2018年高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.2第2课时数列求和习题课达标练习北师大版必修520

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1.3.2 第2课时数列求和习题

[A基础达标]

1.数列{a n},{b n}满足a n b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前10项和为()

1 5

A. B.

4 12

3 7

C. D.

4 12

1 1 1 1 1

解析:选B.依题意b n====-,所以{b n}的前10项

a n n2+3n+2 (n+1)(n+2)n+1 n+2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5

和为S10=(-+-4 )+( 5 )+…+(=-=,故选B.

3 )(-

-12)

2 3 4 11 2 12 12

2.若数列{a n}的通项公式a n=2n+2n-1,则数列{a n}的前n项和S n为()

A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1

C.2n+1+n2-2 D.2n+n2-2

2(1-2n)解析:选 C.S n=(2+22+23+…+2n)+[1+3+5+…+(2n-1)]=+

1-2

n(1+2n-1)

=2n+1-2+n2.

2

1 9

3.数列{a n}中,a n=,其前n项和为,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y n(n+1)10

+n=0在y轴上的截距为()

A.-10 B.-9

C.10 D.9

1 1 1 1 1 1 1

解析:选B.数列{a n}的前n项和为++…+=1-+-+…+-

1 ×

2 2 ×

3 n(n+1) 2 2 3 n

1 1 n9

=1-==,所以n=9,于是直线(n+1)x+y+n=0即为10x+y+9=0.所以n+1 n+1 n+1 10

其在y轴上的截距为-9.

4.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-6n,则{|a n|}的前n项和T n等于()

A.6n-n2 B.n2-6n+18

6n-n2,1 ≤n≤3,6n-n2,1 ≤n≤3,

C.{n2-6n+18,n> 3 )D.{n2-6n,n> 3 )

解析:选C.因为由S n=n2-6n得{a n}是等差数列,且首项为-5,公差为2.

所以a n=-5+(n-1)×2=2n-7,

n≤3时,a n<0,n>3时,a n>0,

6n-n2,1 ≤n≤3,

T n={n2-6n+18,n> 3. )

5.设数列1,(1+2),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前n项和为S n,则S n=()

1

A.2n B.2n-n

C.2n+1-n D.2n+1-n-2

1-2n

解析:选D.因为a n=1+2+22+…+2n-1==2n-1,所以S n=(2+22+23+…+2n)-n=

1-2

2(1-2n)

-n=2n+1-n-2.

1-2

2n-1 321

6.已知数列{a n}的通项公式a n=,其前n项和S n=,则项数n等于________.

2n64

2n-1 1 解

析:a n==1-,

2n2n

1 1

2(1-2n)

1 321 1 所

以S n=n-=n-1+==5+,

1 2n64 64

1-

2

所以n=6.

答案:6

7.已知ln x+ln x2+…+ln x10=110,则ln x+ln2 x+ln3 x+…+ln10 x=________.

解析:由ln x+ln x2+…+ln x10=110.

得(1+2+3+…+10)ln x=110,所以ln x=2.

从而ln x+ln2 x+…+ln10 x=2+22+23+…+210

2(1-210)

==211-2=2 046.

1-2

答案:2 046

n2,n为奇数,

{-n2,n为偶数,)且a n=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于

8.已知函数f(n)=

________.

解析:由题意,a1+a2+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=100.

答案:100

n2+n

9.已知数列{a n}的前n项和S n=,n∈N+.

2

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)设b n=2a n+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.

解:(1)当n=1时,a1=S1=1;

n2+n(n-1)2+(n-1)当

n≥2时,a n=S n-S n-1=-=n.

2 2

故数列{a n}的通项公式为a n=n.

(2)由(1)知,a n=n,故b n=2n+(-1)n n.

2

记数列{b n}的前2n项和为T2n,则

T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).

记A=21+22+…+22n,

B=-1+2-3+4-…+2n,

2(1-22n)

则A==22n+1-2,

1-2

B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.

故数列{b n}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.

10.已知数列{a n}的各项均为正数,前n项和为S n,

a n(a n+1)

且S n=,n∈N+;

2

(1)求证:数列{a n}是等差数列;

1

(2)设b n=,T n=b1+b2+…+b n,求T n.

2S n

a n(a n+1)

解:(1)证明:因为S n=,n∈N+,

2

a1(a1+1)

所以当n=1时,a1=S1

=,

2

所以a1=1.

2S n=a+a n,

{2S n-1=a+a n-1,)

当n≥2时,由

得2a n=a2n+a n-a n-21-a n-1.

即(a n+a n-1)(a n-a n-1-1)=0,

因为a n+a n-1>0,

所以a n-a n-1=1(n≥2).

所以数列{a n}是以1为首项,以1为公差的等差数列.

(2)由(1)可得a n=n,

n(n+1)

S n

=,

2

1 1 1 1

b n===-.

2S n n(n+1)n n+1

所以T n=b1+b2+b3+…+b n

1 1 1 1 1

=1-+-+…+-

2 2

3 n n+1

1 n

=1-=.

n+1 n+1

[B能力提升]

3

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