿一条(或
一组)空间参数曲线作扫描运动产生的形体。
二、几何信息与拓扑关系
几何关系描述物体的位置和大小，主要用顶点坐标和长宽 等参数来表示。
拓扑关系用来描述点、棱边及面片之间的邻接关系，具体 表现为棱边及面片的数据结构指向顶点的指针。
以边为主线组织数据，数据结构的每一个 节点记录着与边有关的信息。
每个节点的内容包括： ①有两个顶点指针，分别指向该边的
起、终点的位置； ②有两个面指针，分别指向包含该边
的左右两个表面的环表。
③.有边指针，分别指向该边端点处相连的其它边。
Solid Modeling
• 多边形网格表示法-边界表示
• 构建问题:
–以几何描述方式直接输入模型
–通过编写程序来生成模型 –使用建模程序
如何构建?
–使用三维数字化仪器对真实模型进行不同点采样
–根据同一个物体的一幅或多幅图像进行重建
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边界表示
• 边界表示的优点是： –绘制高效 –覆盖域大，原则上能表示所有的形体
缺点？
28
The Problems of Polygons
• 对一个外接立方体的形体进行前 后、左右、上下等部分八个小立 方体，如果小立方体单元为满或 为空，表示该立方体完全在形体 中或完全不在形体中，则其停止 分解；对部分形体占有的小立方 体需进一步分解为八个子立方体， 直至所有小立方体单元要么全部 满，要么全部空，或已分解到规 定的分解精度为止。
67 2 37 2 33
• 正则形体由其内部点和边界组成的，内部点和边界 之间没有任何间隙。
• 有效实体：符合正则形体的实体。简称实体
• 如何判断？
欧拉公式
1.简单多面体的欧拉公式： V：顶点数，E：边数，F：表面数
V-E+F=2
非简单多面体的欧拉公式：
V–E+F–H=2(C–G)
H：多面体表面上孔个数； G：贯穿多面体的孔个数； C：表示 独立、不相连的多面体数。
三维实体的表示方法
• 边界表示—多边形网格表示 • 构造实体几何表示 • 空间细分表示
• 建模路线
建模
• 建模: 三维几何信息的表示 • 外:屏幕上物体的立体外形如何表示? • 内:立体外形信息在计算机内部如何表示?
18
Байду номын сангаас
Some Sample Triangle Meshes
• 用许多简单的元素如三角形表示形状,而不是用少 得多的但是更复杂\更精确的元素来表示形状.
–枚举 –八叉树 –单元 • 建模路线
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空间细分表示
• 细分表示（Space-partitioning）:将形体按某种规则 分解为小的更易于描述的部分，每一小部分又可分 为更小的部分，这种分解过程直至每一小部分都能 够直接描述为止。
• 人们使用它或是因为原始数据已是以这种形式存储 或原始数据容易转换成这种表示.另外,在绘制CSG 模型时,可以把CSG表示转换成一个中间的含有体 素的数据结构,然后从这个数据结构进行光线跟踪 绘制.
上升为理论
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边界表示
• 边界表示模型是一种采用描述形体表面方法的几何表 示模型,Boundary representations(B-reps）
• 一个形体一般可以通过其边界拆成一些有界的“面” 或“小片”的子集来表示，而每一个面又可以通过其 边界的边和顶点来表示。
• 若面的表示无二义性，则其边界表示模型也无二义性， 但通常不一定只有唯一的表示。
实体定义
• 刚性。一个实体必须有不变的形状。 • 具有封闭的边界，根据边界可将空间分为内部和外
部两部分。 • 内部连通 • 占据有效的空间 • 经过集合运算后，仍然是有效的实体。
实体的有效性判断
• 正则形体定义：形体上任意一点的足够小的邻域在 拓扑上应是一个等价的封闭圆，即围绕该点的形体 邻域在二维空间中可构成一个单连通域。
20
边界表示
• 按照体－面－环－边－点的层次，详细记录了构成形 体所有几何元素的几何信息及其相互连接的拓扑关系
• 边界表示的一个重要特点是在该表示法中，描述形体 的信息包括几何信息（Geometry）和拓扑信息 （Topology）两个方面
–几何信息：指形体在欧氏空间中的位置和大小
–拓扑信息：是形体各分量的数目及其相互之间的连接
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细分表示-单元细分表示
• 单元细分表示
–对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：
单一体素
多种体素
5 0 11
具有子孙的节点(P) 空节点(E) 实节点(F)
40
细分表示-八叉树表示
• 八叉树表示
–对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：
均匀分割
自适应分割
–八叉树建立过程
•八叉树的根节点对应整个物体空间 •如果它完全被物体占据，将该节点标记为F(Full)，算法结束； •如果它内部没有物体，将该节点标记为E(Empty)，算法结束； •如果它被物体部分占据，将该节点标记为P(Partial)，并将它分割 成8个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理
CSG的应用开始于三维对象的初始集，称为CSG基本 图元，如立方体、圆柱、圆锥等，基本图元可作为 CSG软件包的菜单选项来提供，基本图元也可以使用 扫描方法、样条构造或其他建模程序形成。
CSG表示可以看成是一棵有序的二叉树。
–其终端节点或是体素、或是形体变换参数。 –非终端结点或是正则的集合运算，或是变换（平移和/或旋
• 一个例子
33
扫描表示法（Sweep Representation）
• 将物体A沿着轨迹P推移得到物体B，称B为sweep体 • 平移sweep----将一个二维区域沿着一个矢量方向推移 • 旋转sweep----将一个二维区域绕旋转轴旋转一周
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扫描表示法（Sweep Representation）
Problem #1 — Hard to edit • don’t want to just move individual vertices Problem #2 —Not always very compact description • it takes a lot of flat elements to make a smooth surface Problem #3 —Ease of construction • it will take long time to construction directly Example
曲线边由一系列型值点或控制点， 也可以用显式方程表示。 3．环： 环是有序、有向边组成的封闭边界，环有内外之分。 外环：确定面的最大外边界的环，按逆时针方向排序。 内环：而把确定面上内孔或凸台边界的环，按顺时针 方向排序。
4．面 面是二维几何元素，是形体上一个有限、非零的区域
范围：由一个外环和若干个内环界定其范围。 或：由一个外环确定其范围。
实体造型基础
一、基本几何元素
1．点： 点是几何造型中的最基本元素，它是0维几何元素。 形式：分端点、交点、切点、控制点、型值点、插值点
悬点和孤立点等，孤立点、悬点，但形体上不存在。 表示：一维空间中的点用一元数组；二维空间中的点用
二元数组。
2．边： 一维几何元素，是两个相邻面的交线。
形式：棱线、转向轮廓线等。 表示：直线边由其端点(起点和终点)；
转）操作，这种运算或变换只对其紧接着的子结点（子形 体）起作用。
31
CSG二叉树表示
32
CSG表示法优缺点
• 优点 –数据结构比较简单，内部数据的管理比较容易； –控制性好:形状比较容易修改。
• 缺点 –对形体的表示受体素的种类和对体素操作的种类的限 制(CSG方法表示形体的覆盖域有较大的局限性)。 –形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含地表示在 CSG中，故显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间 –表示不唯一
数据结构?
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边界表示的数据结构
• 边界表示法的数据结构有四种方法：直接表示、顶点 表指针表示、边表指针表示、翼边表示、半边表示
• 1.直接表示
• 以面为基础，按照体、面、顶点坐标的树结构层次
组织元素数据
v2
O {F1 F2}
f1 v1
f2 v3 v4
F1 {(x1, y1, z1),(x2, y2, z2 ),(x4, y4, z4)}
24
边界表示的数据结构
• 3.边表指针表示
• 以边/顶点，顶点/坐标，面/边三张关系表表示；
O {F1 F2} F1 {E1, E4, E5} F2 {E2 , E3, E4}
E1 {V1,V2, F1,}
v2
e1 f1
v1
e2 f2
e4
v3 e3
E2 {V2,V3, F2, }
e5
v4
29
Solid Modeling
• 边界表示-多边形网格表示法 • 结构实体几何法(Constructive Solid
Geometry,CSG) • 扫描表示法（Sweep Representation） • 细分表示
• 建模路线
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结构实体几何法
通过两个指定对象间的并、交或差操作而生成一个新 的对象。
方向：表面的外法线的方向作为该面的正方向。 种类：平面、二次曲面、构造曲面等。 表示：平面用属于该平面上的三点、相交直线等表示，
曲面用方程表示。
5．体
体是三维几何元素，由封闭表面围成的空间，是非空、 有界的封闭子集，其边界是有限面的并集。
体的定义形式： ① 用一些确定的尺寸参数控制其最终位置和形状的一
• 广义sweep
–任意物体沿着任意轨迹推移 –推移过程中物体可以变形
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扫描表示法（Sweep Representation）
• 优点 –容易构建,适合做图形输入手段
• 缺点 –绘制需要前处理:不能直接获取形体的边界信息 –表示形体的覆盖域有限
• 一个例子
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Solid Modeling
• 边界表示-多边形网格表示法 • 构造表示(CSG) • 细分表示
计算机图形学 Solid Modeling
主讲：侯守明 河南理工大学 计算机学院
1
造型技术
• 研究如何在计算机中建立恰当的模型来表示不同 物体对象的技术。
• 曲面造型：研究在计算机内如何描述和表示一张 曲面并对其控制。
• 实体造型：研究在计算机内如何秒速、定义及表 示一个三维物体。
• 例子
2
未来电动越野车
F2 {(x2, y2, z2 ),(x3, y3, z3),(x4, y4, z4)}
23
边界表示的数据结构
• 2．顶点表指针表示
• 以顶点/坐标和面/顶点序列两张关系表表示
v2
O {F1 F2} F1 {1, 2, 4} F2 {4, 2,3}
f1 v1
f2 v3 v4
V {V1,V2 ,V3,V4} {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2 ), (x3, y3, z3), (x4, y4, z4 )}