练习册第2章《质点力学的运动定律守恒定律》答案（1）

练习册第2章《质点⼒学的运动定律守恒定律》答案（1）第2章质点⼒学的运动定律守恒定律
⼀、选择题
1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(D)，12(A)，13(D)
⼆、填空题
(1). ω2=12rad/s ，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 N ·s
(5). j t i t 23
23+ (SI) (6). 16 N ·s ， 176 J (7). 16 N ·s ，176 J (8). M k l /0，M
k
nm M Ml +0
(9). j i
5- (10).
2m v ，指向正西南或南偏西45°
三、计算题
1. 已知⼀质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引⼒的作⽤，引⼒⼤⼩与质点离原点的距离x 的平⽅成反⽐，即2
/x k f -=，k 是⽐例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求质点在x =A /4处的速度的⼤⼩．
解：根据⽜顿第⼆定律
x m t x x m t m x
k f d d d d d d d d 2
v
v v v =?==-
= ∴ ??-=-=4
/202d d ,d d A A
x mx k
mx x k v v v v v
k mA
A A m k 3
)14(212=-=v ∴ )/(6mA k =v
2. 质量为m 的⼦弹以速度v 0⽔平射⼊沙⼟中，设⼦弹所受阻⼒与速度反向，⼤⼩与速度成正⽐，⽐例系数为Ｋ，忽略⼦弹的重⼒，求：
(1) ⼦弹射⼊沙⼟后，速度随时间变化的函数式； (2) ⼦弹进⼊沙⼟的最⼤深度．
解：(1) ⼦弹进⼊沙⼟后受⼒为－Ｋv ，由⽜顿定律
t
m
K d d v
v =- ∴ ??=-=-
v v v v v
v 0
d d ,d d 0t t m K t m K
∴ m
Kt /0e -=v v
(2) 求最⼤深度解法⼀： t x
d d =
v
t x m
Kt d e
d /0-=v
t x m Kt t
x
d e d /0
00
-?
=v
∴ )e 1()/(/0m
Kt K m x --=v
K m x /0m ax v =
解法⼆： x m t x x m t m K d d )d d )(d d (d d v
v
v v v ===- ∴ v d K m
dx -=
v v d d 0
00
m a x ??-=K m
x x
∴ K m x /0m ax v =
3. ⼀物体按规律x ＝ct 3
在流体媒质中作直线运动，式中c 为常量，t 为时间．设媒质对物体的阻⼒正⽐于速度的平⽅，阻⼒系数为k ，试求物体由x ＝0运动到x ＝l 时，阻⼒所作的功．
解：由x ＝ct 3可求物体的速度： 23d d ct t
x
==
v 物体受到的阻⼒⼤⼩为： 34
32
4
22
99x kc t kc k f ===v ⼒对物体所作的功为：
=W W d =-l
x x kc 03
4
32
d 9 =
7
273
7
32l kc -
4. ⼀质量为2 kg 的质点，在xy 平⾯上运动，受到外⼒j t i F 2
244-= (SI)的作⽤，t = 0
时，它的初速度为j i
430+=v (SI)，求t = 1 s 时质点的速度及受到的法向⼒n F .解： j t i m F a 2
122/-==
t a d /d v = ∴ t j t i d )122(d 2
-=v
=?v
v v
d ?-t t j t i 0
2
d )122(
∴ j t i t 3
042-=-v v
j t i t j t i t )44()23(423
30-++=-+=v v
当t = 1 s 时， i
51=v 沿x 轴
故这时， j a a y n
12-==
j a m F n n
24-== (SI)
5.⼀辆⽔平运动的装煤车，以速率v 0从煤⽃下⾯通过，每单位时间内有质量为m 0的煤卸⼊煤车．如果煤车的速率保持不变，煤车与钢轨间摩擦忽略不计，试求：
(1) 牵引煤车的⼒的⼤⼩；
(2) 牵引煤车所需功率的⼤⼩；
(3) 牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？其余部分⽤于何处？
解：(1) 以煤车和?t 时间内卸⼊车内的煤为研究对象，⽔平⽅向煤车受牵引⼒F 的作⽤，由动量定理： 000)(v v M t m M t F -+=?? 求出： 00v m F = (2) 2
000v v m F P ==
(3) 单位时间内煤获得的动能： 2
02
1v m E K =
单位时间内牵引煤车提供的能量为 P E =
==2
1
/E E K 50％
即有50％的能量转变为煤的动能，其余部分⽤于在拖动煤时不可避免的滑动摩擦损耗．
6.⼀链条总长为l ，质量为m ，放在桌⾯上，并使其部分下垂，下垂⼀段的长度为a ．设链条与桌⾯之间的滑动摩擦系数为µ．令链条由静⽌开始运动，则
(1)到链条刚离开桌⾯的过程中，摩擦⼒对链条作了多少功？(2)链条刚离开桌⾯时的速率是多少？
解：(1)建⽴如图坐标.
某⼀时刻桌⾯上全链条长为y ,则摩擦⼒⼤⼩为 g l
y
m f µ=
摩擦⼒的功 ??
--==0
d d a
l a
l f y gy l
m
y f W µ
=
2
2a
l y l
mg
-µ =2)(2a l l
mg
--
µ
(2)以链条为对象，应⽤质点的动能定理 ∑W ＝2
22
121v v m m - 其中 ∑W = W P ＋W f ，v 0 = 0 W P =?l
a x P d =l
a l mg x x l mg l
a 2)
(d 22-=? 由上问知 l
a l mg W f 2)(2
--=µ
a
l -a
-a
1
)(22)(v m a l l mg l a l mg =---µ
得 []
21222)()(a l a l l
g ---=
µv
7. 如图所⽰，在中间有⼀⼩孔O 的⽔平光滑桌⾯上放置⼀个⽤绳⼦连结的、质量m = 4 kg 的⼩块物体．绳的另⼀端穿过⼩孔下垂且⽤⼿拉住．开始时物体以半径
R 0 = 0.5 m 在桌⾯上转动，其线速度是4 m/s ．现将绳缓慢地匀速下拉以缩
短物体的转动半径．⽽绳最多只能承受 600 N 的拉⼒．求绳刚被拉断时，物体的转动半径R 等于多少？
解：物体因受合外⼒矩为零，故⾓动量守恒．
设开始时和绳被拉断时物体的切向速度、转动惯量、⾓速度分别为v 0、J 0、ω0和v 、J 、ω．则
ωωJ J =00 ①因绳是缓慢地下拉，物体运动可始终视为圆周运动．①式可写成
R mR R mR //20020v v =
整理后得： v v /00R R =
②
物体作圆周运动的向⼼⼒由绳的张⼒提供 R m F /2
v = 1分再由②式可得： 3
/12
02
0)
/(F mR R v =
当F = 600 N 时，绳刚好被拉断，此时物体的转动半径为R = 0.3 m
8.设两个粒⼦之间相互作⽤⼒是排斥⼒，其⼤⼩与粒⼦间距离r 的函数关系为3
r k f =，k 为正值常量，试求这两个粒⼦相距为r 时的势能．（设相互作⽤⼒为零的地⽅势能为零．）解：两个粒⼦的相互作⽤⼒ 3
r k f =
已知f ＝0即r ＝∞处为势能零点, 则势能
∞∞
∞=?==r r P P r r k
W E d d 3r f
)2(2
r k =
1. 汽车发动机内⽓体对活塞的推⼒以及各种传动部件之间的作⽤⼒能使汽车前进吗？使汽车前进的⼒是什么⼒？
参考解答：
汽车发动机内⽓体对活塞的推⼒以及各种传动部件之间的作⽤⼒都是汽车系统的内⼒，内⼒只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。

使汽车前进的⼒只能是外⼒，这个外⼒就是地⾯给汽车的摩擦⼒。

粗略分析如下：当汽车发动机内⽓体对活塞的推⼒带动传动部件使主动轮（⼀般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地⾯的接触部分相对地⾯有向后滑动的趋势，从⽽使地⾯对汽车施以向前的摩擦⼒，使汽车整体向前加速运动。

由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）
相对地⾯有向前的运动趋势，
因此从动轮受到地⾯施以的⽅向向后的摩擦⼒，该摩擦⼒对从动轮轴的⼒矩使从动轮滚动起来。

所以汽车的运动最终靠的是地⾯施加的摩擦⼒。

2. 冲量的⽅向是否与冲⼒的⽅向相同？
参考解答：
冲量是⼒对时间的积累，由动量定理：P P P t F I t t
=-==1221
d 所以，冲量的⽅向和动量增量P ?的⽅向相同，不⼀定与冲⼒F
的⽅向相同。

3. ⼀物体可否只具有机械能⽽⽆动量？⼀物体可否只有动量⽽⽆机械能？试举例说明。

参考解答：
机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运动速度有
关，势能则属于保守⼒系统，⼀物体具有的势能，是相对势能零点⽽⾔的。

若取保守⼒系统，物体相对参考系静⽌，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。

该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能.所以，⼀物体可以有机械能⽽⽆动量。

例如：⼀质量为m 的物体（例如⼀⽓球）静⽌在相对于地⾯为h 的⾼处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重⼒势能，其值为 mgh 。

由于此时物体静⽌，故其动量为零。

在保守⼒系统中，若⼀物体运动⾄某⼀位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，⽽因物体具有动能，因⽽动量不为零。

所以，⼀物体也可以有动量⽽⽆机械能。

例如：物体⾃离地⾯⾼为h 处⾃由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重⼒势能零点.初始时刻系统的机械能 E 0=0，下落⾄地⾯时，物体具有速度的⼤⼩为v ，动能为m v 2/2，动量的⼤⼩为 m v ，系统的机械能为 E =m v 2/2 - mgh = E 0=0.
4. 在经典⼒学范围内，若某物体系对某⼀惯性系满⾜机械能守恒条件，则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否⼀定也满⾜机械能守恒条件？请举例说明．
参考解答：
不⼀定满⾜守恒条件．
例如在⽔平⾯上以速度0v
匀速直线⾏驶的车厢顶上悬挂⼀⼩球．以车厢为参考系，⼩球摆动过程中绳⼦张⼒对⼩球不作功，则⼩球＋地系统机械能守
恒．若以地⾯为参考系，⼩球相对于车厢的摆动速度为v
，则⼩球
对地速度v v v +='0，v '
与绳张⼒T 不垂直，故⼩球摆动过程中绳
张⼒对⼩球要作功，这时⼩球＋地系统不满⾜机械能守恒条件．但在上述两个参考系（惯性系）中，动能定理和功能原理仍是成⽴的．
5. 在车窗都关好的⾏驶的汽车内，漂浮着⼀个氢⽓球，当汽车向左转弯时，氢⽓球在车内将向左运动还是向右运动？参考解答：
在空⽓中释放⼀氢⽓球，它将受浮⼒的作⽤上升。

这浮⼒的根源是⼤⽓在重⼒场中的压
强上⼩下⼤，因⽽对氢⽓上下表⾯的压⼒不同，上⼩下⼤，⽽使浮⼒与重⼒的⽅向相反。

在题述汽车向左转弯时，它具有指向车厢左侧的法向加速度。

因⽽汽车是⼀⾮惯性系。

在汽车内观察，即以汽车为参考系，其中空⽓将受到指
向右侧的惯性离⼼⼒。

汽车内的空⽓就好象处在⼀⽔平
向右的“重⼒场”中⼀样。

根据F i=m 2r，这“重⼒场”
左弱右强。

和在地球表⾯空⽓中氢⽓球受浮⼒要向上运
动类似，在汽车内空⽓中的氢⽓球将受到⽔平向左（与
⽔平“重⼒”⽅向相反）的“浮⼒”的作⽤⽽向左运动。

（忽略由于氢⽓球质量很⼩⽽引起的在车内看到的很⼩的向右的运动）。