屏山县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

屏山县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，）
C ．（﹣∞，0]
D ．（﹣∞，0）
2． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
3． 设集合3|01x A x x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）
A ．1a ≥
B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤<
4． 抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ） A ．（0，
）
B ．（
，0）
C ．（0，4）
D ．（0，2）
5． 若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．f （x ）为奇函数
B ．f （x ）为偶函数
C ．f （x ）+1为奇函数
D ．f （x ）+1为偶函数
6． 阅读下面的程序框图，则输出的S=（ ）
A ．14
B ．20
C ．30
D ．55
7． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若
1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.
8． 已知a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“a=0”是“点M 在第四象限”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣或﹣
10．已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ）
A ．2
B ．6
C ．4
D ．2
11．直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）
A ．2x+y ﹣2=0
B ．2x ﹣y ﹣6=0
C ．x ﹣2y ﹣6=0
D ．x ﹣2y+5=0
12．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α
B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β
D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β
二、填空题
13．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹
为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；
③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；
④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;
⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）
14．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间
()1k k +，
内，则正整数k 的值为________． 15．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．
16．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．
17．若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数(32)f x -的定义域是 ．
18．直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ，B 两点，且与x 轴负半轴相交，若O 为坐标原点，则
OAB ∆面积的最大值为 .
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.
三、解答题
19．已知斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|=4．
（I ）求p 的值；
（II ）若经过点D （﹣2，﹣1），斜率为k 的直线m 与抛物线有两个不同的公共点，求k 的取值范围．
20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =a n ﹣，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y+2=0上．
（1）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ； （2）设c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．
21．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，边7
2
c =
，且
tan tan tan 3A B A B +=-ABC ∆的面积为ABC S ∆=
a b +的值．
22．在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：．
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．
23．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=
成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0．
（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．
24X
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ．（I）求该运动员两次都命中7环的概率；
（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．
屏山县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，
∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解，
令h（x）=，则h′（x）=，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴h（x）max=h（e）=，
∴＜h（e）=，
∴m＜．
∴m的取值范围是（﹣∞，）．
故选：B．
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
2．【答案】D
【解析】解：模拟执行算法框图，可得
A=1，B=1
满足条件A≤5，B=3，A=2
满足条件A≤5，B=7，A=3
满足条件A≤5，B=15，A=4
满足条件A≤5，B=31，A=5
满足条件A≤5，B=63，A=6
不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．
故选：D．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．
3．【答案】A
【解析】
考点：集合的包含关系的判断与应用.
【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 4．【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，
∴焦点坐标为（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．
5．【答案】C
【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1
∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，
∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，
∴f（x）+1为奇函数．
故选C
【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
6．【答案】C
【解析】解：∵S1=0，i1=1；
S2=1，i2=2；
S 3=5，i 3=3； S 4=14，i 4=4； S 5=30，i=5＞4 退出循环， 故答案为C ．
【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．
7． 【答案】C.
【解析】易得//BP 平面11CC D D ，所有满足1PBD PBX ∠=∠的所有点X 在以BP 为轴线，以1BD 所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q 的轨迹为该圆锥面与平面11CC D D 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q 的轨迹是双曲线，故选C.
8． 【答案】A
【解析】解：若a=0，则z=﹣2i （1+i ）=2﹣2i ，点M 在第四象限，是充分条件，
若点M 在第四象限，则z=（a+2）+（a ﹣2）i ，推出﹣2＜a ＜2，推不出a=0，不是必要条件； 故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．
9． 【答案】B
【解析】解：当a ＞1时，f （x ）单调递增，有f （﹣1）=+b=﹣1，f （0）=1+b=0，无解；
当0＜a ＜1时，f （x ）单调递减，有f （﹣1）==0，f （0）=1+b=﹣1，
解得a=，b=﹣2；
所以a+b==﹣；
故选：B
10．【答案】B
【解析】解：∵圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2
=4，
表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1）， 故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A （﹣4，﹣1）．
∵AC=
=2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|=
=
=6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，
∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2，
故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），
化为一般式可得2x﹣y﹣6=0
故选：B
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
12．【答案】D
【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；
在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；
在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；
在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
二、填空题
13．【答案】①④⑤
解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），
∴•=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；
②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；
③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确；
④若P、M、N三点不共线，||+||≥2=2，所以△PMN周长的最小值为2+4，正确；
⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为
2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确．
故答案为：①④⑤．
14．【答案】2
【解析】
15．【答案】．
【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球
故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，
方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，
设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2
再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，
根据条件概率公式，得：P2==，
故答案为：
【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．
16．【答案】．
【解析】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角
设边长为1，则B
E=B1F=，EF=
1
∴cos∠EB1F=，
故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
17．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：依题意得11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦
.
考点：抽象函数定义域．
18．【
解
析
】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I ）由题意可知，抛物线y 2
=2px （p ＞0）的焦点坐标为
，准线方程为
．
所以，直线l 的方程为…
由
消y 并整理，得
…
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 则x 1+x 2=3p ，
又|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+p=4，
所以，3p+p=4，所以p=1…
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．
由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．…
由方程组（1）
可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）…
当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
把y=﹣1代入y2=2x，得．
这时．直线m与抛物线只有一个公共点．…
当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．
由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0．
解得．
于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…
因此，所求m的取值范围是．…
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵S n=a n﹣，
∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣﹣，
即a n=3a n﹣1，．
∵a1=S1=﹣，∴a1=3．
∴数列{a n}是等比数列，∴a n=3n．
∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，
∴b n+1﹣b n=2，
即数列{b n}是等差数列，又b1=1，∴b n=2n﹣1．
（2）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n，
∵T n=1×3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，
∴3T n=1×32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1，
两式相减得：﹣2T n =3+2×（32+33+34+…+3n ）﹣（2n ﹣1）3n+1
，
=﹣6﹣2（n ﹣1）3n+1， ∴T n =3+（n ﹣1）3n+1
．
21．【答案】112
． 【解析】
试
题解析：由tan tan tan 3A B A B +=-
可得
tan tan 1tan tan A B
A B
+=-tan()A B +=
∴tan()C π-=tan C -=tan C =∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
又ABC ∆的面积为2ABC S ∆=1sin 22ab C =，即1222
ab ⨯=，∴6ab =. 又由余弦定理可得222
2cos c a b ab C =+-，∴2227()2cos 23
a b ab π=+-，
∴22227()()32a b ab a b ab =+-=+-，∴2121()4a b +=，∵0a b +>，∴112
a b +=.1 考点：解三角形问题．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题． 22．【答案】
【解析】解：（1）圆O ：ρ=cos θ+sin θ，即ρ2
=ρcos θ+ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2=x+y ，即x 2+y 2
﹣x ﹣y=0．
直线l ：
，即ρsin θ﹣ρcos θ=1，则直线的直角坐标方程
为：y ﹣x=1，即x ﹣y+1=0．
（2）由，可得 ，直线l 与圆O 公共点的直角坐标为
（0，1），
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为
．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．
23．【答案】
【解析】（1）证明：函数f （x ）的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}，关于原点对称．
又f （x ﹣y ）=
，
所以f （﹣x ）=f[（1﹣x ）﹣1]= = =
= = =，
故函数f （x ）奇函数．
（2）令x=1，y=﹣1，则f （2）=f[1﹣（﹣1）]= =
，
令x=1，y=﹣2，则f （3）=f[1﹣（﹣2）]= =
=
，
∵f （x ﹣2）==
，
∴f （x ﹣4）=，
则函数的周期是4．
先证明f （x ）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x ＜3时，f （x ）＜0， 设2＜x ＜3，则0＜x ﹣2＜1，
则f （x ﹣2）=，即f （x ）=﹣
＜0，
设2≤x 1≤x 2≤3，
则f （x 1）＜0，f （x 2）＜0，f （x 2﹣x 1）＞0，
则f （x 1）﹣f （x 2）=
，
∴f（x1）＞f（x2），
即函数f（x）在[2，3]上为减函数，
则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．
24．【答案】
【解析】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，
则P（A）=0.2×0.2=0.04．
（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10
且P（ξ=7）=0.04，
P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，
P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，
P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36，
∴ξ的分布列为：
ξ7 8 9 10
P 0.04 0.21 0.39 0.36
ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．。