数列经典题目汇总
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14.(全国卷II)
已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．
(Ⅰ)证明 为等比数列；
(Ⅱ)如果无穷等比数列 各项的和 ，求数列 的首项 和公差 ．
(注：无穷数列各项的和即当 时数列前 项和的极限)
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由 得
即 ，得 因
当 =0时，{an}为正的常数列就有
解：由题意得： ……………1分
即 …………3分
又 …………4分
又 成等比数列,
∴该数列的公比为 ，………6分
所以 ………8分
又 ……………………………………10分
所以数列 的通项为 ……………………………12分
16.（山东卷）
已知数列源自文库的首项 前 项和为 ，且
（I）证明数列 是等比数列；
（II）令 ，求函数 在点 处的导数 并比较 与 的大小.
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+ =25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点 在抛物线 ：y＝x2＋anx＋bn上，点 ( ，0)到 的距离是 到 上点的最短距离．
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{ }是等差数列．
解：（I）由题意，得 。
设点 是 上任意一点，则
18.（天津卷）
已知 .
（Ⅰ）当 时，求数列 的前n项和 ；
（Ⅱ）求 .
（18）解：（Ⅰ）当 时， ．这时数列 的前 项和
． ①
①式两边同乘以 ，得 ②
①式减去②式，得
若 ，
，
若 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ），当 时， ，则 ．
当 时，
此时， ．
若 ， ．
若 ， ．
19.（天津卷）若公比为c的等比数列｛ ｝的首项 ＝1且满足： （ ＝3，4，…）。
（Ⅰ）用数学归纳法证明： ；
（Ⅱ）已知不等式 ，其中无理数e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时， ，不等式成立.
（2）假设当 时不等式成立，即
那么 .这就是说，当 时不等式成立.
根据（1）、（2）可知： 成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到 求和可得
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项： 所以
,
又bn=－1，所以
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证 成立，故
令
取对数并利用已知不等式得
上式从2到n求和得
因
故 成立
24.（江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.
解：方法一：先考虑偶数项有：
………
同理考虑奇数项有：
………
综合可得
方法二：因为
两边同乘以 ，可得：
令
所以
………
（I）求c的值。
（II）求数列｛ ｝的前 项和 。
20.（浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列且和为15，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c．
解：由题意，得 由(1)(2)两式，解得
将 代入(3),整理得
解得 或
故 , 或
经验算，上述两组数符合题意。
21（浙江卷）设点 ( ，0)， 和抛物线 ：y＝x2＋anx＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－ ， 由以下方法得到：
当 = 时， ,就有
于是数列{ }是公比为1或 的等比数列
（Ⅱ）如果无穷等比数列 的公比 =1，则当 →∞时其前 项和的极限不存在。
因而 = ≠0，这时公比 = ，
这样 的前 项和为
则S=
由 ，得公差 =3，首项 = =3
15.(全国卷III)
在等差数列 中，公差 的等比中项.
已知数列 成等比数列，求数列 的通项
解：由已知 可得 两式相减得
即 从而 当 时 所以 又 所以 从而
故总有 ， 又 从而 即数列 是等比数列；
（II）由（I）知
因为 所以
从而 =
= - =
由上 - =
=12 ①
当 时，①式=0所以 ；
当 时，①式=-12 所以
当 时， 又
所以 即① 从而
17．(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
(1)求b1、b2、b3、b4的值；
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
解法一：
（I）
（II）因 ，
故猜想
因 ，（否则将 代入递推公式会导致矛盾）。
∵
故 的等比数列.
,
解法二：
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
故
由 得
故
解法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
从而
故
23.(重庆卷)数列{an}满足 .
又
∴
∴
25.（江西卷）
已知数列
（1）证明
（2）求数列 的通项公式an.
解：（1）方法一用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
令 则
由题意，得 即
又 在 上，
解得
故 方程为
(II)设点 是 上任意一点，则
令 ，则 .
由题意得g ，即
又
即 （*）
下面用数学归纳法证明
①当n=1时， 等式成立。
②假设当n=k时，等式成立，即
则当 时，由（*）知
又
即当 时，等式成立。
由①②知，等式对 成立。
是等差数列。
22.(重庆卷)数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记 (n1)。
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．
(Ⅰ)证明 为等比数列；
(Ⅱ)如果无穷等比数列 各项的和 ，求数列 的首项 和公差 ．
(注：无穷数列各项的和即当 时数列前 项和的极限)
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由 得
即 ，得 因
当 =0时，{an}为正的常数列就有
解：由题意得： ……………1分
即 …………3分
又 …………4分
又 成等比数列,
∴该数列的公比为 ，………6分
所以 ………8分
又 ……………………………………10分
所以数列 的通项为 ……………………………12分
16.（山东卷）
已知数列源自文库的首项 前 项和为 ，且
（I）证明数列 是等比数列；
（II）令 ，求函数 在点 处的导数 并比较 与 的大小.
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+ =25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点 在抛物线 ：y＝x2＋anx＋bn上，点 ( ，0)到 的距离是 到 上点的最短距离．
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{ }是等差数列．
解：（I）由题意，得 。
设点 是 上任意一点，则
18.（天津卷）
已知 .
（Ⅰ）当 时，求数列 的前n项和 ；
（Ⅱ）求 .
（18）解：（Ⅰ）当 时， ．这时数列 的前 项和
． ①
①式两边同乘以 ，得 ②
①式减去②式，得
若 ，
，
若 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ），当 时， ，则 ．
当 时，
此时， ．
若 ， ．
若 ， ．
19.（天津卷）若公比为c的等比数列｛ ｝的首项 ＝1且满足： （ ＝3，4，…）。
（Ⅰ）用数学归纳法证明： ；
（Ⅱ）已知不等式 ，其中无理数e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时， ，不等式成立.
（2）假设当 时不等式成立，即
那么 .这就是说，当 时不等式成立.
根据（1）、（2）可知： 成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到 求和可得
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项： 所以
,
又bn=－1，所以
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证 成立，故
令
取对数并利用已知不等式得
上式从2到n求和得
因
故 成立
24.（江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.
解：方法一：先考虑偶数项有：
………
同理考虑奇数项有：
………
综合可得
方法二：因为
两边同乘以 ，可得：
令
所以
………
（I）求c的值。
（II）求数列｛ ｝的前 项和 。
20.（浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列且和为15，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c．
解：由题意，得 由(1)(2)两式，解得
将 代入(3),整理得
解得 或
故 , 或
经验算，上述两组数符合题意。
21（浙江卷）设点 ( ，0)， 和抛物线 ：y＝x2＋anx＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－ ， 由以下方法得到：
当 = 时， ,就有
于是数列{ }是公比为1或 的等比数列
（Ⅱ）如果无穷等比数列 的公比 =1，则当 →∞时其前 项和的极限不存在。
因而 = ≠0，这时公比 = ，
这样 的前 项和为
则S=
由 ，得公差 =3，首项 = =3
15.(全国卷III)
在等差数列 中，公差 的等比中项.
已知数列 成等比数列，求数列 的通项
解：由已知 可得 两式相减得
即 从而 当 时 所以 又 所以 从而
故总有 ， 又 从而 即数列 是等比数列；
（II）由（I）知
因为 所以
从而 =
= - =
由上 - =
=12 ①
当 时，①式=0所以 ；
当 时，①式=-12 所以
当 时， 又
所以 即① 从而
17．(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
(1)求b1、b2、b3、b4的值；
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
解法一：
（I）
（II）因 ，
故猜想
因 ，（否则将 代入递推公式会导致矛盾）。
∵
故 的等比数列.
,
解法二：
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
故
由 得
故
解法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
从而
故
23.(重庆卷)数列{an}满足 .
又
∴
∴
25.（江西卷）
已知数列
（1）证明
（2）求数列 的通项公式an.
解：（1）方法一用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
令 则
由题意，得 即
又 在 上，
解得
故 方程为
(II)设点 是 上任意一点，则
令 ，则 .
由题意得g ，即
又
即 （*）
下面用数学归纳法证明
①当n=1时， 等式成立。
②假设当n=k时，等式成立，即
则当 时，由（*）知
又
即当 时，等式成立。
由①②知，等式对 成立。
是等差数列。
22.(重庆卷)数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记 (n1)。
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?