向量的加法运算课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
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________，a＋b的方向是________．
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋ ；
＋ =
(2) ＋ ；
= = =
＋ = + =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
果是零向量，一定要写成0，而不能写成0.
通过本节课，你学会了什么？
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( × )
(4)|a|＋|b|＞|a＋b|.( × )
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是( C )
A. ＋ ＋
B. ＋ ＋
C. ＋ ＋
D. ＋ ＋
在A中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；
C.
D.
＋ ＋ = ＋ ＋
= ＋
=
3．如图，在平行四边形ABCD中， ＋ ＝________.
4．小船以10 3km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，
同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大
小为________km/h.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
2
+
2
= 8002 + 8002 ＝800 2(km)．
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行
800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
20
10 3km/h
10 km/h
根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，
所以小船实际速度大小为
10 3
2
+ 102 ＝20(km/h)．
新知探究
1．向量加法的定义
两个向量和
定义：求____________的运算，叫做向量的加法．
0
a
对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋____＝____.
a
O
b
A
B
✓ 首先作向量 ＝a，
甲
✓ 然后作向量 ＝b，
✓ 则向量 ＝a＋b.如图所示．
(2) ②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
C
c
a＋b
O
B
b
a
A
乙
法一：三角形法则
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，
再作向量＝b，则得向量＝a＋b，
然后作向量 ＝c，
则向量 ＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
任意的组合来进行．
(2)应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，
通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
跟踪训练
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( D )
A.
B.
C.
D.
原式= (＋)＋(＋ ＋)
= ＋0
150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
如图所示，设，分别表示A，B所受的力，
10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||·cos30°＝10×
||＝||·cos
在B中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；
在C中， ＋ �� ＋ ＝ ＋ ＝ ；
在D中， ＋ ＋ ＝＋＝＋＝ .
3．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝
8 2 km
东北方向
①当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则
要点
提示
和平行四边形法则是统一的；
②三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出
的图形的一半．
题型二
[例2]
向量加法运算律的应用
(1)化简：
① ＋ ；
＋ = ＋ =
② ＋＋ ；
＋＋ = ＋＋ = 0
=
题型三
向量加法的实际应用
[例3] 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，
∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳
子的重量忽略不计)
！
思路探究
作出对应的几
何图形，构造
有关的向量
利用三角形法
则或平行四边
形法则运算
回答实际问题
[例3] 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝
统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点
时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照
任意的次序和任意的组合去进行．
3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从
第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结
行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为
800 2 km，方向为北偏东80°.
随堂检测
1．判断正误
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( √ )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( × )
提示：将三角形法则进行推广可知，
1 2 ＋ 2 3 ＋ 3 4 ＋…＋ −1 = 1
[例1]
(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F
为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么
(在横线上只填一个向量)：
① ＋＝________；
② ＋＋＋.
＋＋＋= ＋＋＋
= ＋＋
= ＋
=0
反思感悟
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利
用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交
换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、
2．向量求和的法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
a＋b
则向量叫做a与b的和，记作________，即a＋b＝＋＝
三角形法则 ________.
已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻
平行四边形 边作▱ABCD，则对角线上的向量______＝a＋b.
800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按
南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和是＋＝.
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋ ＋ 等于( C )
A.
B.
法则
?
思考
两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
提示：不是，向量的相加满足三角形法则，
而模相加是数量的加法．
3．向量加法的运算律
b＋a
(1)交换律：a＋b＝_________.
a＋(b＋c)
(2)结合律：(a＋b)＋c＝___________．
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
?
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
③ ＋＋＋＋.
＋＋＋＋ = ＋＋＋＋ = 0
(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的
中点，化简下列各式：
① ＋＋ ；
＋＋= ＋＋ = ＋＋ = ＋ =
高一
必修二
6.2.1 向量的加法运算
本节目标
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义
及运算律．
2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．
3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．
课前预习
➢ 预习课本P7～10，思考并完成以下问题
(1)向量的加法如何定义？
(2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
3
＝5
2
3，
1
60°＝10× ＝5.
2
∴A处所受的力的大小为5 3 N，B处所受的力的大小为5 N.
方法总结
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
表示
用向量表示实际问题中既有大小又有方向的量
运算
利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和，
利用直角三角形等知识解决问题
作答
根据题意作答
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行
探究问题
1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？
提示：
(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等．
(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．
?
探究问题
2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情
况下， 1 2 ＋ 2 3 ＋ 3 4 ＋…＋ −1 的运算结果是什么？
多维探究
变式1 在本例(1)条件下，求＋ .
✓ 因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，
✓ 所以＋＝.
2．在本例(1)图形中求作向量＋＋.
H
G
✓ 过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，
✓ 则＋＝，作 ＝ ，连接 ，
✓ 则＝ ＋＋．
(2) ②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
E
C
B
c
b
D
a＋b
O
乙
法二：平行四边形法则
a
ALeabharlann 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求．
关键点拨
1．向量求和的注意点
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．
(2)两个向量的和向量仍是一个向量．
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．
2．利用三角形法则要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为
“起点指向终点”的向量；
利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点
的“对角线”向量．
＋＝ ＋＝
② ＋＝________；
＋ ＝ ＋ ＝
③ ＋＋＝________.
＋＋＝ ＋＋＝
(2) ①如图甲所示，求作向量和a＋b；
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
甲
乙
(2) ①如图甲所示，求作向量和a＋b；
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋ ；
＋ =
(2) ＋ ；
= = =
＋ = + =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
果是零向量，一定要写成0，而不能写成0.
通过本节课，你学会了什么？
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( × )
(4)|a|＋|b|＞|a＋b|.( × )
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是( C )
A. ＋ ＋
B. ＋ ＋
C. ＋ ＋
D. ＋ ＋
在A中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；
C.
D.
＋ ＋ = ＋ ＋
= ＋
=
3．如图，在平行四边形ABCD中， ＋ ＝________.
4．小船以10 3km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，
同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大
小为________km/h.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
2
+
2
= 8002 + 8002 ＝800 2(km)．
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行
800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
20
10 3km/h
10 km/h
根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，
所以小船实际速度大小为
10 3
2
+ 102 ＝20(km/h)．
新知探究
1．向量加法的定义
两个向量和
定义：求____________的运算，叫做向量的加法．
0
a
对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋____＝____.
a
O
b
A
B
✓ 首先作向量 ＝a，
甲
✓ 然后作向量 ＝b，
✓ 则向量 ＝a＋b.如图所示．
(2) ②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
C
c
a＋b
O
B
b
a
A
乙
法一：三角形法则
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，
再作向量＝b，则得向量＝a＋b，
然后作向量 ＝c，
则向量 ＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
任意的组合来进行．
(2)应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，
通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
跟踪训练
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( D )
A.
B.
C.
D.
原式= (＋)＋(＋ ＋)
= ＋0
150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
如图所示，设，分别表示A，B所受的力，
10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||·cos30°＝10×
||＝||·cos
在B中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；
在C中， ＋ �� ＋ ＝ ＋ ＝ ；
在D中， ＋ ＋ ＝＋＝＋＝ .
3．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝
8 2 km
东北方向
①当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则
要点
提示
和平行四边形法则是统一的；
②三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出
的图形的一半．
题型二
[例2]
向量加法运算律的应用
(1)化简：
① ＋ ；
＋ = ＋ =
② ＋＋ ；
＋＋ = ＋＋ = 0
=
题型三
向量加法的实际应用
[例3] 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，
∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳
子的重量忽略不计)
！
思路探究
作出对应的几
何图形，构造
有关的向量
利用三角形法
则或平行四边
形法则运算
回答实际问题
[例3] 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝
统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点
时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照
任意的次序和任意的组合去进行．
3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从
第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结
行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为
800 2 km，方向为北偏东80°.
随堂检测
1．判断正误
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( √ )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( × )
提示：将三角形法则进行推广可知，
1 2 ＋ 2 3 ＋ 3 4 ＋…＋ −1 = 1
[例1]
(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F
为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么
(在横线上只填一个向量)：
① ＋＝________；
② ＋＋＋.
＋＋＋= ＋＋＋
= ＋＋
= ＋
=0
反思感悟
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利
用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交
换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、
2．向量求和的法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
a＋b
则向量叫做a与b的和，记作________，即a＋b＝＋＝
三角形法则 ________.
已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻
平行四边形 边作▱ABCD，则对角线上的向量______＝a＋b.
800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按
南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和是＋＝.
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋ ＋ 等于( C )
A.
B.
法则
?
思考
两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
提示：不是，向量的相加满足三角形法则，
而模相加是数量的加法．
3．向量加法的运算律
b＋a
(1)交换律：a＋b＝_________.
a＋(b＋c)
(2)结合律：(a＋b)＋c＝___________．
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
?
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
③ ＋＋＋＋.
＋＋＋＋ = ＋＋＋＋ = 0
(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的
中点，化简下列各式：
① ＋＋ ；
＋＋= ＋＋ = ＋＋ = ＋ =
高一
必修二
6.2.1 向量的加法运算
本节目标
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义
及运算律．
2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．
3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．
课前预习
➢ 预习课本P7～10，思考并完成以下问题
(1)向量的加法如何定义？
(2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
3
＝5
2
3，
1
60°＝10× ＝5.
2
∴A处所受的力的大小为5 3 N，B处所受的力的大小为5 N.
方法总结
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
表示
用向量表示实际问题中既有大小又有方向的量
运算
利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和，
利用直角三角形等知识解决问题
作答
根据题意作答
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行
探究问题
1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？
提示：
(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等．
(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．
?
探究问题
2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情
况下， 1 2 ＋ 2 3 ＋ 3 4 ＋…＋ −1 的运算结果是什么？
多维探究
变式1 在本例(1)条件下，求＋ .
✓ 因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，
✓ 所以＋＝.
2．在本例(1)图形中求作向量＋＋.
H
G
✓ 过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，
✓ 则＋＝，作 ＝ ，连接 ，
✓ 则＝ ＋＋．
(2) ②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
E
C
B
c
b
D
a＋b
O
乙
法二：平行四边形法则
a
ALeabharlann 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求．
关键点拨
1．向量求和的注意点
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．
(2)两个向量的和向量仍是一个向量．
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．
2．利用三角形法则要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为
“起点指向终点”的向量；
利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点
的“对角线”向量．
＋＝ ＋＝
② ＋＝________；
＋ ＝ ＋ ＝
③ ＋＋＝________.
＋＋＝ ＋＋＝
(2) ①如图甲所示，求作向量和a＋b；
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
甲
乙
(2) ①如图甲所示，求作向量和a＋b；