人教版九年级数学第一学期期末检测模拟试卷(5)

人教版九年级数学第一学期期末检测模拟试卷（5）
（时间：120分钟满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）
3．（3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（）A．14B．12C．12或14D．以上都不对
4．（3分）将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）A．y＝2（x﹣3）2﹣5B．y＝2（x+3）2+5
C．y＝2（x﹣3）2+5D．y＝2（x+3）2﹣5
5．（3分）下列事件是随机事件的是（）
A．在一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾
B．购买一张福利彩票就中奖
C．有一名运动员奔跑的速度是50米/秒
D．在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
6．（3分）如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）
A．50°B．40°C．30°D．25°
7．（3分）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
8．（3分）函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，则二次函数y＝ax2+bx的大致图象是（）A．B．
C．D．
9．（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝（k≠0）的图象大致是（）A．B．
C．D．
10．（3分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝1，∠C＝30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）
A．2B．4C．8D．16
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．
12．（3分）如图，P A、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝度．
13．（3分）某商品原价289元，经过连续两次降价后，售价为256元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为．
14．（3分）如图，直线y＝x+1与双曲线y＝相交于点A（m，2），则不等式x+1＞的解集是．
三、解答题（本大题共11小题，共78分）
15．（6分）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0．
16．（6分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1，并求线段AB扫过的面积．
17．（6分）在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长．
18．（6分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，求CD的长．
19．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC＝4时，求劣弧AC的长．
20．（6分）在直角坐标系中，直线y＝x+m与双曲线y＝在第一象限交于点A，在第三象限交于点D，与x轴交于点C，AB⊥x轴，垂足为B，且S△AOB＝1．
（1）求m的值；
（2）求△ABD的面积．
21．（6分）已知反比例函数y＝（m为常数）的图象在一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（﹣2，0）．
①求出函数解析式；
②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD＝OP，则P点的坐标为；若以D、O、P为顶点的三角
形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为个．
22．（8分）A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
23．（8分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度y（吨/元）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
（3）若码头原有工人10名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在（2）的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？
24．（8分）某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每涨价1元，其销售量要减少10件．
（1）为在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？
（2）要想获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？
25．（12分）如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO＝60度．
（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标．
（2）若点C的坐标为（﹣1，0），试猜想过D，C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明．（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式．
人教版九年级数学第一学期期末检测模拟试卷（5）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形；
故选：A．
2．（3分）点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．
【解答】解：点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）．
故选：C．
3．（3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（）A．14B．12C．12或14D．以上都不对
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝5或x＝7．
当x＝7时，3+4＝7，不能组成三角形；
当x＝5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5＝12，
故选：B．
4．（3分）将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）A．y＝2（x﹣3）2﹣5B．y＝2（x+3）2+5
C．y＝2（x﹣3）2+5D．y＝2（x+3）2﹣5
【分析】先确定抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（3，﹣5），然后根据顶点式写出平移得到的抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移3个单位，再向下平移5个单位所得对应点的坐标为（3，﹣5），所以平移得到的抛物线的表达式为y＝2（x﹣3）2﹣5．
故选：A．
5．（3分）下列事件是随机事件的是（）
A．在一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾
B．购买一张福利彩票就中奖
C．有一名运动员奔跑的速度是50米/秒
D．在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断．
【解答】解：A、是必然事件，选项错误；
B、是随机事件，选项错误；
C、是不可能事件，选项错误；
D、是不可能事件，选项错误．
故选：B．
6．（3分）如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）
A．50°B．40°C．30°D．25°
【分析】根据平行线的性质可证∠D＝∠AOD＝50°，又根据三角形外角与内角的关系可证∠ACO＝∠OAC＝∠AOD＝25°．
【解答】解：∵OA∥DE，
∴∠D＝∠AOD＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝∠AOD＝25°．
故选：D．
7．（3分）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据弧长公式l＝，即可求解．
【解答】解：设圆心角是n度，根据题意得
＝，
解得：n＝60．
故选：C．
8．（3分）函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，则二次函数y＝ax2+bx的大致图象是（）A．B．
C．D．
【分析】本题可先由一次函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：∵函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限
∴a＞0，b＞0，
∵a＞0时，抛物线开口向上，排除D；
∵a＞0，b＞0时，对称轴x＝﹣＜0，排除A、C．
故选：B．
9．（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝（k≠0）的图象大致是（）A．B．
C．D．
【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图
象，然后与各选择比较，从而确定答案．
【解答】解：（1）当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝1，∠C＝30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）
A．2B．4C．8D．16
【分析】连接BO并延长交圆于点E，连接AE，根据三角函数可求得BE的长；再根据圆内接正方形的性质求得其边长，从而可得到其面积．
【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E＝∠C＝30°，∠EAB＝90°；
∴直径BE＝＝2，
∵直径是圆内接正方形的对角线长，
∴圆内接正方形的边长等于
∴⊙O的内接正方形的面积为2．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．
【解答】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为．
故答案为：．
12．（3分）如图，P A、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝60度．
【分析】连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AOB＝2∠E＝120°，P A、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和可求得∠P＝180°﹣∠AOB＝60°．
【解答】解：连接OA，BO；
∵∠AOB＝2∠E＝120°，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝180°﹣∠AOB＝60°．
13．（3分）某商品原价289元，经过连续两次降价后，售价为256元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为．
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝256，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：289×（1﹣x）2＝256，
解得：x＝或x＝（舍去），
故答案为．
14．（3分）如图，直线y＝x+1与双曲线y＝相交于点A（m，2），则不等式x+1＞的解集是﹣4＜x＜0或x＞2．
【分析】写出直线y＝x+1在双曲线y＝上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：∵点A（m，2）在直线y＝x+1，
∴2＝m+1，
解得m＝2．
则A（2，2），
将其代入双曲线y＝得到：k＝2×2＝4，
∴双曲线的解析式为：y＝，
∴＜
解得或，
∴直线y＝x+1与双曲线y＝的另一交点坐标是（﹣4，﹣1），
∴不等式x+1＞的解集是﹣4＜x＜0或x＞2．
故答案是：﹣4＜x＜0或x＞2．
三、解答题（本大题共11小题，共75分）
15．（6分）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，
∴x+2＝，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+4）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
16．（6分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为（﹣2，3）；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1，并求线段AB扫过的面积．
【分析】（1）先画出直角坐标系，然后根据第二象限点的坐标特征写出A点坐标；
（2）先利用网格特点和旋转的性质画出点A和B的对应点A1、B1，即可得到△OA1B1，再利用勾股定理计算出OA和OB，然后根据扇形面积公式计算S扇形OAA1﹣S扇形BOB1的即可．
【解答】解：（1）如图1，点A的坐标为（﹣2，3）；
（2）如图2，△OA1B1为所作；
OA＝＝，OB＝＝
线段AB扫过的面积＝S扇形OAA1﹣S扇形BOB1
＝﹣
＝π．
17．（6分）在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长．
【分析】因为圆柱形油槽装入油后形成弓形，可以考虑用垂径定理解答．
【解答】解：由题意得出：OC⊥AB于点D，
由垂径定理知，点D为AB的中点，AB＝2AD，
∵直径是52cm，
∴OB＝26cm，
∴OD＝OC﹣CD＝26﹣16＝10（cm），
由勾股定理知，
BD＝＝24（cm），
∴AB＝48cm．
18．（6分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，求CD的长．
【分析】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB＝AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD＝AB，然后根据CD＝BC﹣BD计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠C＝90°﹣60°＝30°，
∵AC＝，
∴AB＝AC•tan30°＝×＝1，
∴BC＝2AB＝2，
由旋转的性质得，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣1＝1．
19．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC＝4时，求劣弧AC的长．
【分析】（1）由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABC的度数；
（2）由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠BAC＝30°，易求得∠BAE＝90°，则可得AE是⊙O的切线；
（3）首先连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC＝120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC＝∠D＝60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，∠BAC＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝2BC＝8，
∴OA＝4，
∴劣弧AC的长为＝．
20．（6分）在直角坐标系中，直线y＝x+m与双曲线y＝在第一象限交于点A，在第三象限交于点D，与x轴交于点C，AB⊥x轴，垂足为B，且S△AOB＝1．
（1）求m的值；
（2）求△ABD的面积．
【分析】（1）由三角形AOB的面积，可得出m的值为2．
（2）求出A、B的坐标，进而可根据S△ABD＝AD•（x A﹣x B）求出△ABD的面积．
【解答】解：（1）设A（x，y），
∵直线y＝x+m与双曲线y＝在第一象限交于点A，S△AOB＝1，
∴xy＝1，即xy＝m＝2，
∴m＝2，
（2）联立两函数的方程，解得或，
∴A点坐标为（﹣1，+1），D（﹣﹣1，﹣+1），
∴S△ABD＝（+1）（﹣1++1）＝3+．
21．（6分）已知反比例函数y＝（m为常数）的图象在一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（﹣2，0）．
①求出函数解析式；
②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD＝OP，则P点的坐标为（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）；
若以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为4个．
【分析】（1）根据反比例函数的性质得1﹣2m＞0，然后解不等式得到m的取值范围；
（2）①根据平行四边形的性质得AD∥OB，AD＝OB＝2，易得D点坐标为（2，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得1﹣2m＝6，则反比例函数解析式为y＝；
②根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得点D关于原点的对称点P满足OP＝OD，则此时P点坐标为（﹣2，﹣3）；再根据反比例函数y＝的图象关于直线y＝x对称，可得点D（2，3）关于直线y＝x对称点P满足OP＝OD，此时P点坐标为（3，2），易得点（3，2）关于原点的对称点P也满足OP＝OD，此时P点坐标为（﹣3，﹣2）；由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，所以以D点为顶点可画出点P1，P2；以O点顶点可画出点P3，P4，如图．
【解答】解：（1）根据题意得1﹣2m＞0，
解得m＜；
（2）①∵四边形ABOD为平行四边形，
∴AD∥OB，AD＝OB＝2，
又∵A点坐标为（0，3），
∴D点坐标为（2，3），
∴1﹣2m＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
②∵反比例函数y＝的图象关于原点中心对称，
∴当点P与点D关于原点对称，则OD＝OP，此时P点坐标为（﹣2，﹣3），
∵反比例函数y＝的图象关于直线y＝x对称，
∴点P与点D（2，3）关于直线y＝x对称时满足OP＝OD，
此时P点坐标为（3，2），
点（3，2）关于原点的对称点也满足OP＝OD，
此时P点坐标为（﹣3，﹣2），
综上所述，P点的坐标为（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）；
由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则以D点为圆心，DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1，P2，则点P1，P2满足条件；以O点为圆心，OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3，P4，则点P3，P4也满足条件，如图，作线段OD的垂直平分线，与反比例函数的图象无交点．
22．（8分）A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，找出两数之积为3的倍数的结果数，这样可计算出甲获胜的概率和乙获胜的概率，然后通过比较两概率的大小可判断这样的游戏规则对甲乙双方是否公平．
【解答】解：这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
理由如下：
画树状图为：
共用6种等可能的结果，其中两数之积为3的倍数的结果数为4，
所以甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，
因为＞，
所以这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
23．（8分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度y（吨/元）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
（3）若码头原有工人10名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在（2）的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？
【分析】（1）根据题意即可知装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，则可求得答案；
（2）由x＝5，代入函数解析式即可求得y的值，即求得平均每天至少要卸的货物；
（3）由10名工人，每天一共可卸货50吨，即可得出平均每人卸货的吨数，即可求得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝，
根据题意得：50＝，
解得k＝400，
∴y与x之间的函数表达式为y＝；
（2）∵x＝5，∴y＝400÷5＝80，
解得：y＝80；
答：平均每天至少要卸80吨货物；
（3）∵每人一天可卸货：50÷10＝5（吨），
∴80÷5＝16（人），16﹣10＝6（人）．
答：码头至少需要再增加6名工人才能按时完成任务．
24．（8分）某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每涨价1元，其销售量要减少10件．
（1）为在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？
（2）要想获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？
【分析】（1）设涨x元，利用单件利润乘以销售量得到总利润得到（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000，然后解方
程即可；
（2）设每件涨x元，利润为y元，则y＝（50﹣40+x）（500﹣10x），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）设涨x元，根据题意得（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000，
整理得x2﹣40x+300＝0，解得x1＝10，x2＝30，
当x＝10时，50+10＝60；当x＝30时，50+30＝80，
此时售价应定为每件60元或80元，利润为8000元；
（2）设每件涨x元，利润为y元，
则y＝（50﹣40+x）（500﹣10x）
＝﹣10x2+400x+5000
＝﹣10（x﹣20）2+9000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为9000，
∴要想获得的利润最大，销售价应定为70元．
25．（12分）如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO＝60度．
（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标．
（2）若点C的坐标为（﹣1，0），试猜想过D，C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明．
（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式．
【分析】（1）∠ABO＝60°则∠ADO＝60°，在直角△AOD中，根据三角函数就可以求出OD的长，则可以求出D的坐标．
（2）若点C的坐标为（﹣1，0），在直角△CDO中，根据三角函数就可以求出∠CDO的度数．进而得到∠CDA 的度数．从而判断过D，C的直线与△AOB的外接圆的位置关系．
（3）函数经过O，A两点，因而对称轴是OA的垂直平分线与圆的交点，过交点作OA的垂线，利用三角函数，就可以求出OA的垂直平分线与圆的交点的坐标，再根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
【解答】解：（1）连接AD，则∠ADO＝∠B＝60°，
在Rt△ADO中，∠ADO＝60°，
所以OD＝OA÷＝3÷＝，
所以D点的坐标是（0，）；
（2）猜想：CD与圆相切，
∵∠AOD是直角，
∴AD是圆的直径，
又∵tan∠CDO ＝＝＝，∠CDO＝30°，
∴∠CDA＝∠CDO+∠ADO＝90°，即CD⊥AD，
∴CD切外接圆于点D；
（3）依题意可设二次函数的解析式为：
y＝α（x﹣0）（x﹣3），
由此得顶点坐标的横坐标为：x ＝＝；
即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF，
则得∠EF A ＝∠B＝30°，
即得到EF ＝EA ＝可得一个顶点坐标为（，），
同理可得另一个顶点坐标为（，），
分别将两顶点代入y＝α（x﹣0）（x﹣3）
可解得α的值分别为，，
则得到二次函数的解析式是y ＝x（x﹣3）或y ＝x（x﹣3）．
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