朱慈勉结构力学第二章-几何构造分析

图b
图c
解：若按图b或图c所示的刚片划分，则刚片Ⅱ与基础刚片Ⅲ之间 均只有一根支座链杆直接联系，另一个为间接联系，不能直
接套用三刚片规则。
刚片Ⅰ、Ⅱ之间通过链杆ED和CF 相联，其延长后形成虚铰(Ⅰ,Ⅱ) ; 刚片Ⅰ、Ⅲ之间通过AD杆和支座 链杆相联，形成虚铰(Ⅰ, Ⅲ); 刚片 Ⅱ、Ⅲ之间通过AE杆和C支座链杆 相联，形成虚铰(Ⅱ, Ⅲ)。
体系为几何不变，并且无多余约束。
例2-7 试分析图示体系的几何构造。
解：首先考察中间部分，由两个弧形刚片和一根链杆构成内部几 何不变体。该几何不变体通过三个铰对外联系，因而可以用 一个铰接三角形体系等效替代。 刚片Ⅰ、Ⅲ和Ⅱ、Ⅲ分别通过虚铰(Ⅰ, Ⅲ)和(Ⅱ, Ⅲ)联结，刚片
Ⅰ、Ⅱ通过一对平行链杆联结。因为，两个虚铰的连线平行于 上述平行链杆，所以体系是瞬变的。
一个连接 n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰，相当 于2(n-1)个约束
一个连接 n个刚片的复刚相当3(n-1)个约束
连接n个结点的复链杆相当于2n-3个单链杆
算法介绍
算法1： 刚片系 算法2：结点系
W = 3m-(3g+2h+b)
m ---- 刚片数（不含地基） g ---- 单刚结点数 h ---- 单铰结点数 b ---- 单链杆个数（含支杆）
A
y
y
A x
y x
1动点= 2自由度
1刚片= 3自由度
x
约束(restraint)
体系有自由度，就不能承受荷载，因此就应想办法减少其自由度。当对体系添加了某些装置后，限制了体 系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少，就说这些装置是加在体系上的约束。约束，是能减少体系 自由度数的装置。能减少几个自由度就称为几个约束。
2.自由度
人的身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由度顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内 一点的自由程度、一刚体的自由程度……
y
点
的
A
自
由
程
x
度
y
刚
片 自
A
由
程
度
x
自由度(degrees of freedom)
自由度：体系运动时，可以独立改变的几何参数的数目，即确定体系空间位置所需要独立坐标(广义坐 标)的数目
第2章 平面体系的几何构造（组成）分析 §2-1 概述
平面杆系：体系的所有杆件和联系 及外部作用在一个平面内。
几何构造分析：按照几何学的原理对体系发 生运动的可能性进行分析。
几何不变体系
几何可变体系
几何可变体系 (geometrically changeable system)
FP
FP
体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称为 几何可变体系。
几何不变体系 (geometrically unchangeable system)
FP
体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变
的前提下，体系若能保证几何形状、位置不变，
称为几何不变体系
§2-1 概述
几何组成分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。 3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。
讨
论
2
有几个 单铰？
3 1
2
3 1
W=3 ×9-(2×12+3)=0
体系W 等于多少？ 可变吗？
W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
除去约束后，体系的自由度将增 加，这类约束称为必要约束。
因为除去图中任意一根杆，体系都将有一 个自由度，所以图中所有的杆都是必要的约 束。
除去约束后，体系的自由度并不 改变，这类约束称为多余约束。
§2-2 平面体系几何不变的必要条件
自由度(degrees of freedom)
1）刚 片：可以看成是几何形状不变体系（刚体）的物体。（可以是杆、由杆组成的结构、支撑结 构的地基）
刚片Ⅱ
刚片Ⅰ
刚片Ⅲ
杆系结构是由结点和杆件构成的，我们可以抽象为点和线，分析一个体系的运动，必须先研究构成体系的点 和线的运动。
∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞ 由于瞬变体系能产生很大的内力，故几何常变体系
和几何瞬变体系不能作为建筑结构使用.
P A
P
N
N
A
只有几何不变体系才能作为建筑结 构使用！！
P
β
A
β
发生微量位移
Δ是微量
P
N
N
瞬变体系分析
特点：
从微小运动角度看，这是一个可变体系； 微小运动后即成不变体系。
2-3-3 基本组成规则的应用技巧 一元体：一个刚片与一个体系之间只用三根不相交于一点也不相 平行的链杆联结，则该刚片称为一元体。
等效代换：即链杆与刚片之间的代换。 ⑴ 任何链杆（包括支座链杆）都可以看作刚片。 ⑵ 刚片看作链杆则是有条件的：若一个刚片仅通过两个铰（包括
虚铰）对外联系，则该刚片可看作通过这两个铰的链杆；若一 个刚片是通过3个或3个以上的铰与外部联结，则该刚片看作联 结这些铰的内部几何不变，并且无多余约束的链杆体系。
多余约束 ( redundent restraints)：体系中增加一个或减少一个该约束并不 改变体系的自由度数。
多余约束
注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的比较找出多余约 束的。
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。
必要约束
§2-3 平面几何不变体系的组成规则
组成几何不变体系的条件： • 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
2-3-2 三刚片组成规则
三刚片用不在一直线上的三个铰两两相联，其内部是几何不 变的，并且没有多余的约束。
实铰相联：
虚铰相联：
当三个铰在一直线上时：
瞬变体系
两刚片和三刚片组成规则都是基于同一简单的事实，即边长 给定的三角形的几何形状是惟一确定的。因此，平面几何不变体 系的基本组成规则可称为三角形规则。
规律1. 点与刚片两杆连，二杆不共线 （三铰不共线）
规律2. 两个刚片铰、杆连，铰不过杆 规律3. 三个刚片三铰连，三铰不共线 规律4. 两个刚片三杆连，三杆不共点
A A
B
B
A
C
B
组成没有多余 约束的几何不 变体系
A B
§2-3 平面几何不变体系的组成规则 2-3-1 两刚片组成规则
常变体系
瞬变体系
例2-5 试分析图示体系的几何构造。 也可按三刚片联结的特殊情况进行分析：
刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由铰（Ⅰ, Ⅲ）、(Ⅱ, Ⅲ)和一组平行链杆两两 相联，因平行链杆与上述两铰的连线平行，所以体系是瞬变的.
刚片Ⅰ、Ⅱ由相互平行但不等长的 三根链杆相联，所以，体系是瞬变 的。
例2-6 试分析图示体系的几何构造。
1 2
4 3
瞬铰
O
绕瞬心转动！
能形成虚铰的是链杆
(
)
2，3
无穷远处的瞬铰
两根平行的链杆把刚片I与基础相连接， 则两根链杆的交点在无穷远 处。两根链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起的作用。
无穷远处的含义
（1）每一个方向有一个∞点； （2）不同方向有不同的∞点； （3） 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线； （4）各有限点都不在线∞上。
约束：对体系各部分之间的位置关系形成几何限制的联系。 自由度：3
自由度：2
自由度：1
自由度：0
约束(restraint)
内部约束 （体系内各杆之间或结点之间的联系）
外部约束 （体系与基础之间的联系)
单约束 仅连接两个刚片的约束. 单链杆
常见约束装置
链杆：两端用铰与其它物体相连的刚片。链杆 可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距不变， 起到两铰连线方向约束作用即可 1个单链杆 = 1个约束
一个连接 n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰，相当 于2(n-1)个约束。
一个连接 n个刚片的复刚相当3(n-1)个约束。
连接n个结点的复链杆相当于2n-3个单链杆
必要约束、多余约束
必要约束 ( necessary restraints)：体系中增加一个或减少一个该约束，将改变 体系的自由度数。
常变体系
瞬变体系
几何可变体系又可分为两种
（1）几何常变体系 (constantly changeable system)
（2）几何瞬变体系 (instantaneously changeable system)
发生有限位移
发生微小位移
FP
FP
体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系产生瞬时变形后，变为几何不变体系， 则称几何瞬变体系。
朱慈勉结构力学第二章-几何构 造分析
§2-1 概 述
问题：是不是任何一个结构都能成为工程结构？
目的：分析、判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才 可以作为结构。 1、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。 2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题 途径。
S-W=d-c=n 多余约束
S=a-c
W=a-d
定义：体系中各构件间无任何约束时的总自由度数与总约束数之差称计算自由度（W）。
一个体系必有：S≥0， n ≥0
S-W=n ≥0 n+W=S ≥0
S≥W n ≥ -W
单约束 复约束
1个单链杆 = 1个约束 1个单刚结点=3个约束 1个单铰=2个约束=2个单链杆
但此时体系中杆件的轴力非常大，可能导致杆件的破坏。所 以瞬变体系也不能用作结构，而且结构设计中应避免采用接近瞬 变的几何构造，以防止个别杆件的内力过大。
计算自由度
① 体系是否几何可变？自由度的个数S=？ ② 体系有无多余约束？多余约束的个数n=？
S=a-c W=a-d
a ---- 自由度总和 c ---- 非多余约束 d---- 全部约束
注意：若一个刚片内部具有多余约束，则在对体系的几何可变性 进行分析时可以看作一般刚片，但在求体系的计算自由度 或是多余约束数量时应计入上述多余约束。如：
封闭刚结框架体系是具有3个内部多余约束的几何不变体系。
§2-5 体系的几何构造与静定性
体系的静定性：是指体系在任意荷载作用下的全部反力和内力是 否可以根据静力平衡条件确定。
单刚结点
1个单刚结点=3个约束
单铰
连接两个刚片的铰
1个单铰=2个约束=2个的单链杆。 虚铰——在运动中虚铰的位置不定，这是虚铰和实铰的 区别。通常我们研究的是指定位置处的瞬时运动，因此， 虚铰和实铰所起的作用是相同的都是相对转动中心。
图示2结个构有 几个单铰？
II
O不O是是虚 铰吗？
O
复约束 连接两个来自百度文库上刚片的约束 复铰 复刚 复链杆
图中上部四根杆和三根支座杆都是必要的约束。
定向支座（平行支链杆）减少二个自由度
三刚片相联的几种特殊情况：
§2-4 平面体系几何构造分析举例 例2-3 试分析图示体系的几何构造。
（Ⅰ, Ⅱ）
Ⅰ
Ⅱ
（Ⅰ, Ⅲ）
Ⅲ （Ⅱ, Ⅲ）
解：去除作为一元体的基础并划分三刚片。
刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不在一直线上的三个铰（Ⅰ、Ⅱ）、 （Ⅱ、Ⅲ）、（Ⅰ、Ⅲ）两两相联，符合几何不变的组 成规则。所以，体系几何不变，并且无多余约束。
例2-4 试分析图示体系的几何构造。 Ⅰ
Ⅱ
解：扩大基础刚片至D。 刚片Ⅰ、Ⅱ由三根不相交于一点也不平行的链杆相联， 符合几何不变的组成规则，所以，体系几何不变，并且 无多余约束。
例2-5 试分析图示体系的几何构造。
解：先去除一元体FC（或视为由FC和C处支杆所构成的二元体） 再将刚片GHJ和基础刚片均用链杆代替。 刚片Ⅰ、Ⅱ由相互平行但不等长的 三根链杆相联，所以，体系是瞬变 的。
几何不变，无多余约束 几何不变，有多余约束 几何常变体系
静定结构
超静定结构
不能作为结构
在任意荷载作用下，处于平衡状态的任一平面体在其平面内 可建立三个独立的静力平衡方程，即：
F x 0 , F y 0 , M 0
对于瞬变体系：
由于荷载有竖向分力，体系在其原始的水平位置上不可能达 到平衡，体系发生有限位形变化。
减少或增加一元体不改 变体系的几何构造特征。
可去除基础只分析上 部体系的几何构造。
二元体：两个刚片与一个体系之间只用三个不在一直线上的铰两 两相联，则两个刚片称为二元体。
减少或增加二元体不改 变体系的几何构造特征。
二元体
虚铰(瞬铰) 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。
单铰
A
定轴转动
W = 2j-b
算法3：混合系
j ---- 铰结点个数 b ---- 单链杆个数
W = (3m+2j)-(3g+2h+b)
例:计算图示体系的自由度 2
1
3 3
1 2
W=3 ×9-(2×12+3)=0
按刚片计算 9根杆,9个刚片 有几个单铰？ 3根单链杆
另一种解法 按铰结计算
6个铰结点 12根单链杆 W=2 ×6-12=0