人教新课标版数学高二-人教数学选修2-2练习 1.3.3函数的最大(小)值与导数

选修2-2 第一章 1.3 1.3.3
一、选择题
1．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12；－8 B ．1；－8 C ．12；－15 D ．5；－16
[答案] A
[解析] y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时y ＝1；x ＝－1时y ＝12；x ＝1时y ＝－8.
∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A.
2．(2014·北京东城区联考)如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )
A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数
B ．在(1,3)上f (x )是减函数
C ．在(4,5)上f (x )是增函数
D ．当x ＝4时，f (x )取极大值
[答案] C
[解析] 由导函数y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x ＝4是f (x )的极小值点，故A 、B 、D 错误，选C.
3．(2014·安徽程集中学期中)已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)<e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0) D ．f (2)>e 2f (0)
[答案] D
[分析] 所给四个选项实质是比较f (2)与e 2f (0)的大小，即比较f (2)e 2与f (0)
e 0的大小，故构造
函数F (x )＝f (x )
e
x 解决．
[解析] 设F (x )＝f (x )
e x ，则F ′(x )＝
f ′(x )－f (x )e x >0，
∴F (x )在R 上为增函数，故F (2)>F (0)，
∴f (2)e 2>f (0)e 0， 即f (2)>e 2f (0)．
4．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A ．239
B ．229
C ．329
D ．38
[答案] A
[解析] f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝3
3
∈[0,1]， ∵f ⎝⎛
⎭⎫33＝239
，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝
23
9
. 5．(2014·河南淇县一中模拟)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )
A ．a >－3
B ．a <－3
C ．a >－13
D ．a <－1
3
[答案] B
[解析] y ′＝a e ax ＋3，由条件知，方程a e ax ＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－3
a <1，∴
a <－3.
6．(2014·开滦二中期中)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(－∞，1)
C ．(0，＋∞)
D ．(0，1
2)
[答案] D
[解析] f ′(x )＝3x 2－6b ，∵f (x )在(0,1)内有极小值，
∴在(0,1)内存在点x 0，使得在(0，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，由f ′(x )＝0得，x 2＝2b >0，
∴⎩⎨⎧
b >02b <1，
∴0<b <12.
7．(2014·抚顺市六校联合体期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为()
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1,2)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
[答案] D
[解析]由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f′(x)>0，在(－1,1)上f′(x)<0，在(1，＋∞)上f′(x)>0，
又x2－2x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－3<0的解集为(－1,3)．
∴不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．
二、填空题
8．(2014·三亚市一中月考)曲线y＝x
2x－1
在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
[答案]22－1
[解析]y′|x＝1＝－
1
(2x－1)2
|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，
圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，
∴所求最近距离为22－1.
9．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．[答案] 6
[解析]f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，
f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.
当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，
故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；
当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)
＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．
三、解答题
10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.
(1)求a 、b 的值；
(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．
[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，
∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，
又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－4，
∴a ＝2，b ＝－4.
(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2
3
或x ＝－2.
当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表： x －3 (－3，－2)
－2 (－2，23)
23 (2
3，1) 1 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
8
增
极大值
减
极小值
增
4
∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝95
27，
又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.
一、选择题
11．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( )
A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值
[答案] D
[解析]f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，
∴该方程无解，
故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
12．(2013·海淀区高二期中)函数f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y ＝f′(x)的图象可能为()
[答案] C
[解析]由图象知，f(x)在x<0时，图象增→减→增，x>0时，单调递增，故f′(x)在x<0时，其值为＋→－→＋，在x>0时为＋，故选C.
13．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3<k<－1或1<k<3
C．－2<k<2 D．不存在这样的实数
[答案] B
[解析]因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0
得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.
14．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3)
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立， 又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3， ∴a ≥－3，故应选B. 二、填空题
15．(2013·苏州五中高二期中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2
>0，则不等式x 2f (x )>0的解集是________．
[答案] (－1,0)∪(1，＋∞) [解析] 令g (x )＝f (x )
x (x ≠0)，
∵x >0时，xf ′(x )－f (x )
x 2
>0，
∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，
又f (1)＝0，∴g (1)＝f (1)＝0，∴在(0，＋∞)上g (x )>0的解集为(1，＋∞)，∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴在(－∞，0)上g (x )<0的解集为(－1,0)，由x 2f (x )>0得f (x )>0，∴f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
三、解答题
16．(2013·陕西师大附中一模)设函数f (x )＝e x －k
2x 2－x .
(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性．
[解析] (1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1.
当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单
调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f (x )的最小值为f (0)＝1.
(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －1
2
x 2－x ，定义域为R .
∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．
17．(2014·沈阳市模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .
(1)若x ＝1时，函数f (x )取得极值，求函数f (x )的图像在x ＝－1处的切线方程； (2)若函数f (x )在区间(1
2，1)内不单调，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，由f ′(1)＝0， 得a ＝－2，
∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，当x ＝－1时，y ＝－3， 即切点(－1，－3)，
k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＋1令x 0
＝－1得k ＝8， ∴切线方程为8x －y ＋5＝0.
(2)f (x )在区间(12，1)内不单调，即f ′(x )＝0在(1
2，1)有解，所以3x 2＋2ax ＋1＝0,2ax ＝
－3x 2－1，
由x ∈(12，1)，2a ＝－3x －1x ，令h (x )＝－3x －1
x
，
∴h ′(x )＝－3＋1x 2<0，知h (x )在(33，1)单调递减，在(12，3
3]上单调递增，所以
h (1)<h (x )≤h (
33
)， 即h (x )∈[－4，－23]，－4≤2a ≤－23， 即－2<a ≤－3，而当a ＝－3时，
f ′(x )＝3x 2－23x ＋1＝(3x －1)2≥0，∴舍去， 综上a ∈(－2，－3)．。