一命题逻辑的基本概念

对于具体的命题 p和q , 如果 p , q 不可能同时为真时就
不用区分
2019年3月27日5时6分
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§1.2 命题公式及其赋值
命题公式: 由命题常元、命题变元、逻辑联词和括 号按下述法则联结起来的符号串 定义1.6
(1)单个命题变项和命题常项是合式公式 ,
并称为原子命题公式 (2 若A是合式公式, 则 ┐A 合式公式 (3) 若 A,B 是合式公式， 则 A∧B, AB, A→B, A ↔ B是合式公式
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§1.2 命题公式及其赋值
定义1.8 设p1,p2,…,pn 是出现在公式A中的全部命 题变项,给p1,p2,…,pn 各指定一个真值,称为对A的 一个赋值或解释。 若指定的一组值使A为1,则称这组值为A的成真赋值 若指定的一组值使A为0,则称这组值为A的成假赋值
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公式的真值
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§1.2 命题公式及其赋值
例4 求 p(pq) , pp , pp , pqr r 的真值表
p 0 0 1 1 p 0 0 0 0 1 1 1 1
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q 0 1 0 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1
p(pq) 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 qr 0 0 0 1 0 0 0 1 pqr 0 0 0 1 1 1 1 1
( p r ) q

如果明天下雨或我没有时间, 那么我就不去看电影 ( p r ) q


除非明天下雨, 否则我就去看电影
只有明天下雨我才会去看电影 除非明天下雨我才会去看电影
p q
qp qp
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§1.1
命题与与联结词
例3 试用符号形式表示下列命题并求真值:

定义1.5 等价联结词 :
复合命题”p当且仅当q”称为p与q的等价式, 记作 p q 规定：当前件为假命题时，不论后件 是真是假，该蕴涵式都为真命题
蕴涵式的前件和后件可以没有内在联系 例如： 如果 中国的首都是北京 则 雪是白的 显然这是一个真命题
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§1.1
命题与与联结词
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§1.1
注意

命题与与联结词
一个代表命题的变量称为命题变元 命题变元是用来表示任意命题的, 它的真值是未确定的 当命题变元用一个具体的命题”代入” 时, 它才有确定 的真值 用一个具体的命题 “代入” 一个命题变元 p , 称为对 命题变元p进行指派, 也称赋值或解释 例如： 用”雪是黑的” 代入p后 , 这时p有确定的值0 用”雪是白的” 代入p后 , 这时p有确定的值1
命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句
命题的真值 ：作为命题的陈述句所表达的判断结果 真值只取两个值：真或假

真值为真的命题称为真命题 ，真命题表达的判断正确 真值为假的命题称为假命题 ，假命题表达的判断错误 任何命题的真值都是唯一的
判断给定句子是否为命题，应该分两步

首先判定它是否为陈述句 其次判断它是否有唯一的真值


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§1.1
命题与与联结词
原子命题 : 不能分解为更简单命题的命题 复合命题 : 由原子命题通过联词复合而成的命题

例如: 小王会唱歌和跳舞; 小王会唱歌但不会跳舞

为了避免歧义,对联结词进行严格定义, 并且加以符号化
常用的联词

设p 和 q为两个命题
p 0 1
┐p 1 0

若A不是矛盾式 ,则称A是可满足式
若公式A是可满足式且它至少 存在一个成假赋值，则称A为 非重言式的可满足式
真值表可用来判断公式的类型: (1) 若真值表最后一列全为1，则公式为重言式 (2) 若真值表最后一列全为0，则公式为矛盾式 (3) 若真值表最后一列中至少有一个1，则公式为可满足式
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§1.1
命题与与联结词
(,) 高
逻辑联词也称为逻辑运算符
运算的优先级依次为:

例如
低
p q p q r q p 相当于
( ( ( ( ( p ) q ) p ) ( q ( r ) ) ) q ) p
A= f (p,q,r) , p,q,r∈{ 0,1} , A∈{ 0,1}
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§1.2 命题公式及其赋值
定义1.7
公式的“层次”可以描述其构造的复杂性。
(1) 若公式A是单个的命题变项，则称A为 0层合式。
(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一： (a) A=┐B，B是n层公式 (b) A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j) (c) A=B∨C，其中B，C的层次及n同(b) (d) A=B→C，其中B，C的层次及n同(b) (e) A=B↔C，其中B，C的层次及n同(b) (3) 若公式A的层次为k，则称A是k层公式 易知，( ┐p∧q )→r ， (┐(p→┐q) ) ∧ ( (r∨s) ┐p ) 分别为3层和4层公式
p q 0 0 1 1 0 1 0 1 ┐p 1 1 0 0 pq 0 0 0 1 p q 0 1 1 1 p q 1 1 0 1 p q 1 0 0 1
基本复合命题的真值表
p q
0 0 1 1 0 1 0 1
pq qp (pq)(qp)
1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 p q 与 (pq)(qp) 的真值表是相同的
定义1.1 否定联结词 : ┐ 复合命题”非 p” 称为 p 的否定式 , 记为 ┐p
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§1.1

命题与与联结词
复合命题”p并且q”称为p与q的合取式 , 记作 p∧q
定义1.2 合取联结词 : ∧

定义1.3 析取联结词 : ∨ 复合命题”p或者q”称为p与q的析取式 , 记作 p∨q
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§1.1

p : 明天下雨 q : 明天我去看电影 例2 试用符号形式表示下列命题: r : 明天我有时间
命题与与联结词
明天不下雨 如果明天不下雨, 那么我去看电影 当且仅当明天不下雨, 我才去看电影
p p q p q
如果明天不下雨而且我有时间, 那么我去看电影
p
0 1 r 1 0 1 0 1 r 1 1 1 0 1 0 1 0
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§1.2 命题公式及其赋值
定义 1.10

设A为任一命题公式
若A在它的各种赋值下取值均为真,则称A是重言式或永真式 若A在它的各种赋值下取值均为假,则称A是矛盾式或永假式
可满足A至少存在一个成真赋 值 重言式一定是可满足式
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§1.2 命题公式及其赋值
p 0 0 q 0 1 pq 1 1 pq 1 1
表明命题公式 (p q) (pq) 是重言式
1
1 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
0
1
0
1 pq 1 0 0 1
0
1 表明命题公式
(pq)(qp) 1 0 0 1

2100年元旦是晴天
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§1.1

命题与与联结词
不是命题----疑问句,祈使 句,感叹句都不是命题
π大于 3 吗？ 请不要吸烟！ 这朵花真美丽啊！ 我正在说假话 所有的整数都大于0


不是命题 悖论(自相矛盾的陈述句)


假命题

有的整数大于0
真命题
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(pq) ((pq)(qp))
是重言式
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§1.2 命题公式及其赋值
例5 在什么情况下，下面一段论述是真的： 说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的， 而说如果小王会唱歌，小李就会跳舞是不正确的。 (课堂练习)
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(4)只有有限次应用⑴, ⑵, ⑶
得到的符号串才是合式公式
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§1.2 命题公式及其赋值
如: ( p → q ) ∧ ( q ↔ r )
( p ∧ q ) ∧ ┐r
p ∧ ( q ∧ ┐r ) 等都是合式公式 pq → r ,（ p→(r→q) 等不是合式公式 注意：上述命题合式公式的定义方式称为归纳定义方式 命题公式可以看作是关于命题变项的取值为 0 或 1 的函数
p q
0 0 1 1
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pq
0 0 0 1
pq
0 1 1 1
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0 1 0 1
§1.1

命题与与联结词
p q 0 0 1 1 0 1 0 1 p q p q 1 1 0 1 1 0 0 1 前件
定义1.4 蕴涵联结词 :
后件
复合命题”如果p则q”称为p与q的蕴涵式 , 记作 p q
设 p : 2是有理数, q : 2是无理数, r : 3是有理数, s : 3是无理数, t : 2大于0

2是有理数是不对的
2是有理数或者是无理数
p , 真值为0

(pq) (pq) , p q 真值为1
pt , 真值为1 rp , 真值为1 ps , 真值为0
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2是有理数或者大于0
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§1.1
命题与与联结词
数理逻辑研究方法的主要特征是将论述或推理中 的各种要素都符号化，即构造形式语言来代替自 然语言 命题真值的符号化: 1 或 T 表示真 , 0 或 F 表示假

1 或 T , 0 或 F 称为命题常元
命题的符号化：
用字母 p , q , r , … , pi , qi , ri , …表示命题
第一章
命题逻辑的基本概念
漳州师范学院计算机科学与工程系
第一章
命题逻辑的基本概念
命题与联结词 命题公式及其赋值
知 识 点：命题及表示、联结词、命题公式与赋值、真值表
教学要求：深刻理解和掌握命题逻辑中的基本概念
教学重点：命题逻辑中的基本概念
学时: 2
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§1.1

命题与与联结词
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§1.1
命题与与联结词
假命题 真命题 不是命题----根据x,y 的不同取值情况它可 真可假,无唯一的真值
例1 : 判断下列句子是否为命题

4是素数 π是无理数 x大于y 火星上有水



是命题----火星上有没有水是确 定的客观事实，虽然目前无法 判断，但结果肯定只有一种 是命题----目前无法确定 但将来可以判断真假，结 果肯定只有一种
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§1.2 命题公式及其赋值
定义1.9 将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表称作命 题公式A的真值表, 构造真值表的具体步骤如下： (1)找出公式中所含的全体命题变项
p1,p2,…,pn (若无下角标就按字典顺序排列)，
列出2n个赋值。赋值从00…0开始 然后按二进制加法依次写出各赋值，直到11…1为止 (2)按从低到高的顺序写出公式的各个层次 (3)对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计算出
只有2是有理数,3才是有理数

只要2是有理数,3就是无理数
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§1.1

命题与与联结词
排拆或和相容或
自然语言中的”或”具有二义性,它有时具有相容性,有时 具有排斥性

排斥或 ( p q ) ( p q ) ,只有当一个为真、另 一个为假时才为真 相容或 p q , 两个命题可以同时为真