精品解析：【校级联考】四川省凉山市金阳县2019届九年级中考数学模拟试卷(解析版)

2019年四川省凉山市金阳县中考数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1.下列实数0，，，π，其中，无理数共有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据无理数的概念可判断出无理数的个数．
【详解】解：无理数有：，.
故选B.
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．2.将一副三角板(∠A＝30°)按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于( )
A. 75°
B. 90°
C. 105°
D. 115°
【答案】C
【解析】
分析：依据AB∥EF，即可得∠BDE=∠E=45°，再根据∠A=30°，可得∠B=60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1=∠BDE+∠B=105°．
详解：∵AB∥EF，
∴∠BDE=∠E=45°，
又∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴∠1=∠BDE+∠B=45°+60°=105°，
故选：C．
点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
3.如图，在数轴上，点A表示的数是2，△OAB是Rt△，∠OAB＝90°，AB＝1，现以点O为圆心，线段OB
长为半径画弧，交数轴负半轴于点C，则点C表示的实数是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据勾股定理，在Rt△AOB中，，求出OB长度，再求出OC长度，结合数轴即可得出结论．
【详解】解：∵在Rt△AOB中，OA=2，AB=1，
∴OB==．
∵以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，
∴OC=OB=，
∴点C表示的实数是-．
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
4.如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC＝2∠ABC，其作法如下：（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求；
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求．
对于两人的作法，下列判断何者正确？（）
A. 两人皆正确
B. 两人皆错误
C. 甲正确，乙错误
D. 甲错误，乙正确
【答案】C
【解析】
【分析】
根据甲乙两人作图的作法：
甲：利用垂直平分线的性质得到AP=PB，得到∠PAB=∠PBA，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角
的和，即可求出结果.
乙：根据作图的要求，AB=BP，得到∠BAP=∠APB，进一步证明即可发现∠APC≠2∠ABC，此方法不正确.
【详解】解：如图1，
由甲的作图知PQ垂直平分AB，
则PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
又∠APC=∠PAB+∠PBA，
∴∠APC=2∠ABC，
故甲的作图正确；
如图2，
∵AB=BP，
∴∠BAP=∠APB，
∵∠APC=∠BAP+∠ABC，
∴∠APC≠2∠ABC，
∴乙错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，正确的理解题意是解题的关键．
5.下列事件中必然发生的事件是（）
A. 一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B. 不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C. 200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．
【详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．
6.在实数范围内把二次三项式x2+x﹣1分解因式正确的是（）
A. （x﹣）（x﹣）
B. （x﹣）（x+）
C. （x+）（x﹣）
D. （x+）（x+）
【答案】B
【解析】
【分析】
令二次三项式等于0，求出x的值，即可得到分解因式的结果．
【详解】解：令x2+x-1=0，
解得：x1=，x2=，
则x2+x-1=（x-）．（x+）
故选：B．
【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式．
7.已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）
A. ﹣1
B. 2
C. 22
D. 30
【答案】D
∵α方程x2-2x-4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8（α+β）+14,∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,∴α+β=2,
∴原式=8×2+14=30,故选D.
8.某车间20名工人每天加工零件数如表所示：
这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（）
A. 5，5
B. 5，6
C. 6，6
D. 6，5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【详解】由表知数据5出现次数最多，所以众数为5；
因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为6．
故选B．
【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9.一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是（）
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 正方形
D. 梯形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行投影的性质求解可得．
【详解】解：一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子可能是平行四边形、矩形、正方形，不可能是
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行投影，解题的关键是掌握平行投影的性质．
10.如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为（）米．
A. 750
B. 375
C. 375
D. 750
【答案】A
【解析】
【分析】
作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长．在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B=30°求出AB的长．
【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°，AC=30×25=750（米），∴AD=AC•sin45°=375（米）．
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AB=2AD=750（米）．
故选A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．
11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，BC＝5，⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC 于点F，则图中阴影部分的面积为（）
A. 12﹣π
B. 12﹣π
C. 6﹣π
D. 6﹣π
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AD，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出AD，根据三角形面积公式-扇形面积公式，即可求阴影部分面积，计算即可．
【详解】
解：连接AD，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴，
∵BC是⊙A的切线，
∴AD⊥BC，
△ABC的面积=AB·AC=BC·AD，
即：3×4=5AD
解得，AD=，
∴阴影部分的面积=×AB×AC-，
故选：C．
【点睛】本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
12.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：
①2a﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）
A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ③④
【答案】D
【解析】
分析：根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案．
详解：①图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴二次函数的图象的对称轴为x==1，
∴=1，
∴2a+b=0，故①错误；
②令x=﹣1，
∴y=a﹣b+c=0，
∴a+c=b，
∴（a+c）2=b2，故②错误；
③由图可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确；
④当a=1时，
∴y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4
将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
得到抛物线y=（x﹣1﹣1）2﹣4+2=（x﹣2）2﹣2，故④正确；
故选：D．
点睛：本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
13.若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____．
【答案】x≥-3且x≠2
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴x+3≥0，且x-2≠0，
∴实数x的取值范围是：x≥-3且x≠2．
故答案为：x≥-3且x≠2．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
14.如图，将长方形纸片ABCD沿直线EN、EM进行折叠后（点E在AB边上），B′点刚好落在A′E上，若折叠角∠AEN＝30°15′，则另一个折叠角∠BEM＝_____．
【答案】59°45′
【解析】
分析：由折叠的性质得∠A′EN=∠AEN=30°15′，∠BEM=∠A′EM,从而根据角的和差可求出∠BEA′的度数，进而可求出∠BEM的度数.
详解：由折叠知，∠A′EN=∠AEN=30°15′，∠BEM=∠A′EM,
∴∠BEA′=180-30°15′-30°15′=119°30′,
∴∠BEM=∠A′EM=119°30′÷2=59°45′.
故答案为：59°45′.
点睛：本题考查了折叠的性质和角的和差倍分的计算，由折叠的性质得∠A′EN=∠AEN，∠BEM=∠A′EM是解答本题的关键.
15.如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标_____．
【答案】（5，2）
【解析】
【分析】
外心是三角形三边垂直平行线的交点，设外心为D，根据C、B的坐标求出D的纵坐标，设D（a，2），根据DA=DC和勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：由图象可知B（1，4），C（1，0），
根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y=2，
设D（a，2），
根据勾股定理得：DA=DC
（1-a）2+22=42+（3-a）2
解得：a=5，
∴D（5，2）．
故答案为：（5，2）．
【点睛】本题主要考查了对三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，勾股定理，垂径定理等知识点的理解和掌握，能根据题意得出D点的纵坐标和得出方程是解此题的关键．
16.如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，AB＝6，则BC的长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OC，根据题意先求出OE，OC长，在在Rt△CEO中，由勾股定理求CE，在Rt△CEB中，由勾股定理得求得BC长即可.
【详解】解：AB交CD于E点，连接OC
∵AB是⊙O的直径，AB=6，
∴OC=OA=AB=3，
∵弦CD垂直平分半径OA，
∴OE=AE=OA =1.5，
∴BE=AB-AE=4.5
∴在Rt△CEO中，由勾股定理得，
∵BE=4.5，
∴在Rt△CEB中，
由勾股定理得，
故答案为：3
【点睛】此题考查在圆内勾股定理的应用，关键是根据圆的性质求出OE，再利用勾股定理求出其他相应各边的长.
17.从满足不等式﹣3＜x＜3的所有整数中任意取一个数记作a，则关于x的一元二次方程x2﹣x+有两个不相等的实数根的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据方程有2个不相等的实数根得出a的取值范围，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-x+＝0有两个不相等的实数根，
∴△=[-1]2-4×1×=-4a+7＞0，解得：a＜，
∴在-3＜x＜3的所有整数中任意取一个数记作a，符合条件的a的值为-2、-1、0、1这4个，
则该方程有有两个不相等的实数根的概率是，
故答案为：
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
三．解答题（共5小题，满分32分）
18.计算：（3.14﹣π）0+|1﹣|+﹣2sin60°．
【答案】-4
【解析】
【分析】
分别利用零指数幂法则、绝对值的代数意义、负整数指数幂法则以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】原式=．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.当x是不等式组的正整数解时，求多项式（1﹣3x）（1+3x）+（1+3x）2+（﹣x2）3÷x4的值．
【答案】7
【解析】
【分析】
求出不等式组的解集，找出解集中的正整数解确定出x的值，原式利用平方差公式，完全平方公式，以及幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：，
由①得：x＜2，由②得：x＞﹣，
∴不等式组的解集为﹣＜x＜2，
正整数x的值为1，
则原式＝1﹣9x2+1+6x+9x2﹣x6÷x4
＝1﹣9x2+1+6x+9x2﹣x2
=﹣x2+6x+2
＝﹣1+6+2
＝7．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．
（1）求证：△AED≌△CEB′；
（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D
∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠
∴BC＝B'C，∠B＝∠B'
∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC
∴△ADE≌△B'EC
（2）四边形AECF是菱形
∵△ADE≌△B'EC
∴AE＝CE
∵AE＝CE，EF⊥AC
∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF
∴AF＝CF
∵CD∥AB
∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF
∴∠AEF＝∠EFA
∴AF＝AE
∴AF＝AE＝CE＝CF
∴四边形AECF是菱形
【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．
21.现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，我市为了解学生的视力变化情况，从全市八年级随机抽取了1200名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形统计图．
解答下列问题：
（1）图中“其他”所在扇形的圆心角度数为；
（2）若2016年全市八年级学生共有24000名，请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名？
（3）根据扇形统计图信息，你认为造成中学生视力下降最主要的因素是什么，你觉得中学生应该如何保护视力？
【答案】(1)54°；（2）16000名；（3）视力保护言之有理即可.
【解析】
（1）；
（2）由题
估计视力在4.9以下的学生约有16000名.
（3）造成中学生视力下降最主要的因素是手机（视力保护言之有理即可）
22.如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1，4)，点B(﹣4，n)．
(1)求n和b的值；
(2)求△OAB的面积；
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
【答案】（1）-1；（2）；（3）x＞1或﹣4＜x＜0.
【解析】
【分析】
（1）把A点坐标分别代入反比例函数与一次函数解析式，求出k和b的值，把B点坐标代入反比例函数解析式求出n的值即可；（2）设直线y＝x+3与y轴的交点为C，由S△AOB=S△AOC+S△BOC，根据A、B 两点坐标及C点坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）利用函数图像，根据A、B两点坐标即可得答案.
【详解】（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝﹣1；
（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，
∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5，
（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义，这里体现了数形结合的思想．
四．填空题（共2小题，满分10分，每小题5分）
23.化简：2＜x＜4时，＝_____．
【答案】2x﹣6
【解析】
【分析】
首先根据x的范围确定x-2与x-4的符号，然后利用算术平方根的定义，以及绝对值的性质即可化简．
【详解】解：∵2＜x＜4，
∴x-2＞0，x-4＜0，
∴原式=
=|x-2|-|x-4|
=x-2-（4-x）
=x-2-4+x
=2x-6．
故答案为：2x-6．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确理解算术平方根的性质是关键．
24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接EC，作AH⊥BC于H．首先证明EC⊥BC，推出EN⊥EC时，EN的值最小，解直角三角形求出CH，DH即可解决问题；
【详解】解：如图，连接EC，作AH⊥BC于H．
∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED=∠ACD，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠DAE+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAE=90°，
∴EC⊥BC，
∴NE⊥EC时，EN的值最小，作AG⊥CE交CE的延长线于G．
在Rt△ABC中，∵BC=5，AB=3，
∴AC=4，
∵△ENC∽△△ACB，
∴，
∴，
∴EC=，
∴AH=CG=，
∵NE∥AG，AN=NC，
∴GE=EC=，
∵∠HAG=∠DAE，
∴∠DAH=∠EAG，
∵∠AHD=∠G=90°，
∴△AHD∽△AGE，
∴，
∴，
∴DH=，
∴CD=DH+CH=．
故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、勾股定理、垂线段最短、四点共圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考填空题中的压轴题．
五．解答题（共4小题，满分40分）
25.已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝4，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；
（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？
（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O 于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当ON等于1或﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形
（3）不变，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；
（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得
到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=AD=，ON=DN=1；
当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于AD=2，∠DAE=30°，得到DH=，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，
又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=，则ON=-1；
（3）连AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易证得△AQC≌△APD，得到
DP=CQ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC为等边三角形，CD=AD=2，即可得到DP-DQ的值．
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，点D是BC中点，BC＝4，
∴AD＝BC＝；
（2）连DE、ME，如图，∵DM＞DE，
当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，
∴OE⊥DM，
又∵AD＝AC，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠DAO＝30°，
∴∠DON＝60°，
在Rt△ADN中，DN＝AD＝，
在Rt△ODN中，ON＝DN＝1，
∴当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；
当MD＝ME，DE为底边，如图3，作DH⊥AE，
∵AD＝2，∠DAE＝30°，
∴DH＝，∠DEA＝60°，DE＝2，
∴△ODE为等边三角形，
∴OE＝DE＝2，OH＝1，
∵∠M＝∠DAE＝30°，
而MD＝ME，
∴∠MDE＝75°，
∴∠ADM＝90°﹣75°＝15°，
∴∠DNO＝45°，
∴△NDH为等腰直角三角形，
∴NH＝DH＝，
∴ON＝﹣1；
综上所述，当ON等于1或﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；
（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝2．理由如下：
连AP、AQ，如图2，
∵∠C＝∠CAD＝60°，
而DP⊥AB，
∴AC∥DP，
∴∠PDB＝∠C＝60°，
又∵∠PAQ＝∠PDB，
∴∠PAQ＝60°，
∴∠CAQ＝∠PAD，
∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，
∴△AQC≌△APD，
∴DP＝CQ，
∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝2．
【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．
26.我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质呢？请解答下列问题．
（1）完成下列填空：
（2）一般地，如果那么a+c b+d（用“＜”或“＞”填空）．请你说明上述性质的正确性．
【答案】（1）＞，＞，＜；（2）结论：a+c＞b+d．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据不等式的性质即可判断；
（2）利用（1）中规律即可判断，根据不等式的性质即可证明．
【详解】（1）5+2＞3+1，﹣3﹣1＞﹣5﹣2，1﹣2＜4+1．
故答案为：＞，＞，＜；
（2）结论：a+c＞b+d．
理由：因为a＞b，所以a+c＞b+c，因为c＞d，所以b+c＞b+d，所以a+c＞b+d．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了不等式的性质、解题的关键是熟练掌握不等式的性质解决问题，属于中考常考题型．27.某宾馆有若干间住房，住宿记录提供了如下信息：
（1）4月17日全部住满，一天住宿费收入为12000元；
（2）4月18日有20间房空着，一天住宿费收入为9600元；
（3）该宾馆每间房每天收费标准相同．
①一个分式方程，求解该宾馆共有多少间住房，每间住房每天收费多少元？
②通过市场调查发现，每间住房每天的定价每增加10元，就会有5个房间空闲；已知该宾馆空闲房间每天每间支出费用10元，有顾客居住房间每天每间支出费用20元，问房价定为多少元时，该宾馆一天的利润为11000元？（利润＝住宿费收入﹣支出费用）
③在（2）的计算基础上，你能发现房价定为多少元时，该宾馆一天的利润最大？请直接写出结论．
【答案】①100间，120元；②160元或170元，11000元；③165元, 11012.5元.
【解析】
【分析】
①设每间住房每天收费x元，由信息（1）可知该宾馆共有住房间，由信息（2）可知该宾馆有顾客居住的房间间，根据该宾馆的住房间数不变列出分式方程，求解即可；
②根据利润的计算方法，设每间房的房价为y元，分别表示每间利润和住房间数及支出费用，根据该宾馆一天的利润为11000元得方程求解；
③设房价定为每间a元时，该宾馆一天的利润为w元，根据利润的计算方法，列出w关于a的函数关系式，再根据函数的性质即可求解．
【详解】解：①设每间住房每天收费x元，根据题意，得
，
解得x＝120，
经经验，x＝120是原方程的根．
12000÷120＝100．
答：该宾馆共有100间住房，每间住房每天收费120元；
②设每间房的房价为y元，根据题意，得
（y﹣20）（100﹣×5）﹣10××5＝11000，
解得：y1＝160，y2＝170．
答：房价定为160元或170元时，该宾馆一天的利润为11000元.
③设房价定为每间a元时，该宾馆一天的利润为w元，根据题意，得
w＝（a﹣20）（100﹣×5）﹣10××5
＝﹣a2+165a﹣2600
＝﹣（a﹣165）2+11012.5，
∴当房价定为165元时，该宾馆一天的利润最大，为11012.5元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二次函数的应用，运用二次函数知识求最值问题，常常用公式法或配方法求解．
28.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1，0)、C(﹣2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y 轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．
【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝＝3，AN＝＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC ＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．。