三元一次方程组讲解

三元一次方程组讲解
【要点梳理】
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义:
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要点诠释：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．
要点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元
一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点诠释：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【典型例题】
类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（）．
A．
1
22
36
x y
y z
y
+=
⎧
⎪
+=-
⎨
⎪=
⎩
B．
240
1
3
x
y x
xy z
⎧-=
⎪
+=
⎨
⎪-=-
⎩
C．
2
23
1
x
y
x z
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪-=
⎩
D．
1
3
21
y x
x z
y z
-=-
⎧
⎪
+=
⎨
⎪-=
⎩
【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【答案】B
【解析】
解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；
B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；
C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；
D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；
故选B．
【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断．
类型二、三元一次方程组的解法
2. 若x：y：z=2：7：5，x﹣2y+3z=6，求的值．
【思路点拨】根据x：y：z=2：7：5，设x=2k，y=7k，z=5k，代入x﹣2y+3z=6得出方程，求出方程的解，即可求出x、y、z的值，最后代入求出即可．
【答案与解析】
解：∵x：y：z=2：7：5，
∴设x=2k，y=7k，z=5k，
代入x﹣2y+3z=6得：2k﹣14k+15k=6，
解得：k=2，
∴x=4，y=14，z=10，
∴==0.18．
【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元．
举一反三：
【变式】解方程组:2:3,:4:5,
2329x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩
①②③ 【答案】
解：由①，得3x ＝2y ，即23
x y =， ④ 由②，得5y ＝4z ，即54
z y =，⑤ 把④、⑤代入③，得21522934
y y y -+=． 解得y ＝12．⑥
把⑥代入④，得x ＝8，把⑥代入⑤，得z ＝15．
所以原方程组的解为8,12,15.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
3.已知方程组354x y a y z a z x a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
①②③的解使得代数式x-2y+3z 的值等于-10，求a 的值．
【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a 是已知数，x 、y 、z 是未知数，先解方程组，求出x ，y ，z(含有a 的代数式)，然后把求得的x 、y 、z 代入等式x-2y+3z ＝-10，可得关于a 的一元一次方程，解这个方程，即可求得a 的值．
【答案与解析】
解法一： ②-①，得z-x ＝2a ④
③+④，得2z ＝6a ，z ＝3a
把z ＝3a 分别代入②和③，得y ＝2a ，x ＝a ．
∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩
．
把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x-2y+3z ＝10得
a-2×2a+3×3a ＝-10． 解得53
a =-． 解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a ．
即x+y+z=6a ④
④-①，得z ＝3a ，④-②，得x ＝a ，④-③，得y ＝2a ．
∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x-2y+3z ＝10得
a-2×2a+3×3a ＝-10． 解得53
a =-． 【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法2中的技巧解这类方程组．
举一反三：
【变式】若 303340x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩
①② ，则x ：y ：z ＝ . 【答案】15:7:6
类型三、三元一次方程组的应用
4. 甲、乙、丙三块地，草长得一样密，一样快，甲地133
公顷可供12头牛吃4周；乙地10公顷可供21头牛吃9周，求丙地24公顷可供几头牛吃18周?
【思路点拨】本题草地上原有一些草，其数量不知，草地上的草还在不停地生长，但生长的速度不知道，因此解题时应把原有的草量、草的生长速度及每头牛每周的食草量用字母表示，设成辅助未知数，再根据题意便可列出方程组．
【答案与解析】
解：设每公顷草地原有牧草akg，每周每公顷草地生长草bkg，每头牛每周吃草ckg，丙地24公顷地可供x头牛吃18周．
根据题意得
1010
4412
33
10910921 24182418
a b c
a b c
a b xc
⎧
+⨯=⨯
⎪
⎪
⎨+⨯=⨯
⎪
⎪
⎩+⨯=⨯
①
②
③
由①②得
54
5
9
10
a c
b c
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
代入③，得x＝36．
答：丙地24公顷可供36头牛吃18周．
【总结升华】用三元一次方程组解答实际问题的方法与用二元一次方程组解答实际问题的方法类似，根据题目给出的条件寻找相等关系是利用方程解应用题的重要一环．
举一反三：
【变式】（2020•黄冈中学自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）
A．1.2元B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元
【答案】B．
解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得，
②﹣①得x+y+z=1.05（元）．。