2018年高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.2第2课时数列求和习题课达标练习北师大版必修520
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1.3.2 第2课时数列求和习题
[A基础达标]
1.数列{a n},{b n}满足a n b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前10项和为()
1 5
A. B.
4 12
3 7
C. D.
4 12
1 1 1 1 1
解析:选B.依题意b n====-,所以{b n}的前10项
a n n2+3n+2 (n+1)(n+2)n+1 n+2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5
和为S10=(-+-4 )+( 5 )+…+(=-=,故选B.
3 )(-
-12)
2 3 4 11 2 12 12
2.若数列{a n}的通项公式a n=2n+2n-1,则数列{a n}的前n项和S n为()
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n2-2
2(1-2n)解析:选 C.S n=(2+22+23+…+2n)+[1+3+5+…+(2n-1)]=+
1-2
n(1+2n-1)
=2n+1-2+n2.
2
1 9
3.数列{a n}中,a n=,其前n项和为,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y n(n+1)10
+n=0在y轴上的截距为()
A.-10 B.-9
C.10 D.9
1 1 1 1 1 1 1
解析:选B.数列{a n}的前n项和为++…+=1-+-+…+-
1 ×
2 2 ×
3 n(n+1) 2 2 3 n
1 1 n9
=1-==,所以n=9,于是直线(n+1)x+y+n=0即为10x+y+9=0.所以n+1 n+1 n+1 10
其在y轴上的截距为-9.
4.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-6n,则{|a n|}的前n项和T n等于()
A.6n-n2 B.n2-6n+18
6n-n2,1 ≤n≤3,6n-n2,1 ≤n≤3,
C.{n2-6n+18,n> 3 )D.{n2-6n,n> 3 )
解析:选C.因为由S n=n2-6n得{a n}是等差数列,且首项为-5,公差为2.
所以a n=-5+(n-1)×2=2n-7,
n≤3时,a n<0,n>3时,a n>0,
6n-n2,1 ≤n≤3,
T n={n2-6n+18,n> 3. )
5.设数列1,(1+2),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前n项和为S n,则S n=()
1
A.2n B.2n-n
C.2n+1-n D.2n+1-n-2
1-2n
解析:选D.因为a n=1+2+22+…+2n-1==2n-1,所以S n=(2+22+23+…+2n)-n=
1-2
2(1-2n)
-n=2n+1-n-2.
1-2
2n-1 321
6.已知数列{a n}的通项公式a n=,其前n项和S n=,则项数n等于________.
2n64
2n-1 1 解
析:a n==1-,
2n2n
1 1
2(1-2n)
1 321 1 所
以S n=n-=n-1+==5+,
1 2n64 64
1-
2
所以n=6.
答案:6
7.已知ln x+ln x2+…+ln x10=110,则ln x+ln2 x+ln3 x+…+ln10 x=________.
解析:由ln x+ln x2+…+ln x10=110.
得(1+2+3+…+10)ln x=110,所以ln x=2.
从而ln x+ln2 x+…+ln10 x=2+22+23+…+210
2(1-210)
==211-2=2 046.
1-2
答案:2 046
n2,n为奇数,
{-n2,n为偶数,)且a n=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于
8.已知函数f(n)=
________.
解析:由题意,a1+a2+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=100.
答案:100
n2+n
9.已知数列{a n}的前n项和S n=,n∈N+.
2
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=2a n+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.
解:(1)当n=1时,a1=S1=1;
n2+n(n-1)2+(n-1)当
n≥2时,a n=S n-S n-1=-=n.
2 2
故数列{a n}的通项公式为a n=n.
(2)由(1)知,a n=n,故b n=2n+(-1)n n.
2
记数列{b n}的前2n项和为T2n,则
T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
记A=21+22+…+22n,
B=-1+2-3+4-…+2n,
2(1-22n)
则A==22n+1-2,
1-2
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.
故数列{b n}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
10.已知数列{a n}的各项均为正数,前n项和为S n,
a n(a n+1)
且S n=,n∈N+;
2
(1)求证:数列{a n}是等差数列;
1
(2)设b n=,T n=b1+b2+…+b n,求T n.
2S n
a n(a n+1)
解:(1)证明:因为S n=,n∈N+,
2
a1(a1+1)
所以当n=1时,a1=S1
=,
2
所以a1=1.
2S n=a+a n,
{2S n-1=a+a n-1,)
当n≥2时,由
得2a n=a2n+a n-a n-21-a n-1.
即(a n+a n-1)(a n-a n-1-1)=0,
因为a n+a n-1>0,
所以a n-a n-1=1(n≥2).
所以数列{a n}是以1为首项,以1为公差的等差数列.
(2)由(1)可得a n=n,
n(n+1)
S n
=,
2
1 1 1 1
b n===-.
2S n n(n+1)n n+1
所以T n=b1+b2+b3+…+b n
1 1 1 1 1
=1-+-+…+-
2 2
3 n n+1
1 n
=1-=.
n+1 n+1
[B能力提升]
3