2018年高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.2第2课时数列求和习题课达标练习北师大版必修520

1.3.2 第2课时数列求和习题

[A基础达标]

1．数列{a n}，{b n}满足a n b n＝1，a n＝n2＋3n＋2，则{b n}的前10项和为()

1 5

A. B．

4 12

3 7

C. D．

4 12

1 1 1 1 1

解析：选B.依题意b n＝＝＝＝－，所以{b n}的前10项

a n n2＋3n＋2 （n＋1）（n＋2）n＋1 n＋2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5

和为S10＝(－＋－4 )＋( 5 )＋…＋(＝－＝，故选B.

3 )(－

－12)

2 3 4 11 2 12 12

2．若数列{a n}的通项公式a n＝2n＋2n－1，则数列{a n}的前n项和S n为()

A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1

C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n2－2

2（1－2n）解析：选 C.S n＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝＋

1－2

n（1＋2n－1）

＝2n＋1－2＋n2.

2

1 9

3．数列{a n}中，a n＝，其前n项和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y n（n＋1）10

＋n＝0在y轴上的截距为()

A．－10 B．－9

C．10 D．9

1 1 1 1 1 1 1

解析：选B.数列{a n}的前n项和为＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－

1 ×

2 2 ×

3 n（n＋1） 2 2 3 n

1 1 n9

＝1－＝＝，所以n＝9，于是直线(n＋1)x＋y＋n＝0即为10x＋y＋9＝0.所以n＋1 n＋1 n＋1 10

其在y轴上的截距为－9.

4．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－6n，则{|a n|}的前n项和T n等于()

A．6n－n2 B．n2－6n＋18

6n－n2，1 ≤n≤3，6n－n2，1 ≤n≤3，

C.{n2－6n＋18，n> 3 )D．{n2－6n，n> 3 )

解析：选C.因为由S n＝n2－6n得{a n}是等差数列，且首项为－5，公差为2.

所以a n＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，

n≤3时，a n<0，n>3时，a n>0，

6n－n2，1 ≤n≤3，

T n＝{n2－6n＋18，n> 3. )

5．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为S n，则S n＝()

1

A．2n B．2n－n

C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2

1－2n

解析：选D.因为a n＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以S n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝

1－2

2（1－2n）

－n＝2n＋1－n－2.

1－2

2n－1 321

6．已知数列{a n}的通项公式a n＝，其前n项和S n＝，则项数n等于________．

2n64

2n－1 1 解

析：a n＝＝1－，

2n2n

1 1

2(1－2n)

1 321 1 所

以S n＝n－＝n－1＋＝＝5＋，

1 2n64 64

1－

2

所以n＝6.

答案：6

7．已知ln x＋ln x2＋…＋ln x10＝110，则ln x＋ln2 x＋ln3 x＋…＋ln10 x＝________．

解析：由ln x＋ln x2＋…＋ln x10＝110.

得(1＋2＋3＋…＋10)ln x＝110，所以ln x＝2.

从而ln x＋ln2 x＋…＋ln10 x＝2＋22＋23＋…＋210

2（1－210）

＝＝211－2＝2 046.

1－2

答案：2 046

n2，n为奇数，

{－n2，n为偶数，)且a n＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于

8．已知函数f(n)＝

________．

解析：由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.

答案：100

n2＋n

9．已知数列{a n}的前n项和S n＝，n∈N＋.

2

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)设b n＝2a n＋(－1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．

解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；

n2＋n（n－1）2＋（n－1）当

n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－＝n.

2 2

故数列{a n}的通项公式为a n＝n.

(2)由(1)知，a n＝n，故b n＝2n＋(－1)n n.

2

记数列{b n}的前2n项和为T2n，则

T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．

记A＝21＋22＋…＋22n，

B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，

2（1－22n）

则A＝＝22n＋1－2，

1－2

B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.

故数列{b n}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.

10．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，

a n（a n＋1）

且S n＝，n∈N＋；

2

(1)求证：数列{a n}是等差数列；

1

(2)设b n＝，T n＝b1＋b2＋…＋b n，求T n.

2S n

a n（a n＋1）

解：(1)证明：因为S n＝，n∈N＋，

2

a1（a1＋1）

所以当n＝1时，a1＝S1

＝，

2

所以a1＝1.

2S n＝a＋a n，

{2S n－1＝a＋a n－1，)

当n≥2时，由

得2a n＝a2n＋a n－a n－21－a n－1.

即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－1)＝0，

因为a n＋a n－1＞0，

所以a n－a n－1＝1(n≥2)．

所以数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列．

(2)由(1)可得a n＝n，

n（n＋1）

S n

＝，

2

1 1 1 1

b n＝＝＝－.

2S n n（n＋1）n n＋1

所以T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n

1 1 1 1 1

＝1－＋－＋…＋－

2 2

3 n n＋1

1 n

＝1－＝.

n＋1 n＋1

[B能力提升]

3