2014年江西卷理科数学高考试卷(原卷 答案)

绝密★启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
理科数学
本试卷共22题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题）
一、单选题
1．z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，2)(=−i z z （i 为虚数单位），则=z （ ） A ．i +1 B ．i −−1 C ．i +−1 D ．i −1 2．函数的定义域为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知函数，，若，则
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．-1
4．在
中，内角A,B,C 所对应的边分别为
，若
则
的面积（ ）
A ．3
B ．
C ．
D ．
5．一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
A ．
B ．
C．D．
6．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）
表1
表2
表3
表4
．成绩．视力．智商．阅读量
7．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
8．若()()1
2
2f x x f x dx =+⎰
,则()1
f x dx =⎰
（ ）
A ．1−
B ．13
−
C ．
13
D ．1
9．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +−=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）
A ．45
π
B ．
34
π C ．(6π−
D ．
54
π 10．如右图，在长方体1111ABCD A B C D −中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，
，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i −次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，
1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．对任意,x y R ∈,111x x y y −++−++的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =−≤≤的极坐标为（ ） A ．1,0cos sin 2
π
ρθθθ=
≤≤+
B ．1,0cos sin 4
π
ρθθθ=
≤≤+
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 14．若曲线x y e −=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________. 15．已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1
cos 3
α=，向量1232a e e =−与123b e e =−的夹角为β，则cos β= .
16．过点(1,1)M 作斜率为12−的直线与椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，
则椭圆C 的离心率为 ．
三、解答题
17．已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22
a R ππ
θ∈∈−
（1）当4
a π
θ=
=
时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；
（2）若()0,()12
f f π
π==，求,a θ的值.
18．（本小题满分12分） 已知首项都是1的两个数列（
），满足.
（1）令
，求数列
的通项公式； （2）若13n n b −=，求数列的前n 项和
19． 已知函数.
（1）当时，求
的极值；
（2）若
在区间1(0,)3
上单调递增，求b 的取值范围.
20．(本小题满分12分) 如图，四棱锥中，
为矩形，平面
平面
.
求证：
若
问
为何值时，四棱锥
的体积最大？并求此时平面
与平面
21．如图，已知双曲线()2
22:10x C y a a
−=>的右焦点为F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，
AB OB ⊥,//BF OA (O 为坐标原点）. （1）求双曲线C 的方程；
（2）过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线002:
1x x
l y y a −=与直线AF 相交于点M ，与直线32
x =相交于点N ，证明：点P 在C 上移动时，
MF
NF
恒为定值，并求此定值.
22．随机将(
)
1,2,,2,2n n N n *
⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2121,a a b b ξη=−=− （1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；
（3）对（2）中的事件C,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由．
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
理科数学(参考答案)
1．D
【解析】试题分析：设,(,)z a bi a b R =+∈，则,z a bi =−由2=+z z 得：1a =，由2)(=−i z z 得：1b =−，所以1,z i =−选D. 2．C
【解析】试题分析：由题意得：20,x x −>解得1,x >或0x <，所以选C. 3．A
【解析】试题分析：因为((1))15f g ==，所以(1)0,=g 即选A.
4．C
【解析】试题分析：因为
所以由余弦定理得：2
2
2
2cos
3
c a b ab π
=+−，即
26,6ab ab ab −+=−=，因此
的面积为
1sin 3,222
ab C =⨯=选C. 5．B
【详解】
解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C 、D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A 不正确，故选B ． 6．D
【详解】根据公式()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d −=++++分别计算得：A.22
52(6221014):0.00916363220A K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;
2
2
52(4201216): 1.76916363220
B K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;
2
2
52(824812): 1.316363220
C K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;
2
2
52(143062):23.4816363220
D K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯
选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 7．B 【解析】
试题分析：i =1,s =0运行第一次，s =lg 1
3，s <−1不成立； i =3， 运行第二次，s =lg 1
3+lg 3
5=lg 15，s <−1不成立； i =5，运行第三次，s =lg 1
+lg 5
=lg 1
，s <−1不成立；
i =7，运行第四次，s =lg 17+lg 79
=lg 1
9
，s <−1不成立；
i =9，运行第五次，s =lg 1
9+lg 911=lg 1
11，s <−1成立； 输出i 的值9，结束 故选B. 8．B 【解析】
试题分析：设()1
2
()2f x dx c f x x c =⇒=+⇒
⎰
()1
311
000
111|2|2333f x dx x cx c c c =+=+=⇒=−⎰，故选B ． 9．A
【详解】
试题分析：设直线:240l x y +−=因为1
||||2
C l OC AB d −=
=，1c d −表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C
的半径最小值为
11225O l d −==
，圆C
面积的最小值为2
455
π
π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
．故本题的正确选项为A. 10．C 【解析】 试题分析：
因为
37
411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153
E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时
24E M =,第四次反射点为3E 在线段1A F 上,由图可知，选C.
11．C 【详解】
因为111x x y y −++−++(1)(1)(1)123x x y y ≥−−+−−+=+=，当且仅当01,11x y ≤≤−≤≤时取等号，所以111x x y y −++−++的最小值为3，故选C. 12．A
试题分析：根据cos ,sin ,0,[0,2]x y ρθρθρθπ==>∈，()101y x x =−≤≤得：
[0,1],sin 1cos ,(0cos 1,0sin 1,)y ρθρθρθρθ∈=−≤≤≤≤解得1,0cos sin 2
π
ρθθθ=
≤≤+，选A.
13．
1
2
【解析】试题分析：从10件产品中任取4件，共有4
10C 种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有13
3
7C C ，因此所求概率为
13374
101
.2
C C C = 14．(ln 2,2)−
【解析】试题分析：设切点P (,)a b ，则由x y e −'=−得：2,2,ln 2,2a a a k e e a b e −−−=−=−==−==，所以点
P 的坐标是(ln 2,2)−.
15
．
3
【解析】试题分析：因为2
2111
942329,912318,929118,333
a b a b =+−⨯⨯⨯==+−⨯⨯⨯=⋅=+−⨯⨯⨯=所以
cos 3β=
=
16
．
2
【解析】
试题分析：设A ()11,x y ，B ()22,x y ，则22
11221x y a b +=①，2222221x y a b
+=②，
∵M 是线段AB 的中点，∴
12121,122
x x y y ++==，∵直线AB 的方程是()1
112y x =−−+，
∴()121212y y x x −=−−，∵过点M （1，1）作斜率为12−的直线与椭圆C ：22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）相交于A ，
B 两点，M 是线段AB 的中点，∴①②两式相减可得2222
121222
0x x y y a b
−−+=
，即2221202a c b a b ⎛⎫+−⋅=∴=∴= ⎪
⎝
⎭2
c e a ∴==． 17．（1
）最大值为
,2
最小值为-1. （2）1
{.6
a πθ=−=−
试题解析：解（1
）当4
a π
θ==
时，
()sin())sin cos sin()42224
f x x x x x x x πππ
=++=+=−
因为[0,]x π∈，从而
3[,]4
44
x π
ππ
−∈−
故()f x 在[0,]π
上的最大值为
2
最小值为-1. （2）由()0{2()1f f π
π==得2cos (12sin )0{2sin sin 1a a a θθθθ−=−−=，又(,)22ππ
θ∈−知cos 0,θ≠解得1{.6
a πθ=−=−
18．（1）2 1.n c n =−（2）
(1)3 1.n
n S n =−⋅+ 【解析】试题解析：（1）因为
，
所以1112,2n n
n n n n
a a c c
b b +++−=−=
所以数列{}n c 是以首项11c =，公差2d =的等差数列，故2 1.n c n =−
（2）由13n n b −=知1
(21)3n n n n a c b n −==−于是数列
前n 项和01
11333(21)3n n S n −=⋅+⋅++−⋅
1231333(21)3n n S n =⋅+⋅+
+−⋅
相减得12
1212(333)(21)32(22)3n n n n S n n −−=+⋅++−−⋅=−−⋅所以(1)3 1.n n S n =−⋅+
19．（1）()f x 在2x =−取极小值0，在0.x =取极大值4.（2）1
(,].9
−∞ 【解析】 试题解析：（1）当
时，()f x '=
由()0f x '=得2x =−或0.x =
当(,2)x ∈−∞−时，()0,()f x f x <'单调递减，当(2,0)x ∈−时，()0,()f x f x >'单调递增，当1(0,)2
x ∈时，
()0,()f x f x <'单调递减，故()f x 在2x =−取极小值0，在0.x =取极大值4.
（2
）()f x '=
因为当1
(0,)3x ∈时
0<
依题意当1
(0,)3
x ∈时，有，从而
5
3203
b +−≤ 所以b 的取值范围为1(,].9
−∞
【解析】 试题解析：（1）证明：ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD ⋂平面ABCD=AD
所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，故AB ⊥PD
（2）解：过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG. 故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG,BC ⊥PG 在直角三角形BPC 中，
PG GC BG =
== 设,AB m =
，则DP =
=
，故四棱锥P-ABCD 的体积为
13V m ==
因为=
故当3m =
时，即3
AB =时，四棱锥的体积P-ABCD 最大.
建立如图所示的空间直角坐标系， (
)0,0,0,,,0,,,0,0,,0,0,333333O B C D P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
−
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 故
设平面BPC 的法向量()1,,1,n x y =，则由1n PC ⊥,1n BC ⊥
得0
{ 333
x y +−== 解得1,0,x y == ()11,0,1,n =
同理可求出平面DPC 的法向量210,,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为
12
cos .5
n n n n θ⋅=
==
⋅
11 / 12
21．（1）22
1.3
x y −=（2
）
MF NF =【详解】
（1）设(c,0)F ，因为1b =
，所以c =
由题意可得，直线OB 方程为1y x a =−，直线BF 的方程为1()y x c a =−，联立解得(,)22c c
B a −，而直线OA 的方程为1
y x a =
，则(,),c A c a
∴3.AB k a
= 又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a ⨯−=−，解得2
3a =，故双曲线C 的方程为22 1.3
x y −=
（2）由（1
）知a =l 的方程为0001(0)3
x x
y y y −=≠，即0033x x y y −=
因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点00
23
(2,
)3x M y −， 直线l 与直线32x =的交点为00
3332(,)23x N y
−，则220
222004(23)9[(2)]MF x y x NF −=+−． 因为()00,P x y 是C 上一点，则2
200 1.3x y −=，代入上式得
22
2
002
22220
0004(23)4(23)49[(2)]
39[1(2)]3
MF x x x y x NF
x −−===
+−−+−
，故所求定值为3MF NF =．
7.2E ξ=（2）当2n =时，42()63P C ==，当3n ≥时2
21
22(2)()n k
k k n
n
C P C C −=+=∑ （3）当2n =时，()(),P C P C >当3n ≥时，()(),P C P C <
【解析】
试题解析：（1）当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B 两组，不同的分组方法共有
3620C =种，所以ξ的分布列为
12 / 12
13317
2345.5101052
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
（2）ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n −+− 又ξ和η恰好相等且等于1n −时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于(1,2,
,2),(3)n k k n n +=−≥时，不同的分组方法有22
k
k C 种；
所以当2n =时，42()63
P C =
= 当3n ≥时
221
22(2)
()n k
k k n n
C P C C
−=+=
∑
（3）由（2）当2n =时，1
(),3
P C =
因此()(),P C P C > 而当3n ≥时，()(),P C P C <理由如下：
()(),P C P C <等价于2
2214(2)n k n
k n k C C −=+<∑①
用数学归纳法来证明：
1当3n =时，①式左边1
24(2)16,C =+=①式右边3620,C ==所以①式成立
2假设(3)n m m =≥时①式成立，即2
221
4(2)m k m
k m k C C −=+<∑成立
那么，当1n m =+时，①式左边12
2
11
22222221
1
4(2)4(2)44m m k k m m m k
k m m m k k C
C C C C +−−++++===+
=++<+∑∑
2(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)
!!(1)!(1)!(1)!(1)!
m m m m m m m m m m m m ⨯−+−−=+=−−++ 2112222(1)(2)(22)!(4)2(1)(1)!(1)!(21)(21)
m m m m m m m m m m C C m m m m +++++−+<=⋅<+++−=①式右边
即当1n m =+时①式也成立
综合12得，对于3n ≥的所有正整数，都有()()P C P C <成立。