平面解析几何初步--圆的方程--要点

第5课时圆的方程

【基础过关】

1．圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程为_________________．

2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径r ＝．

3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件

是．

4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为

________________．

5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x ＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．

【典型例题】

例1.根据下列条件，求圆的方程．

(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．

(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．

解：(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0

由解得

∴圆心为C(7，－3)，半径r＝

故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65

(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

将P、Q两点坐标代入得

令y＝0得x2＋Dx＋F＝0

由弦长|x1－x2|＝6得D2－4F＝36 ③

解①②③可得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0

变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．例2.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

解方法一将x=3-2y,

代入方程x2+y2+x-6y+m=0,

得5y2-20y+12+m=0.

设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：

y1+y2=4,y1y2=

∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.

而x1=3-2y1,x2=3-2y2.

∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.

∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为,半径r=.

方法二如图所示，设弦PQ中点为M，

∵O1M⊥PQ，∴.

∴O1M的方程为:y-3=2,

即：y=2x+4.

由方程组

解得M的坐标为（-1，2）.

则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.

∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.

∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.

在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.

∴(3-2)2+5=

∴m=3.∴半径为,圆心为.

变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R). （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

（1）证明直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,

即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.

两方程联立，解得交点为（3，1），

又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,

∴点（3，1）在圆内部，

∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.

（2）解从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得

|AB|=2=

此时，k t=-,从而k t=-=2.

∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.

例3. 知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.

（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；

（2）求x-2y的最大值和最小值；

解（1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为

d=.

∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为

d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.

（2）设t=x-2y,

则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.

∴≤1.∴--2≤t≤-2，

∴t max=-2，t min=-2-.

变式训练3：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.

（1）求y-x的最大值和最小值；

（2）求x2+y2的最大值和最小值.

解（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2±.

所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.

（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆

的两个交点处取得最大值和最小值.

又圆心到原点的距离为=2，

所以x 2+y 2的最大值是（2+）2=7+4，

x 2+y 2的最小值是（2-）2=7-4.

例4. 设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的方程。

解法一设圆的圆心为P （a,b),半径为r ，则点P 到x 轴y 轴的距离分别为∣b ∣、∣a ∣。 由题设条件知圆P 截x 轴所得的劣弧所对的圆心角为90°，圆P 截x 轴所得的弦长为 2 r ，故r 2=2b 2．

又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有r 2=a 2＋1,从而得2b 2=a 2＋1．

点P 到直线x －2y=0的距离为d=,

∴5d 2=(a －2b)2=a 2＋4b 2－4ab= 2a 2＋2b 2－4ab ＋1=2(a －b)2＋1≥1

当且仅当a=b 时取等号，此时，5d 2=1, d 取得最小值．

由a=b 及2b 2=a 2＋1得，进而得r 2=2

所求圆的方程为（x －1)2＋(y －1)2=2或（x ＋1)2＋(y ＋1)2=2

变式训练4：如图，图O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1和圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 为切点)，使得PM ＝PN ，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．

解：以O 1、O 2的中点为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，

建立平面直角坐标系，则

O 1(－2, 0)、O 2(2, 0)．如图：

由PM ＝PN 得PM 2＝2PN 2

∴ PO 12－1＝2(PO 22－1)，设P(x ，y)

∴ (x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]

即(x －6)2＋y 2＝33为所求点P 的轨迹方程．

【小结归纳】

1．本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程．

2．求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；

若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；

若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程．

3．求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算．

4．运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便．

5．点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.