山东省2021年夏季2019-2020级普通高中学业水平合格考试数学试题

) 的图像上所有的点向左平移
个单位长度得到
2
6
函数 () = 2 的图像. 求：
(1) 的值;
(2) () 的单调递减区间.
27. ( 8 分) 如图，在四棱柱 − 1 1 1 1 中，底面
为矩形，侧面 1 1 为菱形，平面 1 1 ⟂ 平面，
16.C
5.A
17.D
6.B
7.C
18.C
19.A
31
32
25.
8.A
9.B
10.D
11.B
12.A
13.A
20.C
二、填空题：
21.1
22.5
23.3
24. −
1
2
三、解答题：


26. 解：(1) 由题意得 = [2( ) + ] = (2 + + ) = 2，
(2 − 1)(1 + 1)
(2 + 1)(1 − 1)
+ (2 − 1 ) − 1 + 2(2 − 1 )
= 3 1 2
1 2 + (1 − 2 ) − 1
2(2 − 1 )
]
= 3 [1 +
(2 + 1)(1 − 1)
= 3
因为 2 > 1 > 1,
所以 1 ∥ 平面1 .
(2) 解：取 中点为 ，连结 1 .
在四棱柱 − 1 1 1 1 中，1 = 1 = 4,
因为四边形 1 1 为菱形，所以 1 = = 4
又因为 ∠1 = 60∘ ,
所以 △1 为等边三角形，
为
.
25. ( 3 分) 如 图， 是 一 半 圆 的 直 径， 为 半 圆 上 的 两
的 值
为
.
4
三、解答题：
本题共 3 小题，共 25 分
26. ( 8 分) 将函数 = (2 + )(|| <
3
40
尺，体积为 3240 立方
3
尺. 问其周长是多少？”已知建粮仓所用材料的体积不计，圆周率约为 3，则估算粮仓的底面
斛. 问周几何？”单位经换算后，其大意是：“一圆柱形粮仓，高为
周长 (单位：尺) 为
A. 30
B. 42
C. 54
D. 66
17. ( 3 分) 在空间中，若直线 平行于平面 ，则下列结论成立的是
40% 分位数为 2.5，则该组数据的众数为
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
20. ( 3 分) 已 知 函 数 = () 是 定 义 在 上 的 偶 函 数， 且 对 任 意 的 ∈ ， 都 有
() = (6 − )，当 ∈ [0, 3] 时，() = |2 ( + 1) − 1|，则函数 () = () + || − 1
垂平面内，则该飞机飞行的高度为
√
A. 400
B. 400 3
12. ( 3 分) 若向量 , 满足 || = 1, = (−2.2), 与 的夹角为
A. −2
√
B. − 2
√
D. 800 3
C. 800
C.
√
3
，则 ⋅ =
4
2
D. 2
13. ( 3 分) 同时保持两个质地均匀的六面体骰子, 分别观察它们落地时朝上的面的点数，则
为
.
⎧
{ + 2,
23. ( 3 分) 已知函数 () =
⎨
{ (1 − ),
⎩ 2
⩾0
，则 ((−1)) 的值为
.
<0
24. ( 3 分) 在 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , . 若 ∶ ∶ = 4 ∶ 5 ∶ 6，则 2 的值
(2) 判断函数 () 在其定义域上的单调性，并用定义证明；
(3) 若 ∈ ，解关于 的不等式 (2 + + + 1) > −1.
5
山东省 2021 年夏季 2019-2020 级普通高中学业水平合格考试
数学试题参考答案
一、选择题：
1.D
14.C
2.B
3.D
15.D
4.C
“两颗骰子的点数相同”的概率为
1
1
B.
A.
6
9
C.
1
18
D.
1
16
14. ( 3 分) 已知某地区中小学共有学生 20000 人，各学段学生所
占比例如图甲所示，近视情况如图乙所示，则该地区初中生近视
的人数为
A. 3150
B. 3600
C. 5250
D. 6000
15. ( 3 分) 在一次随机试验中，事件 , 发生的概率分别为 (), ()，则下列表述中一
(3) 由 (1) 知，2 + + + 1 > 1.
1
因为 (2) = 3 = −1,
3
要使 (2 + + + 1) > −1,
只需 (2 + + + 1) > (2)，
由 (2) 知，() 在 (1, +∞) 上单调递增，
所以 2 + + + 1 > 2,
A. 2 − 2
C. −2
B. 2 + 2
D. 2
2. ( 3 分) 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，向量 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= (0, 2), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= (4, 2) 则线段
中点的坐标为
A. (2,0)
B. (2,2)
C. (4,0)
D. (4,4)
得 2 + + − 1 > 0,
即 ( + − 1)( + 1) > 0.
当 < 2 时，解得 < −1 或 > 1 − ;
当 = 2 时，解得 , −1;
当 > 2 时，解得 < 1 − 或 > −1.
所以四棱柱 − 1 1 1 1 的底面面积为 = ⋅ = 3 × 4 = 12,
√
故四棱柱 − 1 1 1 1 的体积为 = ℎ = 24 3.
6
⎧
{ − 1 > 0,
28. 解：(1) 要使原函数又意义，只需 () = ⎨
{ + 1 > 0,
定正确的是
A. ( ∩ ) = () ()
B. ( ∪ ) = () + ()
C. 若 与 是互斥的，则 () + () < 1
D. 若 与 互为对立事件，则 () + () = 1
16. ( 3 分) ≪ 九章算术 ≫ 记载了如下问题：“今有圆囷，高一丈三尺三寸少半寸，容米二千
3. ( 3 分) 命题“所有偶数都是 2 的倍数”的否定是
A. 所有奇数都是 2 的倍数
B. 存在一个偶数是 2 的倍数
C. 所有偶数都不是 2 的倍数
D. 存在一个偶数不是 2 的倍数
4. ( 3 分) 不等式 3 > 9 的解集为
A. (−∞, 1)
B. (−∞, 3)
C. [(2, +∞)
C. < 0, < 0
D. > 0, < 0
7. ( 3 分) 已知 , , 三种不同幸好的产品数量之比依次为
4 ∶ 3 ∶ 7，现用分层抽样的方法抽取容量为 的样本，若样本中 型号产品有 20 件，则
为
A. 50
B. 60
C. 70
D. 80
2
8. ( 3 分) 已知奇函数 () 在区间 [0, +∞) 上单调递减，则下列函数值中最大的是
1 = 4, = 3, ∠1 = 60°.
(1) 求证：1 ∥ 平面1 ；
(2) 求四棱柱 − 1 1 1 1 的体积．
28. ( 9 分) 已知函数 () = 3 ( − 1) − 3 ( + 1).
(1) 求 () 的值域；
A. 内不存在与 共面的直线
B. 内不存在与 异面的直线
C. 内不存在与 垂直的直线
D. 内不存在与 相交的直线
18. ( 3 分) 函数 () = 2 ( + ) 的最大值是
√
√
A. 1
B. 2
C. 2 + 1
√
D. 2 2
19. ( 3 分) 一组数据：1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, , , 其中 , 为正整数，且 , . 若该组数据的
B. ∶ > −1, ∶ 2 > 1
A. ∶ ⩽ 1, ∶ < 1
C. ∶ > 0, ∶
√
2 =
D. ∶ ⩽ 0, ∶ || = −
11. ( 3 分) 某飞机在空中沿水平方向飞行，飞至 处，飞行员观察地面目标 C 测的俯角为
30∘ ，继续飞行 800(单位：米) 至 B 处观察目标 C 的测的俯角为 60∘ ，已知 , , 在同一铅
√
所以 1 ⊥, 1 = 2 3.
又因为平面
1 1 ⊥平面, 平面1 1 ∩ 平面 = , 1 ⊂ 平面1 1 ,
所以 1 ⊥平面,
所以四棱柱 − 1 1 1 1 的高 ℎ = 1 = 2
√
3.
因为底面 为矩形， = 3,
2
27.(1) 证明：在四棱柱 − 1 1 1 1 中，
∥ 1 1 , = 1 1 , ∥ , = , 所以 1 1 ∥ , 1 1 = CD,
所以四边形 1 1 为平行四边形，
所以 1 ∥ 1
又 1 ⊄ 平面1 , 1 ⊂ 平面1 ,
⎩
解得 > 1,
所以 () 的定义域为 (1, +∞)
(2) () 在 (1, +∞) 上单调递增.
证明如下：任取 1 , 2 ∈ (1, +∞), 且 1 < 2 ,
则
(2 ) − (1 ) = [3 (2 − 1) − 3 (2 + 1)] − [3 (1 − 1) − 3 (1 + 1)]
6
3


所以 + = + 2, ∈ ，
3
2

解得 = + 2, ∈ .
6

因为 || < ，
2
所以 = .
6
(2) 令 2 ⩽ 2 ⩽ + 2, ∈ ，

解得 ⩽ ⩽ + , ∈
2

所以 () 的单调递减区间为 [, + ], ∈ .
A. (−4)
B. (−2)
C. (1)
D. (3)
9. ( 3 分) 已知 + < 0, > 0，则下列大小关系正确的是
A. − > − > >
B. − > > − >
C. − > > − >
D. − > − > >
10. ( 3 分) 下列选项中， 是 的充要条件的是

1
5. ( 3 分) 已知 = , ∈ ( , )，则 =
3
√2
√
2 2
2
2 2
B.
C. −
A. −
3
3
3
D. (3, +∞)
D.
2
3
6. ( 3 分) 已知函数 = + (, ∈ ) 的大致图像如图所示，则
A. < 0, < 0
B. > 0, > 0
2(2 − 1 )
所以
> 0,
(2 + 1)(1 − 1)
2(2 − 1 )
>1
即 1+
(2 + 1)(1 − 1)
2(2 − 1 )
所以 3 [1 +
]>0
(2 + 1)(1 − 1)
故 (2 ) − (1 ) > 0,
即 (2 ) > (1 ),
所以 () 在 (0, +∞) 上单调递增.
1
山东省 2021 年夏季 2019-2020 级普通高中学业水平合格考试
数学试题
本试卷满分 100 分, 考试用时 90 分钟.
2021 年 12 月 7 日
一、选择题：
本题共 20 小题，每小题 3 分，共 60 分. 每小题只有一个选项符合题目要求.
1. ( 3 分) 复数 (1 + )2 =
的零点个数是
A. 6
B. 8
二、填空题：
C. 10
D. 12
本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.
21. ( 3 分) 已知正实数 , 满足 + = 2，则 的最大值是
.
22. ( 3 分) 已知集合 = {1, 2}, = {|2 − + = 0}. 若 = ，则 + 的值